§2 收敛数列的性质教学目标：通过本节内容的学习，达到以下教学目标与要求：一级目标：熟练数列极限的主要性质（唯一性、有界性和保号性） 二级目标：掌握数列的四则运算法则教学内容和重、难点：1. 数列极限的唯一性2. 数列存在极限时数列的有界性和保号性3. 数列极限的四则运算重点：数列的极限唯一性和四则运算 难点：数列极限的保号性教学方法和教具使用：讲授法。
教学过程：定理2.2 （唯一性）若数列{}n a 有极限，则极限唯一.证 若数列有极限，但极限不唯一，设,a a '都为其极限，a a '≠，则lim ,lim n n n n a a a a →∞→∞'==.取正数12a a ε'=-，则由lim n n a a →∞=得，存在正整数1N 使得，当1n N >时，1.2n a a a a '-<- 由lim n n a a →∞'=得，存在正整数2N 使得，当2n N >时，1.2n a a a a ''-<- 取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，()()11.22n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''-=---≤-+-<-+-=- 矛盾.定理2.3 （有界性）若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 有界.证 因数列{}n a 收敛，设其极限为a ，即lim n n a a →∞=.则对于正数1ε=，存在正整数N ，当n N >时，n a a -<1.故当n N >时，1n n n a a a a a a a a =-+≤-+<+，取正数{}12max ,,,,1N M a a a a =+，则,1,2,.n a M n ≤=故数列{}n a 有界.定理2.4 （保号性）若lim 0n n a a →∞=>（或0<），则()0,a a '∀∈（或(),0a a '∈），存在正整数N 使得，当n N >时，n a a '>（或n a a '<）.证 设lim 0n n a a →∞=>，则对于正数a a ε'=-，存在正整数N ，使得当n N >时，,n a a a a '-<-即().n a a a a a a ''--<-<-故当n N >时，().n a a a a a ''>--=推论 设lim ,lim ,n n n n a a b b a b →∞→∞==<，则存在正整数N ，使得当n N >时，.n n a b <证 因为lim ,lim ,n n n n a a b b a b →∞→∞==<，所以()lim 0n n n b a b a →∞-=->.又()0,2b ab a -∈-，所以，由定理2.4得，存在正整数N 使得，当n N >时， 2n n b ab a -->，注意到02b a->，故当n N >时，.n n a b < 另证：取正数2b aε-=，则由lim n n a a →∞=得，存在正整数1N 使得，当1n N >时2n b aa a --<； 由lim n n b b →∞=得，存在正整数2N 使得，当2n N >时，.2n b ab b --<取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，.222n n b a a b b aa ab b -+-<+==-< 定理2.5 （保不等式性）设{}n a 与{}n b 均为收敛的数列.若存在正整数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则lim lim .n n n n a b →∞→∞≤证 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==.假设a b >，则由定理2.4的推论得，存在正整数1N 使得，当1n N >时，.n n a b >取{}01max ,N N N =，则当n N >时，.n n a b > 另一方面，由已知条件易得，当n N >时，.n n a b ≤矛盾. 例1 设()01,2,n a n ≥=，证明：若lim n n a a →∞=，则n =证 因()01,2,n a n ≥=，lim n n a a →∞=，故由保不等式性得0.a ≥当0a >时，由lim n n a a →∞=得，∀0ε>，存在正整数N 使得，当n N >时，.n a a -<故当n N >时，.ε==≤<= 故n =当0a =时，由lim 0n n a →∞=得，0ε∀>，相应于正数2ε，存在正整数N 使得，当n N>时，20.n n a a ε=-<故当n N>时，.ε==<故n=定理2.6 （迫（pai）敛性）设数列{}n a，{}n b，{}n c满足：存在正整数0N使得，当0n N>时，n n na c b≤≤，且lim limn nn na b a→∞→∞==，则lim.nnc a→∞=证0ε∀>，由limnna a→∞=得，存在正整数1N使得，当1n N>时，,na aε-<即.na a aεε-<<+由limnnb a→∞=得，存在正整数2N使得，当2n N>时，nb aε-<，即.na b aεε-<<+取正整数{}012max,,N N N N=，则当n N>时，.n n na a cb aεε-<≤≤<+故当n N>时，.nc aε-<于是lim.nnc a→∞=例2求数列的极限.解记1n na h==+，这里()01nh n>>，则有()()211.2nn nn nn h h-=+>由上式得)01nh n<<>，从而有111n na h≤=+≤+.易知lim1lim11n n→∞→∞⎛=+=⎝，故由定理2.6得lim1nna→∞=，即 1.n=注：设1,1,11n n b n =⎧⎪=⎨+>⎪⎩，则lim 1.n n b →∞=这是因为，当1n >时，要使111n b -== 故0ε∀>，取正整数221N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，1n b ε-<，于是lim 1.n n b →∞=另解： 0ε∀>，当1n >时，()()()2211112!2!nn n n n n n εεεεε--+=++++>， 取正整数221N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当nN >时，()()2222221221,1,1,2!2!11.nn n n n n n εεεεεεεε⋅->+->+>>=+><故 1.n =例3 求证：0.n = 证 0ε∀>，有1lim0.!nn n ε→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭=取1,1!nn n a b n ε⎛⎫ ⎪⎝⎭==，则1lim 01lim !nn n n b n ε→∞→∞⎛⎫⎪⎝⎭=<=，故由 极限的保号性定理的推论得，存在正整数N 使得，当n N >时，n n a b <，即11!nn ε<，从而10.!nn εεε<<< 故0.n =定理2.7 （四则运算法则）若数列{}n a 与{}n b 都收敛，则数列{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-也都收敛，且()()lim lim lim ,lim lim lim .n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞→∞±=±⋅=⋅特别当n b 为常数c 时，有()lim lim ,lim lim .n n n n n n n n a c a c ca c a →∞→∞→∞→∞+=+=若再设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也收敛，且 lim lim .lim nn n n nn n a a b b →∞→∞→∞= 证 只证明和、商的情形.因为数列{}n a 与{}n b 都收敛，所以设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==.1.证明：()lim lim lim .n n n n n n n a b a b →∞→∞→∞+=+0ε∀>，因lim n n a a →∞=，故相应于正数2ε，存在正整数1N 使得，当1n N >时 .2n a a ε-<又因lim n n b b →∞=，故相应于正数2ε，存在正整数2N 使得，当2n N >时， .2n b b ε-<取正整数{}12max ,N N N =，则当n N >时，()()()().22n n n n n n a b a b a b b b a a b b εεε+-+=-+-≤-+-<+=故()lim lim lim .n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞+=+=+2. 证明：lim lim .lim nn n n nn n a a b b →∞→∞→∞= 因为0,lim 0n n n b b b →∞≠=≠，所以lim 0.n n b b →∞=>由数列收敛的保号性得，存在正整数1N 使得，当1n N >时，.2n b b >0ε∀>，因lim n n a a →∞=，故存在正整数2N 使得，当2n N >时，.n a a ε-<因lim n n b b →∞=，故存在正整数3N 使得，当3n N >时，.n b b ε-<取正整数{}123max ,,N N N N =，则当n N >时，()()()22211211222222.n n n n n n n n n n n n a ba ab a b a a a b b b b bb b b a b a a a b b a a b b b b b ba ab b b b εεε--==⋅---<⋅-+-=-+-⎛⎫<+=+ ⎪ ⎪⎝⎭ 故lim.n n na ab b →∞=注：以上证明用到了如下常见的断言：设对于数列{}n a ，若0ε∀>，存在正整数N 使得，当n N >时，n a a k ε-<，其中k 是一个正常数，则lim .n n a a →∞=这一断言之所以正确是因为，由已知条件易得，0ε'∀>，对于正数1kεε'=，存在正整数N 使得，当n N >时，n a a k εε'-<=，故lim .n n a a →∞=例4 求11101110lim ,m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ 其中,0,0.m k m k a b ≤≠≠解()()1110110111110110111011110111111lim lim 11111111lim 111lim m m m m m m k k m k m k k n n k k k k k k k k k m m k m k m k k n k k k n a n a n a n a a a a a n n n n n b n b n b n b b b b b n n n na a a a n n n nb b b b n n -----+-→∞→∞-------+-→∞--→∞++++++++=++++++++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=++++110111*********lim lim lim lim 111lim lim lim lim 11lim lim k m m k m k m k k n n n n k k k k n n n n m m k m k m n n n a a a a n n n n b b b a n n n a a n n ---+-→∞→∞→∞→∞--→∞→∞→∞→∞---+→∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝=101110111lim lim 111lim lim lim lim ,,0,.k k n n k k k k n n n n mma a n nb b b a n n n a k m b k m -→∞→∞--→∞→∞→∞→∞⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎧=⎪=⎨⎪>⎩例5 求lim 1nn n a a →∞+，其中 1.a ≠-解 当1a <时，()lim lim 0lim 0.1lim lim101lim 1n nn nn n n n n nn n a aa a a a →∞→∞→∞→∞→∞→∞====++++ 当1a =时，由1a ≠-得 1.a =从而111lim lim lim .11122n n n n n n n a a →∞→∞→∞===++ 当1a >时，lim1111lim lim 1.1101111lim1lim lim 1n n nnn n n n n n n a a a a a →∞→∞→∞→∞→∞→∞=====++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦例6 求.n解limlim11.2n nn n n→∞=======注：这里用到了例1的结果，即：设()1,2,nan≥=，且limnna a→∞=，则l imn=定义1 设{}n a是一个数列，12,,,,kn n n是一个每一项都为正整数的无限数列，且12,kn n n<<<<则称{}k n a是数列{}n a的一个子列.如：取()211,2,,kn k k=-=可得的{}n a的子列{}211321:,,,,k ka a a a--取()21,2,kn k k==，可得到{}n a的子列{}2222:,,,,k ka a a a取()21,2,kn k k==，可得到{}n a的子列{}2214:,,,,k ka a a a取()1,2,kn k k==，可得到{}n a的子列{}12:,,,,k ka a a a定理2.8 （ⅰ）数列{}n a收敛的充要条件是：{}n a的任意子列都收敛.（ⅱ）若数列{}n a收敛于a，则数列{}n a的任意子列{}k n a也收敛于.a证（ⅰ）充分性显然（因为数列{}n a是其自身的一个子列）.下证必要性.设数列{}n a收敛，而{}k n a是它的任意一个子列.再设数列{}n a收敛于a，即limnna a→∞=，则由数列极限的定义得，0ε∀>，存在正整数N使得，当k N>时，.ka aε-<易知()1,2,kn k k≥=（这可用反证法证明：若存在某个正整数k，则由121kn n n k≤<<<<得，小于k的正整数至少有k个，矛盾）使得kn k<)，故当k N>时，kn N>，.kna aε-<于是，lim.knka a→∞=（ⅱ）可由（ⅰ）证明过程看出.由定理2.8可知，若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛，都是没有收敛于同一数值，则数列{}n a 也发散.数列(){}1n-是发散的，因为它的子列(){}211k --收敛于1-，另一个子列(){}21k-收敛于1，11≠-.数列sin2n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭是发散的，因为它的子列21sin 2k π-⎧⎫⎨⎬⎩⎭即(){}11k --是发散的. 习题选解1.求下列极限：（1）32331lim 423n n n n n →∞++++； （2）212lim n n n →∞+；（3）()()1123lim 23nn n n n ++→∞-+-+； （4）)lim n n →∞；（5）)lim10n n →∞+；（6）22111222lim .111333n n n →∞++++++ 解：（1）()()32333331313111lim lim .12344234n n n n n n n n n n n n →∞→∞++++==++++ （2）222121212lim lim lim lim 000.n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+⎛⎫=+=+=+= ⎪⎝⎭（3）()()()()11111111123233limlim 1232331211211lim lim 013333333lim .013221lim lim133n n nn n n n n n n n n nnn n n n n n n +++→∞→∞+++→∞→∞++→∞→∞→∞⎡⎤-+-+⎣⎦=-+⎡⎤-+⎣⎦⎛⎫⎛⎫-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）)lim 1.2n n n n nnn →∞=====（5）)lim10lim 1lim 2lim 1011110.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+=+++=+++=（6）2311121111121122222lim lim lim 2 2.11111113331331313nn n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭==⋅=⎛⎫⎛⎫+++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⋅-3.设{}n a 为无穷小数列，{}n b 为有界数列，证明：{}n n a b 为无穷小数列.证 因{}n a 为无穷小数列，故lim 0.n n a →∞=又{}n b 为有界数列，故故存在正数M 使得，对任意正整数n ，.n b M ≤0ε∀>，由lim 0n n a →∞=得，相应于正数M ε，存在正整数N 使得，当n N >时，.n a Mε<故当n N >时，.n n n n a b a b M Mεε=<⋅=故lim 0n n n a b →∞=，于是{}n n a b 为无穷小数列.4.求下列极限： （1）()111lim 12231n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪⋅⋅+⎝⎭； （2）)2lim2nn →∞；（3）21321lim 222nn n →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭； （4）n （5）()()222111lim12n n n n→∞⎛⎫+++ ⎪ ⎪+⎝⎭； （6）2lim n n →∞⎛⎫+++. 解 （1）因()111111111122311223111,1n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+故()11111lim lim 1lim1lim 10 1.1223111n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅+++⎝⎭⎝⎭ （2）因1112111111111121122488242222222222222,nnn ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅++++--=⋅⋅⋅⋅===故)1122lim2lim 22.nnn n -→∞→∞==注1：证明112lim 22.n -→∞=证法一：因11212222n-=，而()1121221nnn <<→→∞，所以111221222lim 21,lim 2lim2.12nnnn n n -→∞→∞→∞==== 证法二：0ε∀>（不妨设01ε<<），要使111122222nε---=-<，只需11222.nε->-即()()()()2222211111log 2,1log 2,2,log 221log 21log 2nn n n εεεε⎡⎤->-<-->>⎢⎥----⎣⎦故取正整数()221max log ,11log 2N ε⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，11222.nε--<从而112lim 22.nn -→∞=注2：注1中的证法2，用到了以下常用到的断言：设{}n a 是一个数列，a 是一个常数，k 是一个正常数，若()0,k ε∀∈，存在正整数N 使得，当n N >时，n a a ε-<，则lim .n n a a →∞=证 取02kε=，则()00,k ε∈，由已知条件得，存在正整数0N 使得，当0n N >时，0n a a ε-<.0ε∀>，若()0,k ε∈，则由已知条件得，存在正整数N 使得，当n N >时，.n a a ε-<若[),k ε∈+∞，则0.εε<取0N N =，则当n N >时，0.n a a εε-<< 故0ε∀>，存在正整数N 式得，当n N >时，n a a ε-<.于是，lim .n n a a →∞=（3）设21321222n n n S -=+++， 则23111321.2222n n n S +-=+++ 于是，231121111122221,22222211112212,122221212131213.2222n n n n n n n n n n n n n S S n S n n S +-+----=++++---=+⋅---⎛⎫=+--=-- ⎪⎝⎭所以，21113213lim lim 3222223lim3lim lim 300 3.22n n n n n n n n n n n n n-→∞→∞-→∞→∞→∞-⎛⎫⎛⎫+++=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--=--=注：可以证明lim0.2n n n →∞=从而1lim lim 22lim 200.222n nn n n n n n n-→∞→∞→∞=⋅==⋅= 下面证明，lim 0.2n n n→∞=首先证明，当4n ≥时，22.n n ≥用数学归纳法证明：当4n =时，命题显然成立.假设当n k=（4k ≥）时，命题成立，即22.k k ≥则当1n k =+时，由归纳假设得， ()()()2122122210k k kk k k +⎡⎤-+=-+-+≥⎣⎦.故()2121k k +≥+，即当1n k =+时命题也成立.其次证明，lim 0.2nn n→∞=当4n ≥时，21022nn n n n n n-=≤=. 故0ε∀>，取1max ,4N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，则当n N >时，02n n ε-<，于是lim 0.2n n n→∞=（4）解法一：当2n ≥≤≤由1n =知 1.n =由迫敛性得1. n=()111nnnn-===.当1n>时，()1111nnn n≤-<.又1lim1lim1nn nn→∞→∞==，故()1lim1 1.nnn→∞-=于是，()()1111lim111lim 1.1limnnnn nn nnnnn n→∞→∞→∞--====（5）因()()()()()222222222 11111111111 422212nnn n n n n n n n n n n=+++≤+++≤+++=+项项，而11lim lim04n nn n→∞→∞==，从而，()()222111lim0.12n nn n→∞⎛⎫+++=⎪⎪+⎝⎭（6）在n2,n n+最小.因而2n≤++≤+，而lim1,lim1n n n n→∞→∞====，所以2lim 1.n n→∞⎛⎫+=+5.设{}n a与{}n b中一个是收敛数列，另一个是发散数列.证明{}n na b±是发散数列.又问{}n na b和()0nnnabb⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭是否必为发散数列？证 先证明{}n n a b +是发散数列.假设{}n n a b +收敛.因{}n a 与{}n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，不妨设{}n a 收敛，{}n b 发散.由{}n n a b +与{}n a 都收敛得，(){}nn n ab a +-即{}n b 收敛，这与{}n b 发散矛盾.其次证明{}n n a b -是发散数列.假设{}n n a b -收敛.因{}n a 与{}n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，故{}n a 收敛且{}n b 发散，或{}n a 发散且{}n b 收敛.若{}n a 收敛且{}n b 发散，则由{}n a 和{}n n a b -都收敛得，(){}n n n a a b --即{}n b 收敛，这与{}n b 发散矛盾.若{}n a 发散且{}n b 收敛，则由{}n b 和{}n n a b -都收敛得，(){}nn n ab b -+即{}n a 收敛，这与{}n a 发散矛盾.{}n n a b 和()0n n n a b b ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭是不一定发散.如取{}{}{}1,nn a b n n ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则{}{}211,n n n n a a b b n ⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭都收敛.6.证明以下数列发散：（1）()11n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭；（2）(){}1nn -；（3）cos .4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭证 （1）令()11n n a n =-+，则221l im 1,l im 1n n n n a a -→∞→∞==-，由定理2.8知，()11n n n ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭发散.（2）因为(){}1nn-为无界数列，由定理2.3知，(){}1nn -发散.（3）令cos4n n a π=，则 ()884lim lim cos 21,lim lim cos 211k k k k k k a k a k ππ+→∞→∞→∞→∞===+=-，由定理2.8知cos 4n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭发散.。
