a b d c b d c k1 s1 例题4 已知E到平面ABC的距离为N,求E点的正面投影e。 b k d a e c b a k d c N N c1 sx b1 a1 c a b V XH bc a V1 a1 5、把投影面垂直面变 为投影面平行面 c1 b1 A a V c C a b X B bc H 6、把一般位置平面变为投影面平行面 a2 b2 SX a V X c V X H 1 ac 求两直线AB与CD公垂线的投影及其最短 b d 2 b H2 d 2 c1 a1 c2 22 12 d2 a2b2 21 d1 b1 11 4、把一般位置平面变 为投影面垂直面 b V a X b d B c A b a b1 D C a V X d1H1 H a1 a c1 d c H c b d c 例题3 求点S到平面ABC的距离。 a s' XV H s 将直线或平面从一般位置变换为与投影面平行或垂直的 位置,一般有三种途径,即: •几何元素不动,变换投影面称换面法; •投影面不动,变换几何元素称旋转法; •几何元素和投影面都不动,变换投影方向称换向法; 一般位置与特殊位置时求解一些量度、定位问题方法对比 b a a b b a a b 两点之间距离 c b a c a b c b a XV H a b b1 a1 a2 (b2) 思考题1 a c V X H 如何求点C到直线AB的距离? b b a 提示 把一般位置直线变 XV 为投影面垂直线 H b b a c a2 b2 a b1 a1 思考题2 a c V X H c a 如何求两直线AB与CD间的距离? b 提示 b a d XV H d b b a a2 b2 b1 a1 例题2 距离。 1 a 三、平面的旋转 1、平面的旋转由不在同一直线上的三点(或其它几何要素组合)的旋转 来决定。必须遵循绕同一轴、按同一方向,旋转同一角度的“三同原则” ,以保证几何元素相对位置不改变。 b′ o′ b1 ′ c′ a′ o′ a1′ c1′ a oo c θ b θ a1 b1 c1 2、平面旋转的投影变化规律 当平面图形绕垂直于某一投影面的轴线旋转时,它在该投影面上的投影形状和 (2)掌握用换面法求线段实长、平面图形实 形及其对投影面的倾角基本作图方法。(体 现在应该先变换哪一个投影面上) (3)掌握用换面法解决一般空间几何元素间 的定位和度量问题。(这一问题在教材上有 分类总结) a 37 a 38 习题﹕ P2 P3 a 39 a 5 来自百度文库 一、换面法的基本概念 新投影面V1⊥H 旧投影面 c V1 a1 X1 c1 b1 A 新轴 a V c c1 C a b1 B b c H b X a1 旧轴 X1 保留的不变投影面 V/H 体系变为V1/H 体系 a b X (b) c a 换面法—空间几何元素的位置保持不动,用新的投影面来代替旧的 投影面,使其对新投影面的相对位置变成有利于解题的位置,作出 在新投影面上的投影并解决有关问题。 换两次,先新轴∥保留投影换成投影面平行线,再新轴 ⊥实长投影换成投影面垂直线 新轴⊥平面上的投影 一般位 面平行线的实长投影 投影面 新轴∥积聚投影 投影面 置平面 可利用积聚性;求平面 垂直面 的α、β,求α作水平线求β 求SC 平行面 作正平线 换两次,先新轴⊥平面上的投影面平行线的实长投影换 成投影面垂直面,再新轴∥积聚投影换成投影面平行面 a′ A a′ fO A A o a H 2 点的旋转规律 f o′ ao 若点绕某投影面的垂直轴旋转,则点在该投影面上的投影作 圆周运动,在另一投影面上的投影作平行于投影轴的直线运动。 二、直线的旋转 1、直线的 旋转可用直线 上两点的旋转 来决定。且必 须遵循绕同一 轴、按同一方 向,旋转同一 角度的“三同 原则”,以保 证几何元素相 对位置不改变 。 例题5 1、把一般位置直线变为投影面平行线 b1 a1 A a V b B a b1 b H X a1 b a X V H b a 例题1 求直线ΑΒ的实长及倾角β。 a b XV H a b a1 SC b1 2、把投影面平行线变为投影面垂直线 V b a X B A a1 (b1) b a a1 b1 XV H a1 ( b1) a b H a b 3 把一般位置直线变为投影面垂直线(投影作图) §6-3 旋转法 旋转法就是投影面保持不动,将空间几何元 素绕某一轴旋转,使空间几何元素对投影面处在 有利于解题的相对位置。 一、点的旋转规律 二、直线的旋转 1、直线旋转的投影规律 2、直线旋转的投影作图 一 点的旋转规律 1 点绕正垂轴旋转 轨迹圆平行于V面,其V投影反映实形 aa′ ′ V a′ f o′ a V1 a1 A X a 2 点的投影变换规律 a H a1 X V H 1、点的新投影和保留投影的连线, 必垂直于新投影轴。 a 2、点的新投影到新投影轴的距离, 等于点本次被换掉的旧投影到本次被 换掉的旧投影轴的距离。 点在V/H1体系中的投影 a1 V a1 a a X a1 A XV x H a H a a′a1⊥X1 a1x1﹦a x 3 点的两次变换 第九讲 投影变换 基本要求 §5-1 概 述 §5-2 换面法 §5-3 旋转法 基本要求 (1)掌握换面法的基本原理和换面法作图的 投影变换规律。 (2)掌握用换面法求线段实长、平面图形实 形及其对投影面的倾角基本作图方法。 (3)掌握用换面法解决一般空间几何元素间 的定位和度量问题。 (4)了解用旋转法的基本原理及用旋转法求 线段实长的作图方法。 大小不变。平面上各点的另一面投影则作平行于投影轴的直线运动。 因此,当平面绕正垂线旋转时,它的正面投影形状大小不变。 当平面绕铅垂线旋转时,它的水平投影形状大小不变。 当直线、平面绕垂直于某 一投影面的轴旋转时,它们 对该投影面的倾角不变,而 对另一面投影的倾角则随着旋 转而改变。 A 当过直线的端点作旋转 轴时,解题更简便. 第一次旋转:将A 绕铅垂线旋转成正平 m′ 线,M同时旋转。则 b′ m1′n1′⊥a1′b1′垂线已在 作出。 n′ m1′ n1′ 为求实长,进 a′ 行第二次旋转,将 AB和M一起绕正垂 线旋转,把AB旋转 成铅垂线。 a m n a1′ b m1 a1 n1 a2′ b1′ n2 m2′ b2′ m2 b1 a2b2n2 四、六个基本问题 b′ o′ a′ o′ a oo θ b θ 2、直线旋转的投影规律 b1 ′ a1′ b1 a1 当直线绕垂直于 某一投影面的轴线旋 转时,直线在该投影 面上的投影长度不变. 直线上各点的另一面 投影则作平行于投影 轴的直线运动。 因此直线在 进行绕铅垂线旋转法 投影变换时,其水平 面投影长度不变。 同样道理,直线绕正 垂线进行旋转法投影 变换时,其正投影长 度不变。 §5-1 概 述 当直线或平面对于投影面处于特殊位置(平行或垂直)时 ,它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其对投影面的 倾角,当它们处于垂直位置时,至少有一个投影具有积聚性 。 当直线或平面和投影面处于一般位置时,则它们的投影 就不具备上述的特性。 投影变换就是将直线或平面由一般位置变换为和投影面 平行或垂直的位置,从而简便地解决一些定位、度量问题。 a′ b′ b1 ′ αa α B B1 H 把一般位置直线旋转成投影面平行线 b′ a′ a′b1′∥OX b1′ X a b O b1 把一般位置平面旋转成投影面垂直面 a′ • 把一般位置平面旋转 成正(铅)垂面,实际上 就是把平面内的一条水 (正)平线旋转为正 b′ (水)平线。求法为: • 在平面中求一条水平线 (BE) • 将BE旋转成正垂线B1E1, 求得一个旋转角度。 H a b d c b d c d2 c2 例题5 已知点E在△ABC上,距离A、B为15,求E点的投影。 a V X H a 15 b2 b e1 e d c a2 e2 sx d2 c2 b ed c 换面法小结 一般位 置直线 新轴∥保留投影 投影面 求SC、α、β求α保留 平行线 H投影求β保留V投影 新轴⊥实长投影 可利用积聚性 投影面 垂直线 二、新投影面的选择原则 V1 a1 X1 c1 b1 A a V c C a b X B b c H 新投影面的选择必须符合以下两个基本条件: 1、新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的位置。 2、新投影面必须垂直于保留投影面。 三、点的投影变换规律 1、点的一次变换 2、点的投影变换规律 3、点的两次变换 1 点的一次变换 V a V1 X V H a2 a a1 a A X1 a a2 a1 四、六个基本问题 1、把一般位置直线变为投影面平行线 例题1 2、把投影面平行线变为投影面垂直线 3、把一般位置直线变为投影面垂直线 思考题1 思考题2 例题2 4、把一般位置平面变为投影面垂直面 例题3 例题4 5、把投影面垂直面变为投影面平行面 6、把一般位置平面变为投影面平行面 b a a c b 三角形实形 c a d d a c c a d (d) c θ a 两平面夹角 c d a b b ba b d c c d b a b b d b c a 直线与平面的交点 §5-2 换面法 换面法就是保持空间几何元素不动,用新的 投影面替换旧的投影面,使新投影面对于空间几 何元素处于有利于解题的位置。 一、换面法的基本概念 二、新投影面的选择原则 三、点的投影变换规律 四、六个基本问题 1、把一般位置直线变为投影面平行线 例题1 2、把投影面平行线变为投影面垂直线 3、把一般位置直线变为投影面垂直线 思考题1 思考题2 例题2 4、把一般位置平面变为投影面垂直面 例题3 例题4 5、把投影面垂直面变为投影面平行面 6、把一般位置平面变为投影面平行面 例题5 本讲重、难点 (1)掌握换面法的基本原理和换面法作图的 投影变换规律。(体现在如何画新轴上) • 以同样大小的旋转角度 将A、C两点绕B点旋转, b 求得正垂面 A1B1C1(△ABC≌ △ A1B1C1) a1′ e′ c′ c e a1 a b1′e1′ α c1′ b1 e1 c1 把投影面垂直面旋转成投影面平行面 a′ b′ c′ b a c b1′ a1′ b1 实形 a1 例题 过M点作直线MN与直线AB正交,并求垂线 实长