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第三章 算符之间的对易关系

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第三章 力学量的算符汇总

第三章 力学量的算符汇总

Fˆn Fnn
其中Fn, ψn 分别称为算符 F的本征值和相应的本征态， 上式即是算符F的本征方程。求解时，ψ 作为力学量 的本征态或本征函数还要满足物理上对波函数的要求 即波函数的标准条件。
问题：本征值、本征态、本征方程
§3-3 算符的运算规则 线性厄米算符
（1）线性算符
满足如下运算规律的 算符 Ô 称为线性算符
第三章 力学量的算符
§3-1 算符的引入
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
由于算符只是一种运算符号，所以它单独存 在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波 函数做相应的运算才有意义，例如：
Ôu
换的算符。
1）du / dx = v ， d / dx
n
综上所述，量子力学作如下假定：
就是算符，其作用 是对函数 u 微商， 故称为微商算符。
2）x u = v， x
也是算符。 它对 u 作用 是使 u 变成 v。
体系状态用坐标表象中的波函数 ψ(r) 描 写时，坐标 x 的算符就是其自身，即
xˆ x
说明力学量在自身表象中的算符形式最简单。
而动量 px 在坐标表象（非自身表象）中的形式 必须改造成动量算符形式：
(12) 厄米算符
满足如右关系的算符 称为厄密算符.
d *Oˆ d (Oˆ )*
或 Oˆ Oˆ
性质 I: 两个厄密算符之和 仍是厄密算符。
Ô + = Ô , Û+ = Û (Ô +Û)+ = Ô + + Û+ = (Ô +Û)
问题：厄米算符
性质 II: 两个厄密算符之积一般 不是厄密算符, 除非二算符对易。 因为
注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。 Ô - Û = Ô + （-Û）。
7第3章例题1-对易关系、厄米算符的构造

7第3章例题1-对易关系、厄米算符的构造


因为 + + v v y z x y z v r r v x ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ⋅ p = px + p y + pz = px + p y + pz = p ⋅ r r r r r r r r 所以，为保证径向动量算符是厄米算符， 所以，为保证径向动量算符是厄米算符，应取 v v v v r v r v + 1 r v v r 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆr = ⋅ p + ⋅ p = ⋅ p + p ⋅ p 2 r r r 2 r （2） 因为 v v v v 1r v v r 1r v 1 v r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ prψ = ⋅ p + p ⋅ ψ = ⋅ pψ + p ⋅ ψ 2 r r 2r 2 r v v v v v 1r v v v v v ˆψ + 1 p ⋅ r ψ + 1 r ⋅ pψ = r ⋅ pψ + 1 p ⋅ r ψ ˆ ˆ ˆ ˆ = ⋅p 2r 2 r 2r r 2 r v v r 1 r ∂ψ 1 2 = −ih ⋅∇ψ − ih ∇ ⋅ ψ = −ih − ih ψ r 2 r ∂r 2 r ∂ 1 = −ih + ψ ∂r r
ˆ [r , pr ] = ih
∂ 2ψ ψ 1 ∂ψ 1 ∂ψ ψ ∂ 1 ∂ψ ψ ˆ pr2ψ = −h 2 + + = −h 2 2 − 2 + + + 2 r r ∂r r ∂r r ∂r r ∂r r ∂r h2 ∂ 2 ∂ h2 ∂ 2 ∂ =− 2 r ψ = − 2 r ψ r ∂r ∂r r ∂r ∂r
3.7 算符对易关系

3.7 算符对易关系


ˆ ˆ ˆ ˆ = y[ p z , z p x ] + [ z , x p z ] p y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = yz[ pz , px ]+ y[ pz , z]px + x[z, pz ]py +[z, x]pz py
ˆ ˆ ˆ ˆ = y(−iℏ) px + x(iℏ) py = iℏ[ xpy − ypx ]
证明 3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
利用 则
[Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ O,UE = OUE −UEO ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ = OUE −UOE +UOE −UEO
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ = OU −UO E +U OE − EO ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = O,U E +U O, E
对易关系
若ÔÛ ≠ ÛÔ，则称 与 Û 不对易。 ，则称Ô
如 ： 算 符 例 x ˆ px = −iℏ 不 对 易 。
∂ x ∂
由于
ˆ xpxψ = x(−iℏ ∂∂x )ψ =−iℏx ∂∂xψ
ˆ px xψ = (−iℏ ∂∂x )xψ =−iℏψ −iℏx ∂∂xψ
所以
ˆ ˆ xpxψ − px xψ = iℏψ
(
)
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ I (ξ ) = ξ A + iB ,ξ A + iB
(
)
) (
) )
ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ ˆψ = ξ A ,ξ A + ξ A , iB + iB ,ξ A + iB , iB
3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系

3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系

§3.6算符的对易 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系 一． 算符的对易关系对易关系(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[]A B B A B A -=, 对易式 (4-5) []A B B A B A+=+, 反对易式 (4-7)若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。

若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。

若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。

1) ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- (4-6a) 2) ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+ (4-6b) 3) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A = (4-6c) 4) [][][]B C A C B A C B A,,,+= (4-6d)5)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++=——称为 Jacobi （雅克比恒等式）。

(4-6e)1.坐标算符和动量算符的对易关系算符x ,和ˆx pi x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂ i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂ i i x x ψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= （3.7.1） 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 （3.7.2） 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ， ˆˆz z zpp z i -= （3.7.3） 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。

算符对易关系第三章-精品文档

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等于零
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z p ] y [ p , x p ] [ z , z p ] p [ z , x p ] p z x z z x y z y
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y [ p , z ] p y z [ p ,] p [ z , x ] p p x [ z ,] p p z x z x z y z y
0 0 0

, 1 ,2 ,3 [x , x ] 0
x xx , 2 yx , 3 z 1
ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1 ,2 ,3 ˆ ˆ p , p 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( p p p p ) 1 x , p 2 y , p 3 z
ˆ] 0 ， 则 F ˆ 与G ˆ, G ˆ 对易 若 [F
ˆ与G ˆ 不对易 ˆ] 0 ，则 F ˆ, G 若 [F
1
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续１）
（1）力学量算符的基本对易关系
xˆ , yˆ yˆ , zˆ zˆ , xˆ

1 i s a n o d d p e r m u t a t i o n o fx y z 1 i s a n e v e n p e r m u t a t i o n o fx y z 0o t h e r w i s e
2 ˆ ˆ [L , L ] 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [ A ,B ] C B [ A , C ]
4
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
4第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系

4第3章概念1-算符、对易关系、不确定关系

∂ ∂ = − y + x ψ ∂y ∂x
所以 可以推出
ˆ = −ih x ∂ − y ∂ = −ih ∂ Lz ∂x ∂ϕ ∂y
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ L2 = −h 2 sin θ + 2 sin θ ∂θ ∂θ sin θ ∂ϕ 2
* * = ∑ cn cm f mδ nm = ∑ cn cn f n = F nm
nm
n
且
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ F 2 = ∫ψ * F 2ψ dτ = ∫ψ * F ( Fψ )dτ = ∫ ( Fψ )( Fψ )* dτ
ˆ = ∫ Fψ dτ ≥ 0
* F 2 = ∑ f n2 cn cn = ∑ f n2 cn n n 2
2.厄米算符（自共轭算符） 厄米算符（自共轭算符）
ˆ ˆ A+ = A
或
∫
∞
ˆ ˆ ψ 1* Aψ 2 dτ = ∫ ψ 2 ( Aψ 1 )* dτ
∞
一般力学量算符都是厄米算符。 一般力学量算符都是厄米算符。
性质1：厄米算符的本征值为实数。 性质1 厄米算符的本征值为实数。 ˆ 设 Aψ = λψ ，则 ˆ ψ * Aψ dτ = λ ψ *ψ dτ
ψ = ψ 1 ,ψ 2 ,ψ 3 ,L ,ψ n ,L
ˆ 的可能取值， 本征值 λ 就是力学量算符 A 的可能取值，测量时只能测得这些
2 ˆ ˆ 的平方 A2的本征值就是 An 。这是因为 算符 A ˆ ˆ ˆ ˆ A2ψ = A ⋅ Aψ = AA ψ = A2ψ
n n n n n n
当 m 取整数时
m ˆ Amψ n = An ψ n
ˆ 对 A−1，有 ˆ 对 A1/ 2，有
量子力学第三章算符

量子力学第三章算符

第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。

u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。

例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。

1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。

（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。

2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与1是等价的。

（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。

（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。

算符 对易关系 李代数

算符 对易关系 李代数

算符对易关系李代数「算符、对易关系与李代数」序在数学和物理学领域中，算符、对易关系和李代数是非常重要的概念。

它们在量子力学、场论、几何学等诸多领域都有广泛的应用。

本文将从简单到复杂，由浅入深地介绍这些概念，帮助读者更全面、深刻地理解与应用它们。

本文将首先介绍算符的基本概念与性质，然后探讨对易关系及其在量子力学中的应用，最后引入李代数与其在几何学与场论中的重要性。

一、算符1.1 算符的定义与基本性质算符是指对一个数学对象进行运算或操作的符号。

在数学中，我们常常用算符来表示数学运算，如加法算符、乘法算符等。

在物理学中，算符用来描述物理量的演化和性质。

我们常常用算符来表示位置、动量、自旋等物理量。

算符具有许多重要性质。

其中最基本的性质是线性性，即对于任意常数a和b，以及两个算符A和B，有以下等式成立：(1) A(a|ψ⟩+b|φ⟩) = aA|ψ⟩+bA|φ⟩(2) (aA+bB)|ψ⟩= aA|ψ⟩+bB|ψ⟩其中|ψ⟩和|φ⟩表示任意的态矢量，例如在量子力学中可以是波函数。

算符还具有封闭性、可逆性等重要性质。

封闭性指的是对于同一种类型的算符，其运算结果仍然是同一类型的算符。

例如两个位置算符的运算结果仍然是一个位置算符。

可逆性指的是对于某个算符，存在其逆算符，使得两者相乘等于单位算符。

1.2 算符的代数结构算符可以构成各种代数结构，如线性空间、李代数等。

其中最基本的代数结构是线性空间。

线性空间中的元素可以进行加法和数乘运算。

定义一个算符的线性空间需要满足以下条件：- 封闭性：对于两个算符A和B，其和A+B仍然是一个算符。

- 可加性：对于任意的两个常数a和b，以及两个算符A和B，满足a(A+B) = aA+aB及(A+B)b = aB+bB。

- 结合性：对于任意的三个算符A、B和C，满足(A+B)+C =A+(B+C)。

- 存在零元素：存在一个算符0，对于任意的算符A，有A+0 = A和0+A = A成立。

算符的对易关系

算符的对易关系

确定值：En , l l 1
2
,m
三、力学量完全集
1.要完全确定体系的状态，需要有互相对易的力学量， 通过他们的本征值，这一组完全确定体系状态的力学量， 称为力学量的完全集。其力学量数目一般等于自由度数。
px , p y , pz 氢原子中电子，3个自由度： 三个量子 ˆ ˆ 数 H , l , lz
x a, x px
2 2
2
4
, px
2
2
4a
T
px
2
2

2
8 a
例2）线性谐振子零点能是测不准关系所要求的最小 能量 p2 1 2 2 E x 2 2 2 2 x 2 而 x Nn e H n2 x xdx 0
2.力学量共同本征函数的例子：
a) px , p y , pz 互相对易：共同本征函数 p
1
i 3 2
同时具有确定值 px, py , pz ,
2
e
pr
ˆ ，角动量平方算符 L2 ，角动量子 b)氢原子的哈密顿 H nlm r , , ， 分量 Lz 互相对易，共同本征函数：
又

(33)
(b) 算符的函数
设给定一函数 F x 存在各阶导数，幂级数张开收敛：
F x
n 0
F
n
0
n!
xn
(34)
d ax 如 F x e : F e dx
a
d dx
二、两个算符对易的条件
an d n n n ! dx n 0

2
0
(43)

ˆ 不对易， ˆ,G ˆ 的均方偏差不能同 ˆ,G 当 F k 0 ，则 F 时为0，而者乘积恒大于某一正数。
算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系

算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系


因此，
xpx
(n1) 22
不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
2021/8/17
23
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是 x 0 ，（见4.22式）
p 0 ， （见4.32式）
2021/8/17 又（： 见4.23x式2 n）(n1 2)M
22
px2
n
(n1)M
2
，
（见4.33式）
x x2 x2 x2 (n1)
n
n
2M
p xp x 2np x2 p xp x 2n(n 1 2 )M
16
2. 不确定关系的严格证明 在量子力学中力学量的不确定关系 FG ？
证明： 第1步：设两任意厄米算符 Fˆ , Gˆ的对易关系为
F ˆ,G ˆ iK ˆ——
或厄米算符
F ˆG ˆG ˆF ˆiK ˆ ——Kˆ
为实数
构造态函数
对任意态函数 ，再构造出一个新的任意态 (Fˆ iGˆ) 函数（其中 是实参数），
G (G ˆG)2
所以
：
FG 1 2
K
这就是常见的不确定关系的一般表达式。
例1：坐标和动量的不确定关系
取 Fˆx,G ˆpˆx
xˆ,p ˆxi对比对易关系 F ˆ,G ˆ iK ˆ
2021/8/17
21
得 Kˆ 由公式 FG1 K
2
xpx 2 ，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 体的 xpx ? 需要具体来求。
2021/8/17
17
第2步 ——计算态函数内积
I()(F ˆiG ˆ,F ˆiG ˆ)0（被积函数不小于零）
展开为 :
第三章量子力学中的力学量5

第三章量子力学中的力学量5


H , L2 , Lz
两两对易
具有完备的共同本征函数系: 具有完备的共同本征函数系: ψ nlm (r ) = Rnl (r )Ylm (θ , ) 同时具有确定值
En , l (l + 1) 2 , m
例 3:
L2 = z ,L 定轴转子: 定轴转子: H z 2I
两两对易
具有完备的共同本征函数系: 具有完备的共同本征函数系: 同时具有确定值 例 4:
*
(
*
2*Βιβλιοθήκη ***都是厄密算符, 根据 F 和 G 都是厄密算符,我们有
= ξ 2 ∫ψ *F Fψ dτ + ∫ψ *GGψ dτ + iξ ∫ψ *GFψ dτ iξ ∫ψ *F Gψ dτ
=ξ
2
=ξ
2
=ξ
2
( ) ∫ψ ( ) iξ ∫ψ ( F G GF )ψ dτ ψ ( F ) ψ dτ + ∫ψ ( G ) ψ dτ ∫ iξ ∫ψ [F , G ]ψ dτ ψ ( F ) ψ dτ + ∫ψ ( G ) ψ dτ ∫ iξ ∫ψ [ F F , G G ]ψ dτ
m22 Em = , m, ( m = 0, ±1,) 2I
两两对易
1 im Φ m ( ) = e 2π
L2 2 空间转子: 空间转子: H = , L , Lz 2I
具有完备的共同本征函数系: 具有完备的共同本征函数系: 同时具有确定值
l (l + 1) 2 El = , l (l + 1) 2 , m. 2I
算符对易关系, §3.7 算符对易关系,两算符同时具有确定值的 条件, 条件,测不准关系
(一)两算符对易的物理含义 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系,这些对易关系 前面我们已经提到了一些常见算符的对易关系,这些对易关系 到底有什么物理意义 物理意义? 到底有什么物理意义?这个问题将在这节课得到阐明 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系. 下面给出了一些常见力学量算符之间的对易关系.这些对易关 系需要牢记并能够证明. 系需要牢记并能够证明.

算符对易关系_第三章教材


测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F


ˆ ˆ , G F n n n n n n
11
Ex.5
可能同时有确定值。
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续11）
3. 力学量完全集合 （1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 Ex.1 三维空间中自由粒子，完全确 ˆ ˆ ˆ p , p , p x y z. 定其状态需要三个两两对易的 力学量： ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . Ex.2 氢原子，完全确定其状态也需 H z 要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力学 ˆ Ex.3 H 量就可完全确定其状态： （2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度 数相同。 （3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体 系态空间的一组完备的本征函数，即体系的任何状态 均可用它展开。
ˆ ˆ G ˆF ˆG ˆ ik F 2 ˆ ) d ˆ iG 考虑积分： I ( ) (F ˆ )* ][F ˆ ]d ˆ )* i (G ˆ iG [(F

* ˆ ) (G )* F ˆ ˆ )d i [(F ˆ )* (G ˆ ]d (F ) (F 2
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n

第三章-力学量的算符表示

px能够取-~+中连续变化旳一切实数，为了拟定C，考虑积分
p
'
x
(
x)
px (x)dx
CC
exp(i
px
px
x)dx
因为
1
exp(ikx)dx (k)
2
13
p'x
( x)
px
( x)dx
C
2
2 ( px
p'x
)
假如取 C
1
2
,
px (x) 的归一化为 函数
p'x
( x)
简并：一种本征值相应一种以上本征函数旳情况
简并度：相应于同一本征值旳本征函数旳数目
27
LˆzYlm mYlm
在Ylm态中，体系角动量在z方向上旳投影为m 前面几种球函数
1
Y00 4
Y1,1
3 sinei 8
Y1,0
3 cos 4
Y1,1
3 sinei 8
28
3.5 厄密算符本征函数旳性质
31
f重简并： 对一种本征值ln, 若同步有f个本征函数与之相应
属于同一种本征值ln旳简并波函数ψnk,，有
Lˆ nk ln nk , k 1, ..., f
一般来说，ψnk不正交， 但总能够找到正交函数。
例题 对下面两个氢原子旳未归一化旳1s和2s电子旳波函数
1s (r, , ) 1s (r) er /a ,
假如 Aˆ Bˆ BˆAˆ 0 则Aˆ 和Bˆ对易 记为 [ Aˆ, Bˆ] Aˆ Bˆ BˆAˆ 0
例 [xˆ, pˆ x ] ?
(xˆpˆ x
pˆ x xˆ)
ix

量子力学第三章算符

第三章 算符和力学量算符３.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为:ˆFuv =(3.1-1）ˆF 称为算符。

ｕ与v 中的变量可能相同,也可能不同。

例如，11du v dx =,22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞,(,)x i p x hx edx C p t -=,则ddx dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。

1.算符的一般运算(1)算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =,则ˆˆG F =。

(2）算符的相加：对于任意函数u,若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。

算符的相加满足交换律。

（3)算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。

算符的相乘一般不满足交换律。

如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。

2.几种特殊算符 （１）单位算符对于任意涵数u,若ˆIｕ=u ，则称ˆI 为单位算符。

ˆI 与１是等价的。

(2)线性算符对于任意函数ｕ与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+,则称ˆF 为反线性算符。

(3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGu GFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。

即1ˆˆGF -=,111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。

并非所有的算符都有逆算符,例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。

对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fu x af x =，其中ˆF为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。

其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。

与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。

因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。

一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当ａ＝０时,υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分,这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==,从而由ˆFvaf =得:1ˆF af υ-=。

算符对易关系第三章


ˆ z , z] p ˆ x yz[ p ˆz , p ˆ x ] [ z, x] p ˆz p ˆ y x[ z, p ˆz ]p ˆy y[ p
ˆ x i xp ˆy i yp
ˆ y yp ˆx ) i ( xp ˆ iL z
等于零
6
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
（2 ） 为简单起见，先考虑非简并情况。由（ 1 ）、（ 2 ） ˆ 都是 F ˆ 属于本征值 的本征函数，它 式知，n 和 G n n 们最多相差一个常数因子 n ，即
ˆ ˆ G ˆ ˆ ˆ GF FG n n n n
ˆ 的本征方程的解。因此， n 也是 G 可见， n 是 ˆ 的本征函数完全系 G


ˆx, p ˆy] 0 [p ˆy, p ˆz] 0 [p ˆz, p ˆx] 0 [p
, 1, 2, 3 ˆ ˆ p , p 0
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x , p i ( , 1, 2, 3)
测不准关系（续6）
2．力学量同时有确定值的条件（对易的物理意义）
ˆ 具有共同的本征函数完全 ˆ 和G 若算符F 定 理 ˆ 必对易。 ˆ 和G 系，则 F ˆ 和G ˆ 的共同本征函数完全系，则 prove: 设 n 是 F


ˆ ˆ , G F n n n n n n
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件
测不准关系（续9）

算符对易关系_第三章


们最多相差一个常数因子n ，即
可见，
n
Gˆn nn
也是 Gˆ 的本征方程的解。因此，n
是
Gˆ 的本征函数完全系
8
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续8）
注
★ 为简单起见，以上定理和逆定理的证明是在非简 并情况下证明的；在简并的情况下，结论仍成立 （这里就不再证明了）
★ 两个算符有共同本征函数系的充要条件是这两个 算符彼此对易；在两个力学量算符的共同本征函数 所描写的状态中，这两个算符所表示的力学量同时 有确定值。或者说两个力学量算符所表示的力学量 同时有确定值的条件是这两个力学量算符相互对易。
2
* (Fˆ
2
)
d
i
*[FˆGˆ GˆFˆ ]d
*(Gˆ )2 d
2 (Fˆ )2 k (Gˆ )2 0
由代数中二次定理知，这个不等式成立的条件 是系数必须满足下列关系：
(Fˆ )2 (Gˆ )2 k 2 （称为测不准关系）
4
如果 k 不等于零，则 Fˆ 和 Gˆ 的均方偏差不会同时为 零，它们的乘积要大于一正数，这意味着 F 和 G 不能 同时测定。
★ 若两个力学量算符彼此不对易，则一般说来这两 个算符表示的两个力学量不能同时具有确定性，或 者说不能同时测定。
9
3.7 算符对易关系 两力学量同时可测的条件 测不准关系（续9）
Ex.1 动量算符 pˆx, pˆ y , pˆz彼此对易，它们有共同的
本征函数完备系
p(r)
(2)
3
2
e
i
pr
在 pv (rv) 描述的状态中，px , py , pz 同时有确定值。
4．测不准关系

量子力学 第三章3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系


ˆ ˆ y ] z,p ˆ ˆx 0 [z,p
ˆx,p ˆ y ] p ˆx,p ˆz ˆ y,p ˆz [p p 0
以上可总结为基本对易关系：
x i , p j i ij xi , x j 0 pi , p j 0

ˆ 有确定值 n ，…（按3.6节讲的基本假 有确定值 n ， G ˆ ,ˆ ˆ ,… ˆ,G 设）。于是会存在这样的态，在这些态中，H I， F
代表的力学量可同时取确定值。
结论：不同力学量同时具有确定值的充分必要条件
是在这些力学量算符的共同本征态中。
例如：
ˆ y， ˆ x， ˆ z 对易，则它们有完全共同的本 ①动量算符 p p p
它们只是在态平均的意义上成立所以说某点或某一区域粒子的总能量等于动能与势能之和就没有意义了即在势垒内部粒子动能为负值的说法不成立
研究算符之间的关系以及它们代表的物理量之间的关系
一、算符的对易关系：
对于任意的波函数，

ˆ 对易 ˆ,G 0 F ˆ ,F ˆF ˆ ˆ G ˆ F ˆG G ˆ 不对易 ˆ,G 0 F
e2s 1 2 1 1 2 [ 2 (r ) 2 (sin ) 2 2 ] 2 2 r r r r sin r sin r
2
ˆ 2是关于 ， ˆ 是关于 的微分算符， 的微分算符， L 且L z
ˆ ,L ˆ ]0 。 ˆ ,L ˆ 2 ] 0 , [H 所以： [H z
ˆB ˆ B ˆA ˆ ，等式成立。 ˆC ˆC 等式左边= A
说明：利用算符对易关系的运算法则可以大大简化算 符对易关系的证明，例如：
ˆ ,L ˆ ] =[ z ˆx x ˆz,x ˆy y ˆx] ˆp ˆp ˆp ˆp [L y z
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∧
（28） ）
• 2.3 力学量完全集 ∧ 有些情况下， 有些情况下，力学量 F 的本征值是全部简并或部分简 ∧ 并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以， 并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 F 的本 ∧ 征值不足以完全确定本征函数， ∧ 征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和 F 独立且和 ∧ ∧ ∧ F 对易的其它力学量 G 。如果∧F,∧G 的共同的本征函数仍然 ∧ ∧ 有简并， 有简并，则必定还存在独立于 F, G 而又和 F, G 对易的其它 ∧ ∧ ∧ ∧ 的共同的本征函数是否还有简并？ 力学量 M ， F, G, M 的共同的本征函数是否还有简并？ 我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符， 我们定义：一组相互对易而又相互独立的力学量算符， 如果它们的共同的本征函数是非简并的， 如果它们的共同的本征函数是非简并的，即这组本征值完全 确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。 确定一个共同本征函数，则这组力学量称为力学量完全集。 完全集中力学量的数目一般称为体系的自由度。 完全集中力学量的数目一般称为体系的自由度。请大家将一 维谐振子、角动量、 维谐振子、角动量、三维粒子的力学量完全集与定义对照一 下。（注意：完全集中力学量的数目一般 ≥体系的自由度） 。（注意： 体系的自由度） 注意
2
2 3
2 3
1 3
2
L Ylm(θ,ϕ) = l(l +1)ℏ Ylm(θ,ϕ) Lz Ylm (θ,ϕ) = mℏYlm (θ,ϕ)
力学量算符之间的对易关系
• 讨论微观态ψ 中某一力学量 F 时，总是以F 的本征值谱作 的可能值。 为力学量 F 的可能值。若我们同时观测状态ψ 中的一组不同 力学量 F,G,⋯ 将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 ，将会得到什么结果呢？ 这个问题。 这个问题。 • 主要内容有： 主要内容有： 一个关系： 一个关系：力学量算符之间的对易关系
(8) (9) (10) (11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
[x, y] = 0
动量算符是微分算符
[ y, z] = 0
[z, x] = 0
（12） ）
∂2 ∂2 因为 则 = ∂x∂y ∂y∂x
∧ ∧ px , py = 0
∧ ∧ p y , pz = 0
∧
∧
（2） ）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
F G− G F ≠ 0
∧ ∧
∧
∧
（3） ）
n个相同算符F 的积定义为算符 F 的 n 次幂
∧ d2 d 例如 F = 则 F2 = 2 dx dx
∧
∧
∧
dn F = n dx
∧ n
为了运算上的方便， 为了运算上的方便，引入量子括号
[Lx , y] = [ y pz − z py , y] = [ y pz , y] −[z py , y] = y[ pz , y] +[ y, y] pz − z[ py , y] −[z, y] py
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧
(15)
• 记忆方法：从左至右以 x → y → z → x 依次循环指标为 记忆方法： 任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。 正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
∧ ∧ pz , px = 0
13） （13）
坐标算符与动量算符： 坐标算符与动量算符：设 ψ 为任意函数
∧ ∂ x px ψ = −iℏx ψ ∂x ∧ ∂ ∂ px xψ = −iℏ (xψ ) = −iℏψ − iℏx ψ ∂x ∂x
• 比较后可得
x px ψ − px xψ = iℏψ
(4)
[Li , r ] = 0, [L, r 2 ] = 0
2
∧
∧
（22） ）
• 2 共同本征函数完备系 2.1共同本征函数完备系带来算符对易 共同本征函数完备系带来算符对易 ∧ ∧ 设两个算符 F 和 G有一个共同的本征函数 ϕn ，则必有 ∧ ∧ F ϕn = λaϕn 及 Gϕn = λbϕn ，即在ϕn 态中可以同时确定 这两个力学量的数值， 这两个力学量的数值，那么
[L , Lz ] = 0
∧ 2
∧
• 2.2 逆定理：如果一组算符对易，则这组算符有组成完备 逆定理：如果一组算符对易， 系的共同的本征函数。 系的共同的本征函数。 这里仅就非简并本征函数系加以证明 ∧ ∧ ∧ 相互对易， 若算符 F和 G 相互对易，对于 F 的本征函数 ϕn ，有
F ϕn = λnϕn
= −z[ py , y] = iℏz
∧
• 以相同的推导方法和记忆规律，有 以相同的推导方法和记忆规律，
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [Lx , px ] = 0,[Lx , py ] = iℏ pz ,[Lx , pz ] = −iℏ py ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [Ly , px ] = −iℏ pz ,[Ly , py ] = 0,[Ly , pz ] = iℏ px ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ [Lz , px ] = iℏ py ,[Lz , py ] = −iℏ px ,[Lz , pz ] = 0
同 征 定 （ 括 定 ） 共 本 态 理 包 逆 理 不 定 系 确 关 三个定理: 三个定理 力 量 恒 理 学 守 定
∧
• 1 算符之间的对易关系 1.1 算符的基本运算关系 ∧ ∧ ∧ ∧ （1）算符之和：算符 F 与 G 之和 F+G 定义为 ）算符之和：
(F+ G)ψ = Fψ + Gψ
[L , Lj ] = 0,
∧ ∧ 2
∧ 2 ∧
j = (1,2,3) = (x, y, z)
∧ ∧ 2 ∧ 2 ∧ 2
（19） ） （20） ）
(2) [Lj , p ] = 0, [L, p ] = 0, [L , p ] = 0
∧
•
的函数， （3）球坐标下 L 是 θ,ϕ 的函数，若有径向函数算符U(r) ） 则 ∧ ∧ （21） ） [L,U(r)] = 0, [L2 ,U(r)] = 0
∧ ∧
∧ ∧
ψ = ∑cnϕn
n
（23） ）
• 有 (F G− G F)ψ = ∑cn (F G− G F)ϕn = 0 则
∧
∧ ∧
∧ ∧
∧ ∧
∧ ∧
F G− G F = 0或 [F, G] = 0
∧
∧ ∧
n ∧ ∧
∧
∧
（24） ）
是对易的。 这时才说 F 和 G 是对易的。这个结论可以推广到多个算 符，即 ϕ 如果一组算符有共同的本征函数完备系 n，则这组算符对易 ∧ ∧ 2 2 例如 L Ym (θ,ϕ) = l(l +1)ℏ Ylm (θ,ϕ) Lz Ym (θ,ϕ) = mℏYlm (θ,ϕ) ∧ ∧ 即在 Ylm (θ,ϕ) 态中 L2 , Lz 同时有确定值 l(l +1)ℏ2 mℏ ，所以 及 ∧ ∧ Ylm (θ,ϕ) 是 L2 , Lz的共同的本征函数，并且是完备的，所以 的共同的本征函数，并且是完备的，
Gϕn = µnϕn
∧
（27） ）
ϕ • 可见， n 同时也是 G 的属于本征值 µn的本征函数。同 可见， 的本征函数。 ∧ ∧ ∧ 的其它本征函数也有此结论。所以， 理，对 F 的其它本征函数也有此结论。所以， 和G 有组 F 成完备系的共同的本征函数。 成完备系的共同的本征函数。 ∧ ∧ 2 例如， 例如，角动量算符 [L , Lz ] = 0 ，所以它们有组成完备系的 态中， 共同的本征函数 Ylm (θ,ϕ) ，在 Ylm (θ,ϕ) 态中，力学量 L2 , Lz l(l +1)ℏ2 及 mℏ 。 同时有确定值 ∧ 氢原子哈密顿算符 ∧ p2 H= +U(r) 2µ ∧
所以， 对易， 所以，H, L2 , Lz 对易，它们有组成完备系的共同的本征函 在该台中三者同时有确定值： 数 RnYlm (θ,ϕ) ，在该台中三者同时有确定值： n , l(l +1)ℏ2 , mℏ E
∧
∧ p2 ∧2 [H, L ] = [ , L ] +[U(r), L2 ] = 0 2µ ∧ ∧ 2
∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ F, G = F G− G F
（5） ）
• 若
∧
∧
∧ ∧ F, G ≠ 0
∧ ∧ F, G = 0
∧
∧
∧ ∧ ∧ ∧
（6） ）
∧ ∧ ∧ ∧
• 称算符 F与 G 是不对易的（不能交换位置） 即 F G ≠ G F 是不对易的（不能交换位置） • 若 （7） ）
（16） ）
另外有
[Lx , Ly ] = iℏ Lz
∧
∧
∧
[Ly , Lz ] = iℏ Lx
∧
∧
∧
） [Lz , Lx ] = iℏ Ly （17） （18） ）
∧
∧
∧
L× L = iℏ L
∧
∧
∧
• 1.4 几个重要的推论 ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ • (1) [L2 , L ] = [L2 , L ] +[L2 , L ] +[L2 , L ] = 0 z x z y z z z
∧
∧
∧ x, px = iℏ
但是
（14a） ） （14b） ）
∧ x, py = 0
∧ x, p z = 0
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式 可概括为 ∧ (14c) xi , p j = iℏδij