高中立体几何教案第一章直线和平面平面的基本性质之一教案
教学目标
1．了解三个公理及公理3的三个推论；
2．了解推论1的证明过程．
教学重点和难点
公理3的引入与掌握及推论1的证明是教学的重点也是教学的难点．
教学设计过程
师：上节课我们讲过平面是原名，没有方法定义，所以平面的性质只能以公理的形式给出，我们今天就来研究以公理形式给出的平面的性质．
（当教师说完上述话后，拿出一根小棍作为直线的模型，一矩形硬纸板作为平面的模型，让学生自己也拿同样的模型，师生一起观察．然后，再提出问题）
师：直线与平面有几种位置关系？
生：有三种位置关系：平行，相交，在平面内．
师：相交时，直线与平面有且只有几个公共点？
生：有且只有一个公共点．
师：当直线与平面有几个公共点时，我们就能判定直线在平面内？
生：只要有两个公共点．
师：对，这就是公理1．（同时板书）
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．（如图1）
这时我们说直线在平面内，或者说平面经过直线．
师：为了书写的简便，我们把代数中刚学习过的有关集合的符号，引入立体几何中．我们只把点作为基本元素，于是直线、平面都作为“点的集合”，所以：
点A在直线a上，记作A∈a；
点A在平面α内，记作A∈α；
所以公理1用集合符号为：A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，则
公理2可用如下方法引入：教师用矩形硬纸板的一顶点放在讲台面上，让学生观察，并同时提出问题．
师：看模型，能否说这两个平面只有一个公共点？
生：不能，因为平面是无限延展的，所以这两个平面应该有一条经过这公共点的直线．
（这时教师用手动矩形硬纸板，表示同意学生的意见，并说）
师：我们只能用有限的模型或图形来表示无限延展的平面，所以我们有时要看模型或图形，但又不能受模型或图形的限制来影响我们对平面的无限延展的了解．（同时板书）
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．（如图2）
a．
关于公理3的引入，可用类比思想，按如下步骤进行．
师：如何确定一条直线？
生：过两点可以确定一条直线．
师：为什么过一点不能确定一条直线？
生：因为过一点可以有无数条直线，所以过一点不能确定一条直线，而过两点有并且只有一条直线，所以说过两点可以确定一条直线．
师：过一点能不能确定一个圆？
生：不能，因为过一点可以有无数个圆，而且这无数个圆的圆心、半径都在变．
师：过两点能不能确定一个圆？
生：不能，因为过两点的圆也有无数个，这无数个圆的圆心都在以这两点为端点的线段的垂直平分线上．
师：过不在一直线上的三点A，B，C能不能确定一个圆？
生：能．连AB，BC，作AB，BC两线段的垂直平分线相交于O，以O为圆心，OA为半径作圆，因为圆心、半径都是唯一确定的，所以圆也是唯一确定的．
师：通过复习我们了解了直线的确定和圆的确定．现在我们要来研究平面的确定．
过一点能不能确定一个平面？
（这时教师用一根小棍的一端作为空间的一个点，用一矩形硬纸板作为过这个点的平面，同时用手在硬纸板不离开小棍的一端条件下而能“动”起来）
我们来看一看这个模型．
生：不能，因为过一点可以有无数个平面．
师：过两点能不能确定一个平面？
（这时教师用相交两个小棍的两个端点作为空间两点，再用硬纸板作为过这两点的平面，教师用手使这个平面仍然“动”起来）
我们来看这个模型．
生：不能，因为过两点仍有无数个平面．
师：过不在一直线上的三点能不能确定一个平面？
（这时教师用相交于一点的三根小棍的三个端点作为空间不在一直线上的三个点，当把作为平面的硬纸板放在上面时，这时作为平面的硬纸板不能再“动”了，因为一动就要离开其中的一个点，就不满足题目中条件的要求）
我们来观察这个模型．（如图3）
生：能．因为过这三点的平面有一个而且只有一个．
师：这就是我们今天所要讲的公理3．
公理3 经过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面．（如图4）
师：例如一扇门用两个合页和一把锁就可以固定了，但要注意，锁与合页不能放在同一直线位置上，否则，门也无法固定．
师：以上我们讲了三个公理，下面我们来应用这三个公理证明三个推论．
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
已知：点A，直线a，A a．（如图5）
求证：过点A和直线a可以确定一个平面．
证明：存在性．
因为A a，在a上任取两点B，C．
所以过不共线的三点A，B，C有一个平面α．（公理3）
因为B∈α，C∈α，
所以a∈α．（公理1）
故经过点A和直线a有一个平面α．
唯一性：如果经过点A和直线a的平面还有一个平面β，那么A∈β，a β，
因为B∈a， C∈a，
所以B∈β，C∈β．（公理1）
故不共线的三点A，B，C既在平面α内又在平面β内．
所以平面α和平面β重合．（公理3）
所以经过点A和直线a有且只有一个平面．有时“有且只有一个平面”，我们也说“确定一个平面”．
类似地可以得出下面两个推论：
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．（如图6）
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．（如图7）
下面应用平面的基本性质证明空间有关点和直线的共面问题．（空间的几个点和几条直线，如果都在同一平面内，简单地说它们“共面”，否则说它们“不共面”）
例1 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内．（如图8）
已知：AB∩AC=A，AB∩BC=B，AC∩BC=C．
求证：直线AB，BC，AC共面．
证法一：因为AB∩AB=A，
所以直线AB，AC确定一个平面α．（推论2）
因为B∈AB，C∈AC，
所以B∈α，C∈α，
故BC α．（公理1）
因此直线AB，BC，CA都在平面α内，即它们共面．
证法二：
因为A直线BC上，
所以过点A和直线BC确定平面α．（推论1）
因为A∈α， B∈BC，所以B∈α．
故AB α，
同理AC α，
所以AB，AC，BC共面．
证法三：
因为A，B，C三点不在一条直线上，
所以过A，B，C三点可以确定平面α．（公理3）
因为A∈α，B∈α，所以AB α．（公理1）
同理BC α，AC α，所以AB，BC，CA三直线共面．
这个例题证完后，教师可以提出两个问题让学生思考．
师：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？
生：不能，因为三条直线两两相交且过同一点，则这三条直线可以共面，也可以不共面（这时学生可用手中的三个小棍作为模型来说明什么情况共面，什么情况不共面）
师：这个题我们能不能推广？即把这题改为：四条直线两两相交且不过同一点，则这四条直线必共面；也可以把这题推广为更一般地的情况：n条直线两两相交且不过同一点，则这n条直线必共面，当然这两种推广的情况的证明与例1类似，这里只要求你们了解这两种情况，不要求你们去证明．
师：由例1的证明可知，要证明空间的点、直线共面，可以先由某些元素确定一个平面，然后证明其它的元素也在这个平面内．
师：今天我们讲了平面的基本性质，就是三个公理．公理1的作用是判定直线在平面内的根据；公理2是判定两个平面相交的根据；公理3及三个推论是确定一个平面的根据．
作业
课本第8页习题一 3，5，6，7．（要求写出已知、求证、证明，并画出图形）
1 第二讲 函数的性质（一） 一、函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2 当x 1 第二章 直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L ， B ∈ L =>L α A ∈α，B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理2作用：确定一个平面的依据。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 异面直线：不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过这点的直线是异面直线。这个定理是判定空间两条直线是异面直线的理论依据。 5 注意点：（1）直线所成的角θ∈(0， ]。 （2）条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； （3）直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； （4）计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 2 2010高考数学总复习 直线和平面的位置关系练习题 一、选择题： 1．已知直线的位置关系是与则若与平面a l a l l l ,,//,//,,=?βαβαβα （ ） A ．异面 B ．相交 C ．平行 D ．不确定 2．过空间一点作平面，使其同时与两条异面直线平行，这样的平面 （ ） A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有 D ．有无数个 3．如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为 21θθ和，则 （ ） A ．1sin sin 22 12 ≥+θθ B ．1sin sin 22 12 ≤+θθ C ．1sin sin 22 12 >+θθ D ．1sin sin 22 12 <+θθ 4．设E 、F 、G 分别是四面体的棱BC 、CD 、DA 的中点，则此四面体中与过E 、F 、G 的截 面平行的棱有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条 5．用α表示一个平面，l 表示一条直线，则平面α内至少有一条直线与l （ ） A ．平行 B ．相交 C ．异面 D ．垂直 6．如图Rt △ABC 中，∠ACB=90°，直线l 过点A 且垂直于平面ABC ，动点P ∈l ，当点P 逐渐远离点A 时，∠PCB 的大小 （ ） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．有时变大有时变小 7．设a ,b 是平面α外的任意两条线段，则“a ，b 的长相等”是a ,b 在平面α内的射影长相等” 的 （ ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 8．设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平 函数的基本性质 【巩固练习】 1．下列判断正确的是（ ） A ．函数22)(2--=x x x x f 是奇函数 B ．函数()(1f x x =-数 C ．函数()f x x = D ．函数1)(=x f 既是奇函数又是偶函数 2．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(],40-∞ B ．[40,64] C ．(][),4064,-∞+∞ D ．[)64,+∞ 3 ．函数y = ） A ．(]2,∞- B ．(]2,0 C ． [)+∞,2 D ．[)+∞,0 4．已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a ≤- B ．3a ≥- C ．5a ≤ D ．3a ≥ 5．下列四个命题： (1)函数f x ()的定义域(,0)(0,)-∞+∞，在0x <时是增函数，0x >也是增函数，则)(x f 在定义域上是增函数； (2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >； (3) 223y x x =--的递增区间为[)1,+∞； (4) 1y x =+ 和y =表示相同函数。 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ） 7.函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________。 空间中直线与平面之间的位置关系知识点一直线与平面的位置关系 1、直线和平面平行的定义 如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类 （1）直线与平面位置关系可归纳为 (2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外， 我们用记号α?a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法： ①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面α的平行四边形内， 而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外； ②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面a 的平行四边 形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感； ③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。 例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一 条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有 一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个 平面。 变式1、下列说法中正确的是 。 ①直线l 平行于平面α内无数条直线，则l αααα?b αα?b α.1 C ?答案：B 变式3、 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l 与平面α的位置关系. 图3 解：直线l 与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. //a b a b α α??//a α//a b 直线与平面、平面与平面的位置关系 【知识梳理】 【直线与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：直线与平面无公共点． （2）判定定理： （3）其他方法：//a αββ? 2．性质定理：//a a b α βαβ??= 【平面与平面平行的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）定义法：两平面无公共点． （2）判定定理：////a b a b a b P β β αα ???= //αβ （3）其他方法：a a α β⊥⊥ //αβ； ////a γ βγ //αβ 2．性质定理：//a b αβ γαγβ?=?= //a α //a b 【直线与平面垂直的判定方法和性质定理】 1．判定方法 （1）用定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直． （2）判定定理：a b a c b c A b c α α ⊥⊥?=?? a α⊥ （3）推论：//a a b α ⊥ b α⊥ （3）性质① a b α α⊥? a b ⊥ ② a b α α⊥⊥ 【平面与平面垂直的判定方法和性质定理】 （1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）判定定理 a a αβ?⊥ αβ⊥ （3）性质：①性质定理 l a a l αβ αβα ⊥?=?⊥ αβ⊥ ② l P PA A αβαβαβ⊥?=∈⊥垂足为 A l ∈ ③ l P PA αβ αβα β⊥?=∈⊥ PA α? 【转化思想】 面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直 //a b 第五章结构面的变形与强度性质 1、岩体稳定性分析和地下水渗流分析通常把岩体视为由岩块（结构体）与结构面组成的地质体。 2、岩体工程中的软弱夹层问题： 如黄河小浪底水库工程左坝肩的泥化夹层； 葛洲坝水利工程坝基的泥化夹层； 黑河水库左坝肩单薄山梁的断层引发的渗漏问题； 长江三峡自然坡中的软弱夹层等。 这些软弱结构面在不同程度上影响和控制着工程岩体的稳定性。因此，结构面变形与强度性质的研究，在工程实践中具十分重要的实际意义： 1）大量工程实践表明：在工程荷载（小于10Mpa）范围内，工程岩体的失稳破坏有相当一部分是沿软弱结构面破坏的。因此，结构面的强度性质的研究是评价岩体稳定性的关键。 2）在工程荷载作用，结构面及其充填物的变形是岩体变形的主要组成部分，控制着工程岩体的变形特性。 3）结构面是岩体中渗透水流的主要通道。 4）工程荷载作用下，岩体中的应力分布受结构面及其力学性质的影响。 第一节结构面的变形性质（特性） 结构面的变形包括法向变形和剪切变形两个方面。 一、结构面的法向变形 1．法向变形特征（Normal deformation） 设不含结构面岩块的变形为ΔV r，含结构面岩块的变形为ΔV t，那么结构面的法向闭合变形ΔV j为： ΔV j=ΔV t－ΔV r 由结构面法向应力σn与变形的关系曲线可得如下特征： 1）σn↑，ΔV j↑↑，曲线呈上凹型； σn→σ0，σn－ΔV t变陡，与σn－ΔV r大致变形； 2）初始压缩阶段，ΔV t 主要由结构面闭合造成的； 3）试验研究表明，当c n σσ3 1=开始，含结构面岩块的变形由以结构面的闭合→岩块的弹性变 形； 4）σn －ΔV j 曲线的渐近线大致为： ΔV j =V m 5）结构面的最大闭合量小于结构面的张开度（e ）。 含结构面的岩块和不含结构面的岩块在法向上加荷、卸荷后的应力—变形曲线，见教材P 76-77 （Bandis 等，1983）。 2．法向变形本构方程（法向应力与变形之间的关系） 这方面的研究目前仍处于探索阶段，已提出的本构方程都在试验的基础上总结出来的经验方程，如Goodman ，Bandis 及孙广忠等人。 1）古德曼（Goodman ，1974）双曲线函数拟合结构面法向应力σn 与闭合变形ΔV j （mm ）间的本构关系： i j m j n V V V σσ??? ? ??+?-?=1 或 n i m m j V V V σσ1 -=? 式中：σi 为结构面所受的初始应力。 2）班迪斯等（Bandis 等，1983） 图5.1 典型岩块和结构面法向变形曲线 [课题]：第一章集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 主备人：高一数学备课组陈伟坚编写时间：2013年9月30日使用班级（21）（22） 计划上课时间：2013-2014学年第一学期第6 周星期一至三（四至六月考）[课标、大纲、考纲内容]： 学生在初中已学过一次函数、二次函数、反比例函数的图象与性质，通过这些基本初等函数引入函数的单调性和最值，学生还是容易接受的，但很多学生的二次函数的性质还不过关，需要加强。学生的阅读理解能力还是较弱，教师需要引导学生对函数的单调性、奇偶性的定义理解透彻。 1、重点：理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；求函数的单调区间和最值；奇偶性的定义，判定函数的奇偶性的方法；运用函数图象理解和研究函数的性质。 2、难点：运用函数图象理解函数单调性和奇偶性的定义，研究基本函数的单调性和奇偶性。 第1课时 1.3.1 单调性与最大（小）值（1） 【教学目标】 1. 运用已学过的函数特别是二次函数的图象，理解函数的单调性的定义及其几何意义； 2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 3. 会用定义证明函数的单调性 【教学重难点】 教学重点: 理解函数的单调性的含义及其几何意义. 教学难点: 用定义证明函数的单调性. 【教学过程】 一、引入课题 1． 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律： 2． ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 2．f(x) = -2x+1 ○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上，随着x 的增 大，f(x)的值随着 ________ ． 3．f(x) = x 2 ○ 1在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． ○2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随 着x 的增大而 ________ ． 二、新课教学 （一）函数单调性定义 1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1 第二章直线与平面的位置关系 一、平面的基本性质 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内符号表示为 A∈L,B∈L =>L α A∈α,B ∈α 公理1作用:判断直线就是否在平面内 公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线及直线外一点,有且只有一个平面。 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理2作用:确定一个平面的依据。 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且P∈L 公理3作用:判定两个平面就是否相交的依据 二、空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 强调:公理4实质上就是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 4 异面直线:不在同一个平面内的两条直线。异面直线既不相交也不平行。 异面直线判定定理:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不经过这点的直线就是异面直线。这个定理就是判定空间两条直线就是异面直线的理论依据。 5 注意点:(1)直线所成的角θ∈(0, ]。 (2)条异面直线所成的角就是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b; (3)直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; (4)计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 三、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内——有无数个公共点(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点(3)直线在平面平行——没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示 a αa∩α=A a∥α L A · α C · B · A · α P · αL β 共面直线 2 §14.3空间直线与平面的位置关系（夹角） 【知识解读】 1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 3、平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行． 4、推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行． 5、平行平面的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6、面面平行的另一性质：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线都平行于另一个平面． 7、线面角--直线l与其在平面 上的射影所成的锐角称为直线与平面所成的角 F E D C B A 【例题讲解】 例1、简述下列问题的结论，并画图说明： （1）直线?a 平面α，直线A a b = ，则b 和α的位置关系如何？ （2）直线α?a ，直线a b //，则直线b 和α的位置关系如何？ 例2、已知：空间四边形A B C D 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，求证：//EF BCD 平面． 例3、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证MN ∥平面BCE _ C _ B B M H S C A A 例4、在正方体中,棱长为a .求：(1)直线1AB 与面1111D C B A 所成的角；(2)直线1DB 与面1111D C B A ； 例5、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 例6、如图，几何体ABCDE 中，△ABC 是正三角形，EA 和DC 都垂直于平面ABC ，且 a AB EA 2==，a DC =，F 、G 分别为EB 和AB 的中点.（1）求证：FD ∥平面ABC ；（2） 求证：AF ⊥BD ； 1111D C B A ABCD - 函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 结构面的抗剪强度 ??结构面强度分为抗拉强度和抗剪强度。由于结构面的抗拉强度非常小，常可忽略不计，所以一般认为结构面是不能抗拉的。因此，通常近考虑结构面的抗剪强度。 ??在工程荷载作用下，岩体破坏常以沿某些软弱结构面的滑动破坏为主。因此，在岩体力学中结构面的抗剪强度通常是研究的重点内容。 ?条件不同、性质不同的结构面其发生剪切作用的机理不同，因此其抗剪强度的确定方法也不同，下面将分四种类型来介绍结构面的抗剪强度。 一、平直无充填的结构面 ?平直无充填的结构面包括剪应力作用下形成的剪性破裂面，如剪节理、剪裂隙等，发育较好的层理面与片理面。其?特点是面平直、光滑，只具微弱的风化蚀变。坚硬岩体中的剪破裂面还发育有镜面、擦痕及应力矿物薄膜等。这类结构面的抗剪强度大致与人工磨制面的摩擦强度接近，即： 各种结构面抗剪强度指标的变化范围 结构面类型摩擦角 (°) 粘聚力 (MPa) 结构面类型 摩擦角 (°) 粘聚力 (MPa) 泥化结构面10～200～0.05云母片岩片理面10～200～0.05粘土岩层面20～300.05～0.10页岩节理面(平直)18～290.10～0.19泥灰岩层面20～300.05～0.10砂岩节理面(平直)32～380.05～1.0凝灰岩层面20～300.05～0.10灰岩节理面(平直)350.2 页岩层面20～300.05～0.10石英正长闪长岩节理面(平 直) 32～350.02～0.08 砂岩层面30～400.05～0.10粗糙结构面40～480.08～0.30砾岩层面30～400.05～0.10辉长岩、花岗岩节理面30～380.20～0.40石灰岩层面30～400.05～0.10花岗岩节理面(粗糙)420.4 千板岩千枚理 面 280.12石灰岩卸荷节理面(粗糙)370.04 滑石片岩、片 理面10～200～0.05 (砂岩、花岗岩)岩石／混凝 土接触面 55～600～0.48 函数的基本性质 一、单调性定义 1．单调性定义：设函数f(x)的定义域为A，区间M?A，若对于任意的x1，x2∈M，当x1 直线与平面平行的判定 一、教学思想：本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，让学生在观察分析、自主探索，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。 二、学生学习情况分析： 学生基础差，学习积极性不高，学习方面有一定困难。 三，教学目标：本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。 四、教学重点与难点 重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。 五、教学过程设计 （一）知识准备、新课引入 提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？并完成下表：(多媒体幻灯片演示) 提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。 （二）判定定理的探求过程 1、直观感知 提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？ 生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。 生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。 2、动手实践 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。 3、探究思考 (1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线②平面内一条直线③这两条直线平行 (2)如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？ 4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示） 直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。 简单概括：（内外）线线平行，线面平行 §1.3函数的基本性质 教材分析 函数性质是函数的固有属性，是认识函数的重要手段，而函数性质可以由函数图象直观的反应出来，因此，函数各个性质的学习要从特殊的、已知的图象入手，抽象出此类函数的共同特征，并用数学语言来定义叙述。基于此，本节的概念课教学要注重引导，注重知识的形成过程，习题课教学以具体技巧、方法作为辅助练习。 学情分析 学生对函数概念重新认识之后，可以结合初中学过的简单函数的图象对函数性质进行抽象定义。另外，为了方便学生做题及熟悉函数性质，还需要补充一些函数图象的知识，例如平移、二次函数图象、含绝对值函数的图象、反比例函数及其变形的函数图象。总之，本节课的教学要从学生认知实际出发，坚持从图象中来到图象中去的原则。 教学建议 以图象作为切入点进行概念课教学，引导学生对概念的形成有一个清晰的认识，尤其是概念中的部分关键词要做深入讲解，用函数图象指导学生做题。 教学目标 ?知识与技能 （1）能理解函数单调性、最值、奇偶性的图形特征 （2）会用单调性定义证明具体函数的单调性；会求函数的最值；会用奇偶性定义判断函数奇偶性 （3）单调性与奇偶性的综合题 （4）培养学生观察、归纳、推理的抽象思维能力 ?过程与方法 （1）从观察具体函数的图像特征入手，结合相应问题引导学生一步步转化到用数学语言形式化的建立相关概念 （2）渗透数形结合的数学思想进行习题课教学 ?情感、态度与价值观 （1）使学生学会认识事物的一般规律：从特殊到一般，抽象归纳 （2）培养学生严密的逻辑思维能力，进一步规范学生用数学语言、数学符号进行表达 课时安排 （1）概念课：单调性2课时，最值1课时，奇偶性1课时 （2）习题课：5课时 第一课时 单调性 教学重点 借助图象、自然语言和符号语言形成对增（减）函数的形式化定义，并能用定义解决简单函数的单调性问题 教学难点 （1）在形成增函数、减函数形式化定义的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到数学符号的语言表述 （2）用定义证明单调性的规范写法（主要是学生对“在定义域的指定区间上任意取21,x x ，且21x x <”的理解） 教学过程 一、由特殊到一般，引入课题 学生画图x y =与x y -=，老师引导观察图象特点，说出自己关于图象的直观感受. 提示：统一从左往右看，函数图象有什么图形特征？函数值有什么样的变化特点？能否借助函数定义中x 和y 的对应来表达这种变化的规律？ 二、新课教学 老师提问：上述两个函数图象仅仅是众多函数中比较典型的两类，那么对于一般的函数无非是从左往右或升或降，那么如何用数学语言描述一般函数的这种变化规律？（统一从左往右看意即我们规定自变量x 越来越大的情况下，上升意味着函数值y 越来越大，下降意味着函数值y 越来越小.） 一般地，设函数)(x f 的定义域为I ： 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有 空间点，直线和平面的位置关系 一，线在面内的性质： 定里1. 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 二，平面确定的判定定理： 定里2. 经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 定里3.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面。 定里4. 经过两条相交直线有且只有一个平面。 定里5.经过两条平行直线有且只有一个个平面。 三，两面相交的性质： 定里6. 如果两个平面有一个公共点，那么还有其它公共点，则这些公共点的集合是一条直线。 四，直线平行的判定定理： 定里7. 平行于同一直线的两直线平行。 五，等角定理： 定里8.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且同向，那么这两个角相等。 六，异面直线定义： 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。（异面直线间的夹角只能是：锐角或直角） 七，直线和平面平行的判定定理： 定理9. 平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。 符合表示： β ββ////a b a b a ???????? 推理1. 如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 符号表示： b a b a a a ////??? ? ????=??βαβαα 八，平面与平面平行判定定理： 定理1. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 符号表示： β αββαα //////??????????=??b a M b a b a 推论1：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。 九，平面与平面平行的性质： 定理1. 如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 符号表示： d l d l ////??? ???==γβγαβα 直线和平面的位置关系（1） 田家炳实验中学 马晓红 一、考纲要求 1．了解空间直线和平面的位置关系； 2．掌握直线和平面平行的判定和性质. 二、知识梳理 1．直线和平面的位置关系 、 、 ． 2．直线和平面平行的判定定理 如果平面外 和这个平面内 平行，那么这条直线和这个平面平行． (记忆口诀：线线平行 线面平行) 3．直线和平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．(记忆口诀：线面平行 线线平行) 证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等. 三、基础训练 1．（1）若两直线a 、b 异面，且 a ∥ α,则b 与α的位置关系可能是 （2）若两直线a 、b 相交，且a ∥ α，则b 与α的位置关系可能是 （3）“直线a 垂直于平面α内的无数条直线”是“a 垂直于平面α”的 条件 2．对于直线m ，n 和平面α，下面命题中的真命题是 ①如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n ∥α ②如果m ?α，n ?α，m ，n 是异面直线，那么n 与α相交 ③如果m ?α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n ④如果m ∥α，n ∥α，m ，n 共面，那么m ∥n 3．在四面体ABCD 中，M 、N 分别为△ACD 和△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________． 4．已知直线m ，n 及平面α，其中m ∥n ，那么在平面α内到两条直线m ，n 距离相等的点 的集合可能是(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是 5．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为不同的直线，α、β为不重合的平面)，则此条件为________． ① ?????m ?αl ∥m ?l ∥α ② ?????l ∥m m ∥α ?l ∥α ③ ? ????l ⊥βα⊥β ?l ∥α 6．已知P-ABC 为正三棱锥，D 为BC 中点，则直线BC 与平面P AD 的位置关系是 四、典型例题 例1.（2008年江苏卷）如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD , AD ⊥BD ，点E , F 分别是AB , BD 的中点. 求证：（Ⅰ）直线EF ∥平面ACD ； 例2：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PD 平面⊥,DC PD =， 广东技术师范学院天河学院 教案 广东技术师范学院天河学院单元教案首页 第2章点、直线和平面的投影 一、本章重点： 1．点的坐标与投影，重影点； 2．直线在三面投影体系中的投影特性； 3．平面的投影特性，平面上的直线和点。 二、本章难点： 1．求线段的实长及其对投影面的倾角； 2．两直线的相对位置； 3．直线上的点和平面上的线。 三、本章要求： 掌握点、直线和平面的投影特性，两点的相对位置及重影点。直线上点的投影，平面上的直线和点投影。了解一般位置直线求实长和对投影面的倾角。 四、教学手段 讲授法，演示法教学、习题集作业 五、本章内容： 2．1 投影法的基本知识 2.1.1 投影法概述 在日常生活中，我们经常看到物体在日光或灯光照射下，在地面或墙上产生影子，这种现象叫投射。人们根据这种自然现象，经过科学的抽象提出了投影法。 将发自投射中心且通过物体上各点的直线称为投射线，投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上得到图形的方法称为投影法。投射线的方向称为投射方向，选定的平面称为投影面，投射所得到的图形称为投影。 图2.1 中心投影法图2.2 平行投影法 1．中心投影法 该投影法的特点是，物体距离投影面的距离不同时，得到的投影的大小不同。因此，中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小，所以机械制图不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点，常用于绘制建筑物的外观图，也称为透视图。 2．平行投影法 投影线相互平行，在投影面上作出物体投影的方法，就称为平行投影法。 平行投影法的特点是，物体的投影与物体距投影面的距离无关，投影都能够真实地反映物体的形状和大小。 平行投影法中又可分为两种，一种是正投影，投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影，投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法，它是我们学习的重点。 3. 正投影法的基本特性 ⑴实形性 当直线或平面图形平行于投影面时，其投影反映直线的实长或平面的实形，如图2.5(a)所示。 ⑵积聚性 当直线或平面图形垂直于投影面时，直线的投影积聚成一点，平面的投影积聚成一直线，如图2.5(b)所示。 ⑶类似性 当直线或平面图形倾斜于投影面时,直线的投影仍为直线,但小于实长,平面图形的投影小于真实形状,但类似于空间平面图形,图形的基本特性不变,如多边形的投影仍为多边形,如图2.5(c)所示。 另外，平行投影法还有这样的规律： （1）平行两直线的投影仍互相平行。 （2）属于直线的点，其投影仍属于直线的投影 （3）点分线段之比，投射后保持不变。 (a) (b) (c) 图2.5 正投影法的基本特性 第 1 页 共 1 页 ?单调性 1、定义：如果函数()x f 对区间D 内的任意 21,x x ，当21x x <时都有()()21x f x f <，则()x f 在D 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在D 内时减函数。 2、函数单调性的证明方法： （1）定义法：其一般步骤为： ①任取2121,,x x D x x ＜且∈; ②论证)()()()(2121x f x f x f x f ＞（或＜； ③根据定义得出结论。 （2）用已知函数的单调性 （3）图象法 3、复合函数的单调性 如果是增函数；如果 单调性相同，那么和))(()()(x g f y x g u u f y ===)(u f y =和是减函数。 单调性相反，那么))(()(x g f y x g u == 也就是说，复合函数的单调性由其内、外函数的单调性共同决定，它遵循“同增异减”的原则，即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减。 ?函数的奇偶性 1、 定义：设函数A x x f y ∈=),(，如果对于任意的A x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数；如果对于任意的A x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数。 2、 性质 函数的基本性质 第 2 页 共 2 页 （1）前提条件：定义域关于原点对称。 (2)奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称。 (3)若)(x f 的定义域为R ，且当[)+∞∈,0x 时为增函数，则当)(x f 为奇函数时，它在()0,∞-上为增函数，当)(x f 为偶函数时，它在()0,∞-上为减函数。 (4)若奇函数)(x f 的定义域中包含0，则0)0(=f 。 3、 判断函数奇偶性的方法 （1） 定义法：①确定定义域，看是否关于原点对称，若不对称，则非奇非偶。 ②若定义域关于原点对称，函数表达式能化简则适当化简，再判断。 ③若函数较复杂，可利用变形式子，用求和（或差）法：即看 )()(x f x f ±-与0的关系；或用求商法（即看 ) ()(x f x f -与1±的关系）。 ④分段函数应分段讨论。 （2）图像法：若函数图象关于原点中心对称，则为奇函数；若函数图象关于y 轴对称，则为偶函数。 4、熟记结论： （1）设)(x f 、)(x g 的定义域分别是D 1、D 2，那么在它们的公共定义域21D D D ?=上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 （2）对于奇函数：)0)((1) ()(0)()()()(≠-=-?=+-?-=-x f x f x f x f x f x f x f 对于偶函数：)0)((1)()(0)()()()(≠=-? =--?=-x f x f x f x f x f x f x f(精心整理)直线与平面的关系
高考数学总复习直线和平面的位置关系练习题
函数的基本性质专题训练
空间中直线和平面之间的位置关系
直线与平面、平面与平面的位置关系知识点
第五章 结构面的变形与强度性质
函数的基本性质(教案)
直线与平面的关系
空间直线与平面的位置关系(夹角)
高一数学函数的基本性质知识点及练习题(含答案)
结构面的抗剪强度
函数的基本性质
直线和平面的关系
函数的基本性质
高中数学 空间点,直线和平面的位置关系公式
直线和平面的位置关系
第2章 点、直线和平面的投影概论
函数的基本性质知识点
相关主题
文本预览