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§3.6算符的对易 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系 一． 算符的对易关系对易关系(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[]A B B A B A -=, 对易式 (4-5) []A B B A B A+=+, 反对易式 (4-7)若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
1) ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- (4-6a) 2) ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+ (4-6b) 3) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A = (4-6c) 4) [][][]B C A C B A C B A,,,+= (4-6d)5)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++=——称为 Jacobi （雅克比恒等式）。
(4-6e)1.坐标算符和动量算符的对易关系算符x ,和ˆx pi x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂ i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂ i i x x ψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= （3.7.1） 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 （3.7.2） 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ， ˆˆz z zpp z i -= （3.7.3） 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件测不准关系一、泊松括号 “ [” 1．定义：∧∧∧∧∧∧-=A B B A B A ],[ 2．性质：],[],[∧∧∧∧-=A B B A为常数λλλλ],[],[],[∧∧∧∧∧∧==B A B A B A],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧+=+C A B A C B A （1）],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=C A B C B A C B A∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=B C A C B A C B A ],[],[],[0]],[[]],[,[]],[,[=++∧∧∧∧∧∧∧∧∧B A C A C B C B A计算力学量算符对易式的基本方法有二：一是将对易式作用在任意函数上，进行运算，以求之。
二、量子力学的基本对易式下面我们用第一种方法求出坐标、动量算符之间的对易式。
对于任意函数ψ，有()ψψψψψψψ i i x x i x x i x x i x x i x P P x x x =+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛-∧∧由ψ的任意性，设i P x x =∧∧],[ （2） 同理： i P y y =∧∧],[],[0],[0],[],[====∧∧∧∧∧∧∧∧y x x y z P P P y P x i P z将以上式子写成通式有：αββαδ i P x =∧∧],[ （3）0],[=∧∧βαP P （4） 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≠===βαβαδβααβ1,,,zy x由上可知：动量分量和它所对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的；动量各分量之间也是对易的。
力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其他力学之间的对易关系。
三、角动量算符的对易式)(],[],[0]],[],[],[],[00],[],[],[],[],[],[],[],[x y y x yz z x z x z yz z y z x x z z y x y z z y z z x y z y x P y P x i P x i P y i P P x z P z x P z P P P z y P P x z P x P z P P z y P z P y P x P z P z P z P x P y P z P y P x P z P z P y l l ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-=+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=++-++=+--=--=z l i = （5）同理： x z y l i l l ∧∧∧= ],[ （6） y x z l i l l ∧∧∧= ],[ （7） （5）、（6）和（7）三式可以合写为一个矢量公式∧∧∧=⨯L i L L（8）上式可看作是角动量算符的定义。
量⼦⼒学总结习题考卷及答案第⼀章⒈玻尔的量⼦化条件，索末菲的量⼦化条件。
⒉⿊体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对⿊体，简称⿊体。
⒎普朗克量⼦假说：表述1：对于⼀定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。
表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量⼦的⽅式进⾏，每个量⼦的能量为：ε=h ν。
表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。
⒏光电效应：光照射到⾦属上，有电⼦从⾦属上逸出的现象。
这种电⼦称之为光电⼦。
⒐光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0：只有当光的频率⼤于⼀定值v0 时，才有光电⼦发射出来。
若光频率⼩于该值时，则不论光强度多⼤，照射时间多长，都没有光电⼦产⽣。
②光电⼦的能量只与光的频率有关，与光的强度⽆关。
光的强度只决定光电⼦数⽬的多少。
⒑爱因斯坦光量⼦假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，⽽且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒⼦叫做光量⼦，或光⼦。
爱因斯坦⽅程⒒光电效应机理：当光射到⾦属表⾯上时，能量为E= hν的光⼦⽴刻被电⼦所吸收，电⼦把这能量的⼀部分⽤来克服⾦属表⾯对它的吸引，另⼀部分就是电⼦离开⾦属表⾯后的动能。
⒓解释光电效应的两个典型特点：①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电⼦不能脱出⾦属表⾯，从⽽没有光电⼦产⽣。
②光电⼦动能只决定于光⼦的频率：上式表明光电⼦的能量只与光的频率ν有关，⽽与光的强度⽆关。
⒔康普顿效应：⾼频率的X射线被轻元素如⽩蜡、⽯墨中的电⼦散射后出现的效应。
⒕康普顿效应的实验规律：①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了⼀个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ；②波长增量Δλ=λ-λ随散射⾓增⼤⽽增⼤。
⒖量⼦现象凡是普朗克常数h在其中起重要作⽤的现象⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒⼆象性⒘与运动粒⼦相联系的波称为德布罗意波或物质波。
