收敛数列的性质

§2.2 收敛数列的性质本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。

教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。

一、收敛数列的性质1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。

证明：设b a a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。

2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。

即N n M ∈∀>∃,0有M a n ≤。

证明：设.l i m a n =∞→取N n N N >∀∈∃=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取{}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈∀有.M a n ≤注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。

例如数列{}n)1(-有界但不收敛。

当然：无界⇒发散。

3、保序性：若b b a a n n n n ==∞→∞→lim .lim .且b a <，则N n >∀有n n b a <。

证明：取,0)(21>-=a b ε由N -ε定义有： ε<-⇒>∀∃a a N n N n 11,，即)(21b a a n +<； （1）ε<-⇒>∀∃b b N n N n 22,，即n b b a <+)(21。

（2）取},m ax {21N N N =，则N n >∀有n n b a <。

1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞→则b a N n N n <⇒>∀∃,.2o 、推论2：若0lim <=∞→a a n n ,则.0,<⇒>∀∃n a N n N3o 、推论3：（不等式定理）。

§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。

即数列收敛，则它只有一个极限。

证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。

由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。

现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。

定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。

即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。

证明：设lim n n a a →∞=。

取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。

记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。

定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。

若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。

证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。

0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。

取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。

由此得到2a b ε<+。

收敛数列性质知识点总结一、定义在数学中，数列是由一系列按照特定顺序排列的数构成的序列。

而收敛数列是指当数列中的元素随着项数的增加逐渐趋于某一有界的值，这一值称为数列的极限。

即数列的极限存在且有限。

二、收敛数列的性质1. 有界性收敛数列是有界的，即存在一个上界和一个下界，使得数列中的每一项都在这个上下界之间。

证明：由于数列是收敛的，意味着存在一个极限值L，从而数列中的每一项都接近这个极限值。

因此，可以找到一个范围，使得数列中的每一项都在这个范围内。

2. 单调性如果一个数列是收敛的，那么它必然是单调的，即要么递增，要么递减。

证明：假设数列不是单调的，即存在两个相邻的数，其中一个大于另一个。

根据收敛数列的定义，接近极限的数列项越来越接近极限值，所以当数列不单调时，存在一个数列项接近极限值，另一个数列项远离极限值。

这与收敛数列的性质相矛盾，因此数列必须是单调的。

3. 极限值的唯一性对于一个收敛数列，它只有一个极限值。

证明：假设数列有两个极限值L1和L2，并且L1不等于L2。

根据数列的定义，当项数趋于无穷大时，数列的每一项都逐渐接近极限值。

但是当这两个极限值不相等时，数列无法同时逼近这两个不同的值，这与收敛数列的定义相矛盾。

因此，收敛数列的极限值必须是唯一的。

4. 极限运算法则如果数列{an}和{bn}分别收敛到a和b，那么有限个数列的极限和、差、积、商仍然收敛，并且它们的极限分别等于这些极限的和、差、积、商。

证明：（1）和的极限：设{an}收敛到a，{bn}收敛到b，那么对于任意的ε>0，存在N1，N2，使得当n>N1时，|an-a|<ε/2，当n>N2时，|bn-b|<ε/2。

那么当n>max{N1,N2}时，有|an+bn - (a+b)| = |(an-a) + (bn-b)| <= |an-a| + |bn-b| < ε/2 + ε/2 = ε因此{an+bn}收敛到a+b。

第二章数列极限2 收敛数列的性质定理2.2(唯一性)：若数列{ a n }收敛，则它只有一个极限.证：设a=，对任何b≠a，取ε0=，则在(a;ε0)之外有{ a n }的有限个项，从而，在(b;ε0)之内至多只有{ a n }的有限个项，所以b不是{ a n }的极限。

所以收敛数列只有一个极限.定理2.3(有界性)：若数列{a n}收敛，则{a n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有：| a n |≤M.证：设=a，取ε=1，存在正数N，对一切n>N，有|a n -a|≤1；又|a n|-|a|≤|a n -a|≤1；∴|a n|≤1+|；记M=max{|a1|,|a2|,…, |a N|,1+|}，则|a n|≤M，∴{a n}为有界数列.所以收敛数列有界.定理2.4(保号性)：若=a>0(或<0)，则对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得当n>N时，有a n>a’(或a n<a’).（注：在应用保号性时，常取a’=）证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，使得n>N时，有a n>a-ε=a’；当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，使得n>N时，有a n<ε+a=a’.所以原命题得证.定理2.5(保不等式性)：设{a n}与{b n}均为收敛数列. 若存在正数N0，使得当n> N0时，有a n≤b n，则.证：设，则∀ε，∃自然数N1 ,N2，使当n>N1时，有a n>a-ε;当n>N2时，有b n<ε+b.取N={N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε<a n≤b n<ε+b，∴a<b+2ε，由ε的任意性，得a≤b，即. 所以原命题得证.注：当a n<b n时，取ε0，则∃正数N1,N2，使当n>N1时，有a< a n +ε0;当n>N2时，有b> b n-ε0. 取N=max{N0,N1,N2}，则当n>N时，有a<<b.∴a<b，即<.例1：设a n≥0(n=1,2,…). 证明=a，则.证：∀ε，∃自然数N，使得当n>N时，有|a n -a|<ε.∵a n≥0，由保不等式性可知a≥0；当a=0时，有a n<ε，则<ε，即|-0|<ε，∴.当a>0时，则有|-|=<, ∴.定理2.6(迫敛性)：设收敛数列{a n},{b n}都以a为极限，数列{c n}满足：存在正数N0时有a n≤c n≤b n，则数列{c n}收敛，且=a.证：∀ε，∃正数N1,N2，使当n>N1时，有a n>a-ε;当n>N2时，有b n<ε+a. 取N=max{ N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε<a n≤c n≤b n<ε+a，即| c n -a|<ε; ∴数列{c n}收敛，且=a. 原命题得证。

2007／09／24§1.3 收敛数列的性质1. 唯一性定理1 每个收敛的数列只有一个极限.证,lim ,lim b x a x n n n n ==∞→∞→又设由定义知,使得 ,, ,021N N ∃>∀ε;,1ε<->a x N n n 恒有时当;,2ε<->b x N n n 恒有时当一、收敛数列的性质{},,max 21N N N =取时有则当N n >)()(a x b x b a n n ---=-ax b x n n -+-≤.2ε=ε+ε<.时才能成立上式仅当b a =故收敛数列极限唯一.2. 有界性定义: 对数列{n x }, 若存在正数M , 使得一切自然数n , 恒有M x n ≤成立, 则称数列{n x }有界, 否则, 称为无界.例如,};1{+n n 数列}.2{n 数列数轴上对应于有界数列的点n x 都落在闭区间],[M M -上.有界无界相应的, 可以给出有上界和有下界的定义定理2 收敛的数列必定有界.证,lim a x n n =∞→设由定义,,1=ε取,1,<->∃a x N n N n 时恒有使得当则.11+<<-a x a n 即有},1,1,,,max{1+-=a a x x M N 记,,M x n n ≤皆有则对一切自然数{}.有界故n x 注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.例1.)1(1是发散的证明数列+-=n n x 证,lim a x n n =∞→设由定义,,21=ε对于,21,,成立有时使得当则<->∃a x N n N n ),21,21(,+-∈>a a x N n n 时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而-n x 不可能同时位于长度为1的区间内..)1(1发散所以数列+-=n n x3. 子列极限一致性定义：在数列中任意抽取无限多项并保持}{n x 这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列}{n x 的子数列，简称子列.}{ k n x 记为一子数列也收敛于}{n x 定理3如果数列收敛于a , 那么它的任.a, N K =取,时则当K k >.N n n n N K k ≥=>,|ε<-a x k n 于是｜证, }{ }{ 的任一子列是数列设n n x x k,lim a x n n =∞→由总有时使得当 , N n >. ||成立ε<-a x n ,N 0, *∈∃>∀N ε故对.lim a x k n n =∞→证得数列是发散的，通常利用此定理来证明是发散的数列}{sin n )14(P .)1( 1是发散的数列比如：+-=n n x4. 不等式性质P20证明见 ; ; ,, ,lim 14oβαβαβα<><<=∞→n n n n a a n a a a 充分大时有那么当满足设：定理; , ,lim ,lim 2 n n n n n n o b a n b a b b a a <<==∞→∞→充分大时有那么当且设. , ,lim ,lim 3 b a b a n b b a a n n n n n n o ≤≤==∞→∞→那么有有充分大时且当设定理5.0,lim )3(;][lim )2(;][lim )1(,lim ,lim ≠=⋅=⋅±=±==∞→∞→∞→∞→∞→b b a b a b a b a b a b a b b a a n n n n n n n n n n n n n 其中则设证二、极限的四则运算; )1(绝对值的三角形不等式; , , )2(绝对值不等式添加项收敛数列的有界性b b b nn 11lim ,0)3(=≠∞→时先证, . , ,0112||时当对于N n t s N b >∃>2||||b b b n <-.02||||>>b b n 且此时,1时所以当N n >.||22b b bn -≤|||||11| b b b b b b n n n -=-.11lim ,b b n n =∞→即证得.)2(易见结论成立再由.||2|11| 2ε<-≤-b b bb b n n . , 0, ,lim 2t s N b b n n ∃>∀=∞→ε对由于.2|| , 22εb b b N n n <->有时当便有时因此当 ,},max{21N N n >说明：有+无=无，无+无=不定；有=⨯⨯无=不定;无,不定无推广到有限项.例2:145432lim 22-++-∞→n n n n n 22145432lim nn n n n -++-=∞→221lim 4lim 5lim 4lim 3lim 2lim n n n n n n n n n n ∞→∞→∞→∞→∞→∞→-++-=52=例3:)...1(lim 12-∞→++++n n q q q q q q n n n ---=∞→∞→1lim 11lim n n q q q ∞→---=lim 1111 .11 q-=qq n n --=∞→11lim .)...1(lim ,1||12-∞→++++<n n q q q q 计算极限设:解三、无穷小:定义. ,,0 }{ 简称无穷小数列称为无穷小列那么这个的极限为如果收敛数列n a:6定理;}||{}{ 1 为无穷小为无穷小的充要条件是n n oa a ;)( 2仍是无穷小或差两个无穷小之和o ; }{ ,}{,}{ 3为无穷小那么为有界数列为无穷小设n n n n oa c c a;}{ ,}{,N ,0 4*也是无穷小那么为无穷小如果设n n n n o a b n b a ∈≤≤.}{lim 5为无穷小的充要条件是a a a a n n n o -=∞→....lim ,lim :421a na a a a a n n n n =+++=∞→∞→求证已知例分析：a na a a n n =+++∞→...lim 210)()()(lim 21=-++-+-∞→na a a a a a n n ⇔.0lim 21=+++∞→n n n ααα 则0)(lim lim =-⇔=∞→∞→a a a a n n n n ,a a n n -=α令,0lim =∞→n n α若证明：, a a n n -=α令,0lim =∞→n n α若.0lim 21=+++∞→n n n ααα 则:则待证结果转化为,0lim =∞→n n α由 0,>∀ε对.2 ,εα<>n N n 时当,N *∈∃N 使得所以2)(||21εααα⋅-++++<n N n n N n nN αααα+++++ 212||21εααα++++<n N ,0lim 21=+++∞→n N n ααα 而,,N 1*1N N N >∈∃所以,1时使得当N n >,2||21εααα<+++n N ,22 21εεεααα=+<+++n n 故......所以四、夹逼准则(两边夹法则)定理7 如果数列}{},{n n y x 及}{n z 满足条件:,lim ,lim )2()3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n nn n ===≤≤∞→∞→那末数列{n x }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证,,a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>∃>∀N N ε,1ε<->a y N n n 时恒有当},,max{21N N N =取恒有时当,N n >,ε+<<ε-a y a n 即,2ε<->a z N n n 时恒有当,ε+<<ε-a z a n 上两式同时成立,,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞→例5).12111(lim 222nn n n n ++++++∞→ 求解,11112222+<++++<+n nn n n n n n nn n n n n 111lim lim 2+=+∞→∞→又,1=22111lim1limnn n n n +=+∞→∞→,1=由夹逼定理得.1)12111(lim 222=++++++∞→nn n n n1lim : 0, 61=>∞→na a n 求证设例nn na a n a 111 , 1, :≤≤>≥我们有时当先设证明,1lim 1=∞→nn n 由于知由夹逼定理 ,.11lim 1成立对≥=∞→a a nn 于是这时再设 ,1 ),1,0(1>∈-aa .1111lim 1lim 11==⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→n na a n n)13( lim :7 --+∞→n n n 求极限例n n n n n n 434134)13( 0 :<+≤-++=--+<我们有不等式解0.)13( lim ,}4{=--+∞→n n nn 所以是无穷小因为例８.ka a a ≤≤≤≤ 210设则knnkn n n a a a a =+++∞→ 21lim证明：kn n k n n k n n n n k k a ka a a a a a →≤+++≤= 21由夹逼定理，knnkn n n a a a a =+++∞→ 21lim五、小结收敛数列的性质有界性、唯一性、子列极限一致性、不等式性质极限的四则运算无穷小夹逼准则(两边夹法则)作业(习题集)习题1-3 A：2；3（偶数）；5；6；8；9.。