北航工科数学分析杨小远-第2节 收敛数列的性质

北京航空航天大学2014－2015 学年第二学期期中《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩2015年5月16日一、 选择题（每题4分，满20分）1. 设)}({x f n 是定义在点集D 上的函数列，与“函数项级数)(1x f n n ∑∞=在点集D上一致收敛”等价的论断是下述的（ ）A ．,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有.|)()(|ε<-x f x f n mB ． ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有1|()|.=+<∑mk k n f x εC ． 函数列)}({x f n 在点集D 上一致收敛于.0D ． 对于每一个,D x ∈ ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 1|()|.mk k n f x ε=+<∑2. 幂级数03(2)(1)n nn n x n ∞=+--∑的收敛域为（ ） A.24(,)33 ； B. 24[,)33； C. (3,3)-； D. (2,4)- ． 3. 函数x ye--的二阶Maclaurin 公式为（ ）A. 2()1()()2x y x y o x y +-++++； B. 1()()x y o x y -+++； C. 222()1()()2x y x y o x y +-++++； D. 222()1()()2x y x y o x y ++++++．4.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件． 5. 已知二元函数242(,)x yf x y x y =+，下面命题正确的是（ ）①0000lim lim(,)lim lim (,)0x y y x f x y f x y →→→→==； ②0000lim lim(,),lim lim (,)x y y x f x y f x y →→→→不存在；③ 0lim (,)0x y f x y →→=；④0lim(,)x y f x y →→不存在.A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、（每题6分，满分30分）1. 设(),z F x z y =+，求方程所确定的隐函数的偏导数.x xy z z ，2. 求函数u xyz =在点(1,1,1)M ，沿方向 (2,1,3)=-rl 的方向导数与梯度。

02-2收敛数列的性质仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢0§ 2 收敛数列的性质1. 极限唯一性：若数列«Skip Record If...»收敛，则它只有一个极限。

证 （反证法）若数列«Skip Record If...»有两个极限收敛，«Skip Record If...»，不妨设«Skip Record If...»由«Skip Record If...»，（极限的几何定义）«Skip Record If...»外至多有数列«Skip Record If...»的有限项«Skip Record If...»内最多只有数列«Skip RecordIf...»的有限项，与 «Skip Record If...»矛盾。

2 收敛数列有界性—— 收敛的必要条件若数列«Skip Record If...»收敛，则数列«Skip Record If...»有界，即存在«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»«Skip Record If...» 都有 «Skip Record If...»证明由«Skip Record If...»，存在 «Skip Record If...» 时，«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»记«Skip Record If...»，则对任意«Skip Record If...»都有：«Skip Record If...»3 收敛数列保号性：kip Re cord If...»若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»；若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»；推论若 «Skip Record If...»则对«Skip Record If...»证明«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»例1 设«Skip Record If...»证明：若 «Skip Record If...»则«Skip Record If...»（证）定理2.5 设«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»4迫敛性设«Skip Record If...»，数列«Skip Record If...»满足：存在«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，则数列«Skip Record If...»收敛，且«Skip Record If...»证明 «Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»取 «Skip Record If...»时«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1例2 求 «Skip Record If...»解法1） «Skip Record If...»，所以可将 «Skip Record If...»的形式，«Skip Record If...»用牛顿二项式定理«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»由迫敛性 «Skip Record If...»解法2）«Skip Record If...»5绝对值收敛性:«Skip Record If...» ( 注意反之不确 ).«Skip Record If...» ( 证 )推论设数列{«Skip Record If...»}和{«Skip Record If...»}收敛, 则«Skip Record If...»6四则运算性质:设«Skip Record If...»，则数列 «Skip Record If...»也收敛，且«Skip Record If...»， «Skip Record If...»。

2007－2008学年第二学期期中考试试题数学分析（下） 2008年4月27日一． 填空题(每小题4分, 共20分)1. 级数∑∞=+13)23(n nnn x的收敛域是 .2. 设函数222)(π-=xx f 在],[ππ-上的Fourier 级数为：∑∞=++10)sin cos (2n n nnx b nx aa , 则=0a , n a = , nb = .3. 函数y xe z 2=在点)0,1(P 处，沿着从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 方向的方向导数为 .4. 3221)ln(limyx e x yy x ++→→= .5. 曲线⎩⎨⎧=++=++64222z y x z y x 在点)1,2,1(处的法平面为 .二． 选择题（每小题4分, 共20分）1. 设 )}({x f n 是定义在区间I 上的函数列，与“函数项级数∑∞=1)(n n x f 在区间I上一致收敛”等价的论断是 ………………………………………………..( ) A ．,,0*N N ∈∃>∀ε当N n m >>，对一切I x ∈,都有 ε<-)()(x f x f n m ;B ．,,0*N N ∈∃>∀ε当N n m >>，对一切I x ∈, 都有 ε<∑=|)(|mnk k x f ;C ．函数列)}({x f n 在I 上一致收敛于0;D ．对每一给定的+∈∃>∀∈N N I x ,0,ε，当N n m >>，都有.|)(|ε<∑=mnk k x f2. 设),(y x f 在),(00y x 的某一个邻域内有定义，则下述论断正确的是……...( ) A ．若),(y x f 在),(00y x 处连续，则),(),(00y 00y x f y x f x ，一定存在; B ．若),(),(0000y x f y x f y x ，存在,则),(y x f 在),(00y x 处连续;C ．若),(),(0000y x f y x f y x ，存在,则),(y x f 在),(00y x 处沿任意方向的方向导数一定存在;D ．若),(),(y x f y x f y x ，存在且连续, 则),(y x f 在),(00y x 处连续.3. 设n R E ⊂，下列叙述中不正确的是……………………………………...( ) A ．如果E 是一个列紧集，则E 必是一个有界闭集; B ．开集E F ⊆，则有o E F ⊆;C ．若E 是闭集，则E 中的所有的点都是E 的凝聚点;D ．若E 是开集，则E 中的所有的点都是E 的凝聚点.4. 下列广义积分收敛的是 …………………..………………………..…………( )A ．+∞⎰B ．1+∞⎰; C ．1 1.6dx x⎰; D. 221(ln )dx x x ⎰.5. 方程1212=-+y xx dxdy 的通解为…………………………………….………()A. x x e x C e 121)(+; B. x xe x C e121)(+-;C. x xe x C e 121)(+--; D. xx e x C e 121)(-+.三、（10分）求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数并指明其定义域.四、（10分）求方程x xe y y y 322'3''=+-的通解.五、（10分）设广义积分为dx a x x p⎰+∞+0)(cos ，其中0,0>>p a ，试证明（1）当1>p 时，积分绝对收敛， （2）当10≤<p 时, 积分条件收敛.六、（10分）设),(v u f z =具有二阶连续偏导数，且,22y x u +=yx v =, 求22xz ∂∂.七、（10分）要设计一个容量为4的长方形开口水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，其表面积最小？并求出其表面积？八、（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,1sin )(),(22222222y x y x yx y x y x f1) 求偏导数),(),,(y x f y x f y x ，并讨论偏导数在)0,0(处的连续性? 2) 讨论函数),(y x f 在)0,0(处的可微性?2007-2008数学分析（下）期中考试参考答案一. 填空1. )3,3[-2. =0a 235π-, 2)1(2na nn -=, n b = 03.22-4. 2ln5. z x =二．选择1．B 2. D 3. C 4. B 5. B三．解：级数∑∞=1n n nx 的收敛半径是1=R ,当1±=x 时级数发散，所以定义域为)1,1(- ………3分 设 =)(x s ∑∞=1n nnx ，∑∞=-==11)()(n n nxx x S x f 逐项积分，得到⎰∑⎰∞=--==xn xn xxdx nxdx x f 011,1)(………7分所以2')1(1)(x x x x x x S -=⎪⎭⎫⎝⎛-= ………10分 四. 解：特征方程 ,0232=+-r r 的特征根为：，，2121==r r ………3分所以对应齐次方程通解为： ,221x x e c e c Y += ………5分,3=λ不是方程的根，设xeB Ax y 3)(*+=为方程的一个特解，带入方程得x B A Ax 2232=++， 所以 ⎪⎩⎪⎨⎧-==231B A 所以 xe x y 3)23(*-= ………8分所以通解为： .)23(3221x x x e x e c e c y -++= ………10分五、解：（1）当1>p 时，axaxx pp+≤+1c os 而⎰+∞+01dxax p收敛，所以原积分绝对收敛。