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平面的基本性质教学目标：1,并能运用它解决点、线共面问题2,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题教学重点：平面基本性质的三条公理及其作用．教学难点：（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）确定两相交平面的交线．1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的=b A⊂aαα=∅α=Al β= 集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言． a α=∅或a A α=平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内图1 图2 图3图4公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面. 已知：直线l ，点A 是直线l 外一点.推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面例1 求证:三角形是平面图形已知：三角形ABC求证：三角形ABC 是平面图形例2 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B求证：直线,,AB BC CA 共面例3 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线例4 若l αβ=，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线课堂练习1：1 下面是一些命题的叙述语（A 、B 表示点，a 表示直线，α、β表示平面） A ．∵αα∈∈B A ,，∴α∈AB ． B ．∵βα∈∈a a ,，∴a =βα ． C ．∵α⊂∈a a A ,，∴A α∈． D ．∵α⊂∉a a A ,，∴α∉A ． 其中命题和叙述方法都正确的是（ ）1C2．下列推断中，错误的是（ ） A ．αα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,,B ．B B A A =⇒∈∈∈∈βαβαβα ,,,C ．αα∉⇒∈⊄A l A l ,D ．βα∈∈C B A C B A ,,,,,，且A 、B 、C 不共线βα,⇒重合3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”（1）空间三点可以确定一个平面 （ ） （2）两条直线可以确定一个平面 （ ） （3）两条相交直线可以确定一个平面 （ ） （4）一条直线和一个点可以确定一个平面 （ ） （5）三条平行直线可以确定三个平面 （ ） （6）两两相交的三条直线确定一个平面 （ ） （7）两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合 （ ） （8）若四点不共面，那么每三个点一定不共线 （ ）课堂练习2： 1．选择题（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ） （A ）三角形 （B ）菱形 （C ）梯形 （D ）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） （A ）一个 （B ）四个 （C ）六个 （D ）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要（4）若a ⊂ α，b ⊂ β，α∩β=c ，a ∩b =M ，则 （ ） （A ）M ∈c （B ）M ∉c （C ）M ∈α （D ）M ∈β2．已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.课后练习：11、给定四个命题：(1)一平面的面积可以等于100cm3；(2)平面是矩形或平行四边形形状；(3)铺得很平的一张白纸是一个平面；(4)20个平面重合在一起比一个平面厚20倍，其正确的有 ( )A.0B.2C.3D.42、满足下列条件，平面α∩平面β=AB，直线a⊂α，直线b⊂β且a∥AB，b∥AB的图形是 ( )3、两个平面能把空间分成几个部分 ( )A.2或3B.3或4C.3D. 2或44、三个平面把空间分成最多或最少几个部分 ( )A.8；4B.7；4C.8；6D.6；45、三条直线两两相交，经过这3条直线的平面有 ( )A.0个B.1个C.0或1个D.3个6、空间有四个点，如果其中任意三点都不在同一直线上，那么经过其中三个点的平面 ( )A.可能有3个，也可能有2个B.可能有3个，也可能有1个C.可能有4个，也可能有3个D.可能有4个，也可能有1个7、确定一个平面的条件是（）A、空间三点B、空间两条件直线C、一条直线和一点D、不过同一点且两两相交的三条直线8、下列命题中正确的是（）A、空间四点中有三点共线，则此四点必共面B、三个平面两两相交的三条交线必共点C、空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形D、平面a和平面b只有一个交点9、M、N、P、Q是空间不同的四点，下列命题中，错误的是（）A、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面B、若MP与NQ共面，则MQ与NP异面C、若MP=NQ，MN=PQ，则MQ=NPD、若MP^NQ，MN^PQ，则MQ^NP10、水平放置的DABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正DA1B1C1，则 DABC是（）A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、任意三角形11、a、b为异面直线，a上有5个点，b上有8个点，从这些点中选三个点确定一个平面，共能确定不同的平面数为_________（任意3点不共线）12、正方体的六个面把空间分成_______个部分二、填空题：7.(1)如果把图形比作一本打开的书，那么书内是向里还是向外 ;(2)αβ= ，AB α= ，AB与PQ .8.两两平行的三条直线最多可以确定个平面.9.直线AB、AD⊂α，直线CB、CD⊂β，点E∈AB，点F∈BC，点G∈CD，点H∈DA，若直线EH∩直线FG=M，则点M 在上.三、解答题：10.画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，再画出平面ACD1与平BDC1的交线，并且说明理由.11.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面.12、在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设A1C与平面ABC1D1交于点O，求证：B、O、D1三点共线。
平面及其基本性质教学目标：掌握平面的基本性质，主要是三个公理、三个推论及其应用.会用斜二测画法画水平放置的直观图；会证明共面、共点、共线问题；掌握反证法的应用；知道什么叫“空间四边形”.重点1.理解并会应用平面的基本性质,掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.两条异面直线所成的角及距离，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.基础扫描1．分别与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 2．下列命题中真命题的序号为（1）四边形是平面图形（2）有三个公共点的两个平面重合（3）两两相交的三条直线必在同一平面内（4）三角形必是平面图形3．角α与β的两边分别平行，当α70=︒时， β=4．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l.A 平行 .B 相交 .C 垂直 .D 互为异面直线 解题平台例1如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别在BC 、CD 上，且BG ：GC =DH ：HC =1：2 （1）求证：E 、F 、G 、H 四点共面。
（2）设EG 与HF 交于点P ，求证：P 、A 、C 三点共线。
A CD BEF GH例2若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则下列正确的是.A 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 .B 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直 .C 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交 .D 过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面例3正方体1111ABCD A B C D 中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是小结A BCD1A1B1C1D PQ R课后练习1．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有 个。
2．在正方体ABCD A B C D -''''中，过对角线BD '的一个平面交AA '于E ，交CC '于F ，则① 四边形BFD E '一定是平行四边形; ② 四边形BFD E '有可能是正方形③ 四边形BFD E '在底面ABCD 内的投影一定是正方形 ④ 四边形BFD E '有可能垂直于平面BB D '以上结论正确的为 (写出所有正确结论的编号） 3．对两条不相交的空间直线a 与b,必存在平面α,使得.A αα⊂⊂b a , .B b a ,α⊂∥α .C αα⊥⊥b a ,.D αα⊥⊂b a ,4．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的 条件5．空间四边形ABCD 中，AC 、BD 为对角线，E 、F 为AB 、BC 的中点，G 、H 分别在CD 、DA 上，且CG ：GD=AH ：HD=λ（λ>0） (1)求证:点E 、F 、G 、H 共面；（2）若λ=2，求证：直线FG 、EH 、BD 相交于一点6．已知△ABC 在平面α外，三边AB 、BC 、CA 分别与平面α交于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 共线.7．三个平面两两相交，得到三条交线，求证：（1）若其中两条交于一点P ，则P 也在第三条交线上； （2）若其中两条平行，则这三条交线两两平行。
资源信息表14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.1D 1C 1B 1A DCBA FE[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面. [说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面 的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.αFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。
