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第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。
3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。
[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
量子力学3第三章力学量算符§3.1 算符及其运算规则§3.2 厄米算符及其性质§3.3 连续谱本征函数的归一化§3.4 力学量算符随时间演化§3.5 守恒量与对称性§3.6 全同粒子体系§3.1 算符及其运算规则一、算符的基本运算规则二、算符的函数三、对易关系和对易子四、厄米算符和幺正算符五、量子力学向经典力学的过渡六、角动量算符一、算符的基本运算规则一、算符的基本运算规则量子力学第二公设—算符公设1）线性算符：A ( c1ψ 1 + c 2ψ 2 ) = c1 A ψ 1 + c 2 A ψ 2二、算符的函数二、算符的函数例子一般地，算符的函数可以表为? ? f ( A) = ∑ cn A nn2）单位算符：I?ψ = ψ3）算符之和：( A + B )ψ = A ψ + B ψ ?? ? ? 4）算符之积： ( A B )ψ = A ( B ψ )一个常用的公式：eA = ∑∞ n=0An n!其它的例子例题：若G为算符，t为参数，证明：Gt e = Ge Gt ?t算符之积满足结合律，但不满足交换律（不对易）。
5）算符之逆： A A ?1 = A ?1 A = I?三、对易关系与对易子三、对易关系与对易子对易子的定义： [ A, B ] = A B ? B A例：坐标与动量的对易关系。
解：考虑x p xψ = ? ih x ? p x xψ = ? ih ? ψ ?x对易关系的几个恒等式： [ A, B ] = ?[ B , A ][ A, B + C ] = [ A, B ] + [ A, C ] [ A, BC ] = B[ A, C ] + [ A, B ]C [ AB , C ] = A[ B , C ] + [ A, C ] B [ A, [ B , C ]] + [ B , [C , A ]] + [C , [ A, B ]] = 0(Jacobi恒等式)( xψ ) = ? ih ψ ? ih x ψ ?x ?xx p xψ ? p x x ψ = ih ψ ? [ x , p x ] = ih这样，对任意波函数，均有所以类似可证： [ y , p y ] = ih但[ z , p z ] = ih[ x , p y ] = [ x , p z ] = [ y , p x ] = ...... = 0 ? [ xα , p β ] = ih δ αβ综合式四、厄米算符和幺正算符四、厄米算符和幺正算符进一步的例算1、计算对易子： [ f ( x ), p x ] = ?2、设λ是一个小量，算符 A 之逆 A ?1 存在，求证：~ ? ? 1）算符的转置：∫ ψ * A ? d τ = ∫ ? A ψ * d τ~ ? ? 即(ψ , A ? ) = (? * , A ψ * )注意算符乘积的转置用法 ?* ? * * 2）算符的复共轭：A ψ = ( A ψ )+ ? 3）算符的厄米共轭：(ψ , A ? ) = ( A ψ , ? ) ~ ? ? ? ? 由 ( A ψ , ? ) = (? , A ψ ) * = (? * , A *ψ * ) = (ψ , A *? )~ ? ? 可得 A + = A *( A ? λ B ) ?1 = A ?1 + λ A ?1 B A ?1 + λ 2 A ?1 B A ?1 B A ?1 + ...3、算符A与B不对易，但它们的对易子C与B对易，求证：[ A, B n ] = nCB n ?1 , [ A, f ( B )] = C f ' ( B ), [ A, e B ] = Ce B 算符乘积的厄米共轭4）厄米算符：若算符A满足 A + = A ，则A称为厄米算符。
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx =，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx ，x dx ∞-∞，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
从上述分析可知，是否存在逆算符还与算符所作用的函数有关。
（4）转置算符令~ˆˆFu u F =，则称~ˆF 与ˆF 的转置算符，~ˆF 是一个向左作用的算符。
若算符ˆF 表示一般函数（或常数），由于函数的左乘等于右乘，所以函数的转置就等于它本身。
定义波函数ϕ与φ的标积为： *|d ϕφϕφτ∞<>=⎰（3.1-2）ϕ与ˆFφ的标积以及~ˆG ϕ与φ的标积为： *ˆˆ||F F d ϕφϕφτ∞<>=⎰~!*ˆˆ||GGd ϕφϕφτ∞<>=⎰ 若上两式中的ϕ与φ都是任意波函数，则称上两式中的ˆF与~ˆG 为任意标积中的算符。
下面考虑在任意标积中ddx的性质。
****()()d d d x x dx dx dx dx dx dxϕφϕφφϕφϕ∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞==-⎰⎰⎰波函数()x ϕ与()x φ在无限远点也应满足连续性条件：()()ϕϕ∞=-∞[可都等于零]，()()φφ∞=-∞，所以得：**d ddx dx dx dxϕφϕφ∞∞-∞-∞=-⎰⎰ 可见在任意标积中，d ddx dx=-。
（5）转置共轭算符（也称为厄密共轭算符）与厄密算符转置共轭算符通常也是向左作用的算符，同时算符本身要取共轭。
以ˆF+标记ˆF 的转置共轭算符，则*~ˆˆFF += *ˆˆuF F u +=若在任意标积中，ˆˆFF +=，则称ˆF 为厄密算符。
即厄密算符的定义为：**ˆˆ()F d Fd ϕφτϕφτ∞∞=⎰⎰或写为ˆˆ||||FF ϕϕϕϕ+<>=<> （3.1-3） 可以证明，位置算符与动量算符都是厄密算符。
因x 是实数，而x x =，所以x x +=。
在任意标积中，因d d dx dx =-，所以*ˆˆx x h h P P i x i x ++∂∂⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭。
也可以直接从定义式（3.1-3）出发，来证明ˆxP 是厄密算符。
****ˆˆ|()x x h h d P dx dx P dx i i dx ϕϕφϕφφϕφ∞∞∞∞-∞-∞-∞-∞=-=⎰⎰⎰，所以ˆx P 是厄密算符。
（6）幺正算符若在任意标积中，1ˆˆFF +-=，则称ˆF为幺正算符。
设ˆˆiAT e ±=，若ˆA为厄密算符，则ˆT 必为幺正算符。
（7）算符的函数设函数F （A ）的各阶导数都存在，则定义算符ˆA的函数F （ˆA ）为： ()()0ˆˆ()n o n n F F A A ni ∞==∑ （3.1-4） 其中ˆnA表示n 个ˆA 的乘幂，即ˆˆˆˆnA A A A=⋅。
例如ˆ01ˆFn n e F ni∞==∑ 3.2 算符的对易关系定义算符的泊松（Poisson ）括号为：ˆˆˆˆˆˆ[,]AB AB BA =- （3.2-1） 一般说来ˆˆˆˆABBA ≠，例如ˆˆˆ[,]A B ik =，这样的关系或称为对易关系式。
ˆˆ[,]0A B =是对易关系式中的特例，这时ˆˆˆˆABBA =，称ˆA 与ˆB 是对易的。
1．量子力学中基本对易关系 在位置表象中，ˆˆ(,,)()x xh h h h P x x y z x x xP i x i i x iϕϕϕϕϕϕ∂∂==+=+∂∂，即ˆˆ()x x xP P x ih ϕϕ-=，此式对任意的ϕ都成立，所以得：ˆ[,]xx P ih =在动量表象中ˆˆ(,,)()x x y z x x x x xxPP P P ih P ih ihP ih P xP P φϕφφφφ∂∂==+=+∂∂，即ˆˆ()x x xP P x ih φφ-=，此式对任意的φ都成立，所以得：ˆ[,]x xP ih = 可见在位置表象中与动量表象中都得：ˆˆ[,]xx P ih = （3.2-2） 如果两个算符所含的独立变量不同，则这两个算符是对易的。
例如，在位置表象中，ˆyy =所含的变量是y ，而ˆxh P i x∂=∂所含的变量是x ，所以ˆ[,]x y P =0。
又如，在有心力场中，U(x)所含的变量是r ，而2ˆL所含的变量是,θφ，所以2ˆ[(),]0U r L =。
此外，相同的算符一定对易。
以(1,2,3)i x i =表示x ，y ，z ，以ˆiP 表示ˆˆˆ,,x y z P P P ，则应有： ˆˆ[,]0ˆˆ[,]0i j i j xx P P =⎧⎪⎨=⎪⎩ （3.2-3）ˆˆ[,]i j ijx P ih δ= (3.2-4) （3.2-4）式就是量子力学中的基本对易关系式。
2．线性算符泊松括号的性质根据量子泊松括号的定义式以及线性算符的定义式不难证明下 关系式：（其证明供练习）ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- （3.2-5） ˆ[,]0AC = C 为常数 （3.2-6） ˆˆˆˆ[,][,]CAB C A B = C 为常数 （3.2-7） 1212ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A A B A B A B +=+ (3.2-8) 121212ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A A B A B A A A B =+ (3.2-9)ˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A B A B A B t t t∂∂∂=+∂∂∂ (3.2-10) 3．其他对易关系（1）角动量算符与位置算符之间的对易关系ˆˆˆ[,][,,]0x z yL x yP zP x == ˆˆˆˆˆ[,][,][,][,]x z y y yL y yP zP y z P y z y P ihz =-=-== 同理可得：ˆ[,]x L z ihy =-，……，各对易关系可合写为： ˆˆ[,]ij ijk kkL x ih x ε=∑采用爱因斯坦记号，则上式可写为：ˆˆ[,]ij ijk k L x ih x ε= （3.2-11） 其中ijk ε称为勒维——奇维塔（Levi-Civita ）符号。
123ε=1，ijk ε对所有角标都是反对称的，即交换任意两个角标，其值反号，例如，2131ε=-，3211ε=-。
若ijk ε中有两个角标相同，则其值为零。
ijk ε具有以下数学性质：2ij ij ijk k i j i j αβαβαβαββαεεδεεδδδδ=⎧⎪⎨=-⎪⎩ （3.2-12） ()2i j j ik ijk i j ijkA B A B A B A B εε-⨯== (3.2-13)上式中将i j A B 改写为2i j j iA B A B -称为将i j A B 反对称化，之所以能将i j A B 反对称化是由于ijk ε对角标i ，j 反对称之故。
（2）角动量算符与动量算符之间的对易关系ˆˆˆ[,]i j ijk k L P ih P ε= （3.2-14）（3）角动量算符的对易关系ˆˆˆ[,]i j ijk k L L ih L ε= （3.2-15）上式中三个不为零的对易关系式还可以写成下面的关系式：,L L ih L ∧∧∧= （3.2-16）若令ˆˆˆˆˆˆ,x y x yL L iL L L iL +-=+=-，则可得： ˆˆˆ[,]2ˆˆˆ[]z z L L hL L L hL +-±±⎧=⎪⎨=±⎪⎩ （3.2-17）2ˆˆ[,]0iL L = （3.2-18） （4）算符的函数之间的对易关系[(,,),](,,)f x y z P ih f x y z ∧=∇ （3.2-19）1ˆˆˆ[,()]0,[()]0A f A f A == (3.2-20) 必须注意，若ˆˆ[,]0FG ≠，则ˆˆˆˆFG F G e e e +≠⋅。
3.3 线性厄密算符和力学量算符1．厄密算符的性质（1）对易的厄密算符的乘积也是厄密算符。
设ˆF与ˆG 是对易的厄密算符，利用（3.1-3）式可得： ****ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()FG d F G d GF d FG d ϕφτφφτφφτϕτ∞∞∞∞===⎰⎰⎰⎰所以ˆˆFG也是厄密算符。
（2）厄密算符的本征值必为实数。
设ˆF为厄密算符，其本征方程为： ˆFF ϕϕ=，则***ˆ()F F ϕϕ= 根据（3.1-3）式得：**ˆˆ()F d F d ϕϕτϕϕτ∞∞=⎰⎰则***F d F d ϕϕτϕϕτ∞∞=⎰⎰因*0d ϕϕτ∞≠⎰，则得F=F*，所以F 为实数。
（3）厄密算符属于不同本征值的本征函数是正交的。
设k ϕ，l ϕ为厄密算符ˆF 分别对应本征值k F ，eF 的本征函数，则**ˆˆ()k l k eF d F d ϕϕτϕϕτ∞∞=⎰⎰ 即*()0e k k l F F d ϕϕτ∞-=⎰当e k F F ≠时得：*0k l d ϕϕτ∞=⎰上式称为正交关系式。
