湘教版解读-11认识三角形

《三角形全等的判定》知识全解课标要求1.探索几何的基本图形——三角形，探索全等三角形的基本性质、三角形全等的判定条件和其相互关系，及角平分线性质，进一步丰富对空间图形的认识和感受.2.在探索全等三角形的性质、与他人合作交流等活动过程中，发展合情合理，进一步学习有条理地思考与表达；在积累了三角形的性质的基础上，探索全等三角形的判定条件和角平分线性质及其逆运用.知识结构内容解析在一个三角形的三条边，三个角中任取三个元素，可以有下列组合；SAS、SSA、ASA、AAS、SSS、AAA，但其中SSA和AAA不能判定三角形全等。

◆如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等。

（2）可以从已知条件出发，看已知条件确定哪两个三角形可证它们全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，可采用添加辅助线的方法，构造三角形全等。

重点难点本节的重点是：掌握三角形全等的判定定理，并灵活运用。

本节的难点是：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件，恰当的选择判定定理，正确地书写演绎推理过程。

教法导引1．注重培养探索归纳能力经历探究三角形全等条件的过程：由全等三角形的定义可以知道，由三条边对应相等、三个角对应相等能判定三角形全等，那么减少条件能否判定三角形全等呢？于是，依次探究：满足一个条件、两个条件、三个条件、……能否判定三角形全等．通过探究得到：满足一个条件、两个条件不能判定三角形全等；满足三个条件不一定能判定三角形全等，即“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”能判定三角形全等，“边边角”、“角角角”不能判定三角形全等．将三角形全等的判定方法运用于直角三角形，可以判定直角三角形全等；但对于满足斜边和直角边对应相等的两个直角三角形，就无法运用三角形全等的判定方法来进行判断了，因此应探究“斜边、直角边”能否判定直角三角形全等．2．注重培养推理能力本章要求学生有理有据地推理论证，精炼准确地表达推理过程，这对于学生比较困难，因此我们在教学中应采取以下措施突破难点：（1）注意减缓坡度，循序渐进．精心选择全等三角形的证明问题，开始阶段的例题，证明方向明确、过程简单，容易规范书写格式，主要让学生体会证明思路及格式．然后逐步增加题目的复杂程度，每一步都为下一步做准备，下一步又要注意复习前一步训练过的内容．（2）在不同的阶段，安排不同的内容，突出一个重点．先安排证明两个三角形全等，进而安排通过证明三角形全等证明两条线段或两个角相等，重点使学生熟悉证明的步骤和方法．最后安排的问题涉及前面学过的内容，重点培养学生分析问题，选择推理途径的证明能力．（3）注重分析思路注重分析思路，让学生学会思考问题．（4）注重规范书写格式注重规范书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程．3．注重联系实际从实际例子引入全等形的概念，易于学生理解概念，易于调动学生学习的积极性．从分析平分角仪器的原理引入角平分线的画法，通过确定集贸市场位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生感受理论来源于实际的需要．运用全等三角形可以解决实际中许多测量边、角的问题．学法建议学生在初一学习过三角形的相关知识，会作一个三角形等于已知三角形，本节是使学生在原有知识的基础上探索怎样判定三角形全等的判定条件及恰当地选择判定定理来判别两个三角形全等,并能灵活运用全等三角形的判定方法解决线段或者角相等的问题。

成三角形？
解:∵6+4>3
解: ∵最长线段是6cm
6+3>4
4+3=7>6
4+3>6
∴能组成三角形
∴能组成三角形
这判样断判三断条需线要段三能个否条件组，成你三一角定形希的望方有更法好：的判
断①方找法出吧最.想长想看线! 段。
②比较大小:较短两边之和与最长线段的大小 ③判断能否组成三角形。
湘教版初中数学八年级上册认识三角 形精品 课件
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想一想
有两根长度分别为5cm和8cm的
木棒，用长度为2cm的木棒与它们能
摆成三角形吗？为什么？长度为
13cm的木棒呢?
你能取一根木棒，与原来的
两根木棒摆成三角形吗？
两边之差第三边两边之和
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3.性质的作用
(1)判断三条已知线段能否组成三角形.
(2)已知三角形的两边,求第三边的取值范围：
两边之差第三边两边之和
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有 BD+DC >BC
A
（三角形的任意两边之和大于第三边）
又 AD = BD，
D
则 BD+DC = AD+DC = AC，所以
AC >BC.
B
C
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3、已知三角形的两边a,b长分别
为2和3,则第1<三c边<5c的范围是

新版湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题三角形的基本概念教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第二章三角形课题三角形的基本概念是本学期数学课程的重要组成部分。

这部分内容主要介绍了三角形的定义、分类、性质以及三角形的相关概念。

通过这部分的学习，学生可以对三角形有更深入的了解，为后续的三角形相关题目打下坚实的基础。

二. 学情分析在开始本节课的学习之前，学生已经掌握了实数、平面几何的基本概念，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力。

但是，对于三角形的一些基本概念，如三角形的定义、分类、性质等，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生理解并掌握这些基本概念。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解三角形的基本概念，掌握三角形的分类，能运用三角形的性质解决一些简单问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学与生活实际的联系。

四. 教学重难点1.重点：三角形的基本概念、分类和性质。

2.难点：三角形性质的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入三角形的基本概念，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动思考、发现问题、解决问题。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，培养学生的团队合作精神。

4.巩固练习法：通过适量练习，使学生掌握三角形的基本概念和性质。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、圆规等。

2.课件：三角形的相关图片、动画、PPT等。

3.练习题：针对三角形基本概念的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如电线塔、自行车三角架等，引导学生思考：这些物体为什么都要用到三角形呢？从而引出三角形的基本概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT或板书，呈现三角形的基本概念、分类和性质。

让学生初步了解三角形的定义、分类和性质。

三角函数教案4.1 正弦和余弦（1）教学设计教学内容教学分析教学重点1、理解和掌握锐角正弦的定义。

2、根据定义求锐角的正弦值。

教学难点探索“在直角三角形中，任意锐角的对边与斜边的比值是一个常数”的过程教学准备教具学具补充材料课件、计算器、量角器、刻度尺教学流程第1 课时教学环节教师活动预设学生活动预设设计意图执教者个性化调整一、创设情景引入新课[活动1]1、上图是学校举行升国旗仪式的情景，你能想办法求出旗杆的高度吗？（课件演示）2、学习了本章内容你就能简捷地解决这类问题，本章将介绍的锐角三角形函数，它们的本事可大了，可以用来解决实际问题，今天我们来学习第一节“正弦和余弦”（第一课时）学生可能会采用相似三角形的知识来解决，也可能无法解决，从而带着问题学习。

对章前图的说明和本章内容的简单介绍，明确本章研究的内容，让学生有个基本的了解。

通过实例创设情境，引入新课,体现了数学知识的实用性,也容易激发学生学习的兴趣和探索的热情。

二、师生互动探究新知[活动2]如图2一艘轮船从西向东航行到B学生观察，思考，建立几何模型，将实际问题转化为直角三角形中边角关让学生带着问题学习,激发探索欲望。

65°BAC⌒北东由于各人画的直角三角形大小不一样，所以量得的长度也不一样，但比值为什么相等呢？学生议论纷纷，激起疑问。

发现:在有一个锐角为65°的直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它约等于0.9。

的观点,激起疑问。

算结果大体一致，便于对后面知识的探究，故对教科书上要求的精确度进行了修改。

(3)为什么演扳的两位同学画的直角三角形大小不一样，但65°角的对边与斜边的比值：与相等呢？你能证明这个结论吗？∵∠D ＝∠D ′ ∠E ＝∠E ′ ∴△DEF ∽△D ′E ′F ′∴即： 因此：在有一个锐角等于65°的所有直角三角形中，65°角的对边与同桌之间将各自所画图形放在一起，合作探究。

☆ 1.本章体系建构应用：用一元一次不等解决问题•一般步骤是：⑴审题；⑵设未知数；⑶列一元 ⑷解不等式；⑸写出答数. 答案：不等号；不相等；成立；全体； 公共部分. ☆ 2.知识清单及方法技巧点拨本章知识解决方案概念次 不 等 式不等式：像a > 1, X+2V 14等用 _________ 表示 ____ 关系的式子叫不等式. 不等式的解：能使不等式 的未知数的值.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的 ___________ . 不等式的解集在数轴上表示：大于向 _，小于向 二，有等号用_心，无等号用_心. 解不等式：求不等式解集的过程.不等式性质：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向 _ 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向 _ ;不等式的两边都乘（或 除以）同一个负数，不等号的方向 _. — 一元一次不等式：只含有 _个未知数，并且未知数的次数都是等式. —解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一元一次不等式组：由几个含有 _未知数的一次不等式组成的不等式组. 一元一次不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的 _ 解不等式组：求不等式组的解集的过程.解一元一次不等式组分三步：①分别求出不等式组每一个不等式的解集；每个不等式的解集表示出来；③写出满足所有不等式的解集的公共部分， 组的解集.，系数不等于1.②在数轴上把即这个不等式的不 次不等式;1; 0 ；同一;右；左；实；空；不变；不变；改变;(6)方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变零，否则就变为等式了.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1,系数不等于0的不等式叫一元一次不等式.2x 1 5x是一元一次不等式.解一元一次不等式的步骤解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.解不等式：—4x> 12解：两边除以—3,得x<—3.判断一元一次不等式应满足三个条件：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1 .另外，有些不等式判断是否是一兀一次不等式，需先化简再判断.要特别注意，解一元一次—不等式最后系数化为1时, 如果未知数前面的系数是负数时，最后不等号方向要改变.用一元一次不等式解决问题的步骤用一元一次不等式解决问题的一般步骤是：⑴审题；⑵设未知数；⑶列一元一次不等式；⑷解不等式；⑸写出答数.一罐饮料净重500克，罐上注有蛋白质含量》0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为多少克克.解：设蛋白质的含量至少应为x克，依题意x得：——> 0.4% ,500解得x> 2,答：蛋白质的含量至少应为2克.用一元一次不等式解决问题就是分析题意，通过设未知数，把实际问题转化为数学中的不等式问题来解决，通过不等式求解可使实际问题变得较为简单.一元一次不等式组由几个含有同一未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组.2x 6 0含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次来判断不等式组是否是一元一次不等式组.一元一次不等式组的解集不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.2的解集是3结合数轴找各个不等式解集的公共部分.解不等式组求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.☆ 3.解题思路、方法及技巧应用①利用数形结合思想解题解不等式组解：由①得②得x 3,公共部分为所以解集为2 11，由x利用数轴找1 x 3,1 x 3.解不等式组的方法是开解、集中找”x 1 2a ①【例1】已知关于x 的不等式组有5个整数解，求a 的取值范围。

换两条线段和一个角试试，你发现了什么？
同学们各抒己见后总结：发现对于已知的两条线段和 一个角，以该角为夹角，所画的三角形都是全等的.
这就是判别三角形全等的另外一种简便的方 法：
如果两个三角形有两边及其夹角分 别对应相等，那么这两个三角形全
等．简写成“边角边”或简记为（SAS）
你能用相似三角形的识别法来解释这种“SAS”
的两个三角形重叠在一起发现了什么？其他各桌的同学是
否也有同样的结论呢？ 同学们各抒己见后，总结：对于已知两个角和一条线 段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的．由此得
到另一个识别全等三角形的简便方法：如果两个三角形的
两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全 等．简记为“角边角”或简记为(ASA).
教学重难点：
重点：利用三角形全等的识别法，间接说明角
相等或线段相等.
难点：三角形全等的识别法AAS及应用；
一、创设情境，导入新课
1.什么叫做全等三角形，如何识别两个三角形全等？ （能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.识别两个三 角形全等的方法有：SAS、ASA）. 2.叙述SAS、AAS的内容.
教材习题2.5第1题. 补充题： (1)全等三角形是( A.三个角对应相等 )
B.周长相等的三角形
C.面积相等的两个三角形 D.能够完全重合的三角形
(2)下列说法正确的个数是(
)
①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； ③全等三角形的周长相等； ④全等三角形的面积相等.
A.1
B.2
C.3
两弧交于点C. （3）连结AC、BC.
△ABC即为所求.
把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起，你们会 发现什么？换三条线段，再试试看，是否有同样的结论

学习高手初中数学苏科版七下第十一章图形的全等作者：周红军第十一章图形的全等本章要点导读知识要点课标要求学习策略全等图形的概念了解全等图形的概念，根据全等图形的概念识别全等的图形，知道全等图形的对应边、对应角相等．1、通过具体的直观图形，学习全等图形的概念；2、理解完全重合是判断全等图形的关键；3、观察对比，总结全等图形的对应边相等、对应角相等的性质．全等三角形的概念和性质掌握全等三角形的概念，根据全等三角形的概念能识别两个三角形是否全等；掌握全等三角形的性质，能利用全等三角形的性质说明两条线段相等或两个角相等．1、理解三种全等变换，知道通过平移、旋转、对折得到的新三角形与原三角形全等；2、注意表示三角形全等时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，养成良好的习惯，找对应边和对应角就容易了．全等三角形的判定会说明两个三角形全等，探索三角形全等的条件；利用全等为其它的计算和说明作准备；综合应用三角形全等的条件和三角形全等的性质解决相关的题目．1、灵活运用四种证明三角形全等的方法证明两个三角形全等；2、对两个三角形具备的条件及要添加的条件进行分类归纳，明确在判定两个三角形全等时，根据各种已知的条件要寻找的条件；3、将直角三角形具备的条件和采用的方法进行分类总结，明确判定直角三角形全等可以有5种方法；4、注意全等三角形中各种方法的边角之间的对应关系，能举出反例说明SSA和AAA不能说明三角形全等．** 全等图形图中的两个福娃在和大家开玩笑呢，它说它们是双胞胎，问大家它们是不是全等，那么什么是全等呢？我们怎样判定它们是不是全等？是不是根据它们是双胞胎来判断呢？下面我们学习全等图形这节课，明确判断两个图形全等的方法和条件，然后看两个福娃是不是全等的．高手支招1——细品教材一、全等图形的概念(★★★)能够完全重合的两个图形叫做全等图形．说明：实际生活中完全重合的例子很多，如：国旗上的四个小五角星是全等的；从同一个底片冲洗出来的同样尺寸的照片是全等的；从同一个摸具制作的零件是全等的；……示例：下列各组图形中是全等图形的是( )．思路分析：根据二元一次方程的概念：①二元整式方程，②未知项的次数是1．D不是整式方程，B、C未知项的次数不是1，这样排除B、C、D，选A．答案：A．二、全等变换(★★)全等变换根据变换的形式又可以分为对称变换、平移变换、旋转变换．把某图形沿某直线方向平移一段距离，从而得到一个新图形，这两个图形是全等的，这样的变换叫做平移变换．状元笔记：完全重合是指完完全全重合，不是局部重合，即使重合的部分再多，只要有一点不重合就不是完全重合．做出一个图形或者是图形的一部分关于一条直线或一个点的对称图形，这两个图形是全等的，这种方法称为对称变换．把一个图形绕某定点旋转一定的角度，得到新图形，这两个图形是全等的，这种构造新图形的方法叫做旋转变换．示例：如图所示，在正方形网格中，图①经过变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；图③是由图②经过旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填“A ”或“B ”或“C ”）．思路分析：根据图形变换的性质解即可． 答案：平移；A ． 高手支招2——归纳整理本节内容主要是全等图形的概念以及得到全等图形的三种方法．能够完全重合的两个图形是全等图形，全等的两个图形的位置不同，但是形状和大小相同，经过移动是可以完全重合的．平移、对称、旋转是得到全等图形的三种方法．本节课的重点是判断两个图形是不是全等图形，和确定两个图形全等的变换方式，难点是将一个图形分成两个或几个全等的图形． 全等图形：能够 ① 的两个图形叫做全等图形； 全等变换：常见的全等变换有： ② ， ③ ， ④ ．答案：①完全重合；②平移变换；③对称变换；④旋转变换．高手支招３——典例精析一、基础知识题型例1下列各组图形中是全等图形的是 ( )．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧全等 图形状元笔记：不管是平移、对称、旋转都是改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，两个图形是全等的．思路分析：根据全等图形的概念可以知道B中的两个图形是全等的．答案：B．技术化提示：能完全重合的两个图形形状相同，大小相等．例2如图11.1－2所示，七巧板中和①全等的图形是( )．A．②B．③C．④D．⑤思路分析：这几个图形都和①的形状相同，但是只有③的大小和①相等，所以③和①全等．答案：B．技术化提示：先根据形状排除，然后再根据大小排除．例3下面的每组图形中，左面的平移后可以得到右面的是( )．思路分析：通过平移得到的图形的形状和大小是完全相同的，是全等图形，并且对应点的连线是相等且平行的．正确答案是D．答案：D．技术化提示：先根据全等将B排除，然后根据平移的性质将A、C排除．例4下列叙述不正确的是( )．A．半径相同的两个圆是全等图形B．全等图形的周长、面积也一定相等C．长和宽分别相等的两个长方形是全等图形D．面积相同的两个直角三角形是全等图形思路分析：D中面积相同的两个直角三角形，只能判定两个直角三角形的两个直角边的乘积相等，不能判定其形状、大小相同，所以不能判定二者是全等图形.故D是不正确的．答案：D．技术化提示：根据实际问题中的未知数的特殊取值可以列举未知数的值，然后得出适合实际问题的方程的解．二、综合拓展题型例5如图11.1－3所示，在正方形方格中的两黑色图形是全等形，右上方的黑色图案向左平移一个单位，再向下平移两个单位后，与左下方的黑色图案组成的图形是_______形．思路分析：按照平移的方法，做出平移的图形，发现是矩形．答案：矩形．技术化提示：图形平移，则图形上的每一个点都平移同样的距离．三、探究创新题型例6将如图11.1－4中的图形分割为两个全等的图形，三个全等图形，六个全等图形．思路分析：主要是找到分割的位置．连接正六边形相对的顶点的一条对角线就可以将正六边形分割为两个全等的图形；连接三对相对的点的对角线，就将正六边形分成全等的六份，取其中相对的两份作为一个整体，就将正六边形分成三个全等图形．解：如图11.1－5所示：技术化提示：可以将小图形进行组合，组合的方法有多种，如可以相邻的两个组合等．高手支招4——链接中考中考试题中单独考查全等图形的题目是中考题目中的低档题，是不多见的．一般是结合图形的变换(平移、旋转、轴对称)进行考查，单独考查时，一般是选择题或作图题，分值大约为3～6分．例1(2009·江西，5)在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是( )．A．翻折B．旋转C．轴对称D．平移答案：D．点拨：按照定义将A、B、C排除．高手支招5——思考发现1．全等的两个图形是完全重合的，它们的对应边相等、对应角相等．全等的图形改变的是图形的位置，图形的形状和大小没有改变．由全等的图形是完全重合的，可以得出两个全等图形的面积是相等的，周长也是相等的．2．平移、旋转、对称得到的两个图形都是全等的，它们都是改变图形位置，不改变图形的形状和大小．高手支招6——体验成功【基础巩固】1．下列叙述正确的是( )．A．两个形状相同的图形，称为全等图形B．两个圆是全等图形C．两个正方形是全等图形D．全等图形的形状和大小都相同2．下列各组图形，不是全等图形的一组是( )．3．下图中的各组图形是由平移得到的是( )．4．组成下列图形的小正方形是全等形，那么和甲图全等的图形是( )．5．如图所示，图形①经过______变化成图形②，图形②经过______变化成图形③，图形③经过______变化成图形④．6．在word文档中输入文字时，当按住“ctrl”键拖动一段文字移动一段距离，会得出一段文字，这段文字和第一段文字是________．【综合应用】7．这个图案中的4个图形______，可以看作是由一个图形经过______得到．8．在“‘神七’在太空中翱翔”这句话中，旋转180°后，与原字全等的是______. 9．怎样对矩形进行分割和平移，使它成为菱形，请试一试．10．将图中美丽的花瓣分成2个、3个、6个全等的图形，画图说明．【探究创新】11．如图所示的是某种地板砖上图案的一部分，•请把这个图案按照不同的分法，分成若干个全等的基本图形，并分析形成过程．答案与点拨1．D点拨：全等的两个图形是位置不同，但形状和大小相同．2．B点拨：B中的两个图形的大小不同．3．B点拨：A、D是轴对称，C是旋转．4．C点拨：根据形状很容易判断C和图甲是全等的．5．轴对称，平移，旋转点拨：由图①到图②是轴对称，由图②得到③是平移，图③到④是旋转．6．全等点拨：拖动产生的文字和原文字完全相同．7．全等，旋转8．中点拨：将上面的几个字旋转180°后，能和原来完全重合的是“中”．9．解：根据菱形的对角线将菱形分成4个全等的直角三角形，首先将矩形分割成4个全等的直角三角形，然后平移拼接．见下图：(虚线表示平移后的部分，编号相同的是平移前后的位置．)10．解：分割如图所示：11．解：这个图案可以分解成9个全等的图形，所以这个图形是基本图形1．将这个基本图形向上平移两次，平移的距离是宽的长度，得到由三个这样的图形组成的基本图形2，将基本图形1向右平移两次，平移的距离是基本图形1的长的距离，得出的图形就是基本图形3．由三种基本图形通过平移就可以得出整个图案．基本图形见下图．STS从科学守恒到数学不变量—种数学文化的视角大千世界在不断地变化着．世间万物经历着历史的变化，承受着地域的变化，既有质的变化，更有量的变化．变化是绝对的．但是，看到变化更要把握变化，人们需要找出事物变化中保持不变的规律．无论是社会科学还是自然科学，都会寻求某种不变性，在科学上称之为守恒，在数学上就是不变量．在几何上，大家熟知图形的“全等”，它是指把一个图形通过“运动”（指移动、旋转、折叠）之后，可以和另一个图形“重合”．两个全等的图形经过运动之后，它们的长度、角度、面积等等都不变．这就是说，全等图形的长度、角度、面积是守恒的．至于相似，也是一种守恒．不过它只有角度不变，完全守恒，而长度和面积变了，不能有“相等性”的守恒了．但是，还可以用“长度之比”是一个常数（相似比）来说明它的守恒特征．对称是美丽的．所谓对称，指相对又相称．这在人类早期文明中就有体现．《易经》中的太极图，何等对称！对称，又是生活中常用的概念．服装设计、室内装潢、音乐旋律都有对称的踪迹．数学上，轴对称是沿对称轴翻折以后图形的形状不变，旋转对称就是以旋转中心转动以后图形的形状不变．** 全等三角形唐老鸭买了两条相同的项链，准备送给米老鼠一条．这两条项链主体是三角形的，前面我们学习了全等图形，这两个三角形全等吗？若是它们全等，是不是可以叫做全等三角形呢？高手支招1——细品教材一、全等三角形(★★★) 两个能重合的三角形是全等三角形．(1) 表示方法：如图11.2－1，△ABC 与△DEF全等，记作“△ABC ≌△DEF ”，读作“△ABC 全等于△DEF ”．在表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上．(2) 对应顶点：顶点A 和D 、B 和E 、C 和F 是对应顶点． 状元笔记：重合是指完全重合，不能是部分重合．(3) 对应边：AB和DE、AC和DF、BC和EF是对应边．(4) 对应角：∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角．示例：如图11.2－2所示，如果所画为两个全等三角形，则可以写成_________≌_________．思路分析：最短边AC与最短边A′C′是对应边，最长边BC与最长边B′C′是对应边，对应的顶点写在对应的位置上，所以可写成△ABC≌△A′B′C′．答案：△ABC，△A′B′C′．二、全等三角形的性质(★★★)全等三角形的对应边相等，对应角相等．如图11.2－1中，已知△ABC≌△DEF，那么AB=DE，AC=DF，BC=EF．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F．示例：如图11.2－3所示，△ABC≌△AEC，B和E是对应顶点，∠B=30°，∠ACB=85°，则△AEC各内角的度数为________．状元笔记：不是对应的边和角可能相等，也可能不相等，但是对应边和对应角一定相等．思路分析：∠BAC =180°－∠B －∠ACB =65°．∠ACE 与∠ACB 是对应角，所以∠ACE =∠ACB =85°，∠E 与∠B 是对应角，所以∠E =∠B =30°，∠EAC 与∠BAC 是对应角，所以∠EAC =∠BAC =65°．答案：∠ACE =85°，∠E =30°，∠EAC =65°．高手支招2——归纳整理本节内容是全等三角形及全等三角形的性质．当两个三角形能完全重合时，这两个三角形全等，在表示两个三角形全等时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上．因为两个全等的三角形是完全重合的，所以对应的边和角也是完全重合的，所以全等三角形的对应边相等，对应角相等．本节的重点是全等三角形的含义和性质，难点是全等三角形的性质及其应用． 全等三角形的概念：两个能① 的三角形是全等三角形； 全等三角形的性质：全等三角形的 ② ， ③ ．答案：①重合；②对应边相等；③对应角相等．高手支招３——典例精析一、基础知识题型例1如图，△OAB 绕点O 逆时针旋转80°到△OCD 的位置，已知∠AOD =45°，∠A =95°，则∠D 等于 ( )．A ．50°B ．45°C ．40°D ．35°思路分析：根据旋转角定义，得∠AOC =80°，因为∠AOD =45°，所以∠COD =80°－45°=35°．△OCD 是△OAB 旋转得到的，所以△OCD ≌△OAB ．因为∠A =95°，所以∠C =∠A =95°．所以∠D =180°－35°－95°=50°．答案：A ．技术化提示：根据全等三角形的对应角相等得出未知角的度数．例2如图11.2－5，将△ABC 向右平移得到△DEF ，那么∠F = ( )．A ．60°B ．55°C ．65°D ．不确定⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧全等三角形思路分析：因为∠A=60°，∠B=55°，所以∠C=180°－60°－55°=65°．△DEF 是ABC平移得到的，所以△DEF≌ABC．所以∠F=∠C=65°．答案：C．技术化提示：经过平移得到的三角形和原三角形全等．例3如图11.2－6，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B′位置，A点落在A′位置，若AC⊥A′B′，则∠BAC的度数是．思路分析：根据题意，得∠ACA′=20°．因为AC⊥A′B′，所以∠A′=90°－20°=70°．由旋转定义知，△ABC≌△A′B′C，所以∠BAC=∠A′=70°．答案：70°．技术化提示：将一个三角形旋转一个角度，得到的三角形和原三角形全等．例4已知△ABC≌△DEF，若△ABC的周长为32，AB=8，BC=12，则CA=____，DE=_____，EF=______．思路分析：因为△ABC的周长为32，AB=8，BC=12，所以CA=32－12－8=12．因为△ABC≌△DEF，所以DE=AB=8，EF=BC=12．答案：12，8，12．技术化提示：全等三角形的对应边相等，所以周长也相等．二、综合拓展题型例5如图11.2－7，△ABC≌△DEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2．求∠DFE 的度数与EC的长．思路分析：由三角形内角和定理可得∠ACB的度数，再由全等三角形的对应角相等，对应边相等，求出所求的角的度数与线段的长．解：在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，(三角形内角和为180°)因为∠A=30°，∠B=50°，(已知)所以∠ACB=180°－30°－50°=100°．所以△ABC≌△DEF，(已知)所以∠ACB=∠DFE，(全等三角形对应角相等)BC=EF．(全等三角形对应边相等)所以∠DFE=100°，EC=EF－FC=BC－FC=BF=2．技术化提示：BF与EC不是全等三角形的对应边，所以不能由△ABC与△DEF全等直接得出EC=BF．三、探究创新题型例6如图11.2－8，△ABC≌△DEF，且B与E，C与F是对应顶点，问经过怎样的图形变换可使这两个三角形重合？思路分析：两个三角形重合时，点B和点E、点A和点D、点C和点F重合，所以要经过平移和翻折两个步骤．可以先平移再翻折，也可以先翻折再平移．解：解法1：先将△DEF沿着CB方向平移，使E与B重合(此时F与C重合)，再将移动后的△DEF沿着BC翻折，它即与△ABC重合．解法2：先把△DEF沿EF翻折，再把翻折后的△DEF沿着CB方向平移，使E与B重合，则△DEF即与△ABC重合．技术化提示：变换后使对应顶点重合．高手支招4——链接中考全等三角形这部分在中考中多以选择题或填空题的形式出现，在解答题中，用全等三角形的性质求边的长度或角的度数的题目也很常见．这部分在中考中是低档题目，大约占3分左右．例1(2009·湖北黄冈，3) 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为( )．A．48°B．54°C．74°D．78°答案：B．点拨：轴对称的两个图形全等，所以△ABC≌△A′B′C′．所以∠C=∠C′=48°．所以∠B=180°－∠A－∠C=180°－78°－48°=54°．例2(2009·四川遂宁，17) 已知△ABC中，AB=BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个.答案：7．点拨：以AB为公共边可以作出三个与△ABC全等的三角形，同样以BC为公共边也可以作出三个与△A BC全等的三角形，而以AC为公共边只可以作出一个与△ABC全等的三角形．高手支招5——思考发现1．经过平移、翻折(轴对称)、旋转得到的三角形和原三角形是全等三角形，上面的三种变换过程都是改变三角形的位置，不改变三角形的形状和大小，经过移动后是可以完全重合的．2．已知两个三角形全等，可以得出它们的对应边相等，对应角相等．全等三角形的性质可以证明线段的相等和角的相等．在利用两个全等三角形的对应边相等或对应角相等证明问题时，不一定都写出所有的对应边和对应角．高手支招6——体验成功1．如图所示，△ABC≌△DEF，相等的线段有( )组．A．1 B．2 C．3 D．42．如图，△ABC≌△CDA，且AB、CD是对应边，下面结论中不正确的是( )．A．△ABC和△CDA的面积相等B．△ABC和△CDA的周长相等C．∠B +∠BAC =∠D +∠DAC D．AD∥BC且AD = BC3．若△MNP≌△NMQ，且MN=10 ，NP=8，PM= 6，则MQ的长为( )．A．10 B．8 C．6 D．54．如图，已知△ABC≌△DEF，且AB＞BC＞CA，则在△DEF中有( )．A．DE＞EF＞DF B．DE＞DF＞EFC．EF＞DE＞DF D．DF＞DE＞EF5．如图所示，△ABC≌△AED，△ABC的周长是50，AB=23，AC=22，则DE 的长是_________．6．如图所示，若△ABC≌△DEF，AB=5，AC=8，则EF的取值范围是________．7．如图所示，△ADE≌△BCF，AD=6，CD=3，试求BD的长．8．如图所示，△ABC≌△DFE，且B与F，C与E是对应点，试求∠FDB+∠ABD 的值．9．如图所示，P是△ABC内的一点（△ABC各内角的度数都是60°），若将△P AB 绕点A逆时针旋转到△P′AC，试求∠P AP′的度数．10．如图所示，△ABC≌△ADE，延长BC分别交AD、DE于F、G，∠CAD=10°，∠B =∠D = 25°，∠EAB = 120°．求∠DFB和∠DGB的度数．【探究创新】11．如图所示，已知△ABF≌△DCE，E与F是对应顶点．(1) △DCE可以看成是由△ABF通过什么样的运动得到的？(2) 证明：AF//DE．答案与点拨1．D点拨：AB=DE，BC=EF，AC=DF，BE=CF．2．C点拨：∠B=∠D，但是∠BAC≠∠DAC．3．B点拨：因为△MNP≌△NMQ，所以MQ=NP=8．4．A点拨：因为△ABC≌△DEF，所以AB=DE，BC=EF，CA=FD．因为AB ＞BC＞CA，所以DE＞EF＞DF．5．5 点拨：因为△ABC≌△AED，所以DE=BC=50－AB－AC=50－23－22=5．6．3＜EF＜13 点拨：因为△ABC≌△DEF，所以EF=BC．因为8－5＜BC＜8+5，即3＜BC＜13，因为3＜EF＜13．7．解：因为△ADE≌△BCF，AD=6，所以AD=BC=6．又因为BC=CD+BD，CD=3，所以BD=BC－CD=6－3=3．8．因为△ABC≌△DFE，所以∠ABC=∠DFE，所以AB∥FD．所以∠FDB+∠ABD=180°．9．解：因为将△P AB绕点A旋转到△P′AC，所以△P AB≌△P′AC，所以∠P′AC=∠P AB，所以∠P AP′=∠P′AC+∠CAP=∠P AB+∠CAP=60°．10．解：因为△ABC≌△ADE，所以∠DAE=∠BAC．因为∠CAD=10°，∠EAB = 120°，所以∠DAE=∠BAC=(120°－10°)÷2=55°．因为∠DFB是△ACB的外角，∠B=25°，所以∠DFB=∠F AB+∠B=∠CAD+∠BAC+∠B=10°+55°+25°=90°．因为∠D=25°，所以∠DFB=90°－25°=65°．11．解：(1) 可以看作是将△ABF沿BC方向移动，使F与E重合，然后绕点E 顺时针旋转180°得到．(2) 证明：因为△ABF≌△DCE，所以∠AFB=∠DEC．所以180°－∠AFB=180°－∠DEC．即∠AFE=∠DEF．所以AF//DE．STS全等变换拿一张纸对折后，剪成两个全等的三角形．把这两个三角形一起放到图1中△ABC的位置上．试一试，如果其中一个三角形不动，怎样移动另一个三角形，能够得到图11.2－10中的各图形呢？通过实际操作可知，把△ABC沿直线BC移动线段BC那样长的距离，可以变到△A'B'C'的位置（图（1））；以BC为轴把△ABC翻转180°，可以变到△A'B'C'的位置（图(2))；以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△A'B'C'的位置（图（3））．这些图形中的两个三角形之间有这样的关系：其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻转或旋转等方法得到的．像这样，按某种方法把一个图形变成另一个图形，叫做图形变换．经过图形变换，图形的一些性质改变了，而另一些性质仍然保留下来，上面三个图形经过变换，图形的位置变化了，但形状大小都没有改变，即变换前后的图形全等．像这样，只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换，叫做全等变换．图形的全等变换，不仅为研究几何图形提供方便，而且在实际生活中有着广泛的应用．有的图案是由一些简单的图形经过旋转得到的；有的图案是由一些图形平行移动得到的．这些图案均可作为装饰的图案．下列图形都是经过全等变换得到的．试一试，用两个完全相同的三角形经过怎样的变换，才能拼出这些图形．11．3 探索三角形全等的条件喜洋洋房子上的一块玻璃破了，碎成了如图所示的三块，它手头没有测量的工具，于是它想带着玻璃去配一块，这时它想“是全部都带着去还是只带着一块去呢？”同学们你们说，它可以带着一块去吗？带着哪块去呢？高手支招1——细品教材一、三角形全等的判定方法一：SAS(★★★)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”．书写格式：如图11.3－1，在△ABC和△DEF中，若AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，则△ABC≌△DEF．在△ABC和△DEF中，状元笔记：“SAS”中的“A”是两个“S”的所夹的角．,.AB DE A D AC DF ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠＝∠，＝则△ABC ≌△DEF (SAS)．示例：如图11.3－2，连结BC 后，当AB =_____，∠ABC =_____，BC =____时，可用“SAS”推得△ABC ≌△DCB ．思路分析：根据三角形全等的条件，两边及其夹角对应相等，则两个三角形全等.注意“夹角”．答案：DC ，∠DCB ，CB ．二、三角形全等的判定方法二：ASA(★★★) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA ”．书写格式：如图11.3－1，在△ABC 和△DEF 中，若AB =DE ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，则△ABC ≌△DEF ．在△ABC 和△DEF 中，.A D AB DE B E ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠则△ABC ≌△DEF (ASA)．示例：如图11.3－3，点D 在AB 上，点E 在AC 上，BE 和CD 交于点O ．AB =AC ，∠B =∠C ，那么BD 和CE 相等吗？为什么？状元笔记：“ASA ”中的“S ”是两个“A ”的所夹的边．思路分析：想要说明BD =CE ，由条件AB =AC ，可以说明AD =AE ．根据已知条件很容易说明△ABE ≌△ACD ，隐含条件∠A 是公共角．解：BD =CE ．理由：在△ABE 和△ACD 中，.A A AC ABC B ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，＝，∠＝∠所以△ABE ≌△ACD (ASA)．三、三角形全等的判定方法三：AAS (★★★)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS ”．书写格式：如图11.3－1，在△ABC 和△DEF 中，若BC =EF ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，则△ABC ≌△DEF ．在△ABC 和△DEF 中，.A DB E BC EF ⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠，∠＝∠，＝则△ABC ≌△DEF (AAS)． 示例：如图11.3－4，∠D =∠C ，请你添加一个条件： ，使OC =OD（只添一个即可）．状元笔记：“AAS ”中的“S ”是两个“A ”中的一个的对边．思路分析：题目中隐含条件AB是公共边，另一个条件是∠D=∠C，是AB 的对角，所以再添加∠BAC=∠ABD，证明方法是AAS．或添加∠ABC=∠BAD，证明方法也是AAS．答案：∠BAC=∠ABD或∠ABC=∠BAD．四、三角形全等的判定方法四：SSS (★★★)三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．书写格式：如图11.3－1，在△ABC和△DEF中，若BC=EF，AB=DE，AC=DF，则△ABC≌△DEF．在△ABC和△DEF中，.AB DEAC DFBC EF⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝则△ABC≌△DEF(SSS)．示例：如图11.3－5，已知AB=AD，CB=CD，∠DAC与∠BAC相等吗？为什么？思路分析：本题很容易从条件得出△ABC≌△ADC，证明方法是“SSS”，所以很容易得出∠DAC与∠BAC相等．解：∠DAC=∠BAC. 理由：在△ABC和△ADC中，.AB ADBC DCAC AC⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，＝所以△ABC≌△ADC(SSS)．所以∠DAC=∠BAC.(全等三角形的对应角相等)状元笔记：“AAS”中的“S”是两个“A”中的一个的对边．五、直角三角形全等的判定方法：HL (★★★)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL ”．书写格式：如图11.3－6，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，若∠C =∠F =90°，AB =DE ，AC=DF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF ．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，AB DE AC DF ⎧⎨⎩＝，＝.则△ABC ≌△DEF (HL)．示例：如图11.3－7，D 是△ABC 的边BC 的中点，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E 、F ，且BF =CE ．求证：∠B =∠C ．思路分析：欲证∠B =∠C ，可以证明△BDF ≌△CDE ，这是两个直角三角形，可以用“HL ”定理证明．证明：因为DE ⊥AC ，DF ⊥AB ， 所以∠DFB =∠DEC =90°．状元笔记：“HL ”直角三角形全等的特殊的判定方法．因为点D 是BC 的中点， 所以BD =CD .在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，BD CD BFC CE ⎧⎨⎩＝，＝.所以△BDF ≌△CDE (HL)． 所以∠B =∠C ． 高手支招2——归纳整理本节的主要内容是三角形全等的判定方法．对于一般三角形共有四种方法，分别是“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”．对于直角三角形还有一种特殊的方法是“HL”．方法很多，但是在证明时，要根据给出的题目灵活选择合适的方法．在给出的条件不充足时，要结合已知条件和图形特点，找出证明所需的条件，注意隐含条件的使用，如：公共边，公共角，对顶角等．本节课的重点是三角形全等的条件的探索，难点是灵活应用三角形全等的条件和三角形全等的性质的综合应用．一般三角形全等的方法： ① ， ② ， ③ ， ④ ；直角三角形全等的判定方法：除以上判定方法外，直角三角形还可以用 ⑤ 证明全等．答案：①SAS ；②ASA ；③AAS ；④SSS ；⑤HL ．高手支招３——典例精析一、基础知识题型例1下列条件能判断两个三角形全等的是 ( )． ①两角及一边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两边及一边所对的角对应相等；④两角及其夹边对应相等．A ．①③B ．②④C ．①②④D ．②③④思路分析：根据三角形全等的判定方法：①两角及一边对应相等即有“AAS 和ASA”两种可能，都可以判定两三角形全等，②两边及其夹角对应相等即是用“SAS”来判定三角形全等，③两边及一边所对的角对应相等即有“SSA ，SAS”两⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧探索三角形 全等的条件。

解： ∵ ∠3是△ABC的一个外角
∴∠3= ∠1+∠2 （三角形的一个外角等于和 它不相邻的两个内角的和）
3 21
∵ ∠1=∠2
∴ ∠3= 2∠1
∴ ∠1= ∠2 = 1/2∠3=1/2×100
°
=50 °
3A
B2
1C
课堂达标
1. 三角形按角分类,可以分为锐角三角形, 直角三角形,钝角三角形
2.在 ABC 中, (1)若∠A=54°，∠B=27°，则∠C= 99° . (2)若∠B=∠C=30°，则∠A= 120°, ABC 为 钝角 三角形 (3)若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠A= 30°,∠B= 60°,∠C = 90°.
多边形 三角形 四边形 五边形 … n 边形
内角和
180° 360° 540°
…
180°( n－2 )
做一做
在一张薄纸上任意画一个 三角形，你能设法画出它的一 个内角的平分线吗? 你能通过折纸的方法得到它吗?
B 用圆规画最简便。
在一张纸上画出一个 一个三角形并剪下，将它的 一个角对折，使其两边重合。
∴∠ＢＡＦ＋∠ＣＢＤ＋∠ＡＣＥ ＝（∠２＋∠３＋∠１＋∠３＋∠１＋∠２） ＝２（∠１＋∠２＋∠３）
例4 已知：Ｄ是ＡＢ上一点，
Ｅ是ＡＣ上一点，ＢＥ、ＣＤ相交于点
Ｆ，∠Ａ＝６２º，∠ＡＣＤ＝３５º，
∠ＡＢＥ＝２０º．
求：（１）∠ＢＤＣ的度数； Ａ
（２）∠ＢＦＤ的度
数 解．：Байду номын сангаас１） ∵∠ＢＤＣ ＝∠Ａ＋∠ＡＣＤ
个外角．
A
E
D
F
B
C
三.三角形的分类
直角三角形
按角分

本章知识解决方案☆⒈本章体系建构不等式：像a＞1，x+2＜14等用表示关系的式子叫不等式．不等式的解：能使不等式的未知数的值．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的．概念不等式的解集在数轴上表示：大于向，小于向，有等号用心，无等号用心．解不等式：求不等式解集的过程．不等式性质：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向．一元一次不等式：只含有个未知数，并且未知数的次数都是，系数不等于的不等式．解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．一元一次不等式组：由几个含有未知数的一次不等式组成的不等式组．一元一次不等式组的解集：不等式组中所有不等式的解集的．解不等式组：求不等式组的解集的过程．解一元一次不等式组分三步：①分别求出不等式组每一个不等式的解集；②在数轴上把每个不等式的解集表示出来；③写出满足所有不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．应用：用一元一次不等解决问题．一般步骤是：⑴审题；⑵设未知数；⑶列一元一次不等式；⑷解不等式；⑸写出答数．答案：不等号；不相等；成立；全体；右；左；实；空；不变；不变；改变；一；1；0；同一；公共部分．☆⒉知识清单及方法技巧点拨序号知识点叙述对应举例应用点拨（1）不等式用不等号表示不相等关系的式子叫不等式．2a-7＞1．抓住表示不等关系的关键词．（2）不等式的解能使不等式成立的未知数的值叫不等式的解．2a-7＞1的一个解是a=4．先把所给未知数的值代入不等式的左右两边，再由不等式是否成立来判断是否是不等式的解．（3）不等式的解集一般情况下不等式有无数个解，一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集．不等式x+5＞4的解集为x＞－1．不等式的解集仍用不等式表示，需包含不等式的所有解．解集在数轴上表示，大于向右，小于向左；有等号用实心，无等号用空心．（4）不等式性质⑴不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变．⑵不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的由x＋3＞2根据性质1可得x＞－1；由2x＞4根据性质2可得x＞2；由−2x＞4根据性质2可得x＜－2．应用不等式性质时注意：①不等式两边乘除负数时不等号方向一定要改变；②不等式两边不能同乘以一元一次不等式方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变零，否则就变为等式了．（5）一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0的不等式叫一元一次不等式．215x x->是一元一次不等式．判断一元一次不等式应满足三个条件：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1．另外，有些不等式判断是否是一元一次不等式，需先化简再判断．（6）解一元一次不等式的步骤解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．解不等式：－4x＞12解：两边除以－3，得x＜－3．要特别注意，解一元一次不等式最后系数化为1时，如果未知数前面的系数是负数时，最后不等号方向要改变．（7）用一元一次不等式解决问题的步骤用一元一次不等式解决问题的一般步骤是：⑴审题；⑵设未知数；⑶列一元一次不等式；⑷解不等式；⑸写出答数．一罐饮料净重500克，罐上注有“蛋白质含量≥0.4%”，则这罐饮料中蛋白质的含量至少为多少克克．解：设蛋白质的含量至少应为x克，依题意得：500x≥0.4%，解得x≥2，答：蛋白质的含量至少应为2克．用一元一次不等式解决问题就是分析题意，通过设未知数，把实际问题转化为数学中的不等式问题来解决，通过不等式求解可使实际问题变得较为简单．（8）一元一次不等式组由几个含有同一未知数的一次不等式组成的不等式组叫做一元一次不等式组．30260xx+>⎧⎨-<⎩含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次来判断不等式组是否是一元一次不等式组．（9）一元一次不等式组的解集不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集．23xx>-⎧⎨<⎩的解集是23x-<<．结合数轴找各个不等式解集的公共部分．（10）解不等式组求不等式组的解集的过程叫做解不等式组．解不等式组1021xx+>⎧⎨-<⎩解：由①得1x>-，由②得3x<，利用数轴找公共部分为13x-<<，所以解集为13x-<<．解不等式组的方法是“分开解、集中找”☆⒊解题思路、方法及技巧应用①利用数形结合思想解题【例1】已知关于x 的不等式组12251x a x ⎧+<⎨-≥⎩①②有5个整数解，求a 的取值范围。

八年级数学湘教版知识点不渴望能够一跃千里，只希望每天能够前进一步。

每一门科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，数学其实和语文英语一样，也是要记、要背、要练的。

下面是小编给大家整理的一些八年级数学的知识点，希望对大家有所帮助。

初二上学期数学知识点归纳三角形知识概念1、三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2、三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。

3、高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

4、中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

5、角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

6、三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。

7、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

8、多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

9、多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

10、多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

11、正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形。

12、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。

13、公式与性质：(1)三角形的内角和：三角形的内角和为180°(2)三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

(3)多边形内角和公式：边形的内角和等于?180°(4)多边形的外角和：多边形的外角和为360°(5)多边形对角线的条数：①从边形的一个顶点出发可以引条对角线，把多边形分成个三角形。

②边形共有条对角线。

位置与坐标1、确定位置在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。

P A Q B C E P O A M F B B D E G A F C B A C D
5题
D
6题
7题
8题
二、三角形的有关性质关系及判定
1.三角形的三边的关系定理： 大于 第三边. 三角形的任意两边之和_______ a+b>c b a b+c>a A c B c+a>b 应用：判断三条线段能否组成三角形 方法：只要看较短的两条线段之和是否
用式子符号表示
C
大于较长的线段.
4.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
A B N C
从三角形的一 个顶点向它的 对边所在的直 垂线 ， 线作_____ 定义 顶点和垂足 ____之 间的线段叫做 三角形的高
A
图例
B
H C
M
C
90° ∠AHB=____ 应用 ∠AHC=____ 90°
∠2 ∠1=____ 1 =___ 2 ∠BAC
BN=___=___BC CN 1
2
4. 线段的垂直平分线 垂直 且______ 平分 一条线段的直线叫做 ______ 这条线段的垂直平分线
C A B D C (A)

A (B)
B
C
B
A (C) D
B C D (D) A
5.口答：在下图中
80 ° 70 ° n° x= D y° A y= 30°
n = 30° A
B
∠α =
35° α
40°
60°
40 °
B
60°
C
D
C 70° ∠B =_______
10.如图，已知△ABC中，已知∠B＝65°， ∠C＝45°，AD是BC边上的高 ，AE是 ∠BA C的平分线，求∠DAE的度数.

**等腰三角形的性质和判定001 - 1等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理有二： 定理1：等腰三角形的两个底角相等 “等边对等角”）.定理2:等腰三角形的顶角平分线、 中线、底边上的高互相重合 .可用符号语言表述如下：定理1:如图1-1-1 ,在^ ABC 中， •••/ B=/ C.定理2:如图，在^ ABC 中，AB=AC 若/ BAD= /CAD 那么 ADX BC BD=CD 若 BD=CD 那 么/ BAD 玄 CAD ADI BC;若 ADX BC,那么/ BAD 玄CAD BD=CD.推■引■⑴定理1常用来证明同一个 三角形中的两个角相等；定理 2实际上是等腰♦等腰三角形的性质定理 例1.如图1-1-2 ,房屋的顶角/ BAC=100°，过屋顶 A 的立柱，屋椽AB=AC 求/ B ，/ C ，/ BAD , / CAD 的度数. 分析：已知等腰三角形的顶角，根据等边 对等角及三角形的内角和定理可求出/ B 与/ C 的度数，再根据等腰三角形的三 线合一，可得AD 是顶角的平分线，则/ BAD 与/ CAD 的度数即可求. 解:在^ ABC 中，AB=AC （已知）.•••/ B=1/ C （等边对等角）.•• / B= / C=-21（180°- / BAC ） =— （180°-100°）=40°（三2角形内角和定理）.又••• AD 丄BC ，•/ BAD= / CAD （等腰三角形顶角的平分线 与底边上的高互相重合 ），•/ BAD= /三角形中的两个结论，已知其中任意 一个可以得到另两个结论， 常用来证明角 相等、线段相等或垂直.⑵将这两条性质 用在特殊的等腰三角形即等边三角形中， 可得等边三角的性质：等边 三角形的各角都相等，并且都等于 60°;等边三角形每一条边上的中线高都与所 对的角平分线互相重合.002- 2等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理可概括为 ：如 果一个三角形的两个角相等， 那么这两个 角所对的边也相等（简称等角对等边）.此定理的证明需要作出顶角的平分 线得到两个全等三角形.在等腰三角形中 经常需添加这样的辅助线，对于是作顶角 的平分线、底边上的高或底边 A上的中线，要根据具体情况来/\---------- C1-1-3细品书中知识 关键词：等腰三角形的性质、 等腰三角形的判定、分析法 （简称底边上•/ AB=AC用全等说明△ ABG 是等腰三角形.利用平行线的特征转移相等角，说解：图中有三个等腰三角形，分别是^ ABG △AEF △ EFB.定，像本定理如果作底边的中线就不好证明了. 符号语言表述为：如图1-1-3，在△ ABC中， •// B=/ C, ••• AB=AC.推■引■⑴等腰三角形的定义既体 现了等腰三角形的性质，也可以判定一个三角 形是等腰三角形；等腰三角形的性质定理与判 定定理是互为逆定理.⑵对特殊的等腰三角形 即等边三角形的判定，可总结为以下几点：三个 角都相等三角形是等边三角形；有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 .要注意的是，在没有判定出一个三角形是 等腰三角形之前，不能使用“底角”等名词， 只有在等腰三角形中，才有“底角”这样的说 法.即不能出现如“两个底角相等的三角形是等 腰三角形”等这样的错误说法 .003 - 3分析法分析法也叫逆推法，是从证明的结论出发， 寻找证明所需的条件，一步步地逆向推理.当 推理的条件与已知条件一致时，问题得到解决. 用分析法解题的目的性强， 思维过程比较自然， 容易找到解题思路.解题时，往往用分析法找解 题途径，从结论入手，层层分析，弄清需证什 么，必须先证什么，一步一步地追索到已知条 件，而书写时只须将分析思路反过来叙述即可 .这就是几何中常用的分析法的途径.右边的例3可分析如下：CAD=50 °.反思：等腰三角形中须随时注意两个性质 定理的运用.♦等腰三角形的判定定理例2.如图1-1-4，在△ ABC 中，BD 平分/ B , AE 丄BD 于E , EF// BC 交AB 于F.问图中有几个等 腰三角形？为什么？分析：△ ABG △ AEF △ EFB 是等腰三角形.利理由：由BD 平分/ ABC 及 AE 丄BD,可 得/ ABE=/ GBE / AEB=Z GEB=90,又 BE 是公共边，•••△ ABE^A GBE •- AB=BG. 即^ABG 是等腰三角形；由 FE// BG 可得/ AEF=/ AGB 又 在^ ABG 中,/ BAG=^ BGA •/ AEF=/ FAE •- FA=FE.即△ AEF 是等腰三角形； 由 BD 平分/ ABC 可得/ FBE=/ GBE 又 EF// BG •/ FEB=/ EBG •/ FBE=/ FEB, ••• FB=FE.即^ EFB 是等腰三角形.反思：等腰三角形的判定应注意综合 全等、平行、角平分线等知识寻找相等的 角或线段.从而运用定义或等角对等边判 定.♦分析法例3.如图，已知△ ABC 中 , ABAC DF 丄 BC 垂足为F , DF 交AC —点E ,交BA 的 延长线于点 D 求证：ADAE分析:要证明同一个三角形中的两条边相 等，根据“等角对等边” 所对的角相等.证明：••• DF 丄BC, ••• / DFB = / EFC=90 ,（垂直定 义）在^ ABC 中，•/ AB = AC •••/ B =/（等边对等角），又/ D = 90° - / B, /wa 庄朋只需汛虫=2^皿由己 ffl 乙■/£C.利用等角的余角相等, ，可考虑证明其明^ AEF 是等腰三角形. 说明△ EFB 是等腰三角多角度推敲试题（一）紧扣教材试题研究例 4.如图 1-1-6 所示，△ ABC 中，Z ACB=90 , / DCE解题关键：有关等腰三角形求角 的度数问题，应注意三角形内角和定理 与等边对等角的结合运用.规律总结：在求角的度数的题目 中,要有意识地去找等量关系 ，即运用方程思想，从未知向已知转化.分析:题设中只有一个角的度数“ 90°”，而结论 ------------------------------------------ 中欲求角的度数，因此，在进行角的转化时要与直角联系，欲求的ZDCE 可看作是Z ACD+ZBCE-90。

∴等腰三角形三边长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2cm．
（2）设腰长为x cm，则 4 + 2x =18． 解得 x = 7.
∵ 4 + 7 ＞ 7，符合三角形的任意两边之和大于第三边， ∴能围成腰长为4 的等腰三角形． 设底边长为x cm，则 4×2 + x = 18. 解得 x = 10. ∵ 4 + 4＜10，不符合三角形的任意两边之和大于第三边， ∴不能围成腰长为4 的等腰三角形．
1.（1）如图，图中有几个三角形？把它们
练习 分别表示出来.
（2）如图，在△DBC 中，写出∠D 的对边， BD 边的对角.
解 （1）图中有5个三角形. 它们分别是：△ABC, △ DBC,
△ ABO, △ DOC, △ BOC.
（2）∠D的对边是BC，
BD边的对角是∠BCD.
2. 三根长分别为2cm，5cm，6cm 的小木棒能否构成一个三角形吗？ 解 ∵ 2+5>6，符合三角形的任意两边之和大于第三边.
三角形的第三边与其它两边有什么关系？
第三边大于两边之差,小于两边之和。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3. 进一步我们要研究三角形的哪些元素？
三角形的有关线段、三内角的关系、边和角的关系
以及三角形全等的性质和判断方法。
作业：P49 A 1、2
线段AB，BC，CA叫作△ABC的边. A
通常∠A，∠B，∠C的对边
BC，AC，AB可分别用a，b， c
b
c来表示.
B
a
C
探究 三角形按边如何分类呢？
三角形中，有的三边各不相等，有的两边相等，有 的三边都相等.
两条边相等的三角形叫作等腰三角 形.在等腰三角形中，相等的两边叫 作腰，另外一边叫作底边， 腰和底 边的夹角叫作底角.

湘教版八年级上册三角形一、三角形的基本概念。

1. 定义。

- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

- 三角形有三个顶点、三条边和三个角。

例如，在△ABC中，A、B、C是顶点，AB、BC、AC是边，∠A、∠B、∠C是角。

2. 三角形的表示方法。

- 三角形用符号“△”表示，如三角形ABC记作“△ABC”。

3. 三角形的分类。

- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。

- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。

直角三角形可以用“Rt△”表示，如Rt△ABC，其中直角所对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。

- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。

- 按边分类：- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。

- 等腰三角形：有两边相等的三角形。

相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。

- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都是60°。

二、三角形的性质。

1. 三角形三边关系。

- 三角形两边之和大于第三边。

例如，在△ABC中，AB + BC>AC，AB+AC > BC，BC + AC>AB。

- 三角形两边之差小于第三边。

即AB - BC<AC，AB - AC<BC，BC - AC<AB。

2. 三角形的内角和定理。

- 三角形三个内角的和等于180°。

即∠A+∠B + ∠C = 180°。

- 直角三角形的两个锐角互余。

在Rt△ABC中，∠A+∠B = 90°（∠C = 90°）。

3. 三角形的外角性质。

- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。

例如，在△ABC中，∠ACD （∠ACD是∠ACB的外角）=∠A+∠B。

- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

即∠ACD>∠A，∠ACD>∠B。

三、三角形中的重要线段。

第五章 三角形本章整体解说本章共分七节：1 认识三角形 2 图形的全等3 全等三角形4 探索三角形全等的条件5 作三角形6 利用三角形全等测距离7 探索直角三角形全等的条件.本章先介绍了三角形的有关概念，以及三角形的三边之间的关系，内角和等基本性质，然后又在认识全等图形的基础上，探索了三角形全等的条件以及直角三角形全等的特殊条件.三角形是最简单最基本的几何图形，在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的基础，在解决实际问题中也有着广泛的应用.因此本章的内容也就非常重要，对我们更好的认识现实世界，发展空间观念和推理能力都是非常重要的.本章的重点是全等三角形的性质与判别和三角形的边角关系及应用，本章的难点是探索三角形全等的条件.1 认识三角形课前热身 温故（还记得吗）迎新（问题导入或情景导入）1. 我们学习过哪几种几何图形?2.如何表示线段、射线和直线？3.如何表示一个角？4.三角形三个角之间有怎样的关系?你是如何验证的?在上面的实物中，有我们熟悉的图形——三角形，它简单、有趣，也十分有用.既可以帮助我们更好地认识周围的世界，也可以帮助我们解决很多的实际问题.知识点结构:新知识全解（基本知识的详解及解决方法） 知识点1:三角形的有关概念三角形的定义:由不在同一条直线的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形（triangle ）. 三角形的表示法：△ABC 或△BAC 等三要素：边： 如图5-1-1三角形中三边可表示为AB 、BC 、AC ，顶点A 所对的边BC 也可表示为a ，顶点B 所对的边AC 表示为b ，顶点C 所对的边AB 表示c 顶点：A 、B 、C 、 角：∠A 、∠B 、∠C 、三角形三角形的定义 三角形三边之间的关系三角形三角之间的关系直角三角形两锐角之间关系三角形中的三条线段三角形的角平分线三角形的中线 三角形的高线图5-1-1 图5-1-2 图5-1-3变式练习1：在图形5-1-2中，有几个三角形？分别是哪几个？变式练习2：如图5-1-3 所示，A、B、C、D四点可以构成多少个三角形？请写出上述三角形.知识点2:三角形三边之间的关系分别量出这三角形三边的长度，并计算任意两边之和以及任意两边之差.我们发现：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边例1:下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗? .（1）5cm，8cm，2cm（2）5cm，8cm，13cm（3）5cm，8cm，5cm分析：只要比较两较短线段之和与最长线的大小即可.（1）∵5 + 2 = 7< 8，不满足两边之和大于第三边∴不能摆成三角形.（2）∵5 + 8 = 13 =13，出现两边之和等于第三边的情况∴不能摆成三角形.（3）∵5 +5= 10>8，两较小边之和大于第三边，∴能摆成三角形点拨：三角形第三边的取值范围是:两边之差<第三边<两边之和变式练习3：有 3、5、7、10 的四根彩色线形木条，要摆出一个三角形，有（）种摆法.A、1B、2C、3D、4变式练习4：已知一个三角形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范围是.若X是奇数，则X的值是.这样的三角形有个若X是偶数，则X的值是.这样的三角形又有个变式练习5：已知a、b、c是三角形的三边长,试判断代数式(a-b-c)(a-b+c)的值与0 的大小关系,并说明理由.知识点3：三角形的内角和定理及应用三角形的三个内角关系：三角形三个内角的和等于180º.即：△ABC中，∠A +∠B +∠C=180 °通常，用符号“Rt△ABC”表示“直角三角形ABC”，把直角所对的边称为直角三角形的斜边（hypotenuse）,夹直角的两条边称为直角边.（leg）由“三角形的内角和等于180°”这个性质还推出了直角三角形的一个性质：直角三角形的两个锐角互余.即：R t △A B C 中，∠C =90°，则∠A +∠B=90 °.按三角形内角的大小把三角形分为三类锐角三角形（acute trangle）三个内角都是锐角直角三角形（right triangle）有一个内角是直角钝角三角形（obtuse triangle）有一个内角是钝角“三角形的内角和等于180°”揭示了三角形三个内角之间的一个确定的数量关系，所以求解一个三角形的三个内角时，只要再给出两个条件即可.例2：已知三角形三个内角的度数之比１:３:５，求这个三角形各个角的度数? 解法一：设这个三角形的三个内角分别为x,3x,5x,则 x+3x+5x=180 ° 解得:x= 20 °所以这个三角形的三个内角分别是20 °， ６0 °，１０0 °解法二：180°×91=20°,180°×93=60°,180°×95=100°. 因此，这三个内角的度数分别为20°、60°、100°.变式练习6：如果三角形的三个内角相等，那么它的每一个内角都等于_____度；如果三角形的两个内角都等于35，那么它的另一个内角等于_____度．变式练习7：如图5-1-4,在△ABC 中,∠BAC=60°,∠B=45°,AD 是△ABC 的一条角平分线,求∠ADB 的度数.图5-1-4 图5-1-5变式练习8：.如图5-1-5 ，已知∠ACB =90°，CD 是斜边AB 上的高线，可得：∠1=_____，∠2=_____.(填写图中的角)知识点4：三角形的角平分线和中线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.在定义中需要注意：（1）三角形的角平分线是一条线段而不是射线，它与一个角的平分线不同.（2）一个内角的角平分线与它的对边是相交的.这个角的顶点与交点之间的线段．．才是这个内角的平分线.即三角形的角平分线.如图5-1-6，AD 是∠BAC 的角平分线.由定义可知：如果AD 是∠BAC 的角平分线，那么有：∠BAD =∠DAC =21∠BAC . 我们可以利用量角器进行测量后画出三条角平分线，也可以用折纸的方法得到三条角平分线. 三角形一共有三条角平分线，无论是锐角三角形、钝角三角形还是直角三角形这三个三角形的三条角平分线都在三角形的内部，它们相交于一点，我们把这点叫做三角形的内心.警示：三角形的角平分线与角的平分线既有联系也有区别，前者是线段，后者是射线.图5-1-6在三角形中，连接一个顶点与它对边的中点的线段，叫做这个三角形的中线（median ）. 如图5-1-7,E 是BC 的中点，线段AE 是△ABC 的中线.注意：三角形的中线是线段.由定义可知：如果AE 是△ABC 的中线，那么有：BE =EC =21BC 我们可以从画图、折纸中知道：一个三角形的中线共有三条，它们存在于三角形的内部，并且三条中线相交于一点.变式练习9：.如图5-1-8，△ABC 中，AD 是角平分线，BE 是中线，指出图中相等的线段和相等的角.图5-1-7 图5-1-8 图5-1-9 变式练习10：.如图5-1-9，∠ACE =∠BCE .BD =CD ，指出图中三角形的特殊线段. 知识点5：三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.（height ）如图5-1-10 ，线段AG 是BC 边上的高. 注意：三角形的高是线段．．. 由定义可知：AG 是△ABC 中BC 边上的高，那么有∠AGB =∠AGC =90°，锐角三角形的三条高都在三角形内，且相交于一点（图5-1-11）.直角三角形有一条高在三角形的内部，而另两条高恰是它的两条直角边（图5-1-12）. 钝角三角形有三条高，一条高在三角形内，另两条高在三角形外.（图5-1-13）图5-1-10 图5-1-11 图5-1-12 图5-1-13 变式练习11：.指出 图5-1-14中三角形的高. （1）如图（1）AD ⊥BE 、垂足为点D .（1） （2）图5-1-14AD 是___________的高. △ABD 的高是___________.（2）如图（2）BF ⊥AF ，EC ⊥AF ，CD ⊥AB ，垂足为F 、C 、D ,在△ABF 中，___________是AF 边上的高,在△ACE 中，CE 是___________边上的高.CD 是△___________中___________边上的高，是△___________中___________边上的高，也是△___________中___________边上的高.变式练习12：从上面画直角三角形、钝角三角形的高、角平分线、中线，你发现了什么？以下有三种情况，根据你画图的实践，用序号字母填写下表（有几种可能情况填写几个字母）.A.在三角形的内部B.在三角形的边上C.在三角形的外部锐角三角形直角三角形钝角三角形角平分线 中线 高线例3: 如图5-1-15 ，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 是三条中线，它们相交于同一点G ，问△AGF 的面积和△AGE 的面积是否相等？为什么？图5-1-15解析: 寻找这两个三角形的关系.要求面积，需知面积公式.即：三角形的面积=21×底×高. 这个题运用了“同高等底的两个三角形的面积相等” 要知道这个结论.并且会运用它. 解：这两个三角形的面积相等.因为AD 是BC 边上的中线，所以BD 与CD 相等，又因为三角形ABD 和三角形ADC 的高是同一条.所以，△ABD 的面积和△ADC 的面积相等，同样道理可知：△BGD 的面积与△CGD 的面积相等.利用等式的性质可以知道：△ABG 的面积与△AGC 的面积也相等.又因为BE 、CF 是△ABC 的中线.所以由“同高等底的两个三角形的面积相等”可以知道：△AGF 与△BFG 的面积相等，△AGE 与△GEC 的面积相等.从而可以知道：△AGE 与△AGF 的面积相等.变式练习13: 如图5-1-16，锐角△ABC 中，BD 和CE 是两条高，相交于点M ，BF 和CG 是两条角平分线，相交于点N ，如果∠BMC =100°，求∠BNC 的度数.图5-1-16易错剖析1:三角形三边的关系三角形三边之间的关系易错的地方是:考虑不全,只判断出了有两边之和大于第三边,就作出了结论,没有注意到边的任意性.例4:长度为3,6,2的三条线段能不能组成一个三角形?为什么?分析:在应用三边关系定理时,一定要注意到“任意两边的和大于第三边”.但在具体应用时,我们可以采取简单的方法:即用两条较短的边相加是否大于第三边.当两条较短的边相加大于第三边时,就可以判断这三边能组成三角形.解:因为2+3<6,所以这三条线段不能组成三角形.点拨:本题的易错之处是看到3+6>2就轻易地下结论,从而导致错误. 易错剖析2:钝角三角形的高的画法在画三角形的角平分线,中线和高线的时候,要注意这三种线都是线段,而不是射线或直线.另外,钝角三角形的高线在三角形的外面.问题探究（重点、难点、疑点及解决办法） 探究1：复杂图形中三角形的个数要在一个复杂的图形中准确地数出三角形的个数,一定要把握一定的规律,做到不重不漏.图5-1-17例如这幅小猫的图案（图5-1-17）包含着若干个三角形，要想数出其中有多少个三角形，并不是一件特别容易的事，弄不好就要漏掉一两个或重复数了其中的某一个，所以我们要找一个规律，比如，我们可以分 门别类地进行计数，从头,身体和脚分别来数,就可以解决问题了．这样我们就可以准确地数出共有20个三角形．变式练习14 :如图5-1-18 ，（1）说出OCE △的各边所对的角；（2）说出以A ∠为一个内角的三角形；（3）说出以BC 为一条边的三角形；（4）图中有几个三角形？说出这些三角形．图5-1-18探究2：三角形内角和定理的应用三角形的内角和为180°，在一些简单问题中,只要用内角和公式列出合适的式子,就可求出相应的角来,但是如果在题目中没有三角形,我们就需要添加辅助线构造出三角形,再利用内角和定理来解决问题. 还有些题目中,将内角和与角平分线,中线等结合起来.例5: 一个零件的形状如图5-1-19 所示，按规定∠A 应等于90°，∠B 、∠D 应分别等于30°和20°，李师傅量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？分析：要说出当∠BCD=142°时，这个零件不合格，我们可以借助三角形内角和的知识，说明合格时∠DCB 的度数不等于142°即可.为此，可连接BD 构造三角形.解：连接BD ，因为∠A=90°，∠ABC=30°，∠ADC=20°， 所以∠A+∠ABC+∠ADC=90°+30°+20°=140°，根据三角形内角和等于180°，可得，∠A+∠ADB+∠ABD=180°， 所以可以知道∠CDB+∠CBD=180°-140°=40°， 又因为∠DCB+∠CDB+∠CBD=180°， 可得∠DCB=180°-40°=140°.这说明若零件合格，则∠DCB=140°，而李师傅测量得∠DCB=142°，所以可以断定该零件不合格.图5-1-19 图5-1-20 图5-1-21变式练习15:一个大型模板的设计要求是模板的BA 边和CD 边相交成50°的角，DA 边和CB 边相交成30°角（如图5-1-20），如果通过测量∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的度数来判断模板是否合格，你认为当∠D 与∠B 的度数相差多少时，模板刚好合格？例6:如图5-1-21 ，△ABC 中，I 是内角平分线AD 、BE 、CF 的交点，问：（1）∠BIC 与∠A 的大小有什么关系呢？为什么？ （2）∠CIA 与∠B 呢？∠AIB 与∠C 呢？说明理由.解析: 在探究的过程中，进一步掌握“三角形的三个内角的和等于180°”这个结论和角平分线的定义.（1）∠BIC =90°+21∠A 因为BE 平分∠ABC ，所以由角平分线定义可得∠IBC =21∠ABC .同理可以得：∠ICD =21∠ACB .所以∠IBC +∠ICD =21（∠ABC +∠ACB ） 又因为∠A +∠B +∠C =180°所以：∠ABC +∠ACB =180°－∠A 因此可得∠IBC +∠ICD =21（180°－∠A ） 又因为∠BIC =180°－（∠IBC +∠ICD ）所以∠BIC =180°－21（180°－∠A ）=90°+21∠A . 同样的道理可得（2），即：∠CIA =90°+21∠B ，∠AIB =90°+21∠C.探究3：三角形三边关系的应用我们知道,三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,如果三边关系和绝对值等问题联系起来,就需要运用到多方面的知识来解决问题.例7: 某海军在南海某海域进行实战演习,岛礁A 的周围方圆10千米内的区域为危险区域,有一艘海船误入离A4千米的B 处,为了尽快驶离危险区域,该船应沿哪条射线方向航行?为什么?分析:如图5-1-22 ,渔船要想尽快离开危险区域,必须走最近的路程.易知沿AB 方向走BC 距离最短,用三角形三边关系定理证明图中BD ＞BC 即可. 解:该船应沿射线AB 方向行驶, 理由:设射线AB 与圆交于点C,再在图上任取一点D(不在直线AB 上,且不与点C 重合),连结AD 、BD ，进而在△ABD 中有AB+BD ＞AD(三边关系定理).但半径AD=AC=AB+BC, ∴AB+BD ＞AB+BC,∴ BD ＞BC.图5-1-22 图5-1-23变式练习16:已知△ABC 三边分别为a 、b 、c,化简:│a-b-c │+│b-c-a │+│c-a-b │.变式练习17:如图5-1-23,草原上有4口油井,位于四边形ABCD 的4个顶点, 现在要建立一个维修站H,试问维修站H 建在何处,才能使它到4口油井的距离之和HA+HB+HC+HD 为最小, 说明理由.中考动态本节内容在中考中是一个重要的内容,常考的知识点有:三角形三边关系的应用,三角形内角和定理的应用,三角形的角平分线,高,中线与其它知识结合应用,再就是直角三角形的两锐角互余的应用. 选择题,填空题,解答题都有.并且解答题往往与其它知识相结合. 变式练习18:（2007 永州市）已知，如图5-1-24，△ABC 中，∠A ＝40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1＋∠2＝_______.图5-1-24变式练习19：（2006 广西崇左）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）Ａ．1cm，2cm，4cm Ｂ．8cm，6cm，4cmＣ．12cm，5cm，6cm Ｃ．2cm，3cm，5cm20.（2006 湖南娄底）用长为5cm，6cm，7cm的三条线段围成三角形的事件是（）A．随机事件B．必然事件C．不可能事件D．以上都不是小结规律方法总结易错误区总结掌握的打“√”犯过的打“！”1. 三角形及相关概念（）2.三角形三边之间的关系及应用（）3.三角形的内角和定理及应用（）4.三角形内角和定理的推论及应用（）5.三角形中的三条重要线段（）1. 判断三条线段能否成三角形（）2.由内角和定理求相应的角（）3.三角形的三条线是线段而不是直线或射线（）4.钝角三角形的高的位置及画法（）休闲驿站球面上的三角形我们已经知道这样两个结论：“两点之间，线段最短”，“三角形的内角和是180°”．但有一种几何学却认为：“两点之间的最短距离是一段曲线”，“三角形的内角和大于180°”，感到奇怪吗？如果我们是指平面上的两点以及平面上的三角形，那么确实是奇怪的．但如果我们所考虑的不是在平面上而是在球面上的情况，这种想法就有意义了．如果我们用过球心的一个平面去切这个球，那么平面与球就相交出一个圆，这个圆称为大圆．球面上过两点的大圆的弧可以用以下的办法直观地显示出来：在地球仪上拉紧过两点的一条细线，这条细线即可看做大圆的弧．实际上，轮船和飞机驾驶员都知道，地球（近似于球体）表面上两点之前的距离是经过球面上这两点的大圆的一部分．从大圆这一概念出发，我们有这样一个惊人的结论：球面上一个三角形的内角和大于180°．我们从下图所示的三角形可以看到这一点．假设这个球体是地球．三角形的底边AB在赤道上，图中与赤道相交的两条线AC，BC是经线，它们相交于北极，从而构成三角形ABC．因为球面角是由形成该角的两条弧所夹的角来度量的，而已知经线与赤道是垂直的，所以，这个三角形的内角和等于两个直角加上两条经线相交于北极所形成的角．因而这个三角形的内角和大于180°．课后习题答案习题5.1（P137 ）知识技能1.有6个三角形.数学理解**.问题解决1.（1）（3）能摆成一个三角形, （2）（4）不能摆成一个三角形. 随堂练习（P140）1.在△ABC 中，∠A +∠B +∠C =180°，∠A =80°所以∠B +∠C =100°因为∠B =∠C 所以∠B =∠C =50° 2.锐角三角形：③⑤ 直角三角形：①④⑥ 钝角三角形：②⑦3.①由三角形的内角和等于180°得：第三个角为90°，所以这个三角形是直角三角形. ②它是锐角三角形.③这个三角形是钝角三角形. 习题5.2（P141 ） 知识技能1.设三个角分别为3x,2x,x,则3x+2x+x=180°, x=30° 则三个角的度数分别为30°, 60°, 90°.2.（1）锐角;（2）直角;（3）钝角.3.设这个角为x,则x+2x=90°, 解得x=60° .即这个角是60°. 4.（1）有三个直角三角形,分别是ABC △，△ACD, △BCD .直角边和斜边略.（2）∠1和∠C 互余,∠2和∠A 相等. 问题解决1. ∠ACB=40°.当轮船距离灯塔C 最近时, ∠ACB=60°.2. 解法一：设这个三角形的三个内角分别为x,3x,5x,则 x+3x+5x=180 ° 解得:x= 20 °所以这个三角形的三个内角分别是20 °， ６0 °，１０0 ° 解法二：180°×91=20°,180°×93=60°,180°×95=100°. 因此，这三个内角的度数分别为20°、60°、100°. 习题5.3（P144 ） 知识技能1. （1）∠DAC ，∠BAC ；（2）EC ， 212. ∠ADB=180°- ∠B-21∠BAC=105°. 联系拓文 1.略.习题5.4（P1447）知识技能1.能.根据等底等高的两个三角形面积相等的结论. **,CE;CE,BE;CD,AC问题解决1.提示:分别过A,B 两点作对边的垂线,两线交于一点,过这点作AB 的垂线. 变式练习1. 有五个，分别是△ABC 、△BAE 、△BDE 、△ADE 、△ACE.解析：要按一定的规律找，不要遗漏.2.可以构成4个三角形，它们是△ABC 、△ABD 、△ACD 、△BCD** 解析：比较较小的两边之和与最长边的大小即可 **〈X 〈7，3或5，两，2、4或6，三5.由于 △ABC 中,a+c>b,a<b+c,因此a-b+c>0,a-b-c<0即(a-b+c)(a-b-c)<0 **;1107.∠ADB =105°8.∠B ∠A解析：利用直角三角形的两锐角互余.9.相等的线段有：AE =CE ,相等的角有：∠BAD =∠DAC .**是△ABC 的角平分线；AD 是△ABC 的中线；ED 是△EBC 的中线； CF 是△ACD 的角平分线.11.（1）AD 是△ABC 、△ABD 、△ABE 、△ADE 的高.△ABD 的高是AD 、BD（2）在△ABF 中，BF 是AF 边上的高. 在△ACE 中CE 是AC 边上的高.CD 是△ACE 中AE 边上的高，是△ADC 中AD 边上的高，也是△EDC 中ED 边上的高. 12.锐角三角形直角三角形钝角三角形角平分线 A A A 中线 A A A 高线AA 、BA 、C13.因为BD 、CE 是△ABC 的高所以∠BDC =∠CEB =90°,于是∠ABC =90°－∠BCE,∠ACB =90°－∠CBD 由已知∠BMC =100°,所以∠DBC +∠BCE =80° 所以∠ABC +∠ACB =100°. 因为BF 、CG 是△ABC 的角平分线.所以由角平分线定义得∠BCG =21∠ACB ，∠CBF =21∠ABC 所以∠BNC =180°－（∠BCG +∠CBF ）=180°－21（∠ABC +∠ACB ）=130°14. （1）OC 边对应OEC ∠，CE 边对应COE ∠，OE 边对应OCE ∠． （2）略．答案不惟一． （3）略．答案不惟一．（4）8个，分别为ABC △，BCD △，COE △，BOC △，BOD △，BCE △，ABE △，ACD △．15.解析：当模板合格时，如图，延长BA 交CD 的延长线于点E ，则∠E=50°；延长DA 交CB 的延长线于点F ，则∠F=30°，由三角形的三个内角和等于180°，得∠CBE+∠C+∠E=180°，∠CDF+∠C+∠F=180°， 所以∠CBE=180°-(∠E+∠C)= 180°-(50°+∠C)=130°-∠C ， ∠CDF=180°-(∠F+∠C)= 180°-(30°+∠C)=150°-∠C.因为∠CDF-∠CBE=150°-∠C-(130°-∠C)=20°， 所以∠CDF 比∠CBE 大20°.即∠D 比∠B 大20°时，模板刚好合格. 16. ∵a<b+c,b<c+a,c<a+b∴│a-b-c │+│b-c-a │+│c-a-b │=-(a-b-c)-(b-c-a)-(c-a-b) =-a+b+c-b+c+a-c+a+b=a+b+c17.维修站H 建在两条对角线AC 、BD 的交点处便符合要求,现不妨任取异于H 的一点H ′,连结AH ′、BH ′、CH ′、DH ′,则AH ′+CH ′>AC=AH+CH ① BH ′+DH ′>BD=BH+DH ②①+②得AH ′+CH ′+BH ′+DH ′>AH+CH+BH+DH∴对角线AC 、BD 的交点H 处到4口油井的距离之和为最小.**度**解析:必须满足两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. **2 图形的全等课前热身 温故（还记得吗）迎新（问题导入或情景导入）1. 正方形的面积等于边长的平方.2.矩形的面积等于长与宽的积.3.梯形的面积是上底加下底乘以高除以2.4.三角形的内角和是180度.5.三角形的三边之间的关系是什么?上面的两幅图形状一样吗?知识点结构:新知识全解（基本知识的详解及解决方法）知识点1:什么叫全等图形观察图5-2-1的特点：图5-2-1在上面的图形中，两个小圆的大小一样，两个锐角三角形也是形状大小一样.还有两个小“L”形也是形状大小一样.象这样两个能够完全重合的图形称为全等图形（congruent figures）.例如用复写纸印出任一封闭图形或把两张纸叠在一起，用剪子随意剪出一个图形，都能得到全等的图形. 例1: 找出图5-2-2中`的全等图形.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）-图5-2-2分析:利用全等图形的定义.解:（1）和（10），（2）和（12），（4）和（8），（5）和（9）是全等图形点拨：运用观察法找全等形,一看形状是否相同,二看大小是否相等.变式练习1: 下列说法正确的个数为（）（1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等形（2）我国国旗商店四颗小五角星是全等形全等图形的定义全等图形的特征将一个图形分成几个全等图警示:“能够重合”即是形状、大小都一样.（3）所有的正六边形是全等形（4）面积相等的两个正方形是全等形A.1个B.2个C.3个D.4个变式练习2: 观察图5-2-3中哪些是全等图形?为什么?（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）图5-2-3知识点2: 全等图形的特征全等图形的形状和大小都相同例2：分别把图5-2-4划分为两个全等图形（至少找出两种方法），并与同伴进行交流.图5-2-4分析：从小正方形的个数入手，观察分割.解：如图所示为几种可能的分割方案.点拨：验证的方法是把每个图形划分成两个图形后，把这两个图形叠在一起，如果能够完全重合，那说明它们是全等图形；如果不能够重合，则说明它们不是全等图形.变式练习3:将一个正方形（图5-2-5）剖成4个全等的部分.图5-2-5变式练习4:把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形,例如,图5-2-6（1）,请在所给四个图形中,沿着虚线画出四种不同的分法,把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形.(1)画法1画法2画法3画法4图5-2-6易错剖析:对全等图形的认识如果对全等图形的认识不全面，导致错误，全等图形的面积相等，但面积相等的图形不一定是全等图形.形状相同的图形也不一定是全等图形.例3：观察图5-2-7两组图形，它们是不是全等图形？为什么？图5-2-7解：图（1）中的两个图形形状相同，但大小不同.所以它们不是全等图形.图（2）中的两个图形的面积相同，但形状不同，所以这两个图形也不是全等图形.全等图形必须是两个能够完全重合的图形，变式练习5:判断题：（1）两个形状相同的图形，称为全等图形.（）（2）两个圆是全等图形.（）（3）两个正方形是全等图形.（）（4）全等图形的形状和大小都相同.（）（5）面积相同的两个直角三角形是全等图形（）问题探究（重点、难点、疑点及解决办法）探究：图形的分割利用全等图形的定义和特征，将一个图形分成几个全等的图形，是本节的难点，在分割时，一定要保证图形是全等的，这就需要我们一定要注意分清图形的形状特征，仔细观察，最后再加以验证.例4：将图5-2-8分成四个全等的图形,而且每一份图形中恰好有“巧分图形”四个字.分析：图中共有36个小方格,平分成4份后,每份应是9个小方格;因为第一份中要有“巧分图形”四个字,所以相同的两个字必须分支;又因为分成的每一份一定要通过大正方形的中心点,所以正方形中间的四个小方格一定是分开的,其中有一块已有“巧”字,它的下面一格一定是与“图”字相连. 解：如图5-2-9所示为分割方案.图5-2-8 图5-2-9变式练习6:将如图5-2-10所示的小平行四边形的边AD三等分,分点为E,F,过E作AB的平行线,交CF于点G,得凸多边形ABCGE,请用四个这样的小多边形, 拼成一个形状相同的大多边形.CBA DCBAGE FD图5-2-10变式练习7:请将如图5-2-11所示的等边三角形分成两个全等图形,你还能将它分成三个、四个、六个全等的图形吗?请试一试.图5-2-11中考动态本节考查对图形全等的认识，以及对图形的分析能力，大多与其他知识结合起来考查.变式练习8:（2007 山东）一个正方体的侧面展开图有（）个全等的正方形.A.2个B.3个C.4个D.6个变式练习9:（2006 江西）下列命题：（1）只有两个三角形才能完全重合；（2）如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相同；（3）两个正方形一定是全等形；（4）边数相同的图形一定能互相重合.其中错误命题的个数是（）**个 B.3个 C.2个 D.1个小结。

三⾓形教学设计湘教版〔优秀篇〕5.3 《三⾓形》教学设计课题：三⾓形教材：湘教版七年级数学下第五章3⼩节教学内容分析内容与地位这节课的教学内容包括三⾓形的定义和表⽰⽅法、三⾓形的组成要素、三⾓形的⾓平分线、中线、⾼以及三⾓形的三边的关系．三⾓形这⼀课时是初中平⾯⼏何学习的真正开始，在前⾯的学习中学⽣已全⾯认识了点、线、⾓的概念，现在逐步涉⼊平⾯⼏何图形——三⾓形．学⽣掌握了三⾓形的相关要素、性质，将为以后的⼏何学习打下坚实的基础，教师在教学这⼀课时⾸先应创设良好的学习氛围，切实引导学⽣参与数学活动，把学⽣的注意⼒转移到⼏何图形的研究和探讨之中，从⽽养成学⽣对于数学的学习兴趣和研讨图形的爱好．教学重点：三⾓形的三边关系的探究和归纳教学难点：利⽤三⾓形的三边关系判断三条线段能否组成三⾓形．教学⽬标：（⼀）知识与技能1、三⾓形的概念及三⾓形中⼏何对象的定义2、三⾓形的三边关系（⼆）过程与⽅法1、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，推理能⼒和有条理的表达能⼒.2、结合具体实例，进⼀步认识三⾓形的概念，掌握三⾓形三条边的关系.（三）情感态度与价值观通过⽣活中的数学现象，体会到数学的多维价值，培养学⽣积极思考问题、勇于探索问题的精神，学会⽤数学知识“诠释”⽣活．教学⽅法：探究——归纳学⽣在教师的指导下，⾃⼰探索，归纳，从⽽加深他们对所学的内容的理解教具准备：图⽚：含有三⾓形的实物图⽚幻灯⽚、⼏何画板教学过程⼀、创设现实情景，引⼊新课投影⼀些含有三⾓形的实物图⽚.在我们⽇常⽣活当中，与三⾓形有关的图案、建筑⽐⽐皆是，如房梁、铁塔、⽊电杆……它们虽然颜⾊、⼤⼩、制作材料不尽相同，但都给我们以三⾓形的形状．还有在我们⽿边常听到的 “铁三⾓” 、“⾦三⾓” “珠江三⾓洲”等名词的由来都是因为它外形是⼀个三⾓形或三⾓形区域．在这个时代，可以说三⾓形丰富了我们的⽇常⽣活，三⾓形美化了我们的世界．现在就让我们⼀起来“⾛进”三⾓形．（板书课题）⼆、讲授新课1、三⾓形的定义⼩学时我们是说把三条线段⾸尾顺次相连构成了三⾓形（教师演⽰作图，让学⽣观察），其实图中这三条线段⼀共只有三个端点，⽽且是不在同⼀条直线上的三点，因此对于三⾓形我们可以这样给它定义：⽤线段连结不在同⼀条直线上的三点所成的图形叫做三⾓形（板书定义并演⽰作图，学⽣仿照作图）．练习：找出图中所有的三⾓形.学⽣能找到3个不同的三⾓形，相互之间进⾏交流，多数同学都只能⽤“这个”或“那个”来说，容易混淆，继⽽引出三⾓形的表⽰⽅法2、三⾓形的表⽰⽅法为了分清楚各个三⾓形，这就需要⽤符号来表⽰三⾓形，“三⾓形”可以⽤“⊿”表⽰，如图1，顶点是A 、B 、C 的三⾓形，记作“⊿ABC ” 读作“三⾓形ABC ”，注意：三⾓形只能⽤三个⼤写字母表⽰．3、组成三⾓形的要素如图：A 、B 、C 三个点分别叫做⊿ABC 的顶点，边，∠A 、∠B 、∠C 叫做三⾓形的三个内⾓，简称三⾓形的⾓．线段AB 、BC 、AC 叫做三⾓形的边，⊿ABC 的三边，有时也⽤a 、b 、c 来表⽰，如图2：顶点A 所对的边BC ⽤a 表⽰，边AC 、边AB 分别⽤b 、c 来表⽰.（教师作提⽰：三⾓形有三个顶点、三个⾓、三条边．（提及“⾓的对边”的意思）练习：下⾯⼤家从图1中找出所有不同的三⾓形，并⽤符号表⽰ . (学⽣练习并板演)4、探索三⾓形的三边关系设问：是不是任意三条线段都可构成三⾓形呢？学⽣尝试动⼿画⼀画1厘⽶、2厘⽶、4厘⽶的线段构成的三⾓形后，得出肯定的结论“画不出来”.为什么画不出呢？说明不是任意的三条线段都可构成三⾓形的．三⾓形三边应满⾜⼀定的条件，现在我们⼀起来看三⾓形三边之间究竟有什么关系.出⽰地图：杭州湾跨海⼤桥修建以后从嘉兴到宁波是直接从桥上通过快还是绕杭州快？为什么？学⽣会回答：“直接通过快，因为两点之间，线段最短” ．三个地⽅我们⽤三个点A 、B 、C 表⽰，于是三点间形成了⼀个三⾓形，画出⊿ABC ：在⊿ABC 中，若把B 、C 这两个顶点看作是定点，由“两点之间的所有连线中，线段最短”可以得到：AB+AC ＞BC同样，若把顶点A 、C 看作定点，可以得到：AB+BC ＞AC若把顶点A、B看作定点，可以得到：BC+AC＞AB学⽣⾃⼰可以概括得到：三⾓形的任意两边之和⼤于第三边，于是得到了三⾓形的三边之间的关系：三⾓形任意两边之和⼤于第三边注意：“任意”是没有任何条件的限制.下⾯同学们分别⽤移项的⽅法把上边三个不等式变形AB+AC＞BC BC AB ACAB+BC＞AC AC AB BCBC+AC＞AB AB BC AC从变形后的式⼦我们不难发现：三⾓形的三边之间的关系还有：三⾓形任意两边之差⼩于第三边这个关系实际上可以由“三⾓形任意两边之和⼤于第三边”推导⽽来，所以，任意三⾓形都满⾜：“任意两边之和⼤于第三边”或者“任意两边之差⼩于第三边”.下⾯我们做练习来熟悉三⾓形的三边关系下列第组数分别是三根⼩⽊棒的长度，⽤它们能摆成三⾓形吗？实际摆⼀摆，验证你的结论（学⽣分组动⼿操作，展开激烈讨论）A.12cm、7cm、6cmB.5cm、6cm、11cmC.4cm、10cm、5cm引导学⽣合作交流，⼤胆猜想得出：判断三条线段能否组成三⾓形只需要求出两条较短的线段的和与最长的线段进⾏⽐较，如果满⾜“两线段的和⼤于第三条线段”，则这三条线段就能构成三⾓形，否则就不⾏；也可以先求出两条较长线段的差，然后与最短的线段进⾏⽐较，若⼩于，则这三条线段就能构成三⾓形，若等于或⼤于，就不⾏.下⾯我们来看例题：例：有两根长度分别为5cm和8cm的⽊棒，⽤长度为2cm的⽊棒与它们能摆成三⾓形吗？为什么？长度为13cm的⽊棒呢？长度为7cm的⽊棒呢？师⽣共析：利⽤刚才讨论的⽅法去解.解：取长度为2cm 的⽊棒时，由于2+5＜8，出现了两边之和⼩于第三边的情况，所以它们不能摆成三⾓形.取长度为13cm的⽊棒时，由于5+8=13，出现了两边之和等于第三边的情况，所以它们不能摆成三⾓形师：⼤家想⼀想：你能取⼀根⽊棒，与原来的两根⽊棒摆成三⾓形吗？⽣：能，取⼀根4cm长的⽊棒⽣：取5cm、6cm、7cm、8cm长的⽊棒都可以师：很好，实际上，若有两根长度分别为5cm和8cm⽊棒，那么第三根⽊棒的长度只需⼤于8-5=3cm，⽽⼩于8+5=13cm,即能摆成三⾓形，接下来我们做练习进⼀步巩固本节所学内容.三、学习评价：1指出图中有⼏个三⾓形，并⽤符号分别表⽰出来.2、判断正误.（1）任何三条线段都能组成⼀个三⾓形（）（2）因为a+b>c,所以a、b、c三边可以构成三⾓形（）3、⽐⽐看谁的反应快!下列每组数分别是三条线段的长度,⽤它们能摆成三⾓形吗?（1）3㎝,4㎝,5㎝（2）3㎝,12㎝,8㎝（3）9㎝,6㎝,15㎝（4）6㎝,6㎝,6㎝（5）5.5㎝,7.5㎝,2.5㎝（6）100㎝,200㎝,300㎝能组成三⾓形的是 __________________；不能组成三⾓形的是 _________________.．四、学习⼩结1、本节课你学到了哪些知识？2、本节课你的最⼤收获是什么？3、这节课你还有没有不明⽩的问题？如果有，请写在今天的⽇记⾥，课后我会帮助解决．五、拓展练习1、数学理解：等腰三⾓形⼀边长9cm,另⼀边长4cm，它的第三边是多少？为什么？2、已知⼀个三⾓形的两边长分别是3cm和4cm，则第三边长X的取值范围是当各边均为整数时，有___________个三⾓形,有___________等腰三⾓形.3、以长为3cm、5cm、7cm、10cm的四条线段中的三条线段为边，可构成_____个三⾓形．，成功的⼈都⼈，激励⾝边⼈的⽣命才真的挫折。

的和与第三边作比较，选取最大边与最小边的差与 第三边作比较.
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知3－练
例 3 用一条长为21 cm 的细绳围成一个三角形，能围
成一个有一边长是5 cm 的等腰三角形吗？
解题秘方：紧扣“5 cm 长的边的可能性(腰或底边)”
进行分类解答.
特别提醒 本题运用分类讨论思想，在考虑腰长为5 cm
和底边长为5 cm 两种情况的同时，要注意隐含的 条件：任意两边之和大于第三边. 解答这类题时， 结果是两种情况可能性较大，应高度重视.
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知识点 4 三角形的三条重要线段
知4－讲
文字 语言
三角形的高线
从三角形的一个 顶点向它的对边 所在的直线作垂 线，顶点和垂足
之间的线段
三角形的角平分线
在三角形中，一个角的 平分线与这个角的对边 相交，这个角的顶点与
交点之间的线段
三角形的中线
在三角形中， 连接一个顶点 和它的对边中
点的线段
图形 语言
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知4－练
教你一招 求三角形的面积联想三角形的高，求三角形的高联想
三角形的面积是解三角形问题的常规思路. 用同一个三角 形不同的面积表达式建立求线段长度的等量关系式是一种 很重要的数学方法——等面积法.
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知4－练
解：△ ABC 是钝角三角形，由钝角三角形高的定义和位 置可知，组成钝角的两条边上的高在三角形的外部， 故边BC 上的高为AE，边AB 上的高为CD.
角形的角平分线是一条线段；角的平分线是一条射线.
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例4 如图2.1-5，AE ⊥ EC 于点E，CD ⊥ AD 于点D， AD交EC 于点B.
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