青海师大二附中2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试卷

青海省师范大学附属第二中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学一、选择题：共12题1．已知集合,，则A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查集合的基本运算,一元二次不等式.或,所以.选A.【备注】集合的基本运算为高考常考题型,要求熟练掌握.2．已知数列的通项公式为，则等于A.1B.2C.0D.3【答案】C【解析】本题考查数列的通项公式.,.选C.3．在中，则等于A.60°B.45°C.120°D.150°【答案】D【解析】本题考查余弦定理.因为,,所以,所以.选D.4．设等差数列的前项和为，若，则的值为A.5B.7C.9D.11【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质与求和.由等差数列的性质得,所以,所以.选A.【备注】等差数列中,若,则.（m,n,p,q为正整数）5．在中，已知，则的形状是A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【答案】C【解析】本题考查正余弦定理.因为,由正弦定理知,;由余弦定理知,,整理得,即.所以的形状是等腰三角形.选C.6．等比数列的各项为正数，且则A.12B.10C.8D.2+【答案】B【解析】本题考查对数运算,等比数列的性质.因为,由等比数列的性质知,,；所以.选B.【备注】等比数列中,若,则（m,n,p,q为正整数）7．不等式的解集是，那么的值是A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式.由题意知,和是方程的两根,由根与系数的关系得,所以.选C.8．等差数列和的前项和分别为和，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质.由等差数列求和公式知,,,所以.选B.9．设是实数，且，则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查指数运算,均值不等式.因为,所以(当且仅当时等式成立).即的最小值是.选B.10．若数列{a n},{b n}满足a n b n=1,且a n=n2+3n+2,则数列{b n}的前10项之和为A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，且.∴，∴.11．在△ABC中，①若B=60°，a=10，b=7，则该三角形有且有两解；②若三角形的三边的比是3：5：7，则此三角形的最大角为120°；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x.则的取值范围是.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】本题考查解三角形，正余弦定理，命题的真假. ①由正弦定理得，所以；而a>b,所以A>B=60°,所以A有1个值,①错误；令三角形的三边是3，5，7，由余弦定理得，所以120°，所以②正确；若x为最大边，由余弦定理得,解得；若3为最大边，由余弦定理得,解得；所以的取值范围是，③正确；所以正确命题的个数是2.选C.12．已知定义在上的函数满足恒成立，且当时，，设在上的最大值为)，且的前项和为，若不等式对任意恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查函数的性质与最值,数列的通项与求和.因为在上的最大值为,所以;而,即,即函数的图像向右平移2个单位,且最大值变为原来的,所以数列是以为首项、为公比的等比数列,所以;不等式转化为恒成立;而单增,所以;所以,即.选B.二、填空题：共4题13．△ABC中，,，，则△ABC的面积为________．【答案】【解析】本题考查余弦定理,三角形的面积公式.由余弦定理知,即,解得；由三角形的面积公式得.即△ABC的面积为.14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围．【答案】【解析】本题考查一元二次不等式恒成立问题.当时,恒成立,所以满足题意;当时,,解得,所以实数的取值范围是.15．不等式的解集是______.【答案】【解析】本题考查分式不等式的解法.因为,所以,所以或,解得,或.所以不等式的解集是.16．若数列满足且为常数)，则称数列为“调和数列”.已知数列为“调和数列”，且，则的最大值是．【答案】【解析】本题考查等差数列的通项与求和,基本不等式.因为数列为“调和数列”,所以数列为等差数列;所以==,即;而,即(当且仅当时等号成立).即的最大值是100.三、解答题：共6题17．解关于的不等式【答案】当或时，不等式解集为.当或时，不等式解集为或.当时，不等式解集为.【解析】本题考查一元二次不等式的求解.分类讨论可得不等式的解集.18．若，满足约束条件.(1)求的最大值；(2)求的最大值.【答案】题中约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示:且A(1,1),B(3,2),C(2,3);(1)当直线过点B时取得最大值，最大值为8.(2)当过点C时,取得最大值.【解析】本题考查简单的线性规划问题.画出可行域,即可求得最值.19．△中，是上的点，平分,△的面积是△面积的2倍.(1)求.(2)若，,求和的长.【答案】(1),.因为,所以AB=2AC.由正弦定理可得.(2)因为, 所以.在和中, 由余弦定理知,.故.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.【解析】本题考查正余弦定理,三角形的面积公式.(1)由三角形的面积公式得AB=2AC.由正弦定理得.(2)由余弦定理知AB=2AC,所以AC=1.20．已知是递增的等差数列，是方程的根.(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)∵是方程的根，且递增，解得，，∴的公差，.(2)由(1)知∴, ①②,②-①得,整理得.【解析】本题考查等差、等比数列,错位相减求和.(1)求得，.(2)由(1)知错位相减得.21．已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上.(1)求数列的通项公式；(2)令，证明：.【答案】(1)∵点在的图象上,,当时,;当时,适合上式;;(2)证明：由,,又,,成立.【解析】本题考查等差数列的通项与求和.(1)∵点在的图象上,,由与的关系得;(2)求得,裂项相消得,即得证.22．已知分别是△的三个内角的对边,且.(1)求角的大小；(2)当时，求的取值范围.【答案】(1)由正弦定理得=,即;即===;而,所以=;所以=.(2)由正弦定理得,即,;所以=======而，所以,所以;,,即;即.【解析】本题考查正弦定理,和角差角公式,二倍角公式,三角恒等变换.(1)由正弦定理及三角变换得=,所以=.(2)由正弦定理得,;经三角恒等变换得=.。

班级 姓名 学号 分数《选修1-1第一章第二章月考》测试卷（A 卷）（测试时间：90分钟 满分：150分）一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【2015浙江嘉兴桐乡一中综合调研三】设,a b R ∈，则“a b >”是“2()0a b b->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.【2015宁夏银川唐徕回民中学期中考试】已知命题:,2lg P x R x x ∃∈->，命题2:,0q x R x ∀∈>，则（ ）A ．命题p q ∨是假命题B ．命题p q ∧是真命题C ．命题()p q ∧⌝是真命题D ．命题()p q ∨⌝是假命题3.【2014-2015重庆一中期中】下列有关命题的说法错误的是 （ ）A ．对于命题:P x R ∃∈，使得210x x ++<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x ++≥.B ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件.C ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x ≠，则1x ≠”.D ．命题“若5x y +≠，则2x ≠或3y ≠”是假命题.4.【2014-2015邢台二中月考】椭圆2281x y +=的焦点坐标是（ ）．A ．(1,0)±B ．(0,C ．(4±D ．(0,4± 5.【改编】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相交于A.B两点，若||2AB =，则该双曲线的离心率为（ ）A.8B. 6.【原创】设椭圆的两个焦点分别为 12,F F ，过 2F 作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P ，若12F PF ∆为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是A 1B 1C ．3 D ．27.【2014-2015宿州市泗县二中期中】椭圆的两个焦点和中心把两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连线的夹角是（ ） A ．4π B ．3π C ．2π D ．23π8.【2014-2015河北保定高阳中学期中】双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A ．2B ．1C ．12D 9. 【2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二上10月月考】已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为F 1、F 2,则12||2F F c =,点A 在椭圆上且2112120AF F F AF AF c ==且,则椭圆的离心率为 （ ）A B C D 10.【2015四川巴蜀联考】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设,A B为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，若直线AB ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2 D ．411. 【2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二上10月月考】已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线x y C 8:2=相交于A,B 两点,F 为C 的焦点,若2FA FB =,则实数k 的值为 （ ）A ．31 B ．32 C ．32 D ．32212.【2016届江西省临川区一中高三10月月考】能够把椭圆C ：同时分为相等的两部分的函数)(x f 称为椭圆C 的“亲和函数”，下列函数是椭圆C 的“亲和函数”的是（ ）A ．23)(x x x f +=B C ．x x x f cos sin )(+=D ．xx e e x f -+=)(第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二上10月月考】已知c 是椭圆2222=1(>>0)x y a b a b+的半焦距，则b ca+的取值范围是________． 14.【2015河北唐山开滦二中月考】已知条件2:230P x x --<，条件:q x a >，若p 是q的充分不必要条件，则a 的取值范围为 . 15. 【改编】下列叙述正确的个数是 . ①若p q ∧为假命题，则p q 、均为假命题；②若命题2000:,10p x R x x ∃∈-+≤，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+>； ③在ABC ∆中“060A ∠= ”是“1cos 2A =”的充要条件； ④若向量,a b满足0a b ⋅< ，则a 与b 的夹角为钝角。

西宁市第四高级中学15—16学年第一学期第一次月考试卷高 一 数 学出题人： 黄红娟一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合}80|{<<∈=+x N x M ，{1,3,5,7,8}N =，则=⋂N M （ ）A.{1,3,5,7}B.}7,5,3{C.{3,5,7,8}D.{1,3,5,7,8}2．下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）A.0()f x x =与()1g x =B.()||f x x =与()g x =C.()f x x =与2()x g x x =D.()f x =与2()g x =3．函数1()1f x x =+- ）A.[1,)-+∞B.),1()1,1[+∞⋃-C.(1,)+∞D.(,)-∞+∞4．已知集合},{2a a A =，}1{=B ，若A B ⊆，则实数a 的取值集合为（）A.}1,1{-B.}1{C.}1{-D.∅5．设函数211()21x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则((3))f f =（） A.15 B.3 C.139 D.236．下列函数中为偶函数的是（ ）A.x y 2=B.]4,4(,2-∈=x x yC.3x y =D.0x y =7．下列函数中，在区间)1,0(上是增函数的是（ ） A.xy 1= B.||y x = C.42+-=x y D.x y -=3 8．设}20|{≤≤=x x A ，}21|{≤≤=y y B ，能表示从集合A 到集合B 的函数关系的图象是( )9．设偶函数()f x 的定义域为R ，()f x 在区间]0,(-∞上为增函数，则)3(),(),2(f f f π-的大小关系是（ ）A.)3()2()(f f f >->πB.)2()3()(->>f f f πC.)3()2()(f f f <-<πD.)2()3()(-<<f f f π10．已知函数2)(3-+=bx ax x f ，3)2014(=f ，则=-)2014(f （ ）A.7-B.5-C.3-D.2-11．若函数2(1) 1 (1)()1 1 (1)2a x x f x ax ax x +-≥⎧⎪=⎨--<⎪⎩在),(+∞-∞上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A.)0,32(- B.)0,1(- C.)0,32[- D.)0,1[- 12．已知)(x f 是定义在R 上的函数，且)(x f 的图像关于坐标原点对称；当0<x 时，x x x f 2015)(2+-=.若0)()2(2<+-a f a f ，则实数a 的取值范围是（ ）A.),2()1,(+∞⋃--∞B.),1()2,(+∞⋃--∞C.)2,1(-D.)1,2(-二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若集合M 满足M ≠⊂}2,1{，则这样的集合M 有____________个.14．已知函数)(x f y =由右表给出，若3)(=a f ，则a =____________15．若))(2()(m x x x f --=是定义在R 上的偶函数，则=m __________.16. 下列叙述正确的有①集合}5|),{(=+=y x y x A ，}1|),{(-=-=y x y x B ,则}3,2{=⋂B A ②若函数34)(2-+-=x ax xx f 的定义域为R ，则实数121-<a ③函数)0,2(,1)(-∈-=x x x x f 是奇函数④函数b x x x f ++-=3)(2在区间),2(+∞上是减函数三．解答题：（本大题共６小题，共70分）17．（本小题满分10分）已知集合}63|{<≤=x x A ，}92|{≤<=x x B .（Ⅰ）求B A ⋃，B A C R ⋂)(；（Ⅱ）已知{|}C x x a =<，若C B ⊆，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知函数21)(-+=x x x f ，其中]5,3[∈x .（Ⅰ）用定义证明函数)(x f 在]5,3[上单调递减； （Ⅱ）结合单调性，求函数21)(-+=x x x f 在区间]5,3[上的最大值和最小值.19．（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数．若0≥x 时，x x x f 2)(2-=.（Ⅰ）当0<x 时，求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）画出()f x 的简图；（要求绘制在答题卷的坐标纸上．．．．．．．．．．．．．）；（Ⅲ）结合图像写出()f x 的单调区间（只写结论．．．．，不用证明．．．．）.20．(本小题满分12分)已知函数3)(2--=kx x x f ，(1,5]x ∈-.（Ⅰ）当2=k 错误！未找到引用源。

2015-2016学年青海师大附二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A={x|x2−2x−3≥0}，B={x|−2≤x<2}，则A∩B=()A.[1, 2)B.[−1, 1]C.[−1, 2)D.[−2, −1]2. 已知数列{a n}的通项公式为a n=n2−3n−4(n∈N∗)，则a4等于（）A.1B.2C.0D.33. 在△ABC中，a2=b2+c2+√3bc，则∠A等于( )A.60∘B.45∘C.120∘D.150∘4. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1+a3+a5=3，则S5的值为()A.5B.7C.9D.115. 在△ABC中，已知sin B=2cos C sin A，则△ABC的形状是（）A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.直角三角形6. 等比数列{a n}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+⋯log3a10=（）A.12B.10C.8D.2+log357. 若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|−7<x<−1}，那么a的值是()A.1B.2C.3D.48. 等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n =2n3n+1，则a5b5()A.2 3B.79C.2031D.9149. 设a，b为实数，且a+b=3，则2a+2b的最小值是（）A.6B.4√2C.2√2D.810. 数列{a n}、{b n}满足a n⋅b n=1，a n=n2+3n+2，则{b n}的前10项之和等于（）A.13B.512C.12D.71211. 在△ABC中，①若B=60∘，a=10，b=7，则该三角形有且有两解；②若三角形的三边的比是3:5:7，则此三角形的最大角为120∘；③若△ABC为锐角三角形，且三边长分别为2，3，x，则x的取值范围是√5<x<√13．其中正确命题的个数是（）A.0B.1C.2D.312. 已知定义在[0, +∞)上的函数f(x)满足f(x)=2f(x+2)恒成立，且当x∈[0, 2)时，f(x)=−2x2+4x，设f(x)在[2n−2, 2n)上的最大值为a n(n∈N∗)，且{a n}的前n项和为S n，若不等式t2n≤S n对任意n∈N∗恒成立，则t的取值范围是（）A.t≤5B.t≤4C.t≤3D.t≤2二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）△ABC中，∠B=120∘，AC=7，AB=5，则△ABC的面积为________．已知关于x的不等式ax2+3ax+a−2<0的解集为R，则实数a的取值范围________．不等式1x≤x的解集是________．若数列{a n}满足1a n+1−1a n=d（n∈N∗，为常数），则称数列{a n}为“调和数列”已知数列{a1x n}为“调和数列”，且x1+x2+...+x20=200，则x3x18的最大值是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）解关于x的不等式3x2−mx−m>0．若x，y满足约束条件{x+y−5≤02x−y−1≥0x−2y+1≤0，则：（1）求z=2x+y的最大值；（2）求yx的最大值．在△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．(1)求sin∠Bsin∠C；(2)若AD=1，DC=√22，求BD和AC的长．已知{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n=2n⋅a n，求数列{b n}的前n项和T n．已知函数f(x)=12x2+32x，数列{a n}的前n项和为S n，点(n, S n)(n∈N∗)均在函数f(x)的图象上．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令cn=a na n+1+a n+1a n证明：2n<c1+c2+...+c n<2n+12．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C的对边，2b−ca =cos Ccos A（1）求A的大小；（2）当a=√3时，求b2+c2的取值范围．参考答案与试题解析2015-2016学年青海师大附二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.【答案】 D【考点】一元二次不等式的解法 交集及其运算【解析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 【解答】解：由A 中不等式变形得：(x −3)(x +1)≥0，解得：x ≥3或x ≤−1，即A =(−∞, −1]∪[3, +∞)， ∵ B =[−2, 2)，∴ A ∩B =[−2, −1]． 故选D ． 2.【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】把n =4代入数列的通项公式即可得答案． 【解答】解：∵ a n =n 2−3n −4(n ∈N ∗)， ∴ a 4=42−3×4−4=0， 故选C 3. 【答案】 D 【考点】 余弦定理 【解析】由余弦定理a 2=b 2+c 2−2bc cos A 与题中等式比较，可得cos A =−√32，结合A 是三角形的内角，可得A 的大小． 【解答】解：∵ 由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bc cos A 又a 2=b 2+c 2+√3bc ， ∴ cos A =−√32. 又∵ A 是三角形的内角， ∴ A =150∘， 故选D . 4.【答案】 A【考点】等差数列的前n 项和 【解析】由等差数列项公式求出a 3=1，由此利用等差数列前n 项和公式能求出S 5． 【解答】解：∵ 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+a 3+a 5=3， ∴ a 1+a 3+a 5=3a 3=3，解得a 3=1， ∴ S 5=52(a 1+a 5)=5a 3=5．故选A ． 5. 【答案】 C【考点】 余弦定理 正弦定理【解析】利用sin B =sin (A +C)=sin A cos C +sin C cos A =2cos C sin A ，即可得出结论． 【解答】解：∵ A +B +C =180∘，∴ sin B =sin (A +C)=sin A cos C +sin C cos A =2cos C sin A ， ∴ sin C cos A −sin A cos C =0，即sin (C −A)=0， ∴ A =C 即为等腰三角形． 故选：C ． 6.【答案】 B【考点】等比数列的性质 对数及其运算【解析】本题考查等比数列的性质、对数的运算． 【解答】解：由等比数列的性质知a 5a 6=a 4a 7=9， 所以log 3 a 1+log 3 a 2+log 3 a 3+⋯+log 3 a 10 =log 3(a 1a 2a 3⋯a 10) =log 3(a 5a 6)5 =log 395=log3310=10．故选B．7.【答案】C【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|−7<x<−1}，即有−7，−1是ax2+8ax+21=0(a>0)的两根，由韦达定理即可得到a．【解答】解：不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|−7<x<−1}，即有−7，−1是ax2+8ax+21=0(a>0)的两根，即有−7−1=−8aa ，−7×(−1)=21a，解得a=3，成立．故选C．8.【答案】D【考点】等差数列的性质【解析】根据等差数列的性质知，求两个数列的第五项之比，可以先写出两个数列的前9项之和之比，代入数据做出比值．【解答】解：∵等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，S n T n =2n3n+1，a5 b5=9a59b5=s9T9=1828=914故选D．9.【答案】B【考点】基本不等式【解析】根据基本不等式的性质与幂的运算性质，有2a+2b≥2√2a⋅2b=2√2a+b，结合题意a+b=3，代入可得答案．【解答】解：根据基本不等式的性质，有2a+2b≥2√2a⋅2b=2√2a+b，又由a+b=3，则2a+2b≥2√2a+b=4√2，故选：B．10.【答案】B【考点】数列的求和【解析】先求出数列{b n}的通项公式，然后写出数列{b n}的前10项之和，利用裂项的方法求和即可．【解答】解：∵a n⋅b n=1∴b n=1n2+3n+2=1(n+1)(n+2)∴s10=12×3+13×4++110×11+111×12=( 12−13)+(13−14)++(110−111)+(111−112)=12−112=512故选项为B．11.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据解三角形的知识，分别对①②③进行判断其正误即可．【解答】解：①如图示：，由asin A=bsin B，得：sin A=5√37，∴A=arcsin5√37>60∘，∴C只能是钝角，该三角形有且只有一个解，故①错误；②不妨设：三角形的三边是：a=3，b=5，c=7，∴∠C最大，由cos C=9+25−492×3×5=−12，∠C=120∘，故②正确；③由cos A>0，cos B>0且cos C>0，结合余弦定理知，正确，故选：C．12.【答案】 B【考点】导数求函数的最值 【解析】由题意可知，函数图象向右平移2个单位，只是改变函数的最大值，求出a 1，公比q ，推出a n ，然后求出S n ，判断数列n(4−22−n )为递增数列，结合不等式恒成立思想，即可得到t 的范围． 【解答】解：因为f(x)=2f(x +2)，所以f(x +2)=12f(x)，就是函数图象向右平移2个单位，最大值变为原来的12，a 1=f(1)=2，公比q =12，所以a n =2(12)n−1，即有S n =2⋅1−(12)n1−12=4−22−n ，不等式t2n ≤S n 对任意n ∈N ∗恒成立， 即为12t ≤nS n ，由n(4−22−n )−(n −1)(4−23−n )=4+(n −2)22−n ， 由n ≥2，可得n(4−22−n )>(n −1)(4−23−n )， {n(4−22−n )}为递增数列，则n =1为最小，且为2． 即有t ≤4． 故选：B ．二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 【答案】 15√34【考点】正弦定理的应用 余弦定理【解析】先利用余弦定理和已知条件求得BC ，进而利用三角形面积公式求得答案． 【解答】解：由余弦定理可知cos B =25+BC 2−492⋅BC⋅5=−12，求得BC =−8或3（舍负）∴ △ABC 的面积为12⋅AB ⋅BC ⋅sin B =12×5×3×√32=15√34故答案为：15√34【答案】 (−85, 0] 【考点】函数恒成立问题 【解析】根据不等式恒成立的条件建立不等式即可得到结论． 【解答】解：若a =0，不等式等价为−2<0，满足条件， 若a ≠0，则要使不等式恒成立， 则{a <0△=9a 2−4a(a −2)<0， 即{a <0a(5a +8)<0， 即−85<a <0， 综上：(−85, 0]， 故答案为：(−85, 0]【答案】{x|−1≤x <0或x ≥1} 【考点】其他不等式的解法 【解析】本题可以先移项再通分，再分类讨论，转化为整式不等式组，再解整式不等式组，得本题答案． 【解答】 ∵ 1x ≤x ， ∴ 1x −x ≤0， ∴ 1−x 2x ≤0．∴(x−1)(x+1)x≥0．∴ {x >0(x −1)(x +1)≥0或$${\{}$\${left}$\{ \${begin\{matrix\}\, x}$<0 \\ (x - 1)(x + 1) \leq 0 \\ \end{matrix} \right.\ }$， ∴ ${x\geq 1}$或${-1\leq x\lt 0}$．∴ 不等式${\dfrac{1}{x} \leq x}$的解集是${\{x\mathrel{|} -1\leq x\lt 0或x\geq 1\}}$． 【答案】 100【考点】 数列递推式 数列的应用 等差数列的性质 【解析】先根据数列{1x n}为“调和数列”可确定数列{x n}为等差数列，再由前20项的和得到x3+x18的值，最后根据基本不等式可求出x3x18的最大值．【解答】解：因为数列{1x n}为“调和数列”，所以x n+1−x n=d（n∈N∗，d为常数），即数列{x n}为等差数列，由x1+x2+...+x20=200得20(x1+x20)2=20(x3+x18)2=200，即x3+x18=20，易知x3、x18都为正数时，x3x18取得最大值，所以x3x18≤(x3+x182)2=100，即x3x18的最大值为100．故答案为：100三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【答案】解：令△=m2+12m=0，解得m=0或m=−12；∴当m=0或m=−12时，△=0，方程3x2−mx−m=0有两个相等的实数根x1=x2=m6，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为{x|x≠m6}；当m<−12或x>0时，△>0，方程3x2−mx−m=0有两个实数根x1=m−√m2+12m6，x2=m+√m2+12m6，且x1<x2，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为{x|x<m−√m2+12m6或x>m+√m2+12m6}；当−12<m<0时，△<0，方程3x2−mx−m=0无实数根，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为R，综上，m=0或m=−12时，不等式的解集为{x|x≠m6}，m<−12或x>0时，不等式的解集为{x|x<m−√m2+12m6或x>m+√m2+12m6}，−12<m<0时，不等式的解集为R．【考点】一元二次不等式的解法【解析】讨论m的取值，利用判别式△求出对应方程3x2−mx−m=0实数根，从而得出不等式3x2−mx−m>0的解集．【解答】解：令△=m2+12m=0，解得m=0或m=−12；∴当m=0或m=−12时，△=0，方程3x2−mx−m=0有两个相等的实数根x1=x2=m6，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为{x|x≠m6}；当m<−12或x>0时，△>0，方程3x2−mx−m=0有两个实数根x1=m−√m2+12m6，x2=m+√m2+12m6，且x1<x2，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为{x|x<m−√m2+12m6或x>m+√m2+12m6}；当−12<m<0时，△<0，方程3x2−mx−m=0无实数根，∴不等式3x2−mx−m>0的解集为R，综上，m=0或m=−12时，不等式的解集为{x|x≠m6}，m<−12或x>0时，不等式的解集为{x|x<m−√m2+12m6或x>m+√m2+12m6}，−12<m<0时，不等式的解集为R．【答案】解：约束条件对应的可行域如图：（1）z=2x+y变形为y=−2x+z，结合图象得知，当它过A时，使得Z最大，由{x+y−5=0x−2y+1=0得到A(3, 2)，所以z=2x+y的最大值为2×3+2=8；（2）由yx的几何意义得到，当原点与B连接的直线时，yx最大，由{x+y−5=02x−y−1=0得B(2, 3)，所以yx的最大值为32．【考点】简单线性规划【解析】首先由约束条件画出可行域，分别根据目标函数的几何意义求最大值．【解答】解：约束条件对应的可行域如图：（1）z =2x +y 变形为y =−2x +z ，结合图象得知， 当它过A 时，使得Z 最大， 由{x +y −5=0x −2y +1=0得到A(3, 2)， 所以z =2x +y 的最大值为2×3+2=8；（2）由yx 的几何意义得到， 当原点与B 连接的直线时，yx 最大，由{x +y −5=02x −y −1=0得B(2, 3)，所以y x 的最大值为32． 【答案】解：(1)如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，∵S △ABD S △ADC=12BD×AE 12DC×AE =2,∴ BD=2DC ， ∵ AD 平分∠BAC ， ∴ ∠BAD =∠DAC . 在△ABD 中，BDsin ∠BAD =ADsin B ， ∴ sin B =AD×sin ∠BADBD .在△ADC 中，DC sin ∠DAC =ADsin C ，∴ sin C =AD×sin ∠DACDC ；∴ sin Bsin C =ACAB =12．(2)由(1)知，BD =2DC =2×√22=√2．过D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，∵ AD 平分∠BAC ， ∴ DM =DN ， ∴S △ABD S △ADC=12AB×DM 12AC×DN =2，∴ AB =2AC ，令AC =x ，则AB =2x ， ∵ ∠BAD =∠DAC ，∴ cos ∠BAD =cos ∠DAC ， ∴ 由余弦定理可得：(2x)2+12−(√2)22×2x×1=x 2+12−(√22)22×x×1，∴ x =1， ∴ AC =1，∴ BD 的长为√2，AC 的长为1．【考点】 三角形求面积 余弦定理 正弦定理【解析】(1)如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，由已知及面积公式可得BD =2DC ，由AD 平分∠BAC 及正弦定理可得sin ∠B =AD×sin ∠BADBD，sin ∠C =AD×sin ∠DACDC，从而得解sin ∠Bsin ∠C ．(2)由(1)可求BD =√2．过D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，由AD 平分∠BAC ，可求AB =2AC ，令AC =x ，则AB =2x ，利用余弦定理即可解得BD 和AC 的长． 【解答】解：(1)如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，∵S△ABDS△ADC =12BD×AE12DC×AE=2,∴BD=2DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.在△ABD中，BDsin∠BAD=ADsin B，∴sin B=AD×sin∠BADBD.在△ADC中，DCsin∠DAC=ADsin C，∴sin C=AD×sin∠DACDC；∴sin Bsin C=ACAB=12．(2)由(1)知，BD=2DC=2×√22=√2．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵AD平分∠BAC，∴DM=DN，∴S△ABDS△ADC=12AB×DM12AC×DN=2，∴AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，∵∠BAD=∠DAC，∴cos∠BAD=cos∠DAC，∴由余弦定理可得：(2x)2+12−(√2)22×2x×1=x2+12−(√22)22×x×1，∴x=1，∴AC=1，∴BD的长为√2，AC的长为1．【答案】解：（1）因为{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．所以a2=2，a4=3，所以公差为12，所以a n=12n+1；（2）由（1）得到b n=2n⋅a n=2n•(12n+1)=2n−1(n+2)，所以数列{b n}的前n项和T n=1×3+21×4+22×5+...+2n−2(n+1)+2n−1(n+2)，①2T n=2×3+22×4+23×5+...+2n−1(n+1)+2n(n+2)；②①-②得，−T n=3+2+22+23+...+2n−1−2n(n+2)=3+2(1−2n−1)1−2−2n(n+2)=1−(n+1)2n．所以T n=(n+1)2n−1．【考点】数列的求和等差数列的通项公式【解析】（1）利用{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．得到a2，a4，再求首项和公差，进一步求通项公式（2）利用错位相减法求和．【解答】解：（1）因为{a n}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2−5x+6=0的根．所以a2=2，a4=3，所以公差为12，所以a n=12n+1；（2）由（1）得到b n=2n⋅a n=2n•(12n+1)=2n−1(n+2)，所以数列{b n}的前n项和T n=1×3+21×4+22×5+...+2n−2(n+1)+2n−1(n+2)，①2T n=2×3+22×4+23×5+...+2n−1(n+1)+2n(n+2)；②①-②得，−T n=3+2+22+23+...+2n−1−2n(n+2)=3+2(1−2n−1)1−2−2n(n+2)=1−(n+1)2n．所以T n=(n+1)2n−1．【答案】∵点(n, S n)均在函数y＝f(x)的图象上，∴S n=12n2+32n,n=1,a1=S1=2，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝n+1，a1也适合，所以a n＝n+1(n∈N∗)．证明：∵c n=a na n+1+a n+1a n=n+1n+2+n+2n+1>2，∴c1+c2+...+c n>2n；又c n=n+1n+2+n+2n+1=2+1n+1−1n+2，∴c1+c2+...+c n＝2n+(12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2)＝2n+12−1n+2<2n+12；∴2n<c1+c2+...+c n<2n+12．【考点】数列与不等式的综合数列的求和数列递推式【解析】（1）点(n, S n)均在函数y＝f(x)的图象上，则s n=12n2+32n，可得a n＝S n−S n−1＝n+1，并验证a1即可；（2）证明：由c n=n+1n+2+n+2n+1>2，得c1+c2+...+c n>2n；由c n=n+1n+2+n+2n+1=2+1n+1−1n+2，得c1+c2+...+c n＝2n+(12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2)＝2n+12−1n+2<2n+12；即证．【解答】∵点(n, S n)均在函数y＝f(x)的图象上，∴S n=12n2+32n,n=1,a1=S1=2，当n≥2时，a n＝S n−S n−1＝n+1，a1也适合，所以a n＝n+1(n∈N∗)．证明：∵c n=a na n+1+a n+1a n=n+1n+2+n+2n+1>2，∴c1+c2+...+c n>2n；又c n=n+1n+2+n+2n+1=2+1n+1−1n+2，∴c1+c2+...+c n＝2n+(12−13+13−14+⋯+1n+1−1n+2)＝2n+12−1 n+2<2n+12；∴2n<c1+c2+...+c n<2n+12．【答案】解：(1)△ABC中，2b−ca =cos Ccos A，由正弦定理变形得：2sin B−sin Csin A=cos Ccos A，即2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A，整理得：2sin B cos A=sin(A+C)=sin B，∵sin B≠0，∴cos A=12，则A=π3；（2）由正弦定理及a=√3，sin A=√32得asin A=bsin B=csin C=√3√32=2，得：b=2sin B，c=2sin C，则b2+c2=4sin2B+4sin2C=2(1−cos2B+1−cos2C)=2[2−cos2B−cos2(120∘−B)] =2[2−cos2B−cos(240∘−2B)]=2(2−12cos2B+√32sin B)=4+2sin(2B−30∘)，∵0<B<120∘，即−30∘<2B−30∘<210∘，∴−12<sin(2B−30∘)≤1，则3<b2+c2≤6．【考点】正弦定理正弦定理的应用【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出cos A的值，即可确定出A得度数；（2）利用正弦定理列出关系式，表示出b与c，代入所求式子，整理后利用正弦函数的值域即可确定出范围．【解答】解：(1)△ABC中，2b−ca=cos Ccos A，由正弦定理变形得：2sin B−sin Csin A=cos Ccos A，即2sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A，整理得：2sin B cos A=sin(A+C)=sin B，∵sin B≠0，∴cos A=12，则A=π3；（2）由正弦定理及a=√3，sin A=√32得asin A=bsin B=csin C=√3√32=2，得：b=2sin B，c=2sin C，则b2+c2=4sin2B+4sin2C=2(1−cos2B+1−cos2C)=2[2−cos2B−cos2(120∘−B)]=2[2−cos2B−cos(240∘−2B)]=2(2−12cos2B+√32sin B)=4+2sin(2B−30∘)，∵0<B<120∘，即−30∘<2B−30∘<210∘，∴−12<sin(2B−30∘)≤1，则3<b2+c2≤6．。