1.1认识三角形

1.1 认识三角形 1.新课导读

问题链接 生活中自行车很常见，是我们的一种重要交通工具。 问题探究 你在这幅画中，除了发现圆的这个几何图形，还能发现哪种重要的几何图形？

2.教材解读 知识点1三角形的概念（重点） /掌握） （知识详解，（1）三角形的定义：由不在同一条直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．）（2）相关概念：如图1.1-1，①三角形的表示法：△ABC；②三条边：AB、AC、BC；③三个顶点：A、B、C；④三个内角：∠A、∠B、∠C．

【知识拓展】通过三角形的定义可知，三角形的特征有：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次连接．这是判定是否是三角形的标准． 【教材栏目答疑】“问题：

(课本P4) 【教材栏目答疑】△ABD、△ABC，△DBC，△ABD的边、角分别为线段AB、线段AD、线段DB与∠A、∠ADB、∠ABD，△ABC的边、角分别为线段AB、AC、CB与∠A、∠C、∠CBA，△DBC的边、角分别为线段DB、DC、CB与∠C、∠CDB、∠CBD。

【新课导读点拨】三角形。 【例1】如图1.1-2，在△BCE中，BE的对角是________，∠CBE的对边是________，以∠A

为公共角的三角形是__________．． 【分析】BE的对角的顶点不在线段BE上，即该角的顶点是除B和E之外的第三个字母；以

图1.1-2

AEBCF

D

ACB图1.1-1 ∠A为公共角的三角形必有一个字母是A，另外两个字母是BCDEF中任取两个字母，当然也要看这三个字母是否能构成三角形． 【解】∠ECB、∠E；△AEC、△ABD、△ABC， 【解题策略】按三角形的有关概念来，注意∠A可以是不同三角形的内角。 知识点2三角形的分类（/难点/掌握） （知识详解） 按三角形中的最大内角与90°的大小关系分：





直角三角形三角形锐角三角形钝角三角形

【知识拓展】锐角三角形与钝角三角形可以合称为斜三角形。 【探究交流】有没有新的分类方法？

【点拨】有。可以按边分类：C不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形。 【例2】下列三角形分别是什么三角形： （1）已知一个三角形的三个内角分别为35°，55°和90°； （2）已知一个三角形的二个内角分别为35°，105° （3）已知一个三角形的三个内角分别是80°、50°和50° 【分析】找出三角形中的最大内角再与90°的大小比。 【解】（1）直角三角形，（2）钝角三角形，（3）锐角三角形 【规律·方法】仔细分析三角形中角所具备的特征，找出三角形中的最大内角再与90°的大小比。 知识点3 三角形的三边关系（重点、难点） （知识详解）三角形任意两边之和大于第三边。 【知识拓展】（1）这里的“两边”指的是任意两边．三角形的三边关系是“两点之间，线段最短”的具体运用．（2）由“三角形两边的和大于第三边”可得“三角形两边的差小于第三边“ 【/规律方法小结】判断三条线段能否组成三角形，判断时可以检查是否任意两边之和大于第三边，也可以检查较小的两边的和是否大于第三边；而较简洁的是：若两条较短的线段长度这个大于第三边，则这三条线段可以组成三角形，反之，则不能组成三角形．

【教材栏目答疑】“问题： (课本P5) 【答疑】三角形任意两边之差小于第三边

【例3】下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗? . （1）5cm，8cm，2cm （2）5cm，8cm，13cm （3）5cm，8cm，5cm 【分析】只要比较两较短线段之和与最长线的大小即可. 【解】（1）∵5 + 2 = 7< 8，不满足两边之和大于第三边∴不能摆成三角形. （2）∵5 + 8 = 13 =13，出现两边之和等于第三边的情况∴不能摆成三角形. （3）∵5 +5= 10>8，两较小边之和大于第三边，∴能摆成三角形

【规律·方法】三角形第三边的取值范围是:两边之差知识点4 三角形的角平分线、中线和高（重点/难点/掌握 （知识详解） 1．如图1.1-3图1，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高． 2．如图1.1-3图2，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线．

3．如图1.1-3图3，画∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的角平分线． 【知识拓展】（1）三角形的角平分线与一个角的平分线不同.一个内角的角平分线与它的对边是相交的.这个角的顶点与交点之间的线段．．才是这个内角的平分线.即三角形的角平分线.

（2）三角形的角平分线、中线、高是线段； （3）三角形的角平分线与中线、高都有三条，且它们交于一点，三角形的角平分线与中线的交点在形内，而三角形的高交点有三种可能：锐角三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点（图1.1-4图3）.直角三角形有一条高在三角形的内部，而另两条高恰是它的两条直角边（图1.1-4图4）. 钝角三角形有三条高，一条高在三角形内，另两条高在三角形外.（图1.1-4图5）

图1 图2 图3 图1.1-3

图1.1-4 ③ ④ ⑤ 【规律方法小结】 【教材栏目答疑】“问题：

(课本P8) 【答疑】见【知识拓展】第3点。 【教材栏目答疑】

(课本P9) 【答疑】（1）△AEC面积等于EC乘以EC上的高再除以2，而EC是BC的一半，△AEC的高等于△ABC的高，则△AEC面积等于△ABC面积的一半 （2）同理得△FEC面积等于△AEC面积的一半，等于△ABC面积的四分之一。△ADF面积等于△ADC面积的一半，等于△ABC面积的四分之一。△DBE等于△ABE面积的一半，等于△ABC面积的四分之一。 【例4】如图1.1-5，在△ABC中，D是BC边上的任意一点，AH⊥BC于H。图中以AH为高的三角形个数为（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【分析】AH可看作点A到直线BC的垂线段，因此A、H表示的点必然一个是三角形的顶点，另一个是垂足。显然点A是三角形的顶点，另外两个字母是可从“B、D、H、C”中任取两个字母，所以以AH为高的三角形可以是△ABD、△ABH、△ABC、△ADH、△ADC、△AHC． 【解】D 【解题策略/】按高的概念来，并有条理地寻找三角形！这里可从左向右看或按字母看组成！ 【例5】如图1.1-6，AD是三角形的中线，现把三角形△ADC沿AD翻折，得△ADC′，它和△ABD交于点E，则△AC′E和△BED的面积之比为＿＿

【分析】本题没有数值，似乎很难算。观察：AD是△ABC的中线，则S△ABD＝S△ACD。又△ADC沿AD翻折得△ADC′，则它的面积不变，而要研究的两个三角形有重叠部分，则它们同减去一个相同的部分，剩下的面积仍相等。 【解】得△AC′E和△BED的面积之比为1：1。 【解题策略】运用中线，得到等底同高的一些三角形，再由操作得到图形面积上的一些性质。

3.典例剖析 基本知识题 类型1 运用三角形的概念解题。 【例6】）如图1.1-7，（1）图中有 个三角形；这几个三角形分别表示

为： 、 、 ； （2）在ΔABC中，∠A的对边是 ；∠B的对边是 ；∠ACB的对边是 .

【分析】按三角形的概念一一解决。 【解】（1）3；ΔABC；ΔACD；ΔCDB. （2）a；b；AB.

A B D H C 图1.1-5

A B C D

图1.1-6

BACDab

图1.1-7 【解题策略】三角形的个数一定要注意要有顺序的去数，做到不重不漏. 类型2判断三条线段是否构成三角形。 【例7】下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗? . （1）5cm，8cm，2cm；（2）5cm，8cm，13cm；（3）5cm，8cm，5cm．

【分析】用两边之和大于第三边来解。 【解】（1）∵5＋2＝7< 8，不满足两边之和大于第三边∴不能摆成三角形. （2）∵5＋8＝13＝13，出现两边之和等于第三边的情况∴不能摆成三角形. （3）∵5＋5＝10>8，两较小边之和大于第三边，∴能摆成三角形． 【解题策略】如果三条线段长能够构成三角形，则任意两边之和大于第三边，但是当两条较短线段长之和大于第三边的话，那么另外两组不等式也是成立的．

类型3 三条重要线段的考查 【例8】如图1.1-8所示，已知AE是△ABD的角平分线，AF是△ACD的角平分线，则下列结论不正确的是（ ）

A.∠EAF=21∠CAB B.∠DAF =21∠DAC

C.∠DAF=21∠EAF D.∠EAD= 21∠BAD

【分析】∵AE是△ABD的角平分线，∴∠EAD= 21∠BAD，∴选项D正确；∵AF是△ACD的角平分线，∴∠DAF =21∠DAC，∴选项B正确；∴∠EAF=∠EAD+∠DAF =

21∠BAD+21∠DAC=∠CAB. ∴选项A正确；排除A、B、D.故选C.

【解】C 【解题策略】按角平分线定义解题 【例9】如图1.1-9所示，能说明AD是△ABC的中线的条件的有（ ）

①点D是BC的中点；②BD=CD; ③BD=21BC; ④BC=2CD.

图1.1-8