Material Sciences 材料科学, 2018, 8(8), 871-877
Published Online August 2018 in Hans. https://www.doczj.com/doc/e12342654.html,/journal/ms
https://https://www.doczj.com/doc/e12342654.html,/10.12677/ms.2018.88103
A New Method of Accurate Drawing
Stereographic Projection for Cubic System:
The Plane Geometry Method
Quncheng Fan1*, Jiachen Kang2
1School of Materials Science and Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an Shaanxi
2School of Electronic and Information Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an Shaanxi
Received: Jul. 22nd, 2018; accepted: Aug. 16th, 2018; published: Aug. 23rd, 2018
Abstract
A new method, the plane geometry method, is developed for accurate drawing stereographic pro-
jection of cubic system. The principle and method are introduced, and the new method is used to accurately draw a stereographic projection with the higher indexes for cubic system, and a stan-dard projection of cubic system. The plane geometry method provides the following advantages over existing methods: neither calculating the angles nor measuring the angles with Wulff Net.
Keywords
Plane Geometry Method, Stereographic Projection, Cubic System
精确绘制立方晶系极射
赤面投影图的新方法：
平面几何法
范群成1*，康嘉晨2
1西安交通大学材料科学与工程学院，陕西西安
2西安交通大学电子与信息工程学院，陕西西安
收稿日期：2018年7月22日；录用日期：2018年8月16日；发布日期：2018年8月23日
*通讯作者。
范群成，康嘉晨
摘
要
本文提出了精确绘制立方晶系极射赤面投影图的新方法：平面几何法。介绍了该法的原理及方法，并用该法精确绘制了含有较高指数的立方晶系极射赤面投影图、立方晶系标准投影图。与传统方法相比，新方法既不需要角度的计算，也不需要用吴氏网进行角度的测量，简单方便，绘图精确。
关键词
平面几何法，极射赤面投影图，立方晶系
Copyright ? 2018 by authors and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). https://www.doczj.com/doc/e12342654.html,/licenses/by/4.0/
1. 引言
极射赤面投影图是将三维空间中晶向及晶面间的相对位向关系描绘在平面中的平面投影图。极射赤面投影图是晶体塑性变形研究及织构研究的重要工具，其中最常见的是立方晶系的极射赤面投影图[1] [2] [3] [4]。用传统方法绘制立方晶系的极射赤面投影图时，虽然并不需要先做球面投影，但需要进行各晶面间夹角的计算，并用吴氏网在图中测量出这些角度，从而确定投影点的位置[1]。本文提出用平面几何作图法精确绘制立方晶系极射赤面投影图，运用此法精确绘制了含有较高指数的立方晶系极射赤面投影图、立方晶系标准投影图。此法的运用效果表明，在不先做球面投影的情况下，既不需要进行夹角计算，也不需要用吴氏网进行角度测量。
2. 原理与方法
在进行极射赤面投影时，晶向和晶面都通过参考球的球心。晶向与参考球面的交点在投影面内的投影是一个点，大多数情况下，晶面与参考球面的交线在投影面内的投影是一段大圆弧线，圆弧的弦是基圆的直径。图1所示是一个ABC 晶面的极射赤面投影，如果将O 点定为[001]晶向的投影，E 点定为[100] 晶向的投影，则A 点就是[010]晶向的投影。设晶面ABC 与(010)面的交线OB 的指数为[]110u w ，则B 点在投影面内的投影D 点的指数也是[]110u w 。按传统方法，在不真正做投影的情况下，要确定[]110u w 在投影面的确切位置，需要先计算[]110u w 与[001]之间的夹角，再利用吴氏网在OE 线上从O 点向右度量出这个角度，从而确定为D 点。下面将要介绍一种新方法，同样不真正做投影，但既不需要先计算[]110u w 与[001]之间的夹角，也不需要利用吴氏网在OE 线上从O 点向右度量出这个角度。
在图1中，连接C 点和D 并延长，交基圆于F 点。 在两个直角三角形ΔOSD 和ΔOCD 中，
∵ OS = OC ，OD 边共用，∠DOS = ∠DOC = 90?，
根据三角形全等定理，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等， ∴ ΔOSD ≌ ΔOCD , ∠OSD = ∠OCD 。
由于同弧的圆心角2倍于圆周角，∠GOB = 2∠OSD ，∠HOF = 2∠OCD ， ∴ ∠GOB = ∠HOF 。
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范群成，康嘉晨
Figure 1. Schematic illustration showing the principle of the plane geometry method used to accurately draw the stero-graphic projection of cubic system
图1. 精确绘制立方晶系极射赤面投影图的原理图
∵ OB = OF ，
∴ ΔGOB ≌ ΔHOF , GO = HO 。
晶向OB(指数为110u w )在三个晶轴上的投影值分别为GB 、0、GO ，晶向OF 在三个晶轴上的投影值分别为HF 、HO 、0，而GB = HF ，GO = HO ，故，F 点的指数应当为110u w ，也就是说，将D 点指数中的v 值与w 值换位就是F 点的指数。反过来，若已知F 点的指数，将其v 值与w 值换位就是D 点的指数。
综上所述，绘制立方晶系(001)极射赤面投影图时，先在基圆的AE 四分之一圆弧段用平面几何作图法确定指数为110u w 的F 点，连接F 点和C 点，与OE 相交于D 点，则D 点的指数就是110u w 。连接A 、D 两点，并作直线段AD 的垂直平分线，它与直线OW 或其延长线的交点就是D 点所在大圆弧线的圆心，由此可绘制出ADC 投影线。
文献[4]介绍了用计算机绘制标准极图的原理，并给出了用C 语言编写的计算和画出以任意晶系任意晶面的标准投影的程序。基于本文的上述原理，用计算机来绘制立方晶系极射赤面投影图也是有可能的，感兴趣的读者可以进行尝试。
3. 平面几何法的运用举例
3.1. 立方晶系(001)极射赤面投影图的精确绘制
如图2所示，在001基圆上按右手坐标系确定100、010、100、010四个点。设基圆半径为1，用平面几何作图法在基圆上得到120、110、210、310、等投影点。连接010和120两点，在001-100线上得到102投影点，同样方法还可得到101、
201、301各投影点。图3是平面几何作图法在投影图上所得到的主要投影点。
下面绘制由图3中各投影点所确定的大圆弧线。
范群成，康嘉晨
Figure 2. Schematic illustration showing the positions of the projection points in the stereographic projection being deter-mined by the plane geometry method
图2. 用平面几何法确定极射赤面投影图中投影点的位置
Figure 3. The positions of the projection points in the stereographic projection 图3. 极射赤面投影图中各投影点的位置
范群成，康嘉晨
Figure 4. The drawing of projection lines by the plane geometry method 图4. 用平面几何法绘制投影线
以图4中201点为例。连接201点与010点，作010-201直线段的垂直平分线，交100-001线于A 点，以A 点为圆心、A -010线段为半径画弧，即得投影大圆弧线010-201-010。依照此法，可以得到其它的投影大圆弧线，如图5所示。
图5中投影线与投影线的交点指数的确定，可按照如下原理进行：两个投影线的交点，是这两个投影线所代表的两个晶面的交线，可由这两个晶面的法线的差乘求得，而晶面的法线可由该晶面内任意两个晶向的差乘求得。
以100-011-100与010-101-010两个大圆弧线的交点为例。
011100011×= (1) 101010101×= (2) 101011111×= (3)
故，这两个大圆弧线的交点为111。
3.2. 立方晶系(001)标准投影图的精确绘制
所谓立方晶系标准投影图，是指仅将低指数晶向(<100>, <110>, <111>)和晶面({100}, {110})进行投影，图6是运用平面几何法精确绘制的立方晶系(001)标准投影图。其实，在绘制图中四条大圆弧线时，不必先确定它们各自的圆心，因为其圆心就是图中的100、010、010、100。以010-101-0
10大圆弧为例，只要证明图7中两直线段WD WA =，即可证明这一论断。
设基圆半径为1
，则WA =。两直角三角形DOC 和FHC 相似，1OC =，FH
HO ==
，故，
DO
FH HC =
，)(
)
11DO ，所以，
范群成，康嘉晨
Figure 5. The (001) stereographic projection of cubic system being drawn by the plane geometry method 图5. 用平面几何法精确绘制的立方晶系(001)极射赤面投影图
Figure 6. The (001) standard projection of cubic system being drawn by the plane geometry method 图6. 用平面几何法绘制的立方晶系(001)标准投影图
范群成，康嘉晨
Figure 7. The schematic illustration for proving the point W being the center of the arc ADC 图7. 证明W 点是圆弧ADC 的圆心的示意图
11WD WO OD WA =+=== (4)
也就是说，不必先确定101、011、101、011，以及圆心。直接分别以100、010、100和010为圆心，以100-010直线段为半径画圆弧，就能得到这四条大圆弧线，101、011、101、011四个投影点自然也就随之而得到了。
4. 结论
基于简单的平面几何原理，用新的方法精确绘制了含有较高指数的立方晶系极射赤面投影图、立方晶系标准投影图。新方法的应用效果表明，该方法既不需要进行夹角的计算，也不需要用吴氏网来测定这些夹角，简单方便，绘图精确。
参考文献
[1] 余永宁, 主编. 材料科学基础[M]. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 2012.
[2] 潘金生, 仝健民, 田民波, 著. 材料科学基础[M]. 修订版, 北京: 清华大学出版社, 2011. [3] 胡赓祥, 蔡珣, 戎咏华, 编著. 材料科学基础[M]. 第二版. 上海: 上海交通大学出版社, 2006. [4] 余永宁, 编. 金属学原理[M]. 北京: 冶金工业出版社, 2005.
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高中数学2投影画与射影几何 试题 2019.09 1,在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bcosB ＋ccosC ＝acosA ， 试判断△ABC 的形状． 2,方程 22 141x y t t -=--表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能是圆。 ②若曲线C 为椭圆，则有1 5,已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，⊥ PD平面ABCD，且PD=6，M、N分别是PB、AB的中点。 MN⊥ （1）求证：CD （2）求三棱锥P-DMN的体积 （3）求二面角M-DN-C的平面角的正切值 6,分别在已知两个平面内的两条直线的位置关系是（） A．相交或异面 B．平行或相交 C．异面或平行 D．非以上答案 7,有下列命题：①平行于同一条直线的两条直线平行；②垂直于同一条直线的两条直线平行；③平行于同一条直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行，其中，正确的命题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8,把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，AB与CD所成的角等于（） 一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。 当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上 的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。 7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。 （二）平面的赤平投影 平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。 1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。 2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况： ⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之 南京师范大学 毕业设计（论文） （2009 届） 题目：漫谈射影几何的几种子几何及其关系 学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 姓名：刘峰 学号：0 6 0 5 0 2 1 0 指导教师：杨明升 南京师范大学教务处制 漫谈射影几何的几种子几何及其关系 刘峰 数学与应用数学（师范）06050210 一．摘要 射影几何学是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换不变的性质. 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论述了同一射影下，一个物体的不同截景所形成的几何图形的共同性质，以及同一物体在不同射影下的几何图形的共同性质，一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊地位，通过它可以把其他一些几何联系起来. 概括的说，射影几何学是几何学的一个重要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的科学. 这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美的数学分支之一. 二．关键词 射影几何，摄影仿射几何，摄影欧氏几何，仿射几何，欧氏几何，射影变换，仿射变换，正交变换，射影变换群，仿射变换群，正交变换群，克莱因变换群. 三．射影几何（projective geometry）的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前. 这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件. 这门几何学就是射影几何学. 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影. 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形. 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来. 在这个过程中，被描绘下来 极射赤平投影原理 1、面和线的赤平投影 1-1投影原理 一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。本教材采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。 图2为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP是水平的南北轴线，BFDP 为过球心的水平面，即赤平面。 图2 平面的投影图3 直线的投影 平面的投影方法（图2）设一平面走向南北、向东倾斜、倾角40°，若此平面过球心，则其与下半球面相交为大圆弧PGF，以Ａ点为发射点，PGF弧在赤平面上的投影为PHF弧。PHF弧向东凸出，代表平面向东倾斜、走向南北，DH之长短代表平面的倾角。 直线的投影方法（图3）设一直线向东倾伏、倾伏角40°，此线交下半球面于G点。以A为发射点，球面上的G点在赤平面上的投影为H。HD的长短代表直线的倾伏角、D的方位角即直线的倾伏向。同理，一条直线向南西倾伏、倾伏角20°，此线交下半球面于J点，其赤平投影为K。 为了准确、迅速地作图或量度方向，可采用投影网。常用的有吴尔福网（简称吴氏网，也称等角距网）（图4A）和旋密特网（等面积网）（图4B），以及据其改换形式而成的极等角度网（图4C）和极等面积网（赖特网）（图4D）。吴尔福网与施密特网基本特点相同，下面以吴尔福网为例介绍投影网。 1-2吴尔福投影网（图4Ａ） 1-2-1结构要素 基圆即赤平面与球面的交线，是网的边缘大圆。由正北顺时针为0°－360°，每小格2°，表示方位角，如走向、倾向、倾伏向等。 两个直径分别为南北走向和东西走向直立平面的投影。自圆心→基圆为90°→0°，每小格2°，表示倾角、倾伏角。 经线大圆是通过球心的一系列走向南北、向东或向西倾斜的平面的投影，自南北直径向基圆代表倾角由陡到缓的倾斜平面。 纬线小圆是一系列不通过球心的东西走向的直立平面的投影。它们将南北向直径、经线大圆和基圆等分，每小格2°。 1-2-2 操作 将透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，描绘基圆及“＋”字中心，固定网心，使透明纸能旋转。然后在透明纸上标上N、E、S、W。 射影几何的诞生与发展 一从透视学到射影几何 1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题： （1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ （2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？ 2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。 3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。 4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。 5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线 6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。 7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点： 1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状 2）变换与变换不变性 3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量 二射影几何的繁荣 1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到 画法几何部分知识点： 制图的基本规定和基本技能 一、尺寸标注 1. 尺寸线 2. 尺寸界限 3. 尺寸起止符 4. 几何作图 1. 平行线。 2. 垂直线。 3. 平分线段。 4. 等分线段。 5. 分线段成定比。 6. 线段的斜度和锥度。 7. 正五、六、七边形 8. 圆弧的连接 直线与圆弧连接。 直线与两圆弧连接。 圆弧与两直线连接。圆弧与直线及圆弧连接。 圆弧与两圆弧连接 投影理论及点的投影 一、投影(projection)概念 1. 在日常生活中，常见到投影的现象。例如，在电灯与桌面间放一块三角板，则在桌面上会出现三角板 的影子。在阳光的照射下，地面上会出现人、树，以及各种建筑物的影子。这些现象就是投影的现象。 2. 投影中心(center of projection ) ------ 点光源S。 3. 投射线(投影线)一一投下影子的光线。从投影中心发出的射线。 4. 投影面(projection plane) 获得投影的平面。 5. 投影(projection )——通过投射线将物体投射到投影面上所得到的图形。 6. 投影法(projection method) -------- 由投影中心或投射线把物体投射到投影面上，从而得 出其投影的方法。 7. 投影法有中心投影(central projection )和平行投影(paralell projection )两种。 二、平行投影的基本特性 1. 聚积性 2. 平行性 3. 等比性 4. 从属性 5. 实形性(度量性或可量性) 6. 类似性 三、工程上常用的几种投影图 1. 多面正投影图： 优点：作图方便，便于度量，应用最广。 缺点：直观性不强，缺乏投影知识的人不易看懂。 2. 轴测投影图： 平行投影的一种。只需一个投影面，同时反映空间形体的三维。 优点：直观性强。在一定条件下也能直接度量。 缺点：绘制较费时。表示物体形状不完全。一般作正投影图的辅助图样。 3. 透视投影图： 优点：图形十分逼真。 缺点：不能度量，绘制复杂。 4. 标高投影图: 浅析射影几何及其应用 湖北省黄冈中学 一、概述 射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何，但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究，对以下专题进行了研究： 1、射影几何的基本概念及交比不变性 2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一） 3、对偶原理 4、二次曲线在射影几何上的应用 5、布列安桑定理和帕斯卡定理 6、二次曲线蝴蝶定理 二、研究过程 1、射影几何的基本概念及交比不变性 射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。 射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。此外，射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。 在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交的。但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理： 1、过两点有且只有一条直线 2、两条直线有且只有一个交点 这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。这两条公 画法几何与机械制图说课稿点的投影说课稿画法几何与机械制图说课稿点的投影说课 稿 《点的投影》 尊敬的各位领导评委老师，大家好，我是来自**，今天说课的题目是《点的投影》。我说课分为4个大部分， 第一:说教材 《点的投影》是《画法几何与机械制图》这本教材里面的第二章第一节所要学习的知识。《画法几何与机械制图》是机电专业中重要的一门专业基础课程，但是因为学生的基础差，对空间想象力的建立有一定的困难，而学生一但无法跨越由“空间”到“面”的表达方式，将无法完成本课程的学习，对学生的将来就业质量会有很大的影响。这就要求我们首先就得帮助同学们跨越这个障碍。 我们知道，一个无论是多么复杂的形体，它的基本图形元素无非就是点线 面，而这三个基本图形元素中点是最简单的，而我们想要学生跨越这个由“空间”到“面”的表达方式，那么我们首先就要教会他们最简单最基本的空间点是如何从空间转化到面也就是点的投影这块着手，只有这样，他们才有信心才能从中领略《画法几何与机械制图》这门课程的乐趣，这样也就提高他们学习的积极性、主动性，为今后直线的投影、面的投影等的学习打下良好的基础。 二、确立目标，分析教材、分析学生确定重、难点 确立目标: 那么，根据教学大纲的教学要求，《点的投影》这堂课的目标就是要求学生掌握点的投影规律。只要掌握点的投影规律，学生以后才可以轻松地把空间点转化为 了面的表示方式，才可以轻松解决已知两个投影面上的投影要求作出第三个投影面上的投影的问题，才可以轻松地由平面点想象出空间点等一系列问题。 分析教材(确定重点): 通过对教材的分析我把本堂课的重点内容定义为点的投影标识以及点的投影规律。点的标识重要，是因为，这个是《画法几何与机械制图》里面的公约，俗语都说无规矩不成方圆，如果我们这个公约都搞混了的话，那我们就没有办法成就“方圆”了，也就是没有办法利用这个“规矩”去帮助我们顺利完成本课程的学习了。而点的投影规律是我们能够顺利完成由空间到面表达转化的桥梁，所以也当然为重点了。 分析学生(确定难点): 中职校的学生只是在初中的时候接触过一些简单的几何课程，设计的空间想象并不多，空间想象能力非常有限，所以这堂课的难点就在于空间与平面的互换上。 三:说教法(教学过程) 导入技能: 首先说明学习本节课的难易程度以及目的，增加了学生的自信心的同时也能引起学生的重视，使得学生注意力开始集中起来。 其次，进入本节课的内容学习，首先是强调本节课中经常提到的点的有关注意事项。这样可以避免一些同学走入误区。 接着开始学习新的概念——三面投影体系。通过在上节课所学习的两面投影体系的基础上画图讲解三面投影体系各面的标识以及三面投影体系的特点。这样的讲解同学们就可以很直观的认识到了三面投影体系与两面投影体系的区别。 将空间位置上的一点置于三面投影体系中，在这个时候引导学生思考练习:运用之前学习过的平行投影中的正投影做出这个空间点在三个面上的投影。(学生上讲台做) 射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为目标。帕斯卡接受了这些建议。后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。 不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。 射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列。他是画法几何的创始人蒙日的学生。蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被长期忽视了，前人的许多工作他们不了解，不得不重新再做。 1822年，彭赛列发表了射影几何的第一部系统著作。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。稍后，施泰纳研究了利用简单图形产生较复杂图形的方法，线素二次曲线概念也是他引进的。为了摆脱坐标系对度量概念的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度概念。由于忽视了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。 另—方面，运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。他还引进了线坐 一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 ? 二、极射赤平投影的基本原理 (一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括: 1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。 2.球面:投影球的表面称为球面。 3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。 ５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。 6．极射点：投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P）和下极射点(F）。由上极射点(P)把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上 极射赤平投影基本作图方法 §1 极射赤平投影的基本原理 一、投影要素 1、投影球—以任意长为半径的球，球面即球表面 2、赤平面—过投影球球心的水平面 3、基圆—赤平面与球面相交的大圆，或称赤平大圆 凡过球心的平面与球面相交的大圆，统称为大圆，不过球心的一球面与球面相交所成的圆统称小圆。 4、极射点—球上两极发射点，分上半球投影和下球投影。 二、平面和直线的投影的解析 （一）平面投影 1、过球心的平面投影 任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面等），必然于球面相交成球面大圆，球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆的赤平投影，简称大圆弧。 1）直立大圆（平面）——为基圆直径 2）水平大圆（平面）——为基圆本身 3）倾斜大圆（平面）——以基圆直径为弧的大圆弧 性质：球面大圆投影后在赤平面上仍为一个圆。 2、不过球心的平面投影 不过球心的平面与球面相交成直径小于球直径的小圆、球面小圆投影仍为一个小圆。 1）直立小圆（平面）——部分为基圆内一条弧，部位为基圆外一条弧 2）水平小圆（平面）——为基圆的同心圆 3）倾斜小圆（平面） ①全部位于圆基内的小圆 ②部位于基圆内，部分在基圆外 ③全部在基圆外 性质：1）球面大圆或球面小圆投影在赤平面仍为一个圆 2）半径角距相等的球面小圆（即面积相等的小圆），其投影小圆面积不等，近基圆圆心处，远离圆在大。 3）任何过极射点（P）的球面大圆或小圆其赤平投影均为一条直线。 4）球面大圆或小圆在赤平面上的投影圆的圆心（R’）与作图圆心（C）是不重合的；只有水平球面大圆和水平球面小圆投影后，投影圆心（R’）作图圆心（C）与基圆的圆心O点重合，并且投影圆的圆心（R’）与基圆圆心（O）愈远，R’与C分离愈大。 （二）直线投影 过球心的直线无限延伸心交于球面两点，称极点。 1、铅直线投影点为基圆圆心 2、水平线投影点为基圆直径的两个端点 3、倾斜线股影点，一个在基圆内，另一个在基圆外，称对距点，其角距为180° 三、投影网：吴尔福网和施密特网 画法几何复习题及答案 一、填空题（1Ｘ30＝30分） 1、投影法分中心投影和平行投影两大类。 2、在点的三面投影图中，aax反映点A到 V 面的距离，a’az反映点A到 W 面的距离。 3、绘制机械图样时采用的比例，为图样机件要素的线性尺寸与实际机件相应要素的线性之比。 4、正垂面上的圆在V面上的投影为直线，在H面上的投影形状为椭圆。 5、空间两直线的相对位置可分为平行、相交、交叉和垂直四种。 6、同一机件如采用不同的比例画出图样，则其图形大小不同（相同，不同），但图上所标注的尺寸数值是一样的（一样的，不一样的）。 7、图形是圆、大于半圆注直径尺寸；图形是半圆、小于半圆注半径尺寸。 8、表示回转面在投射方向上可见、不可见的分界线，称为转向轮廓线。 9、两等径圆柱相贯，其相贯线形状为椭圆。 10、组合体尺寸种类分为定形尺寸、定位尺寸和总体尺寸。 11、用于普通连接的螺栓与被连接件的光孔间是否属于配合关系否。 12、圆锥销GB117-86 A10×30代号中的“10”是指销的小端直径。 13、两标准圆柱齿轮啮合时，其两节圆应相切。 14、含有标准结构要素的零件，是否一定属于标准件不一定。 15、已知双线螺纹，导程Ｐw＝10，其螺距Ｐ＝ 5 。 16、已知标准直齿圆柱齿轮m＝３，z=20，其齿顶圆直径d ＝ 66 。 a 17、Φ50f７代号中的“f７”是轴的公差带代号，其中“f”表示基本偏差代号。 18、多面正投影图是工程中应用最广泛的一种图示方法。 19、建筑剖面图的剖切位置应选择在能反映内部构造比较复杂和典型的的部位， 并应通过门窗洞。 20、点的三面投影规律是：①点的正面投影与点的水平投影的连线垂直于OX轴。②点的正面投影与点的侧面投影的连线垂直于OZ轴。③点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。 21、在三投影面体系中直线与投影面的相对位置可分一般位置直线、投影面平行线和_ 投影面垂直线。 22、空间两直线互相平行，则它们的同面投影也一定平行。 高考数学2投影画与射影几何专题1 2020.03 1,通过椭圆22 143x y +=的焦点且垂直于x 轴的直线l 被该椭圆截得的弦长 等于（ ） A. 23 B. 3 C. 3 D. 6 2,抛物线过直线 0x y += 与圆 22 40x y y ++= 的交点，且关于y 轴对称， 则此抛物线的方程为 . 3,过点A （4，8）且与点B （1，2）距离为3的直线方程为 . 4,在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一 个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：.2 22b a c += 设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O-LMN ，如果用321,,s s s 表示三个侧面面积，4s 表示截面面积，那么你类比得到的结论是 . 5,分别在已知两个平面内的两条直线的位置关系是（ ） A ．相交或异面 B ．平行或相交 C ．异面或平行 D ．非以上答案 6,点（4，0）关于直线54210x y ++=的对称点的坐标是（ ） A. （－6，8） B. （－8，6） C. （6，8） D. （－6，－8） 7,与定圆2222()()4()x a y b a b -+-=+及 2222 ()()4()x a y b a b +++=+都相切且半径为22a b +的圆有且仅有（ ）个 A. 2 B. 3 C. 5 D. 8,已知定点 A （0，6）、B （0，3），点C 为x 轴正半轴上的点，当∠ACB 最大时，求点C 的坐标。 9,已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为4的正方形，⊥PD 平面ABCD ，且PD=6，M 、N 分别是PB 、AB 的中点。 （1）求证：CD MN ⊥ （2）求三棱锥P-DMN 的体积 （3）求二面角M-DN-C 的平面角的正切值 10,曲线 1xy x y +=+ 所围成图形的面积等于（ ） A. 4 B. 1 C. 2 D. π 11,平面直角坐标系有点)cos ,1(x P ，)1,(cos x Q ， ∈x [ 4, 4π π- ]； （1）求向量和OQ 的夹角θ的余弦用x 表示的函数)(x f ； （2）求θ的最值。 12,如图所示，在正方体AC 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且始终保持1BD AP ⊥，则动点P 的轨迹是 。 位置几何──射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 射影几何的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样 就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家──笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影 关于画法几何中换面法的初步探讨摘要：换面法是画法几何中最重要的概念之一，也是很重要的解题工具。解决一些画法几何问题采用换面法非常简便。本文对换面法做了简单介绍并，且就学习中常见的换面法问题做了一些初步剖析。 关键词：换面法、夹角、实形、交线。 一般位置的平面或直线，在任何投影面上都不反映平面或直线的实形、实长。而与投影面平行时，却能真实地反映它们原来的形状和长度。由此得到启示，只要设法将空间几何元素相对于投影面处于特殊位置，就可方便地求解一般位置几何元素度量或定位问题。这时我们假设空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面代替原来的投影面，使几何元素在新投影面上的投影对于解题最为简便，这种方法称为变换投影面法，简称换面法。 换面法的核心理论就是把空间几何问题转化为平面几何问题，特别是解决复杂的空间几何问题作用尤为突出。换面法的新投影面选择必须符合两个基本条件：新投影面必须与空间几何元素处于有利于解题的位置和新投影面必须垂直于一个不变的投影面。只有把握这两个核心来剖析问题才能解决问题。 1、换面法求空间一般位置平面的实形 一般教材都使用换面法空间一般位置平面的实形, 如图 1 所示, 求正五棱柱被正垂面P v 切割后的截面的实形1121314151第一步作直线X , 平行于正垂面在主投影面上的投影线P v ; 第二步分别过1′2′3′4′5′作直线x1的垂直线并延长, 在延长线上画出俯视图投影点12 3 4 5 到主视图底边的各自等高线得到11 21 31 41 51 , 即可。 用换面法进行解题不仅需要研究几何元素之间的相对关系和这些元素与投影面之间的相对位置, 更重要的是研究如何选择新投影面以及几何元素在新投影面体系及原投影体系中投影之间的关系, 建立解题的空间几何模型, 拟定解题方法和步骤, 这都需要对空间几何关系以及这些关系在投影中的反映有更深人的分析和理解, 而分析和理解能力的提高建立在学习大量例题和完成大量作业的基础上, 所以需要大量的课时来完成。 2、求一般位置平面对投影面的夹角 方法: 将一般位置平面变换成投影面的垂直面, 如图 2 。 作图方式分二步: ( 1) 在平面内作投影面平行线, 如求a 换V 面作水平线; 求β, 换H 面作正平线; 求γ在>体系中换V 面, 作侧平线, 图为求β, 换H 面作正平线A D 。(2 ) 使新的投影轴X1 , 轴垂直于a’b′, 再将各点变换, 得到新的投影积聚为一直线b1 a1 c1, 则此直线与X1轴的夹角即为平面与V 面的倾角β。 圆锥曲线与射影几何 射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理和结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。 例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线12 2=-y x 的左支上，A D ≠,直线 CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直 线2 1= x 上。 如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。 我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据和特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成： 有一点 A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于 B , C , D , E 。连 BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。 又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连 BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。 D 证明： 对 C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线, 同理P ，Q ，N 三点共线 所以 P ，Q ，M ，N 四点共线。 又因为 BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A 的极线，即 PQ 是A 的极线。 回到原图，由极线的定义与性质得 PQ OA ，且FAGH 为调和点列。 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 0引言 (2) 1 射影几何与中学几何的关系 (2) 1.1 射影学的对象 (2) 1.2 射影几何与中学几何的密切关系 (2) 1.2.1射影几何是中学几何部分内容的理论依据 (2) 1.2.2 居高临下，分析和把握中学几何 (3) 1.2.3 为中学几何获得命题 (4) 1.2.4 可用射影几何的方法去证明中学几何题 (4) 2 射影几何对中学的指导意义 (5) 2.1 仿射变化的应用 (5) 2.1.1 利用平行射影证明几何题 (5) 2.1.2 利用特殊仿射像证明几何问题 (6) 2.1.3 利用仿射变换保持的同素性,结合性,平行性及不变量证明 (7) 2.2 射影变换的应用 (8) 2.3 用直尺作图 (10) 3 有关某些实际问题 (12) 4 综合法与解析法 (12) 5结论 (13) 参考文献 (15) 致谢 (16) 射影几何在中学几何中的应用 摘要:射影几何是利用克莱因的变换群的观点定义几何学，在此观点下把欧氏几何看成是射影几何的子几何，它在中学几何中具有非常广泛的应用。本文通过仿射变换和射影变换理论在中学几何中的应用，阐明了射影几何和中学几何的关系，并利用射影几何的思想方法，解决中学几何中难以解决的问题，用射影几何画出中学几何图形，充分说明射影几何在中学几何中的应用。 关键词：射影几何中学几何仿射射影 Abstract:The projective geometry is the use of the transformation of the view of klein definition geometry, in this view the Euclidean geometry under as projective geometry son geometry, it has in middle school geometry is widely used. This article through the affine transformation and projective transformation theory in the application of middle school geometry, and expounds the projective geometry and middle school geometry relationship, and use the thinking method of projective geometry, solve the middle school geometry in difficult problem to solve, with projective geometry draw middle school geometry, full explanation projective geometry in middle school geometry of application. Key words: Projective geometry, Middle school geometry, Affine, Projection 第十章：射影几何与解析几何 第一节射影几何 一、历史背景 1566年，科曼迪诺(F．Commandino，1509—1575)把阿波罗尼奥斯(Apollonius)的《圆锥曲线论》(Conics)前四卷译成拉丁文，引起了人们对几何的兴趣，几何上的创造活动开始复兴．在短短几十年的时间里，便突破传统几何的局限，产生了一门崭新的学科——射影几何．由于新学科把无穷远点及图形连续变动的思想引入数学，它实际上已迈入高等数学的门槛．射影几何直接起源于透视法，而透视法是与绘画艺术分不开的．在中世纪，画家的主要任务是颂扬上帝和为圣经插图．但到了文艺复兴时期，描绘现实世界逐渐成为绘画的目标了．为了在画布上忠实地再现大自然，就需要解决一个数学问题：如何把三维的现实世界反映到二维的画布上．意大利的建筑师兼数学家阿尔贝蒂(L．B．Alberti，1404—1472)认真考虑了这一问题．他在1435年写成的《论绘画》(Dellapittura，1511年出版)一书中阐述了这样的思想：在眼睛和景物之间插进一张直立的玻璃板，并设想光线从眼睛出发射到景物的每一个点上，这些线叫投影线．他设想每根线与玻璃板交于一点，这些点的集合叫做截景．显然，截景给眼睛的印象和景物本身一样，所以作画逼真的问题就是在玻璃板(实际是画布)上作出一个真正的截景． 例如，人眼在O处观察水平面上的矩形ABCD、(图10．1)时，从O到矩形各点的连线形成一投影棱锥，其中OA，OB，OC，OD是四根典型的投影线．若在人眼和矩形间插入一平面，并连结四条线与平面的交点A′，B′，C′，D′，则四边形A′B′C′D′为矩形ABCD的截景．由于截景对人眼产生的视觉印象和原矩形一样，它们必然有相同之处．但从直观上看，截景和原形既不全等又不相似，也不会有相同的面积，截景甚至并非矩形．那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的 问题． 阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的；如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之间必存在某种关系．于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．极射赤平投影
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