薄壁杆件的弯曲与扭转(第一章)

cr

2E x
s2 r02 2s2

1

s2 r02 2s2
2


r0 2
e02 s2

2E h 2
图5.4
5.3 偏心压杆的弯扭屈曲
★偏心压杆的弯扭屈曲是指其在弯矩平面外的失稳。
偏心受压杆件的弯扭屈曲平衡微分方程为：
EIyu Fu Mx 0
Mz Fue0
杆件的扭转平衡微分方程为：
EI 4 - GI 1 - Fr02 Fe0u 0
其中
r02 e02 Ix Iy / A
弯曲平衡的微分方程可以写为： EI yu4 Fu Fe0 0
两端铰接的杆 件，杆端边界 条件：
当z=0时： u u 0， 0 当z=L时： u u 0， 0
解得：
u Asin z
l
Csin z
l
令
Fy

2EIy l2
, F

2EI / l 2 r02
GIt
得： （Fy - F）A - Fe0C 0

A dW

1l
2 A 0
F dA u y
A

y0 2
v x
x0 2
dz

1F 2
l 0
u2
v2
2 y0u r02 2
dz
式中
r02

Ix
Iy A

x0

y0
并考虑了
xdA
A
ydA 0,
如杆段简支时，边界条件为

材料力学第1章绪论1.1材料力学的任务构件应满足以下基本要求：强度，刚度，稳定性要求1.2材料力学的基本假设连续性，均匀性，各向同性假设1.3杆件的基本变形形式拉伸或压缩，剪切，扭转，弯曲1.4内力一截面法1.5应力平均应力-p：应力p：应力，切应力，正应力：1.6应变1.棱边长度的改变（原长为△x，变形后成为△x+△u）该点处沿x方向的线应变：2.棱边间夹角的改变切应变：y。

切应变的单位为rad第2章拉伸压缩与剪切2.1拉压杆的内力及应力2.1.1轴力、轴力图Fn=FFn即为横截面n—n上的内力。

由于F的作用线与杆轴线重合，故称为轴力。

规定拉伸的轴力为正，压缩为负。

2.1.2轴力图2.1.3拉压杆横截面上的应力轴向载荷作用下杆件是否破坏，不仅与轴力的大小有关，还与横截面面积有关。

正应力：。

拉应力为正，压应力为负。

2.1.4斜截面上的应力斜面上的全应力Pa：将全应力Pa分解为沿斜面法向的正应力和沿切向的切应力思考：a=0/45/90°时，正应力，切应力大小2.2拉压杆的变形2.2.1 轴向与横向变形轴向线应变为：。

以伸长为正，缩短为负。

横向线应变为：。

正负号与轴向线应变相反。

材料的泊松比u（量纲一）：2.2.2 拉压胡克定律当应力o未超过某一极限值时，拉压杆的轴向变形与外力F及杆的原长l 成正比，与横截面面积Ａ成反比。

引进比例常数E，则有胡克定律公式：E为材料的弹性模量，其量纲为ML^-1T^-2。

EA反映了杆件抵抗拉压变形的能力，称为杆件的抗拉(压)刚度。

由Fn/A=正应力，△l/l=线应力，故。

（在弹性范围内，正应力与线应变成正比。

）2.3金属拉压时的力学性能2.3.1低碳钢拉伸时的力学性质1.在拉伸过程中，标距l的伸长量与试件所受载荷F之间的关系曲线F—△l 称为拉伸曲线。

工程应力：将纵坐标值F除以原始的横截面面积A，即为正应力=F/A工程应变：将横坐标值除以原始的标距长度l，即为线应变=△l /l将拉伸曲线F—△l变为应力应变曲线（消除试件尺寸的影响）（1）弹性阶段Ob：弹性阶段的应力最高限称为材料的弹性极限（用符号6e表示）。

8-4约束扭转正应力所对应的内力—双力矩
从工字形截面杆件的约束扭转变形来看，S 0 正是翼缘平面内组成的两个相距h的等值 反向的内力矩 B,称为双力矩
B M f
h2
Af


x
h 2
dA

2
Af
dA

A
dA
B AdA E1 A2dA E1I 8 15
转剪应力沿壁厚按直线规律变化。截面中线
无剪应力（从而在包含截面中线的纵向曲面
无剪切变形，），在截面边缘处剪应力最大，
其值为


t
max

M t
It
（8-1）
开口薄壁杆自由扭转时两端截面之间的相对
扭转角 及单位长度扭转角 ，分别为

Mtl , Mt
GIt
GIt
（8-2）
以上已得出了开口薄壁杆件受约束扭转时应 力的计算公式 :


B
I
8 16
B E1I 8 15



M S
I
8 20
M E1I 8 18
t
maxMtIt8 1 Mtl , Mt
GIt
GIt
82
下面研究扭转角的微分方程式 以（8-18）及（8-2）式代入（8-17）式得
dA 0
A
8－10
极点及弧长起算点移动时的变化公式
A B y x x y C
(8-11）
主极点和主零点位置
x


SB x Ix
,y


SB y Iy
,C

第7讲教学方案——扭转时的内力、薄壁圆筒的扭转第 1 页第三章 扭转§3-1 概述工程上的轴是承受扭转变形的典型构件，如图4-1所示的攻丝丝锥，图4-2所示的桥式起重机的传动轴以及齿轮轴等。

扭转有如下特点：1．受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶——扭转力偶。

其相应内力分量称为扭矩。

2．变形特点：横截面绕轴线发生相对转动，出现扭转变形。

若杆件横截面上只存在扭矩一个内力分量，则这种受力形式称为纯扭转。

§3-2 外力偶矩与扭矩的计算 扭矩图1．外力偶矩m如图4-3所示的传动机构，通常外力偶矩m 不是直接给出的，而是通过轴所传递的功率N 和转速n 由下列关系计算得到的。

nN m 9550= (4-1a) 如轴在m 作用下匀速转动φ角，则力偶做功为φm A =，由功率定义ωφm dtd m dt dA N =⋅==。

角速度ω与转速n （单位为转/分，即r/min ）。

关系为60/2n πω=（单位为弧度/秒，rad/s ）。

由于1kW=1000N ·m/s ，N 千瓦的功率相当于每秒钟作功N W ⨯=1000，单位为N ·m ；而外力偶在1秒钟内所作的功为m n 2m W ⋅=⋅=πω/60 （N ·m ）第 3 页由于二者作的功应该相等，则有m n N ⋅=⨯π21000/60由此便得（4-1）式。

式中：N —传递功率（千瓦，kW ） n —转速（r/min ）如果传递功率单位是马力(PS)，由于1PS=735.5 N ·m/s ，则有nN m 7024=（N ·m ） (4-1b) 式中：N —传递功率（马力，PS ）n —转速（r/min ）2．扭矩T求出外力偶矩m 后，可进而用截面法求扭转内力——扭矩。

如图4-4所示圆轴，由0=∑x m ，从而可得A —A截面上扭矩TT 称为截面A —A 上的扭矩；扭矩的正负号规定为：按右手螺旋法则，T 矢量离开截面为正，指向截面为负。