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§1.2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质：定理1（唯一性）： 数列 n x 不能收敛于两个不同的极限。
即数列收敛，则它只有一个极限。
证明：设a 和b 为n x 的任意两个极限，下证b a =。
由极限的定义，对0>∀ε，必分别∃自然数21,N N ，当1N n >时，有ε<-a x n (1)当2N n >时，有 ε<-b x n (2)令{}21,N N Max N =，当N n >时，（1），（2）同时成立。
现考虑： εεε2)()(=+<-+-≤---=-a x b x a x b x b a n n n n 由于b a ,均为常数b a =⇒，所以n x 的极限只能有一个。
定理2 （有界性）： 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列。
即存在一个正数M ，使得对一切正整数n 有||n a M ≤。
证明：设lim n n a a →∞=。
取1ε=，则存在正数N ，对一切n N >有||1n a a -<即11n a a a -<<+。
记12max{||,||,,||,|1|,|1|}N M a a a a a =-+ ，则对一切正整数n 有||n a M ≤。
定理3（保不等式性）： 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列。
若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则limlim n n n n a b →∞→∞≤。
证明： 设lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==。
0ε∀>，分别存在正数1N 与2N ，使得当1n N >时有n a a ε-<，使得当2n N >时有n b b ε<+。
取012max{,,}N N N N =，则当n N >时有n n a a b b εε-<≤<+。
由此得到2a b ε<+。
收敛数列性质知识点总结一、定义在数学中，数列是由一系列按照特定顺序排列的数构成的序列。
而收敛数列是指当数列中的元素随着项数的增加逐渐趋于某一有界的值，这一值称为数列的极限。
即数列的极限存在且有限。
二、收敛数列的性质1. 有界性收敛数列是有界的，即存在一个上界和一个下界，使得数列中的每一项都在这个上下界之间。
证明：由于数列是收敛的，意味着存在一个极限值L，从而数列中的每一项都接近这个极限值。
因此，可以找到一个范围，使得数列中的每一项都在这个范围内。
2. 单调性如果一个数列是收敛的，那么它必然是单调的，即要么递增，要么递减。
证明：假设数列不是单调的，即存在两个相邻的数，其中一个大于另一个。
根据收敛数列的定义，接近极限的数列项越来越接近极限值，所以当数列不单调时，存在一个数列项接近极限值，另一个数列项远离极限值。
这与收敛数列的性质相矛盾，因此数列必须是单调的。
3. 极限值的唯一性对于一个收敛数列，它只有一个极限值。
证明：假设数列有两个极限值L1和L2，并且L1不等于L2。
根据数列的定义，当项数趋于无穷大时，数列的每一项都逐渐接近极限值。
但是当这两个极限值不相等时，数列无法同时逼近这两个不同的值，这与收敛数列的定义相矛盾。
因此，收敛数列的极限值必须是唯一的。
4. 极限运算法则如果数列{an}和{bn}分别收敛到a和b，那么有限个数列的极限和、差、积、商仍然收敛，并且它们的极限分别等于这些极限的和、差、积、商。
证明：（1）和的极限：设{an}收敛到a，{bn}收敛到b，那么对于任意的ε>0，存在N1，N2，使得当n>N1时，|an-a|<ε/2，当n>N2时，|bn-b|<ε/2。
那么当n>max{N1,N2}时，有|an+bn - (a+b)| = |(an-a) + (bn-b)| <= |an-a| + |bn-b| < ε/2 + ε/2 = ε因此{an+bn}收敛到a+b。
§2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性） 若数列}{n a 收敛，则它的极限唯一.证法一 假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>∀ε，12,N N ∃∈¥，当1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),m ax (21N N N =，则当N n >时有ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ，由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二 （反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a ,aa n n =∞→lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取02>-=ab ε， 由定义，1N ∃∈¥，当1N n >时有ε<-a a n ⇒2b a a a n +=+<ε. 又2N ∃∈¥，当2N n >时有 ε<-b a n⇒2b a b a n +=->ε，因此，当),m ax (21N N n >时有 n n a ba a <+<2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性） 如果数列}{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>∃M ，使对n ∀有 Ma n ≤||证明 设aa n n =∞→lim 取1=ε，0>∃N 使得当N n >时有 1<-a a n即1||||||<-≤-a a a a n n⇒1||||+<a a n . 令|)|,|,||,||,|1m ax (21N a a a a M Λ+=则有对n ∀Ma n ≤||即数列}{n a 有界.注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如})1{(n-. ②在证明时必须分清何时用取定ε，何时用任给ε.上面定理3.2证明中必须用取定ε，不能用任给ε，否则N 随ε在变，找到的M 也随ε在变，界M 的意义就不明确了.性质3（保序性） 设aa n n =∞→lim ，ba n n =∞→lim ，(1) 若b a >，则存在N 使得当N n >时有nn b a >;(2) 若存在N ，当N n >时有nn b a ≥，则b a ≥（不等式性质）.证明 （1）取02>-=b a ε，则存在1N ，当1N n >时 2||ba a a n -<-, 从而22ba b a a a n +=-->.又存在2N ，当2N n >时2||b a b b n -<-⇒22ba b a b b n +=-+< ⇒ 当),m ax (21N N n >时n n a ba b <+<2.（2）（反证）如b a <，则由⑴知必N ∃当N n >时nn b a >这与已知矛盾.推论（保号性） 若ba a n n >=∞→lim 则N ∃，当N n >时b a n >.特别地，若0lim ≠=∞→a a n n ，则N ∃，当N n >时n a 与a 同号.思考 如把上述定理中的nn b a ≥换成nn b a >，能否把结论改成nn n n b a ∞→∞→>lim lim ？例 设≥n a （Λ,2,1=n ），若a a n n =∞→lim ，则a a n n =∞→lim证明 由保序性定理可得 0≥a .若0=a ，则0>∀ε，1N ∃，当1N n >时有2ε<n a ⇒ε<n a 即aa n n ==∞→0lim .若0>a ，则0>∀ε，2N ∃，当2N n >时有 εa a a n <-||⇒ε<-≤+-=-aa a aa a a a a n n n n |||||| .数列较为复杂，如何求极限？ 性质4（四则运算法则） 若}{n a 、}{n b 都收敛，则}{n n b a +、}{n n b a -、}{n n b a 也都收敛，且nn n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim )(lim ，nn n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim .特别地，nn n n a c ca ∞→∞→=lim lim ，c 为常数如再有0lim ≠∞→n n b 则}{nn b a 也收敛，且n n nn nn n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim .证明 由于nn n n b a b a )1(-+=-，nn n n b a b a 1⨯=，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.设aa n n =∞→lim ，bb n n =∞→lim ，0>∀ε，1N ∃，当1N n >时 ε<-a a n ；2N ∃，当2N n >时ε<-b b n ,取),m ax (21N N N =，则当N n >时上两式同时成立. （1）|||||||||)()(|||b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=-,由收敛数列的有界性，0>∃M ，对n ∀有Mb n ≤||故当N n >时，有ε|)|(||a M ab b a n n +<-,由ε的任意性知ab b a n n n =∞→lim .（2） 0lim ≠=∞→b b n n .由保号性，00>∃N 及0>k ，对0N n >∀有k b n >||（如可令2||b k =）.取),m ax (20N N N =，则当N n >时有|||||||||||11|b k b k b b b b b b b b n n n n ε<-<-=-,由ε的任意性得b b nn 11lim=∞→ . 用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算：∑∑=∞→=∞→=Nk k nn Nk k nn x x1)(1)(lim lim ，∏∏=∞→=∞→=N k k nn N k k nn x x1)(1)(lim lim .但将上述N 换成∞，一般不成立.事实上∑∞=1k 或∏∞=1k 本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.性质5（两边夹定理或迫敛性） 设有三个数列}{n a 、}{n b 、}{n c ，如N ∃，当N n >时有nn n b c a ≤≤，且∞→n lim =n a ∞→n lim l b n=，则∞→n lim lc n=.证明 ∞→n lim =n a ∞→n lim lb n=⇒0>∀ε，21,N N ∃, 当1N n >时， εε+<<-l a l n ；当2N n >时，εε+<<-l b l n ,取),,max (210N N N N =，则当N n >时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有N n >时εε+<≤≤<-l b c a l n n n ⇒ε<-||l c n 即∞→n lim l c n =.该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.推论 若N ∃，当N n >时有n n b c a ≤≤（或a c b n n ≤≤）且a b n n =∞→lim ，则a c n n =∞→lim . 例 求证∞→n lim0!=n a n（0>a ）.证明 k ∃∈¥使得a k >，从而当k n >时有<0!n a n n ak a n a k a k a a a k ⨯≤⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=!121ΛΛ, 由于∞→n lim n a k a k ⋅!=!k a k ∞→n limn a 0= 由推论即可得结论.例 设1a ，2a ，…，m a 是m 个正数，证明∞→n lim ),,,max(2121m n n m n n a a a a a a ΛΛ=++.证明 设),,m ax (21m a a a A Λ=，则 ≤A nnm n n a a a Λ++21A m n ≤1>m ⇒∞→n lim n m1=，由迫敛性得结论. 例1 )1(1lim>=∞→a a nn .在证明中, 令01>-=nn a h ， nn h a )1(+=，得n ah n <<0，由此推出0→n h .由此例也看出由n n n y z x <<和n n n n y a x ∞→∞→==lim lim , 也推出a z n n =∞→lim .例2 证明1lim=∞→nn n .证明 令 n nh n +=1,)3(2)1(2)1(1)1(22>-≥++-++=+=n h n n h h n n nh h n nnn n n n n Λ，120-<<n h n两边夹推出 0→n h ，即1→nn .在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例:例3 求极限 93164lim 22++++∞→n n n n n .解 3434lim 93164lim 22911622=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n .例4 求极限)10()1(lim <<+++∞→a a a n n Λ.解 a a a a a n n nn -=--=+++∞→∞→1111lim )1(lim Λ. 例5 )11(lim )13(lim 1lim 13lim )113(lim n n n n n n n n n n n n n n n ++=++=+⨯+∞→∞→∞→∞→∞→313)1lim 1lim )(1lim 3lim (=⨯=++=∞→∞→∞→∞→n n n n n n .例6 求01110111lim b n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ΛΛ，k m ≤，0≠m a ，0≠k b . 解 原式=k k k k kk k m m k m m n n b n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim ΛΛ⎪⎩⎪⎨⎧≠==k m k m b a mm,0,,即有理式的极限⎩⎨⎧0高次，则为分子最高次低于分母最，为最高次系数之比分子分母最高次数相同.如327103542lim 323=---+∞→n n n n n . 例7=-+∞→)1(lim n n nn 11112n n ===+.例8 设0,>b a ，证明 ),max (limb a b a nn n n =+∞→.证明),max(),max(2),max(),max(b a b a b a b a b a nn n n n n n →≤+≤=. 二、 数列的子列 (一) 引言极限是个有效的分析工具.但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”. (二) 子列的定义定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<<L L ，则数列12,,,,k n n n a a a L L称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序.简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列）.注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列.如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列.由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理2.8 数列}{n a 收敛的充要条件是：}{n a 的任何非平凡子列都收敛． 证明 必要性: 设}{,lim k n n n a a a =∞→是}{n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当Nk >时有.ε<-a a k 由于,k n k ≥故当N k >时有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了}{k n a 收敛（且与}{n a 有相同的极限）．充分性: 考虑}{n a 的非平凡子列}{2k a ，}{12-k a 与}{3k a ．按假设，它们都收敛．由于}{6k a 既是}{2k a ，又是}{3k a 的子列，故由刚才证明的必要性，.lim lim lim 362k k k k k k a a a ∞→∞→∞→==(9)又}{36-k a 既是}{12-k a 又是}{3k a 的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→=(10)（9）式与（10）式给出122lim lim -∞→∞→=k k k k a a ．所以由课本例7可知}{n a 收敛．由定理2．8的证明可见，若数列}{n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与}{n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列}{n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列}{n a 一定发散．例如数列},)1{(n -其偶数项组成的子列})1{(2n-收敛于1，而奇数项组成的子列})1{(12--k 收敛于1-，从而})1{(n-发散．再如数列}2{sinπn ，它的奇数项组成的子列}212{sinπ-k 即为})1{(1--k ，由于这个子列发散，故数列}2{sin πn 发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具．。
