浅论闭区间上连续函数的性质
中山大学数学与应用数学 04级数统基地班 黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨,从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性,最值定理,介值定理和一致连续性定理,并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比.
关键字:闭区间 连续函数 实数的连续性和闭区间的紧致性
实数的连续性和闭区间的紧致性,使闭区间上的连续函数有丰富的性质,而且可由实数的各等价命题推出.本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证.在论证过程中,严格地不出现微分学和积分学的内容,只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手.
从直观上理解,连续函数的图像是一条连续不断的曲线,这对于一般初等函数来说都是成立的.而闭区间[]b a ,上的连续函数()x f 的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点()()()()()()()+∞<<∞-b f a f b f b a f a ,,,,上,形成一条封闭的曲线,即与直线0,,===y b x a x 形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确,但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质,某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的,的确存在一些连续函数,其图像并不能作出来.直观认识,在科学里面只是充当一个开路先锋的角色,到最后,一定要用严格的推理来证明.
先看何谓闭区间上的连续函数.连续的定义首先是点连续的定义.
.)()(),[,0,0,)(.)()(],(,0,0,)(.)()(),(,0,0,)(),()(lim ,)(00000000000000
εδδεεδδεεδδε<-+∈>∃>∀=<--∈>∃>∀=<-∈>∃>∀==→x f x f x x x x x x f x f x f x x x x x x f x f x f x U x x x f x f x f x x x f x x 时有当如果右连续在称时有当如果左连续在称时有当附近有定义在即如果连续在称
若函数该点的极限值不等于函数值,经验告诉我们函数在该点必定断开,连
续的定义与我们的直观认识相符合.而若函数在],[b a 连续,是指函数在区间的每点都连续,在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质,并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.
1.闭区间连续函数在其定义域上有界.
闭区间连续函数的图像是封闭的连续不断的曲线,可以想象这条曲线不可能纵向(y 轴方向)无限延伸,而开区间上的连续函数可以在端点处无限延伸.
若函数在某点有极限,则在某点附近有界,而连续函数每点的极限都存在,因而在每点的附近都有界.只要用有限覆盖定理,就可以知道只需要有限个有界的区间就可以把函数的定义域覆盖.因而函数在其定义域上也是有界的.
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证完上有界在于是则有取使得由有限覆盖定理知的一个覆盖是又时当故证明上有界在的连续函数现在来证明定义于b a x f b a x M x f M M M M x U b a n i E x U b a b a x x U E M M x f b a x U x x f x f x b a C x f b a x f b a xi x x n i x i x i x x x x x x x i i ∈∀≤=⊂=∈∃∈=>≤⋂∈∃=∀⇒∈=→ δδδδδ
若命题条件改为开区间,有限覆盖定理的条件不充分,该命题的证明便进行不下去.由此可见闭区间的条件是必须的.而连续的条件可以减弱,令每一点的极限都存在,可以同样推出函数在闭区间上有界.
闭区间上的连续函数有界,由确界定理知道该函数必有上下确界.由此可以联想到闭区间上连续函数总能取得最大最小值,分别对应于上下确界.
2.闭区间连续函数必定在定义域上取得最大最小值.
已经证明了上下确界的存在.只需要证明函数能够取到上下确界的值. .
..
)()(,)(,,)(1).(],,[},{],,[,)(1,1,
,)(:证完最小值情况证明类似的连续性可得定理及由又有取极限两边令故有使存在子列又使都存在对由确界的性质可知的上确界为设函数证明M c f x f Heine c
x M x f k M x f n M k b a c x x b a x M x f n
M x n M x f k k k k k n n n k n n n n n n =→→+∞→≤<-+∞→∈→∈≤<-=
ε
分析条件在证明中的作用.由函数的连续性知)()(lim c f x f c
x =→,这是连续函数的定义,也是一条重要的性质,求初等函数极限值采用直接代入函数值的方法就是以此为依据的.而闭区间的作用是令子列的极限值限制在闭区间],[b a 里面.因为在b x a nk <<两边取极限,可能得到).,(,b a c b c a c ∉==总之或
即使是一个有界的函数,只要不是闭区间上的连续函数,都不能保证能在定义域上取得最值.可以想象将闭区间连续函数的图像的最大值点向下移动一段距
离,得到一个有界的不连续函数0)( )( )()( )()(>⎩
⎨⎧=-≠=εεc x c f c x x f x g 的图像(不妨设)(x f 有且只有一个最大值点),那么这个函数在定义域内就不可能取得最大值.而一个定义在开区间),(b a 且)(lim )(lim x f x f b
x a x -+→→与存在单调连续函数,如)10()(2<<=x x x h ,虽然在定义域上有界,但都不能够取得最值.
3.连续函数介值定理.
这是一条重要的性质.连续函数在区间内必能取得介于端点函数值的值,称之为介值.从直观上看来,这是显然的.一条连续变化的曲线必会在某个时刻经过介值点.若连续函数的取值可正可负,那么此函数必定存在零点,称之为零点定理.而介值定理是零点定理的直接推论,只需在原函数加减一个常数即可.下面给出
