2-2收敛数列的性质

取 1 ,则 N , 当 n N 时,
xn a 1, 从而
xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a
则 xn M ( n 1 , 2 , ) . ∴收敛的数列必有界.
注: (1)有界的数列不一定收敛. 例如数列 (1 )n1
(2)无界的数列一定发散 .
)
xN2 a
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束
注意 ➢ 的任意性 （1） 的作用在于衡量 xn 与 a 的接近程度，只要求 0
（2） 一经给出，暂看作是固定的，由其决定 N （3） 也可用 2 ,3 , 2 代替，<号也可换成 号，
➢N 的相应性
（1）N 与 相关的， 越小，N 越大，但 N 不是 的函数
的一个动点，依次取数轴上的点 (2) 数列 可看作是自变量取正整数的函数
(3) 数列的有界性：对于数列
如果存在正数
M，对于一切
都满足不等式
则称
数列
是有界的. 如果这样的M不存在，则称
数列
是无界的.
高等数学
目录 上页 下页 返回 结束
3.数列的变化趋势——极限
观察数列
n
1 n1
n
当
n
时的变化趋势
后顺序，这样得到的一个数列称为原数列xn 的子数列，
简称子列.
设在数列xn 中，第一次抽取 xn1 ，第二次在 xn1 后
抽取 xn2，第三次在 xn2 后抽取 xn3 ，….这样无休止的抽取
下去，得到一个数列 xn1 , xn2 , xn3 , , xnk , 即子数列 xnk
注意：在子数列 xnk 中，一般项是 xnk ，是第k项，而

定理3 定理
函数极限与数列极限关系(1) 函数极限与数列极限关系
对于数列 {a n }，若存在定义域包含 [1, + ∞ ) 的一个
函数 f ( x )， 成立 f (n) = an， 并且 lim f ( x) = a，则必有
x →+∞
lim a n = a．
n→ ∞
π 1 【例3】计算极限 lim tan + ． 】 n→ ∞ 4 n
x x x lim cos cos L cos n n→ ∞ 2 4 2 x x x a n = cos cos L cos n 【解】设 2 4 2 x x 1 x 由 cos n sin n = sin n − 1 得 2 2 2 2 1 x 1 x x 1 a n sin n = a n −1 sin n −1 = 2 a n − 2 sin n − 2 = L = n sin x 2 2 2 2 2 2 sin x sin x ; 当x＝0, a n = 1 → 1. → 当x≠0, a n = ＝ x x 2 n sin n 2 (2)
k
注意
(1)子列的下标 n1，n2， ，nk， 依从小到大的顺序 L L 排列 ;
显然， 数列 { a n }中却是第 nk 项，显然， nk ≥ k .
L L 例如： 例如： a 3，a7，a8， ，a79，
( 2)一般项 a nk 是子列 a nk 中的第 k 项，而 a nk 在原
{ }
定理1 若数列{a 定理 若数列 n} 收敛于a，则{an} 的任一子列 均收敛于a. 均收敛于 注意
⋅ sin ( i − 1) = n n π
π
1
∫
π
0

xn

a
，
lim
n
yn
b
，
且 a b ，则 N N ，当 n N xn yn 。
2
数列极限的性质和运算法则
性质 1（唯一性）若{ xn } 收敛，则其极限唯一。
证明：用反证法。
假设
lim
n
xn

a
，
lim
n
xn
b ，（ a b），取

ba 2
0，
∴收敛数列的极限是唯一的。
3
数列极限的性质和运算法则
性质 2（有界性） 若{ xn } 收敛，则{ xn } 必有界，
即 M 0， n N , 有 xn M 。
注证明：②①：收性设敛质ln数im2列的x必n等有价a界命，；题反是之:若有界xn数无列界未，必则收敛xn。发散。
lim
n
n3

lim
n
n(n

1)(2n 6n3

1)
1 3
11
数列极限的性质和运算法则
（2） lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
解： lim[ 1 2 L n 1 2 L (n 1)] n
lim[ n (n 1) n (n 1) ] lim 1 [ n2 n n2 n]
n yn lim yn b
n
说明：可以推广到有限多个数列的和差或乘积。
7
数列极限的性质和运算法则
思考：
① 若：{ xn } 收敛，{ yn } 发散， 它们的和、差、积、商 数列的敛散性如何？
② 若：{ xn } ， { yn } 都发散呢？

1. 实数及其性质
回顾中学数学里关于有理数和无理数的定义.
有理数：
⎧⎪能用互质分数 ⎨
p q
(
p,
q
为整数，q
≠
0)
表示的数；
⎪⎩有限十进小数或无限十进循环小数表示的数
例 1 设 p 为正整数，若 p 不是完全平方数，则 p 是无理数.
证明：反证法。若
p 是有理数，则
p 可表示成：
p
=
n ，从而整数 p 可表示成： p = m
记作ξ = inf S . 上确界与下确界统称为确界。
{ } 例 1 讨论数集 S = x x为区间(0,1)中的有(无)理数 的确界。
分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界。
提示：利用有理数集在实数集中的稠密性。 sup S = 1, inf S = 0.
例 2（１）
S = [0,1],sup S = 1,inf S = 0. （２）
分析：首先，由 S = A ∪ B 及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集。其次，证明（１）、（２）。
〖课外作业〗
2-2 数列极限
4
〖教学目的和要求〗初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延；学会用定义证明极限的基本方法；加深 对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化”的意义。
（其中 xn 为 x 的 n 位不足近似， yn 为 y 的 n 位过剩近似）．
例 2 设 x, y 为实数， x < y ，证明存在有理数 r ，满足 x < r < y ．
( ) 证明
由x<
y 知：存在非负整数 n，使得 xn
<
yn ．令 r