第三章 表示力学量的算符
第一部分；基本思想与基本概念题目
1.举例说明算符与它表示力学量之间的关系。
2.如何理解力学量完全集？
3.守恒量有哪些特征？
4.量子力学中的守恒量与经典力学守恒量有何区别？
5.如何构造力学量算符？
6.若ψ1与ψ2是力学量F 属于同一本征值λ的两个不同本征函数，
则ψ＝C 1ψ1＋C 2ψ2（C 1，C 2是任意常数）是否仍是F 的本征函数。
7.设[?，?]＝0，则力学量?和?是否一定可同时确定？
8.设[?，?]≠0，则力学量?和?是否一定不可同时确定？
9.试述│C n │2的物理意义。
10.对于氢原子哪些力学量组成力学量完全集？
11.对氢原子n ，l ，m 这三个量子数分别决定哪些力学量？
12. 线性谐振子的能量是守恒量，那它能否处于能量没有确定值
的状态？举例说明。
13.t ＝0时，粒子处于力学量F 的
本征态，则在t 时刻它是否处
于该本征态？
14.
的本征态是否一定是 的本征态？举例说明。2?L ?z
L 15.的本征态是否一定是的本征态？?z
L 2?L 16.当氢原子处于ψnlm （r ，θ，φ）＝R nl （r ）Y lm （θ，φ）态时，哪些力学量可同时确定，其值分别是多少？
17.若[?，?]＝0，则粒子是否一定处于A 和B 两力学量的共同本
征态？
第二部分：基本技能训练题
1.
证明厄密算符的平均值都是实数（在任意态）
2.
判断下列等式是否正确
12???() () E H T U (3) H E T U
H
T U =+==+==+3.
设ψ（x ）归一化，｛?k ｝是 的本征函数，且?F
()()
k k k
x C x ψ?=∑（1（
试推导C k 的表达式。
（2（
求证力学量在ψ（x ）态的平均值 。
2
k k k
F C F =∑（3（
说明|C k |2的物理意义。
4.
一维谐振子处于基态ψ0（x ）态，求该态中
（1（
势能的平均值22
12
U x μω=（2（
动能的平均值2
2p T μ
=
（3（
动量的几率分布。
5.
氢原子处于 态，求
(,,)r a r ψθ?-
=
（1（
r 的平均值。
（2（
－e 2/r 的平均值
（3（
最可几半径.
（4（
动能平均值.
6.
证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在极坐标系中的分量
为
J er = J e θ=0,
J e ?=(-e?m/μrsinθ)|ψnlm |2
7.
由上题知,氢原子中电流可看作许多圆周电流组成
(1)求一圆周电流的磁矩
(2)求证氢原子磁矩为 M=M z =-me?/2μ
8.
求一维无限深势阱中粒子动量与位置的测不准关系
22()()?
x p ???=9.证明氢原子中电子的力学量算符 与 是守恒量.2?L ?z
L 10.设线谐振子处于 描述的状态, 则在该态
0113
2
2
()()()x x x ψψ=+中能量可能取哪些值? 对应的几率各是多少? ( 分别是
01(), ()x x ψψ基态与第一激发态的本征函数)。
11.上题中用两种方法求能量平均值。
12.设粒子处于Y lm (θ,?)态,求该态中L x , L y , L z 的平均值.
13. 一刚性转子的转动惯量为I,它的能量经典表达式是H=L 2/2I,这
儿L
为角动量,求与此对应的量子体系在下列条件下的定态波函
数和定态能量。
（1（转子绕一固定轴转动。
（2（转子绕一点转动。
14．若 都是厄密算符，且 ??G F
和????G G F F ≠(1) 是否是厄密算符？试证明。????G G F
F -(2)是否是厄密算符？试证明。????(
G G )i F
F -
15.
0????[G],G F F
=设，证明 是厄密算符。16.t ＝0时，粒子处于态
212
()[sin cos ]
x A kx kx ψ=+求此时粒子平均能量和平均动能。
17.证明：若两算符对易，则两算符有组成完全系的共同本征函数。
18.下列哪些算符是厄密算符
22
22
; ; i ; i d d d d dx dx dx dx 19.设氢原子处
于
21102111
12(,,)r R Y R Y ψθ?-=+求氢原子能量、角动量平方及z 分量的可能值，可能值出现的几率，
并求其平均值。
20.证明自由粒子能级是简并的。
21.求解算符 的本征方程。
?x d
p i dx
=- 22.求解自由粒子的能量本征方程。
23.一维运动粒子的状态是 0 x 0
() x 0
x Axe x λψ-?≥=?
0，求
（1（粒子动量的几率分布。
（2（粒子平均动量。
24.
0?????? [, y]-i x; [, y]; [, y]i z y
x
L L L z === 证明： 25.设体系处于ψ＝C 1Y 11＋C 2Y 10态中，求
（1（力学量L z的可能值与平均值。
（2（L2的可能值与平均值。
26.试求角动量平方算符当本征函数为
2?L
Y(θ,?)=A[cosθ+asinθcos?]的本征值.第三部分: 小论文题目
1.量子力学中守恒量研究。
2.守恒量与对称性之间关系。
3.力学量平均值计算方法探讨。
4.算符与它所表示力学量之间关系研究。
5.球坐标下角动量算符的推导方法研究。