大学数学分析§2收敛数列的性质

§２ 收敛数列的性质引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论．一、收敛数列的性质１ 极限唯一性定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限． ２ 有界性定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{}(1)n-有界，但它不收敛．３ 保号性定理2.4 若lim 0n n a a →∞=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）．注 在应用保号性时，经常取2'aa =． ４ 保不等式性定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则l i m l i m n n n n a b →∞→∞≤．思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞→∞<？保不等式性的一个应用：例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞=，则n =思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？５ 迫敛性定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具． 下面是其应用一例：例2 求数列的极限．６ 极限的四则运算法则定理2.7 若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛，且有lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞±=±=±;lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅.若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也收敛，且有 lim lim lim nn n n n nn a a a b b b →∞→∞→∞==. 特别地，若n b c =，则lim()lim n n n n a c a c →∞→∞+=+，lim lim n n n n ca c a →∞→∞=.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则．下举几例； 例3 求 nn n n n 113lim++∞→例4 求 65214lim 22-++∞→n n n n类似可求 11101110lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ ，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.例5 求1lim +∞→n nn a a ，其中1a ≠-.例6求n .例7 求222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭ . 二 数列的子列１． 引言极限是个有效的分析工具．但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效．这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究．那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”． ２． 子列的定义定义１ 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<< ，则数列12,,,,k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序．简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列．注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列．由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任何非平凡子列都收敛．注 若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．这是判断数列发散的一个很方便的方法．如})1{(n -，})1{(2k -收敛于1，})1{(12+-k 收敛于1-，故})1{(n -发散．例7 证明 }2{sinπn 发散． 作业：P33 1（1）（4）（5），2，4（1）（4）（6），6（1）。

02-2收敛数列的性质仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢0§ 2 收敛数列的性质1. 极限唯一性：若数列«Skip Record If...»收敛，则它只有一个极限。

证 （反证法）若数列«Skip Record If...»有两个极限收敛，«Skip Record If...»，不妨设«Skip Record If...»由«Skip Record If...»，（极限的几何定义）«Skip Record If...»外至多有数列«Skip Record If...»的有限项«Skip Record If...»内最多只有数列«Skip RecordIf...»的有限项，与 «Skip Record If...»矛盾。

2 收敛数列有界性—— 收敛的必要条件若数列«Skip Record If...»收敛，则数列«Skip Record If...»有界，即存在«Skip Record If...»，对«Skip Record If...»«Skip Record If...» 都有 «Skip Record If...»证明由«Skip Record If...»，存在 «Skip Record If...» 时，«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»记«Skip Record If...»，则对任意«Skip Record If...»都有：«Skip Record If...»3 收敛数列保号性：kip Re cord If...»若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»；若 «Skip Record If...»，则对«Skip Record If...»，«Skip Record If...»时有«Skip Record If...»；推论若 «Skip Record If...»则对«Skip Record If...»证明«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»例1 设«Skip Record If...»证明：若 «Skip Record If...»则«Skip Record If...»（证）定理2.5 设«Skip Record If...»，若«Skip Record If...»则«Skip Record If...»«Skip Record If...»4迫敛性设«Skip Record If...»，数列«Skip Record If...»满足：存在«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，则数列«Skip Record If...»收敛，且«Skip Record If...»证明 «Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»取 «Skip Record If...»时«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以 «Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢1例2 求 «Skip Record If...»解法1） «Skip Record If...»，所以可将 «Skip Record If...»的形式，«Skip Record If...»用牛顿二项式定理«Skip Record If...»«Skip Record If...» «Skip Record If...»«Skip Record If...»由迫敛性 «Skip Record If...»解法2）«Skip Record If...»5绝对值收敛性:«Skip Record If...» ( 注意反之不确 ).«Skip Record If...» ( 证 )推论设数列{«Skip Record If...»}和{«Skip Record If...»}收敛, 则«Skip Record If...»6四则运算性质:设«Skip Record If...»，则数列 «Skip Record If...»也收敛，且«Skip Record If...»， «Skip Record If...»。

§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。

即数列收敛，则它只有一个极限。

证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。

由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。

现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。

定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。

即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。

证明：设lim n n a a →∞=。

取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。

记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。

定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。

若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。

证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。

0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。

取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。

由此得到2a b ε<+。

第二章数列极限2 收敛数列的性质定理2.2(唯一性)：若数列{ a n }收敛，则它只有一个极限.证：设a=，对任何b≠a，取ε0=，则在(a;ε0)之外有{ a n }的有限个项，从而，在(b;ε0)之内至多只有{ a n }的有限个项，所以b不是{ a n }的极限。

所以收敛数列只有一个极限.定理2.3(有界性)：若数列{a n}收敛，则{a n}为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n有：| a n |≤M.证：设=a，取ε=1，存在正数N，对一切n>N，有|a n -a|≤1；又|a n|-|a|≤|a n -a|≤1；∴|a n|≤1+|；记M=max{|a1|,|a2|,…, |a N|,1+|}，则|a n|≤M，∴{a n}为有界数列.所以收敛数列有界.定理2.4(保号性)：若=a>0(或<0)，则对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得当n>N时，有a n>a’(或a n<a’).（注：在应用保号性时，常取a’=）证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，使得n>N时，有a n>a-ε=a’；当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，使得n>N时，有a n<ε+a=a’.所以原命题得证.定理2.5(保不等式性)：设{a n}与{b n}均为收敛数列. 若存在正数N0，使得当n> N0时，有a n≤b n，则.证：设，则∀ε，∃自然数N1 ,N2，使当n>N1时，有a n>a-ε;当n>N2时，有b n<ε+b.取N={N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε<a n≤b n<ε+b，∴a<b+2ε，由ε的任意性，得a≤b，即. 所以原命题得证.注：当a n<b n时，取ε0，则∃正数N1,N2，使当n>N1时，有a< a n +ε0;当n>N2时，有b> b n-ε0. 取N=max{N0,N1,N2}，则当n>N时，有a<<b.∴a<b，即<.例1：设a n≥0(n=1,2,…). 证明=a，则.证：∀ε，∃自然数N，使得当n>N时，有|a n -a|<ε.∵a n≥0，由保不等式性可知a≥0；当a=0时，有a n<ε，则<ε，即|-0|<ε，∴.当a>0时，则有|-|=<, ∴.定理2.6(迫敛性)：设收敛数列{a n},{b n}都以a为极限，数列{c n}满足：存在正数N0时有a n≤c n≤b n，则数列{c n}收敛，且=a.证：∀ε，∃正数N1,N2，使当n>N1时，有a n>a-ε;当n>N2时，有b n<ε+a. 取N=max{ N0,N1,N2}，则当n>N时，有a-ε<a n≤c n≤b n<ε+a，即| c n -a|<ε; ∴数列{c n}收敛，且=a. 原命题得证。

一、性质1—惟一性性质1（极限的惟一性）收敛数列的极限必惟一.证b a b x a x n n n n ≠==∞→∞→且又设,lim ,lim 由定义,使得,,,021N N ∃>∀ε;21ε<->a x N n n 时恒有当;22ε<->b x N n n 时恒有当{},,max 21N N N =取时有则当N n >)()(a x b x b a n n ---=-ax b x n n -+-≤.222a b -==+<εεε，这是不可能的故收敛数列不可能有两个极限.2a b -=ε且令例.)1(1是发散的证明数列+-=n n x 证,lim a x n n =∞→设由定义,,21=ε对于,21,,成立有时使得当则<->∃a x N n N n ),21,21(,+-∈>a a x N n n 时即当区间长度为1.,1,1两个数无休止地反复取而-n x 不可能同时位于长度为1的区间内..,}{,但却发散是有界的事实上n x二、性质2—有界性收敛数列必为有界数列.证,lim a x n n =∞→设由定义,,1=ε取,1,<->∃a x N n N n 时恒有使得当则.11+<<-a x a n 即有},1,1,,,max{1+-=a a x x M N 记,,M x n n ≤皆有则对一切自然数{}.有界故n x 性质2（有界性）注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.{}有界，收敛；例：⎭⎬⎫⎩⎨⎧=n x n 1{}(){}有界，发散；n n x 1-={}{}.无界，发散n x n =三、性质3—保号性x 1x 2x 2+N x 1+N x 3x 分析：几何解释ε2ε-a ε+a a .)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当N a a x N n n εε+->,,0(0).n n N n N x x >><则存在正整数当时或性质3（保号性）),0(0,lim <>=∞→a a a x n n 或且若证,0>a 设,2a =ε取时有使得当则N n N >∃,.2320a x a n <<<即有,2a a x n =<-ε,,0(0).n n N n N x x >><则存在正整数当时或性质3（保号性）),0(0,lim <>=∞→a a a x n n 或且若).0(0,lim )0(0≤≥=<>∞→a a a x x x n n n n 或则且或若推论这个定理表明 若数列的极限为正（或负），则该数列从某一项开始以后所有项也为正（或负）.四、性质4—子数列的收敛性在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{x n }中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{x n }的子数列（或子列）.例如1212,,,,,k n n n x x x x x 1,n x l 注Ø子数列概念k n 第n k 项第k 项k n k ,k n x 2,n x,性质4（收敛数列与其子数列间的关系），那么它的任一子数列收敛于如果数列a x n }{.a ，且极限也是也收敛1.若数列有两个不同的子数列收敛于不同的极限，则该数列是发散的.注意：{}1(1):n +-u 例1,1,1,1,--{}21:k x -1,1, {}2:k x 1,1,-- 11-发散2.若数列的奇数列与偶数列收敛于相同的极限，则该数列是收敛的.THANK YOU。