收敛数列的性质

§2 收敛数列的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题. 2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限. 3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 收敛数列的性质. 难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容 收敛数列有如下一些重要性质： 定理2．2(唯一性) 若数列}{na收敛，则它只有一个极限． 证 设a是}{na的一个极限．我们证明：对任何数bab,不是}{na的极限．事实上，若取||210ab，则按定义'1，在U(a);0之外至多只有}{na中有限个项，从而在U(0;b)内至多只有{}na中有限个项；所以b不是}{na的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限． 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实． 定理2．3(有界性) 若数列}{na收敛，则}{na为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数有 .||Man 证 设aannlim取1，存在正数N，对一切n>N有 1||aan 即 .11aaan 记 |},1||,1||,||,||,max{|21aaaaaMN

则对一切正整数n都有naM． 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列n1有界，但它并不收敛． 定理 (保号性) 若0limaann(或<0)，则对任何),0(aa (或a))0,(a，

存在正数N，使得当Nn时有aan(或aan)． 证 设0a．取aa(>0)，则存在正数N，使得当Nn时有aan a，这就证得结果．对于0a的情形，也可类似地证明．

注 在应用保号性时，经常取2aa. 定理(保不等式性) 设na与nb均为收敛数列．若存在正数0N，使得当0Nn时，有nnba，则.limlimnnnnba 证 设,0.lim,lim任给bbaannnn分别存在正数nNN，使得当与211N时，有 naa， （1） 当2Nn时有 bbn. (2) 取210,,maxNNNN，则当Nn时，按假设及不等式(1)和(2)有 ,bbaann

由此得到.2ba由的任意性推得ba，即nnalim.limnnb

请学生思考：如果把定理中的条件nnba换成严格不等式nanb，那么能否把结论换成?limlimnnnnba，并给出理由 . 例1 设,2,10nan．证明：若,limaann则 .limaann （3） 证 由定理可得.0a 若0a，则由0limnna，任给0，存在正数N，使得当Nn时有na 2

，从而na即,0na故有.0limnna

若0a，则有

aaaaaaaaannnn.

任给0，由aannlim，存在正数N，使得当Nn时有 ,aaan 从而aan．(3)式得证． 定理 7.2(迫敛性) 设收敛数列nnba,都以a为极限，数列nc满足： 存在正数0N，当0Nn时有 nnnbca， (4) 则数列nc收敛，且acnnlim． 证 任给0，由abannnnlimlim，分别存在正数1N与2N，使得当n>

1N时有

naa， (5) 当2Nn时有 abn． (6) 取,,,max210NNNN，则当Nn时,不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有 abcaa

nnn．

从而有acn，这就证得所要的结果． 定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限 的工具． 例2 求数列{nn}的极限． 解 记nnnhna1，这里10nhn，则有 .2112nnnhnnhn

由上式得 1120nnhn，从而有

12111nhann. (7)

数列121n是收敛于1的，因对任给的0，取221N，则当Nn 时有1121n．于是，不等式(7)的左右两边的极限皆为1，故由迫敛 性证得1limnnn． 在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则． 定理2．7(四则运算法则) 若na与nb为收敛数列，则nnba，na{}nb，nnba.也都是收敛数列，且有

nnnnnnnbaba

limlimlim，

.lim.lim.limnnnnnnnbaba

特别当nb为常数c时有 .limlim,limlimnnnnnnnnaccacaca

若再假设0nb及0limnnb，则nnba也是收敛数列，且有

nnnnnnnbaba

limlimlim.

证 由于nnnnbaba1及nnnnbaba1.，因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可. 设,lim,limbbaannnn则对任给的,0分别存在正数1N与2N，使得

,nnba当,1Nn

,bbn当.2Nn

取,,max21NNN则当Nn时上述两不等式同时成立，从而有 1．.lim2bababbaababannnnnnn 2． .bbabaabbabaaabbannnnnnnn （8） 由收敛数列的有界性定理，存在正数M，对一切n有Mbn.于是，当Nn时由（8）式可得 aMabbann

.

由的任意性，得abbannnlim. 3．由于,0limbbnn根据收敛数列的保号性，存在正数3N，则当n3N时有bbn21.取,,max32NNN则当Nn时有

222211bbbbbbbbbbnnnn



由的任意性，这就证得bbnn11lim. 例3 求

01110111limbnbnbnbanananakkkkmmmmn





，

其中km，0,0kmba． 解 以kn同乘分子分母后，所求极限式化为 kkkkkkkmmkmmnnbnbnbbnananana0111101111lim. 当0时有0limnn.于是， 当km时，上式除了分子分母的第一项分别为ma与mb外，期于各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于mmba； 当km时，由于nnkm0，故此时所求的极限等于0．综上所述， 得到







.,0,,lim1110111mkmk

b

a

bbnbnbaanana

mm

nnkkkknmmmm





例4 求,1limnnnaa其中1a. 解 若,1a则显然有211limnnnaa; 若1a,则由0limnna得 01limlimlim1limnnnnnnnnaaa

a

若1a,则 .1011111lim1limnnnnnaa

a

例5求.1limnnnn 解 ,111111nnnnnnn

由nn111及例1得 nlim.211111lim1nnnn

n

最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理． 定义1 设na为数列，kn为正整数集N的无限子集，且21nn,kn则数列 ,,,,21knnnaaa

称为数列na的一个子列,简记为}{kna. 注1 由定义1可见，na的子列kna的各项都选自na，且保持这些项在na中的先后次序．kna中的第k项是na中的第kn项，故总有knk．实际上kn本身也是正整数列n的子列． 例如，子列ka2由数列na的所有偶数项所组成，而子列12ka则由na的所有奇数项所组成．又na本身也是na的一个子列，此时knk，2,1k，. 注2 数列na本身以及na去掉有限项后得到的子列，称为na的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为na的非平凡子列．例如ka2和12ka都是na的非平凡子列．由上节例8可知：数列na与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限． 定理2．8 数列na收敛的充要条件是：na的任何非平凡子列都收敛． 证 必要性 设aannlim，kna是na的任一子列．任给0，存在正数N，使得当Nk时有aak．由于knk，故当Nk时更有Nnk，从而也有aa

kn，这就证明了kna收敛(且与na有相同的极限)．

充分性 考虑na的非平凡子列ka2，12ka与ka3．按假设，它们都收 敛．由于}{6ka既是ka2，又是ka3的子列，故由刚才证明的必要性， kkkkkkaaa362limlimlim． （9）

又36ka既是ka2又是ka3的子列，同样可得 .limlim312kkkkaa （10） (9)式与(10)式给出