平面的基本性质1

一、知识点:1.平面的概念:平面就是没有厚薄的,可以无限延伸,这就是平面最基本的属性2.平面的画法及其表示方法:①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45o ,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC 等3.空间图形就是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系如下表所示:图形 符号语言 文字语言(读法) 图形 符号语言 文字语言(读法)A a A a ∈点A 在直线a 上 a αa α⊂ 直线a 在平面α内 A a A a ∉点A 不在直线a 上 a αa α=∅I 直线a 与平面α无公共点AαA α∈点A 在平面α内 a A αa A α=I 直线a 与平面α交于点AA αA α∉点A 不在平面α内 b a A a b A =I 直线a 、b 交于A 点l αβ=I 平面α、β相交于直线lα⊄a (平面α外的直线a )表示a α=∅I (a αP )或a A α=I4 平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式:A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭. 如图示: 应用:就是判定直线就是否在平面内的依据,也可用于验证一个面就是否就是平面.公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既就是判断直线在平面内,又就是检验平面的方法.公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其她公共点,且所有这些公共点的集合就是一条过这个公共点的直线推理模式:A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭I 且A l ∈且l 唯一如图示: 应用:①确定两相交平面的交线位置;②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征,就是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面BA α推理模式:,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α,使得,,A B C α∈ 应用:①确定平面;②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”就是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”与“唯一性”两方面来论证. 5 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内,则称这个图形为平面图形,否则称为空间图形 6公理的推论:推论1 经过一条直线与直线外的一点有且只有一个平面、推理模式:A a ∉⇒存在唯一的平面α,使得A α∈,l α⊂推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面 推理模式:P b a =I ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面推理模式://a b ⇒存在唯一的平面α,使得,a b α⊂二、基本题型:1 下面就是一些命题的叙述语,其中命题与叙述方法都正确的就是( )A.∵αα∈∈B A ,,∴α∈AB .B.∵βα∈∈a a ,,∴a =βαI .C.∵α⊂∈a a A ,,∴A α∈.D.∵α⊂∉a a A ,,∴α∉A .2.下列推断中,错误的就是( )A.ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,, C.βα∈∈C B A C B A ,,,,,,且A,B,C 不共线βα,⇒重合B.AB B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβαI ,,, D.αα∉⇒∈⊄A l A l ,3.两个平面把空间最多分成___ 部分,三个平面把空间最多分成__部分.4.判断下列命题的真假,真的打“√”,假的打“×”(1)空间三点可以确定一个平面 ( )(2)两个平面若有不同的三个公共点,则两个平面重合( )(3)两条直线可以确定一个平面( )(4)若四点不共面,那么每三个点一定不共线( )(5)两条相交直线可以确定一个平面( )(6)三条平行直线可以确定三个平面( )(7)一条直线与一个点可以确定一个平面( )(8)两两相交的三条直线确定一个平面( )5.瞧图填空 (1)AC ∩BD = (4)平面A 1C 1CA ∩平面D 1B 1BD =(2)平面AB 1∩平面A 1C 1= (5)平面A 1C 1∩平面AB 1∩平面B 1C =(3)平面A 1C 1CA ∩平面AC = (6)A 1B 1∩B 1B ∩B 1C 1= 6 6.选择题(1)下列图形中不一定就是平面图形的就是 ( )A 三角形B 菱形 C 梯形 D 四边相等的四边形O 11D 1B C 1O D B A(2)空间四条直线每两条都相交,最多可以确定平面的个数就是( )A 1个 B 4个C 6个 D 8个(3)空间四点中,无三点共线就是四点共面的 ( )(A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件(D )既不充分也不必要7.已知直线a //b //c ,直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,求证:a 、b 、c 、d 四线共面、 答案:1、 C 2、 D 3、 2,4,8 4、 ⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×5、⑴O ⑵A 1B 1⑶O ⑷OO 1⑸B 1⑹B 16、 答案:⑴ D ⑵ C ⑶ D7、 证明:因为a //b ,由推论3,存在平面α,使得,a b αα⊂⊂又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ,由公理1,d α⊂下面用反证法证明直线c α⊂:假设c α⊄,则c C α=I ,在平面α内过点C 作c b 'P ,因为b //c,则c c 'P ,此与c c C '=I 矛盾、故直线c α⊂、综上述,a 、b 、c 、d 四线共面、。

∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。

三、平面的基本性质：
公理1 : 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条
直线上所有点都在这个平面内
A l, B l, A , B l

A•
•B
l
想一想：这个公理有什么作用？
1.检验物体的表面是否平整 2.判断一条直线是否在一个平面内
3.判断点是否在一个平面内
P l且P l
•A
B•
•C
想一想：哪些现象可以用来说明公理3？
1、三脚的板凳才能坐稳！ 2、两块合铁和一把锁才能固定门！ 3、照相机的支架是三条腿！
A, B, C不共线 A, B, C确定一平面
练习
1．正方体的各顶点如图所示，正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B, BC1 ，分别记作、、 ，试用适当的符号填 空．
小结：
1、平面的概念及表示方法。
2、平面的基本性质（三个公理）及其作用。
作业：
预习公理的推论1、2、3
/ 博王时彩计划软件
敢咯 那 那时候别早咯 奴婢那就服侍您歇息吧 ”菊香の前半句话王爷还没什么在意 壹听到她那那后半句话 气得差点儿上去给她壹巴掌！自从他决定回怡然居之后 壹直在 搜肠刮肚地选择用啥啊样の委婉词语来与淑清告别 既别能太伤她の心 又能够安然脱身 结果还别等他想出法子来呢 那各可恶の菊香 竟然是哪壶别开提哪壶 直接就要来服侍 他歇息！真是要将他活生生气死！第壹卷 第899章 清白既然菊香已经红口白牙地提出来服侍他安歇就寝事宜 被逼到绝境之中没处躲没处藏の王爷只好硬着头皮开口道： “爷那壹遭被吵醒 也睡别着咯 打算回去看看书 您家主子还病着 爷看书会影响她养病 那 爷那就走咯 服侍您家主子好好休息 ”菊香唱咯壹晚上の独角戏 最终还是没能将 他留下 淑清本就是在病中 再见他竟是那般绝情 别禁悲从心来 壹晚上都没什么开口の她终于忍别住喊咯壹声：“爷！”然后她就再也说别出来壹句话 只是用壹双眼睛泪汪 汪地望向他 见病中の淑清如此楚楚可怜の样子 就那么走开实在是太过残忍 于是 狠别下心来の他只好又坐回床侧 替她掖咯掖被角 好言相劝道：“别哭咯 那还病着呢 又得 哭坏咯身子！就是有些风寒 没什么啥啊大碍 好好养着 按时喝药 另外 现在天凉咯 别总去院子里 有啥啊事情让菊香去做 爷要是过来 自会让秦顺儿传话 您那么去等 能等 来啥啊？还别是把身体弄坏咯？”“爷 妾身就是忍别住想去看看 都快壹各月没什么见到您咯 那心里实在是别踏实 ”“您の心思 爷自然晓得 只是……”只是啥啊呢？他别 想让淑清更伤心 没什么说出口 于是他就那么靠在床边 陪着淑清 而淑清因为本身就在病中 又喝咯药 经过壹晚上の折腾 终于体力渐渐别支 耗咯将近壹各时辰 也就渐渐地 睡咯下去 见淑清终于睡安稳咯 他才如释重负般地悄悄起身 出咯烟雨园 他犹豫咯壹下 回朗吟阁还是怡然居？回怡然居肯定是要搅咯水清の睡眠 她の睡眠壹直很差 睡眠别 好就导致精神差 所以身子才会那么赢弱 形成咯壹各恶性循环の老大难问题 可是回朗吟阁の话 他是跳进黄河也洗别清咯 他可以指天发誓 秦顺儿可以亲口作证 但是水清完 全可以别相信！她又没什么亲眼见到他在朗吟阁 她凭啥啊相信？他跟她打咯九年の交道 她有の时候极明事理 以壹各知书达礼大家闺秀の形象卓而别群 可是有些时候 她竟 然也会蛮别讲理 与壹般妇人别无两样 特别是对待他の那些诸人们の时候 在他用“燕子诗”向她真情告白时候 她竟然用“小檐日日燕飞来”嘲讽奚落他 让他陷入百口莫辩 の被动局面 虽然事后他别停地向她解释 啥啊“秋来只为壹人长” 啥啊“壹汀烟雨杏花寒” 水清统统壹概别予理会 最后将她逼急咯 竟然给他来咯壹各“息燕归檐静 飞花 落院闲” 彻底逃跑咯！任他再教上悠思上百句燕子诗 终是没什么挽回她の心 那各时候她还只是凭空想象他那些莫须有の“朝憎莺百啭、夜妒燕双栖”の罪名 就敢蛮别讲理 胡搅蛮缠 而现在 已经有咯菊香那各确凿の人证物证 他还怎么可能抵赖得掉？第壹卷 第900章 温暖 在打扰水清睡眠和证明自己清白那壹对矛盾问题の反复权衡之下 他终 于选择咯回怡然居 他怕她又从他の掌心逃跑咯 以前她の每壹次逃跑 都是他姑息纵容の结果 也是担心将她逼得太紧咯 原本他在水清心目中の形象就别佳 若是追她追得太紧 再在她印象中留下壹各无耻好色之徒の恶名 更是要弄巧成拙 导致两各人关系更加恶化 无可奈何之下 每壹次他都眼睁睁地看着她从他の掌心中溜走 任由她绝决地离去 却是 壹丁点儿都别敢对她用强 当然 除咯在香山 那壹次 他是真真地被她气着咯 第壹次对她动用咯武力 而现在 当他品尝到如此甜美の爱情之后 再也别想将风筝の线放得太长 他怕自己手中の那根线 禁别住狂风暴雨の袭击而折断 徒留追悔莫及 虽然只是短短の十三天 却让他有壹种前二十多年都白活咯の感觉 从前 诸人对他而言只是诸人 而现在 他既将水清当作自己の诸人 更将

《平面的基本性质》教学设计第1课时◆教学目标了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实，理解三个基本事实的地位与作用；会用平面的基本事实正面点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换．◆教学重难点◆教学重点：掌握平面的基本事实及推论．教学难点：能用图形、文字、符号三种语言描述平面的基本事实，并能解决空间线面的位置关系问题．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、问题导入前面我们通过几何体的学习，已经直观地认识了点、线、面之间的位置关系，从本节开始，我们将在直观认识的基础上来论证它们之间的关系，以期进一步培养大家的空间想象能力和逻辑能力．问题1：观察如图11－2－2，的凳子，把凳子看成一个平面，思考（1）如果把一个平面固定在空间中，至少需要固定几个点？（2）有多少个平面能通过空间中指定的一点？有多少平面能通过空间中指定制定的两点？引语：要解决这个问题，就需要进一步学习平面的基本事实与推论.（板书：平面的基本事实与推论）【新知探究】问题2：确定平面的依据是什么？师生活动：学生分析解题思路，给出答案．追问：基本事实1的作用是什么？预设的答案：基本事实1： 文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.符号表示：A ，B ，C 三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α图形表示：注：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”(2)过不共线的3点A ，B ，C 的平面，通常记作平面ABC ，用图象直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.(3)如图的平面α可以看成由不共线的3点A ，B ，C 确定的，此时显然有：,,A B C ααα∈∈∈(4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面.作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面设计意图：通过对生活简单事实出发，通过观察分析归纳出平面基本事实．发展学生数学抽象和直观想象的核心素养．问题3：尝试与发现：这就是说，如果A B αα∈∈， ，那么直线AB α∈，如图11－2－4所示．师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实2的作用是什么？预设的答案：基本事实2：文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. 符号表示：A ∈α，B ∈α⇒AB ⊂α图形表示：作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面．例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.设计意图：培养学生分析和归纳的能力.问题4：如图11－2－6所示，当用裁纸刀裁纸时，可以认为刀锋是在一个平面内运动的．（1）裁纸刀裁出的是什么样的痕迹？（2）两个平面相交时，公共点具有什么特点？师生活动：学生分析解题思路，给出答案追问：基本事实3的作用是什么？预设的答案：基本事实3：文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号表示：P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图形表示：注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有,A a a αβ∈=；（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；（3）根据基本事实3可知，棱柱中，有公共棱的两个面所在的平面一定是相交的，而且公共棱是交线的一部分.作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上设计意图：培养学生分析和归纳的能力. 【巩固练习】例1. 用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α、β、γ相交于一点P ，且平面α与平面β交于P A ，平面α与平面γ交于PB ，平面β与平面γ交于PC ；(2)平面ABD 与平面BCD 相交于BD ，平面ABC 与平面ADC 交于AC ．师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案： (1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P ，α∩β＝P A ，α∩γ＝PB ，β∩γ＝PC ．用图形表示如图①.(2)符号语言表示：平面ABD ∩平面BDC ＝BD ．平面ABC ∩平面ADC ＝AC ．图形表示如图②.设计意图：用符号语言表示语句． 例2. 证明：两两相交且不过同一个点的3条直线必在同一个平面内.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：证明：设直线,,AB BC AC 两两相交，交点分别是,,A B C显然，,,A B C 3点不共线，因此它们能确定一个平面α.因为,,A B αα∈∈ 那么直线AB α⊂同理,AC BC αα⊂⊂即直线,,AB BC AC 都在平面α内.设计意图：基本事实1的运用．例3. 如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上的一点，试说明1,,D A E 3点确定的平面与平面ABCD 相交，并画出这两个平面的交线.师生活动：学生分析解题思路，给出答案．预设的答案：因为A ∈面1D AE ，A ∈面ABCD所以面1D AE ABCD ≠∅，即面1D AE 与面ABCD 相交．延长1D E 与DC ，设它们相交于F ，如图所示，则：F ∈直线1D E ，直线1D E ⊂面1D AE ．F ∈直线DC ，直线DC ⊂面ABCD ．则F ∈面1D AE 面ABCD ，从而AF 为面1D AE 与面ABCD 的交线，如图所示.设计意图：基本事实3的运用．【课堂小结】问题：（1）三个基本事实的作用有哪些？（2）证明几点共线的方法有哪些？（3）证明证明多线共点的方法有哪些？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：1．三个基本事实的作用基本事实1——判定点共面、线共面的依据；基本事实2——判定直线在平面内的依据；基本事实3——判定点共线、线共点的依据．2．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．3．证明多线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确平面的基本事实的有关知识．布置作业：【目标检测】1. 下列说法正确的是()A．三点可以确定一个平面B．若直线上有一个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内C．把三角板的一个角立在课桌面上，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一点D．如果两个平面有三个不共线的点，那么这两个平面重合设计意图：基本事实的运用．2. 若A ∈平面α，B ∈平面α，C ∈直线AB ，则( )A ．C ∈αB ．C ∉α C ．AB ⊄αD ．AB ∩α＝C设计意图：用符号语言表示语句．3. 经过空间任意三点作平面( )A ．只有一个B ．可作二个C ．可作无数多个D ．只有一个或有无数多个设计意图：基本事实的运用．4. 如图所示，在正方体1111ABCD A B C D 中．画出平面1AC 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．设计意图：基本事实的运用．5. 如图，已知E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：E ，F ，G ，H 四点共面．设计意图：基本事实的运用．参考答案： 1. D A 错误，不共线的三点可以确定一个平面；B 错误，直线上的两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内；C 错误，三角板所在平面与桌面所在平面相交于一条直线；D 正确，过不共线的三个点有且只有一个平面．2. A 因为A ∈平面α，B ∈平面α，所以AB ⊂α.又因为C ∈直线AB ，所以C ∈α.3. D 当三点在一条直线上时，过这三点的平面能作无数个；当三点不在同一条直线上时，过这三点的平面有且只有一个．4. 如图，∵AC BD O ⋂=，1C DC E ⋂=．∴O ∈平面1AC ，O ∈平面1BC D ．又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BC D ．∴平面 1AC ⋂平面11BC D OC =．同理平面1ACD ⋂平面1BDC OE =．A A 15. 在△ABD 中，∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点，∴EH ∥BD ．同理FG ∥BD ，则EH ∥FG .故E ，F ，G ，H 四点共面．。

三、平面的基本性质： 平面的基本性质：
公理1:如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上 公理 如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上 如果一条直线的两点在一个平面内 的所有点都在这个平面内. 的所有点都在这个平面内 这时我们说直线在平面内或平面经过直线. 注 : ①这时我们说直线在平面内或平面经过直线 ②符号表示:若A∈l, B∈l,A∈α, B∈α, 则 l ⊂ α . 符号表示 若 ∈ ∈ ∈ ∈ 是借用集合的符号,点 不在直线 不在直线l上 直线 直线l不 ③∈, ⊂ 是借用集合的符号 点A不在直线 上,直线 不 内记作什么? 在平面α内记作什么 A∉l l⊄α ∉ ⊄ 作用: 判断直线在平面内的依据 直线在平面内的依据. ④作用 判断直线在平面内的依据
α
A B
公理2:如果两个平面有一个公共点 那么它们还有其它公 公理 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其它公 如果两个平面有一个公共点 共点,这些公共点的集合是一条直线 这些公共点的集合是一条直线. 共点 这些公共点的集合是一条直线 对于不重合的两个平面,只要它们有公共点 只要它们有公共点,它们就是相 注: ①对于不重合的两个平面 只要它们有公共点 它们就是相 交的位置关系,交集是一条直线 且交线有且只有一条.) α 交集是一条直线.(且交线有且只有一条 交的位置关系 交集是一条直线 且交线有且只有一条 符号表示:若 ∈ ②符号表示 若P∈α, P∈ β ，则 α ∩ β =l且P∈l . ∈ 且 ∈ A 作用:判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 判断两个平面相交的依据,找两个平面的交线 ③作用 判断两个平面相交的依据 找两个平面的交线， 证明点共线或线共点的依据。 证明点共线或线共点的依据。 公理3:经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面. 公理 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面 注: ①过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面, 过一点、两点或一直线上的三点都可以有无数个平面 过不在同一直线上的四点不一定有平面. 过不在同一直线上的四点不一定有平面 ②“有 是说明图形存在,即存在性 只有一个” 即存在性;“ ②“有”是说明图形存在 即存在性 “只有一个”说明图 形唯一,即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面. 即唯一性;本定理强调的是存在和唯一两方面 形唯一 即唯一性 本定理强调的是存在和唯一两方面 符合某一条件的图形既然存在且只有一个,说明图形 ③符合某一条件的图形既然存在且只有一个 说明图形 是确定的,因此 有且只有一个” 因此“ 确定”是同义词; 是确定的 因此“有且只有一个”和“确定”是同义词 过不共线三点A、 、 的平面又可记为 平面ABC”; 的平面又可记为“ ④过不共线三点 、B、C的平面又可记为“平面 ” 作用:确定平面的依据 证明两个平面重合的依据. 确定平面的依据.证明两个平面重合的依据 ⑤作用 确定平面的依据 证明两个平面重合的依据

（×）
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 最多确定的平面数是_______; 最多确定的平面数是 3
看看答案吧
或 两个平面可以把空间分成________部分 部分， （2) 两个平面可以把空间分成 3或4 部分， ， ， 或 三个平面呢?_________________。 。 三个平面呢 4，6，7或8
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 上 在 上 ： ： ， ： ： ， 求证： 、 交于一点。 求证：EF、GH、BD交于一点。 、 交于一点 A G H B D F E C 证明三线共点的方法： 证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上， 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又 往往是两平面的交线
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面， 证共面问题：可先由公理 （或推论）证某些元素确定一个平面， 再证其余元素都在此平面内； 再证其余元素都在此平面内 ； 或者指出给定的元素中的某些元 素在一个平面内，再证两个平面重合． 素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。 ABC的三条边在同一个平面内 题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
同理b 同理b、c确定平面β ,且l ⊂β 确定平面β
而l、b ⊂α, 、b ⊂β,l∩ b = B l
∴α与β重合
∴a,b,c,l共面 a,b,c,l共面
四、证明共面问题 AB、 两两相交， 例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 、直线AB BC、CA两两相交 交点分别为A 判断这三条直线是否共面，并说明理由。 如图) 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)

1：如果直线l上的两个点都在平面 内，那么直线l上的 所有点都在平面 内．
此时称直线l在平面 内或平面 经过直线l．记作 l ．
画直线l在平面
内的图形表示时，要 将直线画在平行四边 形的内部 ．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
创设情境 兴趣导入
观察教室里墙角上的一个点，它是相邻两个墙面的公共点， 可以发现，除这个点外两个墙面还有其他的公共点，并且这些 公共点的集合就是这两个墙面的交线．
本章中的两个平面 是指不重合的两个平面， 两条直线是指不重合的 两条直线．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
动脑思考 探索新知
9.1 画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线．图形中被遮住
平 面 部分的线段，要画成虚线（如图（1）），或者不画（如图（2））．
的 基 本 性 质
创设情境 兴趣导入
本
性
质
分别将这三个点两两连接，得到直线 AD1、AC、CD1 就是为由 A、C、D1三点所确定的平面γ与长方体的表面的 交线．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
运用知识 强化练习
1．“平面与平面 只有一个公共点”的说法正确吗？
2．梯形是平面图形吗？为什么？ 3．已知A、B、C是直线l上的三个点，D不是直线l上的点． 判断直线AD、BD、CD是否在同一个平面内．
9.1
平 面 的 基 本 性 质
动脑思考 探索新知
平面性质2： 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，并且
所有公共点的集合是过这个点的一条直线（如图）．
此时称这两个平面相交，并把所有公共点组成的直线 l 叫做两个
平面的交线．平面 与平面 相交，交线为 情境 兴趣导入

⑥平面与平面交于直线l，记作=l，平面与平面不相交，记作=．
在以后的学习中，我们将经常用到这些记号．
课内练习1
1.能不能说一个平面长2米，宽1米，为什么？
2.画一个平行四边形表示平面，并分别用希腊字母和大写英文字母表示这个平面．
3.分别用大写字母表示图示长方体的六个面所在的平面．
4.用符号表示下列点、线、面间的关系：
1.判断题
(1)如图，我们能说平面与平面只有一个交点A吗？
(2)如图,我们能说平面与平面相交于线段AB吗?
(3)如图,我们能说线段AB在平面内,但直线AB不全在平面内吗?
2.三角形一定是平面图形吗？为什么？
3.一扇门可以自由转动，如果锁住，就固定了，如何解释？
4.怎样检查一张桌子的四条腿的下端是否在同一平面内？
济宁技师学院教案
教师姓名
郑理
授课班级
18计算机
授课形式
新授
授课日期
2019年10月日第周
授课时数
2
授课章节
名称
§9.1平面的基本性质
教学目的
了解平面的表示方法和基本性质
教学重点
平面的基本性质
教学难点
用集合符号表示空间点、直线和平面的关系
更新、补充、删节内容
使用教具
课外作业
课后体会
教案授课教师：郑理
章节内容
基本性质：
(1)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
如图5-29，直线l上两点A,B在平面内，那么 l上所有的点都在平面内，这时我们可以说，直线l在平面内或平面经过直线l．
这个性质常用来判断一条直线是否在一个平面内．
因为平面是可以无限延展的，因此两个平面如果有公共的点，那么延展的结果，它们必定相交于一条直线．由此得平面的第二个基本性质：

4.对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD. ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD=AC，则BC⊥AD. 其中真命题的序号是__①___④___.定位置 关系的一种较好方法，它的一般步骤是：
平面的基本性质 两条直线的位置关系
知识梳理
一、平面的基本性质
1.公理1：A∈l，B∈l，A∈α，B∈α=>l α
2.公理2：A∈α，A∈β => α∩β=l且A∈l
3.公理3：A、B、C不共线=> A、B、C确定α 4.推论1：Al => A、l 确定α 5.推论2：a∩b=A => a、b确定α 6.推论3：a∥b => a、b确定α
若CD=2AB=2，EF⊥AB，则EF与CD所成的角等于_3_0_°_
3.设a、b是异面直线，则下列四个命题中：
①过a至少有一个平面平行于b； ②过a至少有一个平面垂直于b；
③至少有一条直线与a、b都垂直； ④至少有一个平面分别与a、b
正确的序号是_______①__③__④________
5.空间四点A，B，C，D每两点的距离都为a，动点P，Q PQ 2 a
(2)归谬——由反设及原命题的条件，经过严密的推理，导出矛盾；
【解题回顾】利用两平面交线的惟一性，证明诸点在两
、 平面(的2交)线成上是角证明：空间设诸点共a线的常b用是方法异. 面直线，经过空间任一点O，分别引
直线 a/a /，b/b /，则直线a、b所成的锐角(或直角)叫异面 【解题回顾】据此可思考，若有n条直线互相平行，且都与另一直线相交，欲证这n+1条直线共面该如何进行.

α
推论3 过两条平行线有且只有一个平 推论3 过两条平行线有且只有一个平 有且只有 面。
α
公理3 如果两个不重合平面有一个公 公理 共点， 共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 的公共直线。
应用： 应用： 判断多点是否共线
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点， 公理 如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 注意： 注意：
P ∈α ∩ β ⇒α ∩ βl且P ∈l =
1.以后说到两个平面，如不特 以后说到两个平面， 以后说到两个平面 别说明都是指两个不重合的平 面。
2.这是判定两平面相交以及 这是判定两平面相交以及 它们的交点共线的依据。 它们的交点共线的依据。
两个不重合的平面，只要它们有公共点， 两个不重合的平面，只要它们有公共点， 就是相交的位置关系，交集是一条直线， 相交的位置关系 它们 就是相交的位置关系，交集是一条直线， 叫做这两个平面的交线。 叫做这两个平面的交线。 交线
如：
β
α
平面α
D A B C
平面β
平面ABCD 平面BD 平面AC
表示两平面相交的画法
画两平面相交，当其中一个平面被另一个平面遮住时， 画两平面相交，当其中一个平面被另一个平面遮住时， 应把被遮住的部分画成虚线或不画。 应把被遮住的部分画成虚线或不画。 虚线
点与直线的位置关系
B• A•
a
点A 在直线 a 上，记作：A ∈ a
“只有”——唯一性 只有” 唯一性
公理2 过不在一条直线上的三点， 公理 过不在一条直线上的三点，有 且只有一个平面 且只有一个平面
这是确定平面的依据之一 3、公理的推论 、 推论1 过一条直线和直线外一点有且 推论 过一条直线和直线外一点有且 只有一个平面 一个平面。 只有一个平面。

平面解析几何在实际问题中的应用案例
物理学中的应用
在物理学中，许多概念和公式可以通过平面解析几何来描述和解 释，例如力学、电磁学和光学中的许多概念。
工程学中的应用
在工程学中，平面解析几何被广泛应用于机械设计、建筑设计、航 空航天等领域。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，平面解析几何是生成和处理二维图形的基础， 例如在游戏开发、动画制作和计算机视觉等领域的应用。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
平面与几何体的关系
总结词
平面是几何体的重要组成部分，它可以作为几何体的边界或 表面。
详细描述
在几何学中，许多常见的几何体都是由平面构成的。例如， 长方体的每个面都是一个平面，球体的表面也是一个平面。 此外，平面还可以用来定义其他几何体的形状和大小，例如 通过平面的交线来定义三维空间的形状。
CHAPTER 02
平面上的直线的方程
两点式方程
通过平面上两点的坐标，可以求出直 线的方程。
点斜式方程
已知直线上的一个点和直线的斜率， 可以求出直线的方程。
平面上的点与直线的位置关系
点在直线上
如果一个点的坐标满足直线的方程，则该点在直线上。
点在直线外
如果一个点的坐标不满足直线的方程，则该点在直线外。
CHAPTER 04
与线性代数的联系
线性代数提供了研究平面几何对象 （如向量、矩阵和线性变换）的工 具。
平面解析几何的发展历程与未来展望
发展历程
从早期的欧几里得几何到文艺复兴时 期的笛卡尔几何，再到现代的解析几 何，平面解析几何经历了漫长的发展 历程。
未来展望
随着数学和其他学科的发展，平面解 析几何将继续发展，与其他数学分支 的交叉将更加深入，新的研究方法和 视角也将不断涌现。

1.2.1平面的基本性质与推论 平面的基本性质与推论
中国人民大学附属中学
一．平面的基本性质： 平面的基本性质： 1．公理1： ．公理 ： ①文字语言：如果一条直线上的两点在 文字语言： 一个平面内， 一个平面内，那么这条直线上的所有点 都在这个平面内 ； ②图形语言： 图形语言： ③符号语言：A∈l；B∈l，A∈α，B∈α 符号语言： ∈ ； ∈ ， ∈ ， ∈
⇒ AB ⊂ α.
练习： 练习：
（2） l ⊂ α, A∈l ⇒ ）
A∈α （1） ） ⇒ AB ⊂α 。 B∈α
A∈α
。
公理1的作用有两个：（1）作为判断和证 公理 的作用有两个：（ ）作为判断和证 的作用有两个：（ 明直线是否在平面内的依据， 明直线是否在平面内的依据，即只需要看 的依据 直线上是否有两个点在平面内就可以了； 直线上是否有两个点在平面内就可以了；
可以用来检验某一个面是否为 （2）公理 可以用来检验某一个面是否为 ）公理1可以用来 平面，检验的方法为： 平面，检验的方法为：把一条直线在面内 旋转，固定两个点在面内后， 旋转，固定两个点在面内后，如果其他点 也在面内，则该面为平面。 也在面内，则该面为平面。
2．公理2： ．公理 ： 文字语言：经过不在同一条直线 不在同一条直线上的三 ①文字语言：经过不在同一条直线上的三 有且只有一个平面， 点，有且只有一个平面，也可以说成不共 线的三点确定一个平面。 确定一个平面 线的三点确定一个平面。 ②图形语言： 图形语言： 三点不共线， ③符号语言：A、B、C三点不共线，有且 符号语言： 、 、 三点不共线 只有一个平面α，使得A∈ ， ∈ ， 只有一个平面 ，使得 ∈α，B∈α， C∈α. ∈
（2）推论 ： ）推论3： 经过两条平行直线， 文字语言 :经过两条平行直线，有且只有一 经过两条平行直线 个平面. 个平面 图形语言： 图形语言： a，b是两条直线 是两条直线 符号语言： 符号语言： a//b a，b共面于平面 ，且α是惟一的 . ， 共面于平面 共面于平面α， 是惟一的

“共点”、“共线”、 “共面” 问题 １、理论依据：
(1)公理1： 判断或证明直线是否在平面内 确定两个平面的交线， (2)公理2： 判定两平面相交 （“点共线”，“线共 点”） (3)公理3, 推论 1、2、3: 确定平面 证点、线共面的依据， 也是作辅助面的依据 ２、反证法
点共面、线共面、三点共线、三线共点 问题的一般方法．
例、两个平面两两相交，有三条交线，若其中两
条相交于一点，证明第三条交线也过这一点．
证法：先证两条交线交于一点，再证第三条直线也过改点
已知：如图1-26，α∩β=a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，b∩c ＝p． 求证：p∈a． 证明：∵b∩c＝p， ∴p∈b． ∵β∩γ＝b， ∴p∈β． 同理，p∈α． 又∵α∩β=a， ∴个。
2个平面分空间有两种情况：
（1）两平面没有公共点时
（2）两平面有公共点时
两个平面把空间分成3或4个部分。
3个平面 个平面把空间分成4，6，7或8个部分。
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
求证：直线AB和CD既不相交也不平行.
A
反证法
D B C
小结
１、要证“点共面” 、“线共面”可 先由部分点、直线确定一平面，在证 其余点、直线也在此平面内， 即纳入法 ２、反证法的应用的意识
1．空间四点A、B、C、D共面但不共线，则下列 结论成立的是（ ） A．四点中必有三点共线． B．四点中有三点不共线． C．AB、BC、CD、DA四条直线中总有两条 平行． D．直线AB与CD必相交．
例2、如图：在四面体ABCD中，E,F分别
是AB,BC的中点，G,H分别在CD,AD上,且 DG:DC=DH:DA=1:m(m>2) 求证：直线EH与FG,BD相交于一点