第三章-表示力学量的算符-习题范文

第三章 力学量的算符表示1．如果算符αˆ、βˆ满足条件1ˆˆˆˆ=-αββα， 求证：βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-，233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=-， 1ˆˆˆˆˆ-=-n n n n βαββα [证] 利用条件1ˆˆˆˆ=-αββα，以βˆ左乘之得 βαββαβˆˆˆˆˆˆ2=-则有 βαβββαˆˆˆˆ)1ˆˆ(2=--最后得 βαββαˆ2ˆˆˆˆ22=-。

再以βˆ左乘上式得222ˆ2)ˆˆˆˆ(ˆβαββαβ=-， 即232ˆ2ˆˆˆˆˆβαββαβ=- 则有 233ˆ3ˆˆˆˆβαββα=- 最后得 233ˆ3ˆˆβαββα=-应用数学归纳法可以证明 1ˆˆˆˆˆ-=-n n n n βαββα： 先设 211ˆ)1(ˆˆˆ----=-n n n n βαββα 成立，以βˆ左乘上式得11ˆ)1(ˆˆˆˆˆ---=-n n n n βαββαβ则有 11ˆ)1(ˆˆˆ)1ˆˆ(---=--n n n n βαβββα最后得 1ˆˆˆˆˆ-=-n n n n βαββα2．证明{}+++ )ˆˆˆ()ˆˆˆ(2121nnM M M L L L{}++=++-+++-+)ˆˆˆ()ˆˆˆ(1111M M M L L Lm m n n[证] 应用+++++A B B A ˆˆ)ˆˆ( 及++++=+B A B A ˆˆ)ˆˆ(，则 ====+-+-++-++ )ˆˆˆ(ˆˆ)ˆˆˆ(ˆ)ˆˆˆ(21112121n n n n n n L L L L L L L L L L L L+++-+=121ˆˆˆˆL L L L n n 同理可证++-++=1121ˆˆˆ)ˆˆˆ(M M M M M Mm mm则 {}{}++=+++++)ˆˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ()ˆˆˆ(21212121m n m n M M M L L L M M M L L L{} ++=++-+++-+)ˆˆˆ()ˆˆˆ(1111M M M L L Lm m n n3．若算符Le ˆ满足+++++=!ˆ!2ˆˆ12ˆn L L L e n L，求证：++++=-))ˆ,ˆ(,ˆ(,ˆ(!31))ˆ,ˆ(,ˆ(!21)ˆ,ˆ(ˆˆˆˆaL L L a L L a L a e a e L L其中， L a a L a L ˆˆˆˆ)ˆ,ˆ(-≡[证] 方法一：把Le ˆ直接展开，比较系数法。

第三章 量子力学中的力学量 1. 证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义**ˆˆ()F d F d ψψτψψτ=⎰⎰厄米算符ˆF的平均值 *ˆF Fd ψψτ=⎰ **ˆ[()]F d ψψτ=⎰ ***ˆ[]Fd ψψτ=⎰**ˆ[()]Fd ψψτ=⎰**ˆ[]F d ψψτ=⎰ *F =即厄米算符的平均值都是实数2. 判断下列等式是否正确（1）ˆˆˆHT U =+ （2）H T U =+（3）H E T U ==+[解]：（1）（2）正确 （3）错误因为动能，势能不同时确定，而它们的平均值却是同时确定 。

3. 设()x ψ归一化，{}k ϕ是ˆF的本征函数，且 ()()k kkx c x ψϕ=∑（1）试推导k C 表示式（2）求征力学量F 的()x ψ态平均值2k k kF c F =∑（3）说明2k c 的物理意义。

[解]：（1）给()x ψ左乘*()m x ϕ再对x 积分**()()()()mm k k k x x dx x c x dx ϕϕϕτϕ=⎰⎰*()()k m k kc x x dx ϕϕ=∑⎰因()x ψ是ˆF的本函，所以()x ψ具有正交归一性**()()()()mk m k k k kkx x dx c x x dx c mk c ϕψϕϕδ===∑∑⎰⎰ ()m k = *()()k m c x x dx ϕψ∴=⎰（2）k ϕ是ˆF 的本征函数，设其本征值为kF 则 ˆk k kF F ϕϕ= **ˆˆm k m k k kF F dx F c dx ψψψϕ==∑⎰⎰**()m mk k k kc x F c dx ϕϕ=∑∑⎰**m k kmkx mkc c F dϕϕ=∑⎰*m k k mk mkcc F δ=∑2k k kc F =∑即 2k k kF c F =∑（3）2k c 的物理意义；表示体系处在ψ态，在该态中测量力学量F ，得到本征值k F 的 几率为2k c 。

第3章 力学量用算符表达习题3.1 下列函数哪些是算符22dxd 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x sin ， ④x cos 3， ⑤x x cos sin +解：①2)(222=x dxd∴ 2x 不是22dxd 的本征函数。

② x xe e dxd =22∴ xe 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为1。

③x x dx dx dxd sin )(cos )(sin 22-== ∴ 可见，x sin 是22dx d 的本征函数，其对应的本征值为－1。

④x x dx dx dxd cos 3)sin 3()cos 3(22-=-= ∴ x cos 3 是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

⑤)cos (sin cos sin sin (cos )cos (sin 22x x xx x x dxd x x dx d +-=--=-=+） ∴ x x cos sin +是22dxd 的本征函数，其对应的本征值为－1。

3.2 一维谐振子处在基态t i x e t x ωαπαψ22022),(--=，求：(1)势能的平均值2221x V μω=； (2)动能的平均值μ22p T =.解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x V x2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221 ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ⎰∞∞----=dx e dxd e x x22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα ][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=V E T 习题3.3 指出下列算符哪个是线性的，说明其理由。

第三章例题剖析1 一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是ILH 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。

（1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动[解]：（1）ϕ∂∂-= i L zˆ 22222ˆˆϕ∂∂-= zL L2222222ˆ2ˆˆϕ∂∂-===I IL IL Hz能量的本征方程： )()(ˆϕψϕψE H =，or )()(2222ϕψϕψϕE I =∂∂- 引入 222IE =λ⇒=+0)()(222ϕψλϕψϕd dλϕϕψi Ae=)(由波函数的单值性 )()2(ϕψϕπψ=+λϕλϕπi i AeAe=+)2( ⇒ 12=πλi eππλn 22= ⇒ n =λ ,2,1,0±±=nIn E n 222 =∴，ϕψin Ae=其中 π21=A（2） IL H2ˆˆ2=，在球极坐标系中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=22222sin 1sin sin 1ˆϕθθθθθ L 体系的能量算符本征方程：),(),(ˆϕθψϕθψE H= ),(),(sin 1sin sin 122222ϕθψϕθψϕθθθθθE I =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂- ),(),(sin 1sin sin 1222ϕθλψϕθψϕθθθθθ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂其中22IE =λ，以上方程在πθ≤≤0的区域内存在有限解的条件是λ必须取)1(+l l ，),2,1,0( =l ，即 )1(+=l l λ ,2,1,0=l于是方程的形式又可写成),()1(),(sin 1sin sin 1222ϕθψϕθψϕθθθθθ+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂l l 此方程是球面方程，其解为),(),(ϕθϕθψlm Y =lm l ±±±==,,2,1,0,2,1,0由)1(+=l l λ及IE 2=λ，可解得体系的的能量本征值Il l E l 2)1(2+=,2,1,0=l2 氢原子处于 ()()()32121113,,,,,,44r r r ψθϕψθϕψθϕ=+状态，求：（1）归一化波函数（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z 分量有无确定值？如果有，求其确定值。

1第三章矩阵力学基础(I)—力学量和算符上一章，中我们系统地介绍了波动力学。

它的着眼点是波函数),(t x ψ。

薛定谔从粒子的波动性出发，用波函数),(t x ψ猫述粒子的运动状态。

通过在波函数的运动方程中引入 的方法进行量子化，在一定的边界条件下，求解定态薛定谔方程，证明对于束缚态，会出现量子化的、分立的本征谱。

在本章和下一章中，我们将介绍另一种量子化的方案。

它是海森伯（Heisenberg ）、玻恩、约丹(Jordan)、坎拉克(Dirac)提出和实现的。

着眼点是力学量和力学量的测量。

他们将力学量看成算符。

通过将经典力学运动方程中的坐标和动量都当作算符的方法，引入r 和p 的对易关系.将经典的泊松括号改为量子的泊松括号，实现量子化。

这种量子化，通常称为正则量子化。

在选定了一定的“坐标系”或称表象后，算符用矩阵表示。

算符的运算归结为矩阵的运算。

本章将首先讨论力学量的算符表示和算符的矩阵表示，证实量子力学中的力学量必须用线性厄米算符表示。

在选取特定的表象即“坐标系”后，这些算符对应线性厄米矩阵。

然后进一步讨论力学量的测量，它的可能值、平均值以及具有确定值的条件。

我们将证实算符的运动方程中含有对易子，出现 。

在矩阵力学中，算符的运动方程起着和波动力学中波函数的运动方程—薛定谔方程—同样的作用。

§3. 1力学量的平均值在量子力学中，微观粒子的运动状态用波函数描述。

一旦给出了波函数，就确定了微观粒子的运动状态.于是自然要问，所谓“确定”是什么意思，在什么意义下讲“确定”?在本章中我们将看到:所谓“确定”，是在能给出几率和求得平均值意义下说的。

一般说来，当微观粒子处在某一运动状态时，它的力学量，如坐标、动量、角动量、能量等，不同时具有确定的数值，而具有一系列可能值，每一可能值均以一定的概率出现。

当给定描述这一运动状态的波函数ψ后，力学量出现各种可能值的相应的概率就完全确定。

利用统计平均的方法，可以算出该力学量的平均值，进而与实验的观测值相比较。