收敛数列的性质和函数极限的性质

云南大学数学分析习作课（1）读书报告题目：数列极限与函数极限的异同（定义，存在条件，性质，运算四方面的对比）学院：物理科学技术学院专业：数理基础科学姓名、学号：任课教师：时间： 2009-12-26 摘要极限是数学中极其重要的概念之一，极限的思想是人们认知数学世界解决数学问题的重要武器，是高等数学这个庞大的数学体系得以建立的基础和基石；极限在数学中处于基础的地位，它是解决微积分等一系列重要数学问题的前提和基础；极限是一种思维，在学习高数时最好理解透彻了，在线代中没什么用.但是概率中用的比较多，另外物理中许多都用到了极限的思维，它也能帮助更好的理解一些物理知识；在高等数学中，极限是一个重要的概念，极限可分为数列极限与函数极限，下面是关于两种极限的简要联系与说明。

关键词：数列极限与函数极限的定义，存在条件，性质，运算一数列极限与函数极限的定义1、数列与函数：a、数列的定义：数列是指按自然数编了号的一串数：x1，x2，x3，…，x n，….通常记作{x n}，也可将其看作定义在自然数集N上的函数x n=N(，),nnf∈故也称之为整标函数。

b、函数的定义：如果对某个范围X内的每一个实数x，可以按照确定的规律f，得到Y内唯一一个实数y和这个x对应，我们就称f是X上的函数，它在x的数值（称为函数值）是y，记为)fy=。

(x(xf，即)称x是自变量，y是因变量，又称X是函数的定义域，当x遍取X内的所有实数时，在f的作用下有意义，并且相应的函数值)f的全体所组成的范围叫作(x函数f 的值域，要注意的是：值域不一定就是Y ，它当然不会比Y 大，但它可能比Y 小。

2、 （一） 数列极限的定义：对数列}{x n ，若存在常数A ，对N n N >∀∈∃>∀,N ,0ε，有ε<-A xn，则称数列收敛且收敛于A ，并称数列}{x n的极限为A ，记为xnn lim ∞→=A.例1.试用定义验证：01lim =∞→nn .证明：分析过程，欲使,101ε<=-nn只需ε1>n 即可，故εεε<->∀+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∃>∀01:,11,0n N n N .例2.试用定义验证：).11(lim <<-=∞→q n证明：分析过程.欲使[]ε<=-nn q q 0，只需qn lg lg ε>（注意0lg <q ）。

数列极限的基本概念与性质数列是数学中的重要概念之一，它由一系列按特定顺序排列的数所组成。

数列的极限是研究数列性质的基本概念之一，它描述了数列中数值的趋势和变化规律。

本文将介绍数列极限的基本概念和性质，并讨论其在数学和实际问题中的应用。

一、数列极限的基本概念数列极限是指当数列的项数无限增加时，数列中的数值是否会趋于某一个固定的值。

具体而言，对于一个数列{an}，当存在一个实数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，有|an - a| < ε成立，则称数列{an}收敛于a，记作lim（n→∞）an = a。

如果数列不存在这样的实数a，则称数列{an}发散。

二、数列极限的性质1. 极限的唯一性：如果数列{an}收敛，那么它的极限是唯一的。

即如果lim（n→∞）an = a且lim（n→∞）an = b，则a = b。

2. 有界性：收敛的数列是有界的。

即如果lim（n→∞）an = a，则存在正数M，使得对于任意的n，有|an| ≤ M成立。

3. 极限的保号性：如果数列{an}收敛于a且a>0，那么从某一项开始，数列{an}的所有后续项都大于0。

类似地，如果a<0，则所有后续项都小于0。

4. 收敛数列的性质：如果数列{an}和{bn}分别收敛于a和b，则数列{an + bn}和{an × bn}也收敛，并且它们的极限分别为a + b和a × b。

三、数列极限的应用数列极限在数学和实际问题中有着广泛的应用。

以下列举几个典型的例子：1. 函数极限：函数极限是数列极限的一种推广。

通过将函数的自变量限制在一组无限逼近的数值上，可以研究函数在特定点的极限值。

2. 近似计算：利用数列极限的性质，可以通过有理逼近法近似计算无理数，如计算π的值等。

3. 经济学模型：经济学中的一些模型可以用数列来表示，通过分析数列的极限，可以研究经济模型的稳定性和变化趋势。

4. 物理学问题：在物理学中，数列的极限可以用于描述粒子的运动趋势和变化规律，如速度、加速度等。

数学中的收敛现象-概述说明以及解释1.引言1.1 概述数学中的收敛现象是数学分析中一个重要的概念和研究领域。

它深入探讨了数列和函数的极限性质，揭示了数学中一种趋于稳定的动态变化过程。

收敛是指数列或函数在某个极限点附近逐渐趋于稳定的现象。

对于数列而言，当数列的项随着项数的增加而逐渐趋近于某个常数时，我们说该数列收敛于该常数。

类似地，对于函数而言，当函数的取值随着自变量的变化而逐渐趋近于某个特定值时，我们说该函数在某个点上收敛。

收敛的研究源远流长，最早可以追溯到古希腊数学家Zeno提出的著名悖论——阿基里斯与乌龟赛跑问题。

这个问题涉及了无穷个阶段的竞争，但每个阶段都只是短暂的瞬间。

数学家们通过引入极限的概念，成功地解决了这个问题，从而开启了数学中收敛现象的研究。

数学中的收敛现象具有广泛的应用价值。

首先，在实际问题建模中，许多动态系统的变化趋势都可以通过收敛的方式进行描述。

例如，在经济学中，利率的变动趋势、股票价格的波动等都可以利用收敛理论来研究和预测。

其次，收敛现象也在数学分析和物理学等学科的证明和推导中起到重要的作用。

一些重要的收敛定理，如柯西收敛准则和黎曼积分收敛定理等，为我们提供了判断和证明数列、级数和函数收敛的有效工具，从而推动了这些学科的发展和深入研究。

最后，收敛现象还在计算机科学和优化问题中扮演着重要角色。

在计算机科学中，许多数值计算和算法设计都需要考虑数列的收敛性，以保证计算结果的准确性和稳定性。

在优化问题中，通过研究目标函数的收敛性质，我们可以找到最优解或次优解。

未来，收敛现象的研究将与数学的发展密切相关。

随着人工智能和大数据时代的到来，对于更加复杂动态系统的研究需求会增加，这将进一步推动收敛现象的理论和应用的发展。

相信在不久的将来，收敛现象将在更多领域发挥重要作用，为人类认识和探索世界提供更深刻的见解。

文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文将以数学中的收敛现象为主题，探讨收敛的概念、数学中的收敛定理以及收敛现象的重要性、应用领域和未来发展。

第二章 极限第一节：数列的极限教学目标：1、了解数列极限的定义 2、掌握数列极限的性质 教学重点：收敛数列的两个性质 教学难点：收敛数列的两个性质 教学目标：1、 数列的极限定义：如果数列{xn}与常数a 有下列关系：对于任意给定的的正数ε，总是存在正整数N ，使得对于 n>N 的一切xn ，不等式|xn-a|<ε都成立，则称常数a 是数列{xn}的极限或者称数列收敛于a. 记作：a x n n =∞→lim（1）如何证明a x n n =∞→lim ？只需证明,0>∀ε总存在自然数N , 当自然数n>N, 有不等式ε<-||a x n 成立2、例：证明等比数列1，q,2q ,…当|q|<1时极限为0。

3、有关收敛数列的两个性质 定理1：（极限的唯一性）如果数列{}n x 有极限，那么极限值是唯一的。

4、数列的有界性定义：对于数列{}n x ，如果存在着正数M ，使得对于一切n x 都满足不等式M x n ≤||，则称数列{}n x 是有界的；如果这样的正数M 不存在，则称这样的数列{}n x 是无界的。

例：1+=n nx n （n=1,2,3….）是有界的，因为可以取M=1。

5、 定理2（收敛数列的有界性） 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。

证明：推论：如果数列{}n x 无界，那么{}n x 一定发散。

有界是数列收敛的必要不充分条件。

第二节 函数的极限教学目标：1、理解函数极限的3个定义 2、理解函数极限的5个定理 教学重点：函数极限的局部保号性定理 教学难点：函数极限的局部保号性定理教学过程：1、 自变量趋于无穷大时函数的极限。

定义1：设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果对于任意给定的正数ε（无论它多么小）总存在着正数X ，使得对于适合不等式|x|>x 的一切x ，对应的函数值都满足不等式ε<-|)(|A x f ，那么常数A 就叫做函数f(x) 当∞→x 是的极限， 记作：A x f x =∞→)(lim注：A x f x =∞→)(lim 的集合意义2、 例：证明：01lim=+∞→xx例：证明：111lim=+-+∞→x x x3、 自变量趋于有限值时函数的极限 实例：f(x)=2x +1当x 从任何一方趋近于0时，f(x)的对应值都无限趋近于1。

数列的极限与收敛性在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。

数列的极限是指当序列的项趋向无穷时，序列的最终趋势。

而数列的收敛性则是指当序列逼近其极限时，序列的值逐渐趋于稳定。

本文将探讨数列的极限与收敛性的相关概念以及数列收敛的判定方法。

一、数列的极限数列的极限是指当数列中的项趋向无穷时，序列的最终趋势。

记作lim(n→∞)an = A，其中an表示数列中的第n个数，A表示数列的极限。

当数列的极限存在时，有以下几种可能情况：1. 若数列的极限A存在有限值，即lim(n→∞)an = a，则该数列为收敛数列。

2. 若数列的极限不存在有限值，即lim(n→∞)an = ∞或lim(n→∞)an= -∞，则该数列为发散数列。

3. 若数列的极限不存在，既不是有限值也不是无穷值，则该数列为不存在极限的数列。

在求解数列的极限时，可采用数列的通项公式或递推关系进行分析推导。

通过不断逼近数列中的项，可以确定数列的极限并判断其收敛性。

二、数列的收敛性判定方法针对数列的收敛性，常用的判定方法有以下几种：1. 夹逼定理：若对于数列{an}、{bn}和{cn}，满足an≤bn≤cn，并且lim(n→∞)an = lim(n→∞)cn = A，则数列{bn}的极限存在且等于A。

夹逼定理可用于判定数列的收敛性，通过找到两个夹逼数列，其中一个逼近极限A，另一个逼近A的同时，数列{bn}也逼近A。

2. 单调有界原则：对于单调递增（递减）的数列，若该数列有上（下）界，则该数列必为收敛数列。

单调有界原则通过观察数列的变化趋势，若数列单调递增且上界有限，或数列单调递减且下界有限，可判断该数列为收敛数列。

3. 递推关系法：当数列的通项公式较难推导时，可通过数列的递推关系判断其收敛性。

递推关系法思路是通过递推公式不断迭代计算数列的项，直至数列趋于稳定。

递推关系法需要根据数列的特点，寻找递推公式，并进行递归计算，直到数列的项逐渐趋于稳定。

数列极限与收敛性数列是高等数学中重要的概念之一，它在数学分析、微积分等学科中有广泛的应用。

概括地说，数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

在研究数列的过程中，我们经常会关注数列的极限和收敛性。

1. 数列极限的定义和性质我们首先来定义数列的极限。

设有一个数列{an}，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，对所有的n，都有|an - a|< ε成立，则我们称数列{an}以a为极限，记作lim(an) = a。

基于极限的定义，我们可以得到以下重要性质：- 数列极限的唯一性：如果数列{an}以a为极限，又以b为极限，则a=b。

- 有界性与无穷性：若数列{an}以a为极限，则{an}必有界；反之，若{an}有界，则必存在极限（不一定是唯一的）。

- 夹逼准则：设对于数列{an}、{bn}和{cn}，若对所有的n，都有an ≤ bn ≤ cn成立，并且lim(an) = lim(cn) = a，则有lim(bn) = a。

2. 数列的收敛性和发散性基于数列极限的概念，我们可以进一步讨论数列的收敛性和发散性。

如果一个数列{an}存在极限，我们称该数列是收敛的；反之，如果不存在极限，我们称该数列是发散的。

- 收敛数列的特点：收敛数列{an}具有以下特点：a. 有界性：收敛数列{an}必定有界。

b. 极限唯一性：收敛数列的极限是唯一的。

c. 极限与数列值的关系：收敛数列的极限必定是其所有数列值（部分项）的聚点。

- 发散数列的特点：发散数列{an}具有以下特点：a. 无界性：发散数列{an}不一定无界，但至少存在一个子列无界。

b. 相对散列性：如果{an}存在子数列{an(k)}不收敛，则{an}发散。

c. 对偶性：对于发散数列{an}，取负号的数列{-an}也是发散数列。

3. 数列收敛的充分条件收敛数列的充分条件是数列的 Cauchy 准则。

根据 Cauchy 准则，数列{an}收敛的充分必要条件是：对于任意正实数ε，存在正整数N，使得当m、n都大于N时，有|am - an| < ε。

第四节极限的基本性质第一章证 (用反证法).b a <一、唯一性定理1.1 (极限的唯一性)a x n n =∞→lim))(lim 0x f x x →),(lim (x f x ∞→或2ba+ <n x>区间长度为1矛盾！二、有界性定义例如:例如,{}1)1(+-n 虽有界但不收敛数列关系：收敛 有界反之未必成立 .)(lim x f x ∞→如果极限存在, 则必存在 X> 0是有界的.使得当{}n x {}n x 时，函数),(),(+∞--∞∈X X x 无界数列必发散.1.2'(函数极限的局部有界性)类似地，R ,)(lim 0∈=→A A x f x x 若.),()(0上有界在δx U x f ,0>∃δ则三、 保号性、保序性定理1.3 (收敛数列的保号性)，*∈∃N N n > N .0>n x (<)(<)>,lim a xn n =∞→(<)(≤)>0>-a a 用反证法证明.a x n n =∞→lim )0，且.0>a .01lim lim ==∞→nx n n但据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号据此，可由函数在该点邻域内的符号推得极限符号,)时,A 且存在),,(0δx U据此，可由极限符号推得函数在该点邻域内的符号据此，可由该点邻域内函数的符号推得极限的符号不能！k n x 子数列k 原{ x n }k n 四、 收敛数列与其子数列的关系1. 子数列的概念}{kn x kn x ...,...,,,21kn n n x x x ：}{kn x五、 函数极限与数列极限的关系)(lim 0x f x x →}{n x 0x 如果极限存在,为函数 f (x )的敛于的数列, 且满足:),Z (0+∈≠n x x n 那么相应的函数值数列)}({n x f 必收敛, 且).(lim )(lim 0x f x f x x n n →∞→=的定义域内任一收定理1.4'(函数极限与数列极限的关系)x xysin =)0→2° 常利用此定理来说明函数极限不存在 .方法1 找一个数列{}:n x ,0x x n ≠,)(0∞→→n x x n 且不存在 .)(lim n n x f ∞→说明方法2 找两个趋于0x 的不同数列{}n x 及{},nx '说明)(lim n n x f ∞→).(lim n n x f '≠∞→012≠+π2,1(=n 有界函数未必有极限.内容小结思考题方法1.方法2.设,lim a x n n =∞→由递推式两边取极限得aa 21+=1-=a 不对!。

数列与级数的收敛定理与应用分析在数学中，数列与级数是非常重要的概念。

数列是由一系列按照规律排列的数字组成的序列，而级数则是将数列中的各个项相加得到的结果。

在研究数列与级数时，我们常常关注它们的收敛性质及其应用。

一、数列的收敛定理数列的收敛定理是数学分析中的基本内容之一，它描述了数列趋于某个极限的性质。

常见的数列收敛定理有极限存在准则、单调有界数列定理和柯西收敛原理。

首先是极限存在准则。

对于一个数列来说，如果这个数列有一个极限存在，那么它一定是收敛的。

也就是说，如果一个数列能够有一个有限的极限，那么我们可以说这个数列是收敛的。

其次是单调有界数列定理。

这个定理给出了判断数列是否收敛的方法。

如果一个数列是递增的且有上界，或者是递减的且有下界，那么这个数列一定是收敛的。

最后是柯西收敛原理。

柯西收敛原理是判断数列是否收敛的重要工具。

对于一个数列来说，只有当它的任意两个项之间的差随着项的增加而趋近于0，即满足柯西收敛准则时，才能说这个数列是收敛的。

二、级数的收敛定理级数的收敛定理是研究级数收敛性质的基本理论。

常见的级数收敛定理有正项级数判别法、比值判别法和根值判别法。

首先是正项级数判别法。

对于一个级数来说，如果它的每一项都是非负数，且级数的部分和是有上界的，那么我们可以说这个级数是收敛的。

其次是比值判别法。

比值判别法给出了判断级数是否收敛的方法。

对于一个级数来说，如果这个级数的项的比值的极限存在且小于1，那么这个级数是收敛的。

最后是根值判别法。

根值判别法也是一种判断级数是否收敛的方法。

对于一个级数来说，如果这个级数的项的根值的极限存在且小于1，那么这个级数是收敛的。

三、数列与级数的应用分析数列与级数的收敛定理在实际问题中有着广泛的应用。

其中一些典型的应用包括无穷级数求和、函数展开成级数以及几何、物理等领域中的应用。

在无穷级数求和中，我们可以利用收敛级数的性质对其进行求和。

例如，利用调和级数的性质，我们可以得到调和级数的和为无穷大。