北航工科数学分析杨小远-第2节收敛数列的性质

北京航空航天大学2014－2015 学年第二学期期中《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩2015年5月16日一、 选择题（每题4分，满20分）1. 设)}({x f n 是定义在点集D 上的函数列，与“函数项级数)(1x f n n ∑∞=在点集D上一致收敛”等价的论断是下述的（ ）A ．,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有.|)()(|ε<-x f x f n mB ． ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 对于一切D x ∈都有1|()|.=+<∑mk k n f x εC ． 函数列)}({x f n 在点集D 上一致收敛于.0D ． 对于每一个,D x ∈ ,0>∀ε ∃正整数,N 当,N n m ≥> 1|()|.mk k n f x ε=+<∑2. 幂级数03(2)(1)n nn n x n ∞=+--∑的收敛域为（ ） A.24(,)33 ； B. 24[,)33； C. (3,3)-； D. (2,4)- ． 3. 函数x ye--的二阶Maclaurin 公式为（ ）A. 2()1()()2x y x y o x y +-++++； B. 1()()x y o x y -+++； C. 222()1()()2x y x y o x y +-++++； D. 222()1()()2x y x y o x y ++++++．4.函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ ）A. 必要而非充分条件；B. 充分而非必要条件；C. 充分必要条件；D. 既非充分又非必要条件． 5. 已知二元函数242(,)x yf x y x y =+，下面命题正确的是（ ）①0000lim lim(,)lim lim (,)0x y y x f x y f x y →→→→==； ②0000lim lim(,),lim lim (,)x y y x f x y f x y →→→→不存在；③ 0lim (,)0x y f x y →→=；④0lim(,)x y f x y →→不存在.A. ①③B. ②③C. ①④D. ②④二、（每题6分，满分30分）1. 设(),z F x z y =+，求方程所确定的隐函数的偏导数.x xy z z ，2. 求函数u xyz =在点(1,1,1)M ，沿方向 (2,1,3)=-rl 的方向导数与梯度。

数学分析第十二章数项级数收敛级数的性质(I)第二讲数学分析第十二章数项级数定理12.1（级数收敛的柯西准则）12.(6)m m m p u u u ε++++++< 级数(1) 收敛的充要条件是:N 正整数，m N p >使得当以及对任意的正整数都有任何正整数N ,总存在正整数m 0 >N 和p 0，写出级数(1)发散的充要条件是:0,ε存在某正数对根据定理12.1以及数列发散的充要条件，可以立刻12(1)n u u u ++++ 0000120.(7)m m m p u u u ε++++++≥ ,ε任给正数总存在使得数学分析第十二章数项级数推论（级数收敛的必要条件）由定理12.1立即可得如下推论.若级数(1)收敛,则→∞=lim 0.n n u 注推论是级数收敛的一个必要条件:一般项不趋于零,级数一定发散.收敛.但一般项趋于零, 则级数未必因此推论用来判断级数发散很有效.1(1)1(1),+-++-+因为一般项u n = ( )n -1不趋于零，所以发散.1-如级数数学分析第十二章数项级数例3 讨论调和级数111123n +++++的敛散性.解这里一般项,10n u n =→因此不能利用推论判断它是发散级数. 下面利用柯西准则证明它是发散的.为此令p = m ,则有122111122m m mu u u m m m +++++=+++++ 111222m m m ≥+++1,2==01,2ε故取对任何正整数N 只要取m > N 和p = m就有上式成立，因此调和级数发散.11n n∞=∑数学分析第十二章数项级数例4判断级数111nn nn n n n∞+=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性.解因为所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.1111lim lim nnn n n n nn n n n n n n n →∞→∞+⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=212111lim n nn nn n →∞⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=1=0.≠数学分析第十二章数项级数例5 用级数收敛的柯西准则证明级数∑21n收敛.证由于12m m m p u u u ++++++ 222111(1)(2)()m m m p =++++++ 111(1)(1)(2)(1)()m m m m m p m p <+++++++-+ 1111111121m m m m m p m p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪++++-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11m m p =-+1.m<当m>N 及任意正整数p ,由上式可得121,m m m p u u u mε++++++<< 0,ε∀>故对1,N ε=⎡⎤⎣⎦可取数学分析第十二章数项级数定理12.2∑21n依级数收敛的柯西准则,知级数收敛.∑∑,n n u v 若级数与都收敛则对任意常数c ,d ，+∑()n n cu dv 级数亦收敛，且().nn n n cudv c u d v +=+∑∑∑定理12.3去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性.数学分析第十二章数项级数注去掉、增加或改变级数的有限项虽不改变该级数的敛散性，由定理12.3知,∞=∑1,n n u 若级数收敛其和为S ,++++12(8)n n u u 第n 个余项(简称余项),时所产生的误差.则级数也收敛，.n n S S R -=且其和(8)n u ∑式称为级数的它表示以部分和S n 代替S 但在收敛时，其和一般还是要变的.。

02-2收敛数列的性质仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢0§ 2 收敛数列的性质1. 极限唯一性：若数列«Skip Record If...»收敛，则它只有一个极限。

证 （反证法）若数列«Skip Record If...»有两个极限收敛，«Skip Record If...»，不妨设«Skip Record If...»由«Skip Record If...»，（极限的几何定义）«Skip Record If...»外至多有数列«Skip Record If...»的有限项«Skip Record If...»内最多只有数列«Skip RecordIf...»的有限项，与 «Skip Record If...»矛盾。

2 收敛数列有界性—— 收敛的必要条件若数列«Skip Record If...»收敛，则数列«Skip Record If...»有界，即存在«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»«Skip Record If...» 都有 «Skip Record If...»证明由«Skip Record If...»，存在 «Skip Record If...» 时，«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»记«Skip Record If...»，则对任意«Skip Record If...»都有：«Skip Record If...»3 收敛数列保号性：kip Re cord If...»若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»；若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»；推论若 «Skip Record If...»则对«Skip Record If...»证明«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»例1 设«Skip Record If...»证明：若 «Skip Record If...»则«Skip Record If...»（证）定理2.5 设«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»4迫敛性设«Skip Record If...»，数列«Skip Record If...»满足：存在«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，则数列«Skip Record If...»收敛，且«Skip Record If...»证明 «Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»取 «Skip Record If...»时«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1例2 求 «Skip Record If...»解法1） «Skip Record If...»，所以可将 «Skip Record If...»的形式，«Skip Record If...»用牛顿二项式定理«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»由迫敛性 «Skip Record If...»解法2）«Skip Record If...»5绝对值收敛性:«Skip Record If...» ( 注意反之不确 ).«Skip Record If...» ( 证 )推论设数列{«Skip Record If...»}和{«Skip Record If...»}收敛, 则«Skip Record If...»6四则运算性质:设«Skip Record If...»，则数列 «Skip Record If...»也收敛，且«Skip Record If...»， «Skip Record If...»。