画法几何投影变换分解

新轴⊥平面上的投影 新轴∥积聚投影 面平行线的实长投影 投影面 一般位 置平面 可利用积聚性；求平面 垂直面 求SC
的α、β，求α作水平线求β
作正平线
投影面 平行面
换两次，先新轴⊥平面上的投影面平行线的实长投影换 成投影面垂直面，再新轴∥积聚投影换成投影面平行面
§5-1
概
述
当直线或平面对于投影面处于特殊位置（平行或垂直） 时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其对投影面 的倾角，当它们处于垂直位置时，至少有一个投影具有积聚 性。 当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影 就不具备上述的特性。
投影变换就是将直线或平面由一般位置变换为和投影面 平行或垂直的位置，从而简便地解决一些定位、度量问题。
（ b1）
3 把一般位置直线变为投影面垂直线（投影作图）
b a XV H b a a2 （b2）
思考题1
如何求点C到直线AB的距离？
b
b a V H b 提示
把一般位置直线变 为投影面垂直线
a
V H
c
X
X
c
b
a
a2 b2
a
思考题2
如何求两直线AB与CD间的距离？
b b
a d V H b a a2 b2 提示
将直线或平面从一般位置变换为与投影面平行或垂直的 位置，一般有三种途径，即： •几何元素不动，变换投影面称换面法； •投影面不动，变换几何元素称旋转法；
•几何元素和投影面都不动，变换投影方向称换向法；
一般位置与特殊位置时求解一些量度、定位问题方法对比
b a a c a b b a a a b a c b a b d (d) c c b a b a c c a c c d b d b c b d b a c b a d c b a c
二、新投影面的选择原则
c1 V1 a1 C a b c V
b1 A b
a H B c
X
X1
新投影面的选择必须符合以下两个基本条件： 1、新投影面必须使空间几何元素处于有利解题的位置。 2、新投影面必须垂直于保留投影面。
三、点的投影变换规律 1、点的一次变换
2、点的投影变换规律
3、点的两次变换
D X
A
b C
V X d1H1 H a1 a c1
a
d
c百度文库
H
例题3
求点S到平面ABC的距离。
b d a s' c s1 k1
X
V H
b
s a d c
例题4 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。
b
k
a e b a k
d
c
N
d
c
N
c c1 a
5、把投影面垂直面变 为投影面平行面
b2 d2
e2
sx
c2
b e a
e1
d
c
V X H a
b e
d c
换 面 法 小 结
一般位 置直线 新轴∥保留投影
求SC、α、β求α保留
H投影求β保留V投影
投影面 平行线
新轴⊥实长投影
可利用积聚性
投影面 垂直线
换两次，先新轴∥保留投影换成投影面平行线，再新轴 ⊥实长投影换成投影面垂直线
d
b
b d
a
θ
两平面夹角
两点之间距离
三角形实形
直线与平面的交点
a
§5-2
换面法
换面法就是保持空间几何元素不动，用新的 投影面替换旧的投影面，使新投影面对于空间几 何元素处于有利于解题的位置。 一、换面法的基本概念
二、新投影面的选择原则
三、点的投影变换规律
四、六个基本问题
一、换面法的基本概念
新投影面V1⊥H 旧投影面
6、把一般位置平面变为投影面平行面
例题5
1、把一般位置直线变为投影面平行线
V b
b1 B
b a

a1
b1
a

A b a H
X a1

X
V H b
a
例题1
求直线ΑΒ的实长及倾角β。
a
b XV H a b
a1

b1
SC
2、把投影面平行线变为投影面垂直线
V a1 (b1) a b a X A a b H a b B a1 b1 XV H b a1
a
3
点的两次变换
a V1 XV H
a
a2 a1 A a1 X1 a a a2
四、六个基本问题
1、把一般位置直线变为投影面平行线
例题1 2、把投影面平行线变为投影面垂直线 3、把一般位置直线变为投影面垂直线 思考题1 例题3 思考题2 例题4 例题2
4、把一般位置平面变为投影面垂直面 5、把投影面垂直面变为投影面平行面
第九讲 投影变换
基本要求
§5-1 §5-2
概
述
换面法
§5-3
旋转法
基本要求
（1）掌握换面法的基本原理和换面法作图的 投影变换规律。
（2）掌握用换面法求线段实长、平面图形实 形及其对投影面的倾角基本作图方法。
（3）掌握用换面法解决一般空间几何元素间 的定位和度量问题。 （4）了解用旋转法的基本原理及用旋转法求 线段实长的作图方法。
c a
c1
c
V c1 b1 X
V1
a1 b1 A X1
新轴
C
a b
b
(b) c
b c
B
X
a1
旧轴
a
H
保留的不变投影面
X1
a
V/H 体系变为V1/H 体系 换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的 投影面，使其对新投影面的相对位置变成有利于解题的位置，作出 在新投影面上的投影并解决有关问题。
a c X V
X d b
H
c
a
例题2 距离。
a
求两直线AB与CD公垂线的投影及其最短
b 2 d
1 c
V X H 1
b d 2 c1 21 11 22 d2 c2 12
H2
a
c
d1
a2b2
4、把一般位置平面变
为投影面垂直面
b V a b
d
c
B
b1
a
c b d c
1 点的一次变换
V1 a1
V
a
A
X
a
a H
2
点的投影变换规律
a1
XV H
1、点的新投影和保留投影的连线，
必垂直于新投影轴。
2、点的新投影到新投影轴的距离，
a
等于点本次被换掉的旧投影到本次被 换掉的旧投影轴的距离。
点在V/H1体系中的投影
V a1
a1
a
a
X
A a
a1
XV H
x
H a′a1⊥X1 a1x1﹦a x
b bc c C V
sx
a1
b1
V X H
c1 a
a
V1
a1
b1 A a
B bc
b
X
H
6、把一般位置平面变为投影面平行面
a2 b2 SX d2 b d a c b d c2
V X H a
c
例题5
已知点E在△ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。 a2
15