高等数学第2章第2节收敛数列的性质

§ 2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章数列极限一一§ 2.2 收敛数列的性质教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法•教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用•教学难点：数列极限的计算.教学方法：讲练结合•教学过程：引言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lima, a的方法，这是极限较基本n的内容，要求掌握•为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题•还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1 （极限唯一性）若数列｛an｝收敛，则它的极限唯一•证法一假设3与b都是数列｛a n｝的极限，则由极限定义，对0 ，N I,N2¥,当N I时，有an a取N ma* N i, N2），则当n N时有| a b| | (a n b) (a. a) | | a. a| | a.b| 2由的任意性，上式仅当a b时才成立•证法二（反证）假设｛a n｝极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为a，bba lim a n a lim a n bb 0n 11n 11且a b故不妨设a取2a n a a b由定义,N1¥，当n N1时有a n a2 .b a b又N2¥，当n N2时有a n b a n2，a ba ______ a因此，当n ma）（N I，N2）时有n 2 n矛盾，因此极限值必唯性质2（有界性）如果数列｛an｝收敛，则｛an｝必为有界数列.即M0，使对n有|an| M证明设回办a取1，N 0使得当n N时有an a 1即|a n | |a| |a n a| 1 I a n | | a | 1 . 令M max（1 | a |,| & |,|a2 |,」a” |）则有对n l a n l M即数列｛a n｝有界.注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如｛（ Di.②在证明时必须分清何时用取定，何时用任给.上面定理3.2证明中必须用取定，不能用任给，否则N随在变，找到的M也随在变，界M的意义就不明确了•「十，亠…、lim a n a lim a n b性质3 （保序性）设n，n，（1）若a b，则存在N使得当n N时有an bn;（2）若存在N，当n N时有an bn，则a b （不等式性质）.证明（1）取N1时1弘a|0 N2 ，则存在N1，当na n从而又存在N 2，当 n N 2时1bn b|当 n max( N-N ?)时 bna b a n 2（2）（反证）如a b，则由⑴知必bn这与已知矛盾.I ・推论（保号性）若nim anN ，当n N 时anb.特别地，若nlim a nN ，当n N 时an 与a 同号.思考 如把上述定理中的anbn换成anb n能否把结论改成lim na nlim nb n ？例设 an 0（门 1,2，）， 若 n iman a，则lim . a n .. an证明 由保序性定理可得 a 0.若a 0，则N i 时有an即 n im an 0 a 若a 0，则 0， N 2N2时有|a nL, a n a || a n a|| a n a | a数列较为复杂，如何求极限? 性质4 （四则运算法则） 若｛an ｝、｛bn ｝都收敛, 则{a n{a nbn｝、｛a n b n ｝也都收敛,nim(anb n )lim a n lim b nnnlim na nb nlim na n limb nnlim ca n clim a n特别地，nn，C 为常数如再有lim nb na n则E 也收敛，且..a n lim n bnlim a nnlim b nn证明由于an bn an （a n a n 1)b nb n丄bn，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可max( N I ,N 2)，则当 nN时上两式同时成立.IM ab| (M | a |)lim 丄 1 n b n b用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算:但将上述N 换成，一般不成立.事实上k 1或k 1本身也是一种极限，两种极限交换次序 是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体 什么条件，到后面我们会系统研究这个问题•性质5 （两边夹定理或迫敛性） 设有三个数列｛a n ｝、｛b n ｝、｛C n ｝，女口 N ，当门N 时有a cb lim a limb l limc l ancnbn^且 n a nnbn丨 则 ncnl* lim设na n a limb n bn0，Ni，当 n N i 时a n a ；N 2 当 nN2时b n b(1)|a n b n ab| | (a . a)ga(b nb)| | a n a ||g ||a||b n b|由收敛数列的有界性,M 0，对n 有1 b n 丨M 故当nN时，有lim a n b由的任意性知n nablim b n b 0(2)n.由保号性，N ° °及k 0，对knN o 有1 b n 丨k （如可令!AI 2取 N max( N °, N 2)，则当n N 时有bn|b n b||b n b|I b n b| _k|b| k|b|，由的任意性得Nlim x n k)n k 1lim x n k) k 1 nN(k)limx nnk 1N(k)lim x nnk 1证明n im a n n im b n l 0，N1, N2,当n N1 时，l a n l .当n N2 时，I b n l,取N o maX：N1，N2，N），则当n N o时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有n N0时〔a n C n b n l|C n l | 即n im C n 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法推论若N，当n N 时有a C n b n (或b n c n a)且bn a，则lim c n a n例求证n"mnan! (a 0).证明从而当n k时有n an!k a ak! nlim 由于nkak! k?nim由推论即可得结论.例设a i , a2 ，am是m个正数，证明n m ' a1 a2a m max(d,a2, ,a m) 证明设 A max(a1,a2, a m)，贝y A V a1n n a2 n a m \'mAnim3m1，由迫敛性得结论•例 1 n im^a 1(a 1)在证明中,令hn n.a 0 a (1 h nan，由此推出h n 0由此例也看出由X n Z n y n 和n im X n a limny n 也推出n m Z nI・例2证明n、n 11 h nJn (1 h n)n 1 nh n n(n2%2n(n 1) 2(n 3)两边夹推出h n 0，即；n 1. 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则 .下举几例:lim 求极限n4n 2 6n 1「 4n 2 6n 1 lim 2lim 解 n 3n n 9 nlim (1 a例4 求极限nlim (1 aa ) 解 n23n 例3 n4 6 n 1 4 3丄 n 93n \a )(0 a 1)lim n1 na11 a 1 a .liml n nlimn3n 1 n 1 lim n nlim (3 丄)lim(1 丄)nn(lim 3 lim -)(lim 1 n nn nlim ) n nlimma m nk 1b k 1nam a o dn b 0k ，am0 b k解原式 lim n m k a m・b k1 k ka 〔n a °nb °n 分子分母最高次数相同 amb m 0, m k ，为最高次系数之比即有理式的极限分子最高次低于分母最高次，则为0 .2n 3 4n 25 2 如 nim 3n 3 10n 7 3 . 例7 n im n( n 1 mlimnlim —丄丄n111112例8设a ,b，证明 n n . nlim■- a bmaX a , b)证明max(a ,b) n max(a,b)n n a n b n n 2max(a,b)n max(a,b)二、数列的子列（一）引言极限是个有效的分析工具•但当数列a n的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道a n没有一点规律吗？当然不是！出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究•那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”.（二）子列的定义定义1设a n为数列，n k为正整数集N的无限子集，且厲n2 n3 L n k L，则数列an1, a n2丄，a n k, L称为数列a n的一个子列，简记为a n k.注1由定义可见，a n的子列a n k的各项都来自a n且保持这些项在a n中的的先后次序.简单地讲，从a n中取出无限多项，按照其在a n中的顺序排成一个数列，就是a n的一个子列（或子列就是从a n 中顺次取出无穷多项组成的数列）.注2子列a n k中的n k表示a n k是a.中的第m项，k表示a n k是a%中的第k项，即a.k 中的第k项就是a n中的第n k项，故总有n k k .特别地，若％ k，则a“k a“，即a n k a n.注3数列a n本身以及a n去掉有限项以后得到的子列，称为a n的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为a n的非平凡子列.女口a2k , a2ki都是a n的非平凡子列.由上节例知：数列可与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限•那么数列a n的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理2.8 数列｛a n｝收敛的充要条件是：｛a n｝的任何非平凡子列都收敛.证明必要性：设0an a,｛ank｝是｛a｝的任一子列•任给0，存在正数N,使得当k Na a r i时有ak a .由于n k k ，故当k N 时有n k N ，从而也有n k，这就证明了 ｛an k｝收敛(且与｛a n ｝有相同的极限).充分性:考虑｛an ｝的非平凡子列｛a2k ｝，｛a2k1｝与｛a3k ｝.按假设,它们都收敛.由于｛a6k ｝既是｛a 2k ｝，又是｛a 3k ｝的子列，故由刚才证明的必要性，又｛a 6k 3｝既是｛a 2k 1｝又是｛a 3k ｝的子列，同样可得所以由课本例7可知｛缶｝收敛.由定理2. 8的证明可见，若数列｛a n ｝的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与 ｛a n ｝必 收敛于同一个极限•于是，若数列｛a n ｝有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则 数列｛a n ｝ 一定发散•例如数列｛( 1)n ｝，其偶数项组成的子列｛( 1)2n ｝收敛于1,而奇数项组成的是判断数列发散的有力工具.K2aK6 a mK3aK 3amk 2am K2aK2a2k 1子列｛( 1)｝收敛于1，从而｛( 1)n ｝发散•再如数列n {sin T }它的奇数项组成的子列2k 1 {sin—｝k 1即为｛( 1) ｝，由于这个子列发散，故数列{sinn2 发散.由此可见，定理 2. 81。

2收敛数列一、收敛数列的性质定理1 (唯一性) 若数列aₙ收敛，则它的极限是唯一的.证法一：设aₙ有两个极限a和b.若a≠b，则存在a和b和两个不相交的邻域.一方面，当n充分大时，a，后面所有的项全落在a的邻域中：另一方面，当n充分大时，aₙ后面所有的项又全落在b的邻域中，前后矛盾，从而a=b。

证法二：若a和b是aₙ的两个极限,则只要证a=b,即证∀ε>0,有|a-b|<ε.设lim n→∞a n=a n lim n→∞a n=b,则∀ε>0. ∃N₁∈N₊∀n>N₁,有|aₙ−a|< c∃N₂∈N₊,∀n>N₂,有|aₙ−b|<ε当n>N₁且n>N₁时,即取N=max{N₁,N₁},当n>N时,①与②同时成立,从而有|a−b|=|(a−aₓ)+(aₙ−b)|≤|a−aₙ|+|aₙ−b|<c+c=2c,问题得证. (请读者自行完成详细证明过程)定理2 (有界性) 若数列{a₁}收敛，则数列aₙ有界，即3M>0. Vn e N..有|aₙ|<M,证法：由极限定义，从数列的某项a₁起后面所有的项都有界，数列的前N项是有限项，从而可以找到M>0.注：1)定理2等价于：若数列aₙ无界，则数列发散，比如，数列2ⁿ无界，所以它是发散的.2)有界数列不一定收敛，比如，数列(−1)ⁿ有界，但它并不收敛，定理 3 (保序性) 若lim n→∞a n=a lim n→∞b n=b,且a<b , 则∃N∈N₊,∀n>N,有aₙ<bₙ.证法：一方面，由a<b知，存在a和b的两个互不相交的邻域(比如邻域半径可取b−a);另一方面，由数列极限定义知，对任意事先指定的邻域。

3N∈N ,∀n>N, 2有an全落在a的邻域中, 而bₙ全落在b的邻域中.因此，3N∈N ₁,∀n>N,有( aₙ<bₙ.推论1 若 lim n→∞a n =a 与 lim n→∞b n =b,且∃N ∈N ,∀n>N.有 aₙ≤bₙ(aₙ≥bₙ),则 a≤b(a≥b).证法：用反证法。

§２ 收敛数列的性质引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握．为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题．还需要对数列的性质作进一步讨论．一、收敛数列的性质１ 极限唯一性定理2.2 若数列{}n a 收敛，则它只有一个极限． ２ 有界性定理2.3 若数列{}n a 收敛，则{}n a 为有界数列．注：有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分重要条件．例如数列{}(1)n-有界，但它不收敛．３ 保号性定理2.4 若lim 0n n a a →∞=>（或0a <），则对任何(0,)a a '∈（或(,0)a a '∈），存在正数Ｎ，使得当n N >时有n a a '>（或n a a '<）．注 在应用保号性时，经常取2'aa =． ４ 保不等式性定理 2.5设数列{}n a 与{}n b 均收敛，若存在正数0N ，使得当0n N >时有n n a b ≤，则l i m l i m n n n n a b →∞→∞≤．思考：如果把条件“n n a b ≤”换成“n n a b <”，那么能否把结论换成lim lim n n n n a b →∞→∞<？保不等式性的一个应用：例1 设0(1,2,3,)n a n ≥= ，证明：若lim n n a a →∞=，则n =思考：极限运算与一般函数运算可交换次序吗？５ 迫敛性定理 2.6设收敛数列{}n a 、{}n b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数0N ，当0n N >时有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=.注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具． 下面是其应用一例：例2 求数列的极限．６ 极限的四则运算法则定理2.7 若{}n a 、{}n b 为收敛数列，则{}{}{},,n n n n n n a b a b a b +-⋅也都收敛，且有lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞±=±=±;lim()lim lim n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅.若再做假设0n b ≠及lim 0n n b →∞≠，则数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也收敛，且有 lim lim lim nn n n n nn a a a b b b →∞→∞→∞==. 特别地，若n b c =，则lim()lim n n n n a c a c →∞→∞+=+，lim lim n n n n ca c a →∞→∞=.在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则．下举几例； 例3 求 nn n n n 113lim++∞→例4 求 65214lim 22-++∞→n n n n类似可求 11101110lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b ---→∞-++++++++ ，其中,0,0m k m k a b ≤≠≠.例5 求1lim +∞→n nn a a ，其中1a ≠-.例6求n .例7 求222111lim (1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++⎪+⎝⎭ . 二 数列的子列１． 引言极限是个有效的分析工具．但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效．这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是！ 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究．那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”． ２． 子列的定义定义１ 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<< ，则数列12,,,,k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序．简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列．注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列．由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限．那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果： 定理 数列{}n a 收敛⇔{}n a 的任何非平凡子列都收敛．注 若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．这是判断数列发散的一个很方便的方法．如})1{(n -，})1{(2k -收敛于1，})1{(12+-k 收敛于1-，故})1{(n -发散．例7 证明 }2{sinπn 发散． 作业：P33 1（1）（4）（5），2，4（1）（4）（6），6（1）。

17 函数、极限与连续第1章然而，尽管ε有任意性，但它一经给出，就应暂时看作固定不变的，以便根据它来求N . 再者，ε既然可以是任何正数，那么它也可用2,3εε或2ε来代替.（2）N 的存在性 N 是与ε有关的正整数，用来刻画保证不等式||n x A ε−<成立需要n 有多大的程度. 一般地，ε越小，N 越大. 定义中重要的是N 的存在性，而不在于它到底取何值. 当N 存在时，它的取值不唯一，可取比它大的任何正整数，因此我们确定时，经常将||n x A −作适当的放大处理，使问题简单化. 同样的，N 也未必要求是正整数，只要是正数即可.（3）收敛数列的简明图形 如果用数轴上的点来表示收敛数列{}n x 的各项，就不难发现：不论正数ε多么小，所以下标大于N 的n x ，都落在A 的一个邻域(,)U A ε内（图1-2-1），而在此邻域之外，至多只有N 项（有限项）.图1-2-1利用收敛数列的简明图形不难推测数列2{}n 与{(1)}n −都是发散的，因为它们不是几乎全体的点（至多有限个点除外）都能聚集在某一个点的任意小邻域内.例1.2.1 证明cos lim0.n n n→=∞ 证 对0ε∀>，要使 cos |cos |||0n n n x A n nε−=−=<， 而|cos |1n n n <，所以只要使1n ε<，即1n ε>. 取正整数1N ε⎡⎤=⎢⎣⎦，当n N >时，总有||n x A ε−<，所以cos lim 0.n n n→=∞ 例1.2.2 设||1q <，证明等比数列 211,,,,,n q q q −的极限为0.证 如果0q =，结论显然. 因此我们只要证明0||1q <<的情形. 由于11||0||,n n n x A q q −−−=−=因此对0ε∀>（01ε<<），要使||n x A ε−<，只要1||n q ε−<. 两边取自然对数，得ln 1.ln ||n q ε>+ 取正整数ln 1ln ||N q ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，有||n x A ε−<，所以1lim 0.n n q −→=∞ 1.2.2 收敛数列的性质定理1.2.1（唯一性） 收敛数列的极限唯一.证 反证法. 假设收敛数列{}n x 有两个不同的极限,A B ，不妨设.A B <由于lim n n x A →=∞，所以对。

§2 收敛数列的性质Ⅰ. 教学目的与要求1.理解掌握收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证明相关命题.2.掌握数列极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限.3．掌握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 收敛数列的性质.难点: 收敛数列的性质的证明及其应用. Ⅲ. 讲授内容收敛数列有如下一些重要性质：定理2．2(唯一性) 若数列}{n a 收敛，则它只有一个极限．证 设a 是}{n a 的一个极限．我们证明：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||210a b -=ε，则按定义'1，在U(a );0ε之外至多只有}{n a 中有限个项，从而在U(0;εb )内至多只有{}n a 中有限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证明了收敛数列只能有一个极限． 一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实．定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在正数M ，使得对一切正整数有.||M a n ≤证 设a a n n =∞→lim 取1=ε，存在正数N ，对一切n >N 有1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n 记 |},1||,1||,||,||,m ax {|21+-=a a a a a M N则对一切正整数n 都有n a ≤M ． 注 有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件．例如数列(){}n1-有界，但它并不收敛．定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈' (或a '))0,(a ∈，存在正数N ，使得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．证 设0>a ．取a a '-=ε(>0)，则存在正数N ，使得当N n >时有a a n >a '=-ε，这就证得结果．对于0<a 的情形，也可类似地证明．注 在应用保号性时，经常取2aa ='.定理2.5(保不等式性) 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列．若存在正数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞→∞→≤证 设,0.lim ,lim >==∞→∞→ε任给b b a a n n n n 分别存在正数n N N ，使得当与211N >时，有n a a <-ε， （1）当2N n >时有ε+<b b n . (2)取{}210,,max N N N N =，则当N n >时，按假设及不等式(1)和(2)有,εε+<≤<-b b a a n n由此得到.2ε+<b a 由的ε任意性推得b a ≤，即≤∞→n n a lim .lim n n b ∞→请学生思考：如果把定理2.5中的条件n n b a ≤换成严格不等式<n a n b ，那么能否把结论换成?lim lim n n n n b a ∞→∞→<，并给出理由 .例1 设() ,2,10=≥n a n ．证明：若,lim a a n n =∞→则.lim a a n n =∞→ （3）证 由定理2.5可得.0≥a若0=a ，则由0lim =∞→n n a ，任给0>ε，存在正数N ，使得当N n >时有<n a2ε，从而ε<n a 即,0ε<-n a 故有.0lim =∞→n n a若0>a ，则有aa a aa a a a a n n n n -≤+-=-.任给0>ε，由a a n n =∞→lim ，存在正数N ，使得当N n >时有,εa a a n <-从而ε<-a a n ．(3)式得证．定理 7.2(迫敛性) 设收敛数列{}{}n n b a ,都以a 为极限，数列{}n c 满足： 存在正数0N ，当0N n >时有n n n b c a ≤≤， (4) 则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim ．证 任给0>ε，由a b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，分别存在正数1N 与2N ，使得当n >1N 时有n a a <-ε， (5) 当2N n >时有ε+<a b n ． (6) 取{},,,m ax 210N N N N =，则当N n >时,不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有εε+<≤≤<-a b c a a n n n ．从而有ε<-a c n ，这就证得所要的结果． 定理2．6不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限 的工具．例2 求数列{nn }的极限．解 记n n n h n a +==1，这里()10>>n h n ，则有()().2112n nn h n n h n ->+= 由上式得 ()1120>-<<n n h n ，从而有 12111-+≤+=≤n h a n n . (7)数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+121n 是收敛于1的，因对任给的0>ε，取221ε+=N ，则当N n > 时有ε<--+1121n ．于是，不等式(7)的左右两边的极限皆为1，故由迫敛 性证得1lim =∞→n n n ．在求数列极限时，常需要使用极限的四则运算法则．定理2．7(四则运算法则) 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n b a +，-n a {}n b ，{}n n b a .也都是收敛数列，且有()n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim lim ，().lim .lim .lim n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=特别当n b 为常数c 时有().lim lim ,lim lim n n n n n n n n a c ca c a c a ∞→∞→∞→∞→=+=+若再假设0≠n b 及0lim ≠∞→n n b ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是收敛数列，且有 n n n n nnn b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim.证 由于()n n n n b a b a 1-+=-及nn n n b a b a 1.=，因此我们只须证明关于和、积与倒数运算的结论即可.设,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→则对任给的,0>ε分别存在正数1N 与2N ，使得,ε<-n n b a 当,1N n > ,ε<-b b n 当.2N n >取{},,m ax 21N N N =则当N n >时上述两不等式同时成立，从而有1．()()().lim 2b a b a b b a a b a b a n n n n n n n +=+⇒<-+-≤+-+∞→ε2． ()().b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=- （8） 由收敛数列的有界性定理，存在正数M ，对一切n 有M b n <.于是，当N n >时由（8）式可得()εa M ab b a n n +<-.由ε的任意性，得ab b a n n n =∞→lim .3．由于,0lim ≠=∞→b b n n 根据收敛数列的保号性，存在正数3N ，则当>n 3N 时有b b n 21>.取{},,m ax 32N N N ='则当N n '>时有 222211bb b b b b b b b b n n n n ε<-<-=- 由ε的任意性，这就证得b b nn 11lim =∞→.例3 求01110111lim b n b nb n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ ， 其中k m ≤，0,0≠≠k m b a ． 解 以kn-同乘分子分母后，所求极限式化为k k k k kk k m m k m m n nb n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim . 当0>α时有0lim =-∞→αnn .于是，当k m =时，上式除了分子分母的第一项分别为m a 与m b 外，期于各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于mmb a ； 当k m <时，由于()∞→→-n n km 0，故此时所求的极限等于0．综上所述，得到⎪⎩⎪⎨⎧>==++++++++----.,0,,lim 1110111m k m k b ab b n b n b a a n a n a m m nn k k k k n m m m m例4 求,1lim +∞→nnn a a 其中1-≠a .解 若,1=a 则显然有211lim =+∞→nn n a a ; 若1<a ,则由0lim =∞→nn a 得()01lim lim lim 1lim =+=+∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn a a a a 若1>a ,则.1011111lim 1lim =+=+=+∞→∞→nn n nn a a a 例5求().1limn n nn -+∞→解(),111111++=++=-+nnn n n n n由()∞→→+n n111及例1得 ∞→n lim().211111lim1=++=-+∞→nn n nn 最后，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理．定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集+N 的无限子集，且<<< 21n n , <k n 则数列,,,,21k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列,简记为}{k n a .注1 由定义1可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都选自{}n a ，且保持这些项在{}n a 中的先后次序．{}k n a 中的第k 项是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k ≥．实际上{}k n 本身也是正整数列{}n 的子列．例如，子列{}k a 2由数列{}n a 的所有偶数项所组成，而子列{}12-k a 则由{}n a 的所有奇数项所组成．又{}n a 本身也是{}n a 的一个子列，此时k n k =，2,1=k ，.注2 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．例如{}k a 2和{}12-k a 都是{}n a 的非平凡子列．由上节例8可知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限． 定理2．8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛．证 必要性 设a a n n =∞→lim ，{}k n a 是{}n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当N k >时有ε<-a a k ．由于k n k ≥，故当N k >时更有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了{}k n a 收敛(且与{}n a 有相同的极限)．充分性 考虑{}n a 的非平凡子列{}k a 2，{}12-k a 与{}k a 3．按假设，它们都收 敛．由于}{6k a 既是{}k a 2，又是{}k a 3的子列，故由刚才证明的必要性，k k k k k k a a a 362lim lim lim ∞→∞→∞←==． （9）又{}36-k a 既是{}k a 2又是{}k a 3的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→= （10）(9)式与(10)式给出.lim lim 122-∞→∞→=k k k k a a所以由上节例7可知{}n a 收敛由定理2．8的证明可见，若数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与{}n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 一定发散．例如数列(){}n1-，其偶数项组成的子列(){}n21-收敛于1，而奇数项组成的子列(){}121--k 收敛于—1，从而(){}n1-发散.再如数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn ，它的奇数项组成的子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-π212sink 即为(){}11--k ，由于这个子列发散，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn 发散.由此可见，定理2.8是判断数列发散的有力工具．Ⅳ 小结与提问:本节要求学生理解掌握收敛数列的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结.P 2、3、5、7、8、9、10.Ⅴ课外作业:３３。