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扭转问题的位移解法学习思路:本节讨论自由扭转问题的位移解法。
首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。
通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数(x，y)。
基本未知量翘曲函数(x，y)。
确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。
位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。
因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。
自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。
对于自由扭转，侧面边界不受力。
根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。
端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。
这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。
学习要点：1. 扭转位移假设；2. 扭转翘曲函数满足的基本方程；3. 扭转边界条件；4. 扭转端面边界条件；当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。
如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。
本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。
对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。
柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。
设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z 轴建立坐标系。
柱体扭转时发生变形，设坐标为 z 的横截面的扭转角为，则柱体单位长的相对扭转角为。
而横截面的扭转角z。
对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。
观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。
根据上述观察结论，对柱体内部位移作以下的假设：1．刚截面假设。
柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕z 轴转动，如图所示。
当扭转角很小时，设OP=，则P点的位移为2．横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角成正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=(x，y)。
第6章 变分原理在结构力学中应用--柱体的扭转、薄板的弯曲本章继续介绍变分原理在结构力学中的应用，前三节是讲柱体扭转问题，后八节讲薄板弯曲问题。
6.1 柱体扭转的基本方程图6.1柱体扭转6.1.1变形假设柱体扭转时，其横截面在原平面上的投影只有刚体转动、但允许有轴向的自由翘曲。
如果取轴向为z 轴，横截面为xy 平面，α为单位长度的转角，z α为某个横截面的转角。
在xOy 平面内某一点在变形前后的位置分别为图6.2横截面变形cos ,sin x r y r θθ=='cos(),sin()x r y r θδθδ=+=+δδθθδθy r r r x x u -≈-≈-+=-=sin sin cos )cos(' δδθθδθx r r r y y v ≈≈-+=-=sin cos sin )sin('其中θ为该点变形前的角度，z αδ=为该点转过的角度。
因此位移场为zy u α-= zx v α=),(y x w αϕ=这里),(y x ϕ为自由翘曲函数，由此对应的应变为 0,0x y z xy εεεγ====)(y xxz -∂∂=ϕαγ)(x yyz +∂∂=ϕαγ 对应的变形协调条件为αγγ2-=∂∂-∂∂xy yzxz (6.1.1)6.1.2 平衡方程根据广义Hook 定律，由于 0,0x y z xy εεεγ====从而有0===z y x σσσ，因此应力平衡方程只剩一个0=∂∂+∂∂yx yzxz ττ (6.1.2)6.1.3 边界条件柱体两端边界上应用圣维南原理，有()d yz xz T x y S ττ=-⎰⎰ (6.1.3)其中T 为作用在柱体上的扭矩。
柱体两个侧面自由, 没有任何载荷, 那么应力边界条件为0=+y yz x xz n n ττ (6.1.4)其中(,)x y n n 为侧面的外法线方向。
6.2 柱体扭转的应力函数解法根据应力平衡方程0=∂∂+∂∂yx yzxz ττ 可以引进应力函数(,)x y Φ，也就是说假设 xz G yΦτα∂=∂ (6.2.1)yz G xΦτα∂=-∂ (6.2.2) 这样的xz τ和yz τ自动满足平衡方程。
第四章 扭转4.1预备知识一、基本概念 1、扭转变形扭转变形是杆件的基本变形之一，扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴。
此时，截面B 相对于截面A 转了一个角度ϕ，称为扭转角。
同时，杆件表面的纵向直线也转了一个角度γ变为螺旋线，γ称为剪切角。
2、外力偶杆件所受外力偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算。
若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩)(9549Nm nPT =。
3、扭矩和扭矩图圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩，用T 表示。
扭矩的正负号，按右手螺旋法则判定。
如扭矩矢量与截面外向法线一致，为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法。
扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似4、纯剪切 切应力互等定理单元体的左右两个侧面上只有切应力而无正应力，此种单元体发生的变形称为纯剪切。
在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线、方向到共同指向或共同背离积这一交线，这就是切应力互等定理。
5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体，其变形是相对两侧面发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。
当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应力τ和切应变γ成正比，即τ=G γG 称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 。
6、圆杆扭转时的应力和强度计算(1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径，并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为ρτρpI T =图式中T 为横截面的扭矩，I p 为截面的极惯性矩。
(2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数实心圆截面324D I p π=， 163D W p π=（D 为直径） 空心圆截面)1(3244a D I p -=π， )1(1643απ-=D W p （D 为外径，d 为内径，D d /=α）(3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处tW T =max τ 式中W t =I p /R ，称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。
第6章 柱体的扭转6.1 柱体扭转的基本方程图6.16.1.1变形假设柱体扭转时，其横截面在原平面上的投影只有刚体转动，但允许有轴向的自由翘曲。
如果取轴向为z 轴，横截面为xy 平面，α为单位长度的转角，z α为某个横截面的转角。
在xOy 平面内某一点在变形前后的位置分别为图6.2cos ,sin x r y r θθ=='cos(),sin()x r y r θδθδ=+=+δδθθδθy r r r x x u -≈-≈-+=-=sin sin cos )cos('δδθθδθx r r r y y v ≈≈-+=-=sin cos sin )sin('其中θ为该点变形前的角度，z αδ=为该点转过的角度。
因此位移场为 zy u α-= zx v α=),(y x w αϕ=这里),(y x ϕ为自由翘曲函数，由此对应的应变为 ,0===z y x εεε 0=xy γ)(y x xz -∂∂=ϕαγ)(x yyz+∂∂=ϕαγ对应的变形协调条件为αγγ2-=∂∂-∂∂xy yzxz (6.1.1)6.1.2 平衡方程根据广义Hook 定律，由于 ,0===z y x εεε0=xy γ从而有0===z y x σσσ，0=xy τ因此应力平衡方程只剩一个0=∂∂+∂∂yx yzxz ττ (6.1.2) 6.1.3 边界条件柱体两端边界上应用圣维南原理，有()d yz xz T x y S ττ=-⎰⎰ (6.1.3)其中T 为作用在柱体上的扭矩。
柱体两个侧面自由, 没有任何载荷, 那么应力边界条件为0=+y yz x xz n n ττ (6.1.4)其中(,)x y n n 为侧面的外法线方向.6.2 柱体扭转的应力函数解法根据应力平衡方程0=∂∂+∂∂yx yzxz ττ 可以引进应力函数(,)x y Φ，也就是说假设 xz G yΦτα∂=∂ (6.2.1)yz G xΦτα∂=-∂ (6.2.2) 这样的xz τ和yz τ自动满足平衡方程。
第6章圆轴的扭转6.1 扭转的概念扭转是杆件变形的一种基本形式。
在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆，两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用；图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。
图6—1 图6—2 图6—3这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面与杆件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。
这种形式的变形称为扭转变形（见图6-4）。
以扭转变形为主的直杆件称为轴。
若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。
图6—46.2 扭矩和扭矩图6.2.1 外力偶矩作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。
它们的关系式为nPM 9550 （6-1） 其中：M ——外力偶矩（N ·m ）; P ——轴所传递的功率（KW ）； n ——轴的转速（r ／min ）。
外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。
6.2.2 扭矩圆轴在外力偶的作用下，其横截面上将产生连续分布内力。
根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶，从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。
由分布内力组成的合力偶的力偶矩，称为扭矩，用n M 表示。
扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N·m 或kN·m 。
当作用在轴上的外力偶矩确定之后，应用截面法可以很方便地求得轴上的各横截面内的扭矩。
如图6-5（a ）所示的杆，在其两端有一对大小相等、转向相反，其矩为M 的外力偶作用。
为求杆任一截面m-m 的扭矩，可假想地将杆沿截面m-m 切开分成两段，考察其中任一部分的平衡，例如图6-5（b ）中所示的左端。
