第05讲收敛数列性质 四则运算

§2.2 收敛数列的性质教学内容：第二章 数列极限——§2.2 收敛数列的性质 教学目标：熟悉收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法.教学要求：（1）使学生理解并能证明数列性质、极限的唯一性、局部有界性、保号性、保不等式性；（2）掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理，并会用这些定理求某些收敛数列的极限.教学重点：迫敛性定理及四则运算法则及其应用. 教学难点：数列极限的计算. 教学方法：讲练结合. 教学过程： 引 言上节引进“数列极限”的定义，并通过例题说明了验证lim n n a a →∞=的方法，这是极限较基本的内容，要求掌握.为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题.还需要对数列的性质作进一步讨论.一、收敛数列的性质性质1（极限唯一性） 若数列}{n a 收敛，则它的极限唯一.证法一 假设b a 与都是数列}{n a 的极限，则由极限定义，对0>∀ε，12,N N ∃∈，当1N n >时，有 ε<-a a n ； 2N n >时，有 ε<-b a n . 取),m ax (21N N N =，则当N n >时有ε2|||||)()(|||<-+-≤---=-b a a a a a b a b a n n n n ，由ε的任意性，上式仅当b a =时才成立. 证法二 （反证）假设}{n a 极限不唯一，即至少有两个不相等的极限值，设为b a ,aa n n =∞→lim ， b a n n =∞→lim 且b a ≠故不妨设b a <，取02>-=ab ε， 由定义，1N ∃∈，当1N n >时有ε<-a a n ⇒2b a a a n +=+<ε.又2N ∃∈，当2N n >时有 ε<-b a n⇒2b a b a n +=->ε，因此，当),m ax (21N N n >时有 n n a ba a <+<2 矛盾，因此极限值必唯一. 性质2（有界性） 如果数列}{n a 收敛，则}{n a 必为有界数列.即0>∃M ，使对n ∀有 Ma n ≤||证明 设aa n n =∞→lim 取1=ε，0>∃N 使得当N n >时有 1<-a a n即1||||||<-≤-a a a a n n⇒1||||+<a a n . 令|)|,|,||,||,|1m ax (21N a a a a M +=则有对n ∀Ma n ≤||即数列}{n a 有界.注：①有界性只是数列收敛的必要条件，而非充分条件，如})1{(n-. ②在证明时必须分清何时用取定ε，何时用任给ε.上面定理3.2证明中必须用取定ε，不能用任给ε，否则N 随ε在变，找到的M 也随ε在变，界M 的意义就不明确了.性质3（保序性） 设aa n n =∞→lim ，ba n n =∞→lim ，(1) 若b a >，则存在N 使得当N n >时有nn b a >;(2) 若存在N ，当N n >时有nn b a ≥，则b a ≥（不等式性质）.证明 （1）取02>-=b a ε，则存在1N ，当1N n >时2||ba a a n -<-,从而22ba b a a a n +=-->.又存在2N ，当2N n >时2||b a b b n -<-⇒22ba b a b b n +=-+<⇒ 当),m ax (21N N n >时n n a ba b <+<2.（2）（反证）如b a <，则由⑴知必N ∃当N n >时nn b a >这与已知矛盾.推论（保号性） 若ba a n n >=∞→lim 则N ∃，当N n >时b a n >.特别地，若0lim ≠=∞→a a n n ，则N ∃，当N n >时n a 与a 同号.思考 如把上述定理中的nn b a ≥换成nn b a >，能否把结论改成nn n n b a ∞→∞→>lim lim ？例 设≥n a （ ,2,1=n ），若a a n n =∞→lim ，则a a n n =∞→lim证明 由保序性定理可得 0≥a .若0=a ，则0>∀ε，1N ∃，当1N n >时有2ε<n a ⇒ε<n a 即aa n n ==∞→0lim .若0>a ，则0>∀ε，2N ∃，当2N n >时有 εa a a n <-||⇒ε<-≤+-=-aa a aa a a a a n n n n |||||| .数列较为复杂，如何求极限？ 性质4（四则运算法则） 若}{n a 、}{n b 都收敛，则}{n n b a +、}{n n b a -、}{n n b a 也都收敛，且nn n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim )(lim ，nn n n n n n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim .特别地，nn n n a c ca ∞→∞→=lim lim ，c 为常数如再有0lim ≠∞→n n b 则}{nn b a也收敛，且n n nn nn n b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim .证明 由于nn n n b a b a )1(-+=-，nn n n b a b a 1⨯=，故只须证关于和积与倒数运算的结论即可.设aa n n =∞→lim ，bb n n =∞→lim ，0>∀ε，1N ∃，当1N n >时 ε<-a a n ；2N ∃，当2N n >时ε<-b b n ,取),m ax (21N N N =，则当N n >时上两式同时成立. （1）|||||||||)()(|||b b a b a a b b a b a a ab b a n n n n n n n n -+-≤-+-=-,由收敛数列的有界性，0>∃M ，对n ∀有Mb n ≤||故当N n >时，有ε|)|(||a M ab b a n n +<-,由ε的任意性知ab b a n n n =∞→lim .（2） 0lim ≠=∞→b b n n .由保号性，00>∃N 及0>k ，对0N n >∀有k b n >||（如可令2||b k =）.取),m ax (20N N N =，则当N n >时有|||||||||||11|b k b k b b b b b b b b n n n n ε<-<-=-,由ε的任意性得b b nn 11lim=∞→ . 用数学归纳法，可得有限个序列的四则运算：∑∑=∞→=∞→=Nk k nn Nk k nn x x1)(1)(lim lim ，∏∏=∞→=∞→=Nk k nn Nk k nn x x1)(1)(lim lim .但将上述N 换成∞，一般不成立.事实上∑∞=1k 或∏∞=1k 本身也是一种极限，两种极限交换次序是个非常敏感的话题，是高等分析中心课题，一般都不能交换，在一定条件下才能交换，具体什么条件，到后面我们会系统研究这个问题.性质5（两边夹定理或迫敛性） 设有三个数列}{n a 、}{n b 、}{n c ，如N ∃，当N n >时有nn n b c a ≤≤，且∞→n lim =n a ∞→n lim l b n=，则∞→n lim lc n=.证明 ∞→n lim =n a ∞→n lim lb n=⇒0>∀ε，21,N N ∃, 当1N n >时， εε+<<-l a l n ；当2N n >时，εε+<<-l b l n ,取),,m ax (210N N N N =，则当N n >时以上两式与已知条件中的不等式同时成立，故有N n >时 εε+<≤≤<-l b c a l n n n ⇒ε<-||l c n 即∞→n lim l c n =.该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法，而且也给出了一个求极限的方法.推论 若N ∃，当N n >时有n n b c a ≤≤（或a c b n n ≤≤）且a b n n =∞→lim ，则a c n n =∞→lim . 例 求证∞→n lim0!=n a n（0>a ）.证明 k ∃∈使得a k >，从而当k n >时有<0!n a n n ak a n a k a k a a a k ⨯≤⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=!121 , 由于∞→n lim n a k a k ⋅!=!k a k ∞→n limn a 0= 由推论即可得结论.例 设1a ，2a ，…，m a 是m 个正数，证明∞→n lim ),,,max(2121m n n m n n a a a a a a =++.证明 设),,m ax (21m a a a A =，则 ≤A nnm n n a a a ++21A m n ≤1>m ⇒∞→n lim n m1=，由迫敛性得结论. 例1 )1(1lim>=∞→a a nn .在证明中, 令01>-=nn a h ， nn h a )1(+=，得n ah n <<0，由此推出0→n h .由此例也看出由n n n y z x <<和nn n n y a x ∞→∞→==lim lim , 也推出a z n n =∞→lim .例2 证明1lim=∞→nn n .证明 令 n nh n +=1,)3(2)1(2)1(1)1(22>-≥++-++=+=n h n n h h n n nh h n nnn n n n n ，120-<<n h n两边夹推出 0→n h ，即1→nn .在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则.下举几例:例3 求极限 93164lim 22++++∞→n n n n n .解 3434lim 93164lim 22911622=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n .例4 求极限 )10()1(lim <<+++∞→a a a n n .解 a a a a a n n nn -=--=+++∞→∞→1111lim )1(lim . 例5 )11(lim )13(lim 1lim 13lim )113(lim n n n n n n n n n n n n n n n ++=++=+⨯+∞→∞→∞→∞→∞→313)1lim 1lim )(1lim 3lim (=⨯=++=∞→∞→∞→∞→n n n n n n .例6 求01110111lim b n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ ，k m ≤，0≠m a ，0≠k b . 解 原式=k k k k kk k m m k m m n n b n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim ⎪⎩⎪⎨⎧≠==k m k m b a mm,0,,即有理式的极限⎩⎨⎧0高次，则为分子最高次低于分母最，为最高次系数之比分子分母最高次数相同.如327103542lim 323=---+∞→n n n n n . 例7=-+∞→)1(lim n n nn 11lim112n n →∞===+.例8 设0,>b a ，证明 ),max (limb a b a nn n n =+∞→.证明),max(),max(2),max(),max(b a b a b a b a b a nn n n n n n →≤+≤=. 二、 数列的子列 (一) 引言极限是个有效的分析工具.但当数列{}n a 的极限不存在时，这个工具随之失效.这能说明什么呢？难道{}n a 没有一点规律吗？当然不是! 出现这种情况原因是我们是从“整个”数列的特征角度对数列进行研究.那么，如果“整体无序”，“部分”是否也无序呢？如果“部分”有序，可否从“部分”来推断整体的性质呢？简而言之，能否从“部分”来把握“整体”呢？这个“部分数列”就是要讲的“子列”. (二) 子列的定义定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集N +的无限子集，且123k n n n n <<<<<，则数列12,,,,k n n n a a a称为数列{}n a 的一个子列，简记为{}k n a .注1 由定义可见，{}n a 的子列{}k n a 的各项都来自{}n a 且保持这些项在{}n a 中的的先后次序.简单地讲，从{}n a 中取出无限多项，按照其在{}n a 中的顺序排成一个数列，就是{}n a 的一个子列（或子列就是从{}n a 中顺次取出无穷多项组成的数列）.注2 子列{}k n a 中的k n 表示k n a 是{}n a 中的第k n 项，k 表示 k n a 是{}k n a 中的第k 项，即{}k n a 中的第k 项就是{}n a 中的第k n 项，故总有k n k >. 特别地，若k n k =，则k n n a a =，即{}{}k n n a a =.注 3 数列{}n a 本身以及{}n a 去掉有限项以后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列.如{}{}221,k k a a -都是{}n a 的非平凡子列.由上节例知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.那么数列{}n a 的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢？此即下面的结果：定理2.8 数列}{n a 收敛的充要条件是：}{n a 的任何非平凡子列都收敛． 证明 必要性: 设}{,lim k n n n a a a =∞→是}{n a 的任一子列．任给0>ε，存在正数N ，使得当Nk >时有.ε<-a a k 由于,k n k ≥故当N k >时有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证明了}{kn a 收敛（且与}{n a 有相同的极限）．充分性: 考虑}{n a 的非平凡子列}{2k a ，}{12-k a 与}{3k a ．按假设，它们都收敛．由于}{6k a 既是}{2k a ，又是}{3k a 的子列，故由刚才证明的必要性，.lim lim lim 362k k k k k k a a a ∞→∞→∞→==(9)又}{36-k a 既是}{12-k a 又是}{3k a 的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→=(10)（9）式与（10）式给出122lim lim -∞→∞→=k k k k a a ．所以由课本例7可知}{n a 收敛．由定理2．8的证明可见，若数列}{n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与}{n a 必收敛于同一个极限．于是，若数列}{n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列}{n a 一定发散．例如数列},)1{(n -其偶数项组成的子列})1{(2n-收敛于1，而奇数项组成的子列})1{(12--k 收敛于1-，从而})1{(n -发散．再如数列}2{sinπn ，它的奇数项组成的子列}212{sinπ-k 即为})1{(1--k ，由于这个子列发散，故数列}2{sin πn 发散．由此可见，定理2．8是判断数列发散的有力工具．。

数列极限四则运算法则的证明数列极限四则运算法则是数学中非常重要的一条定理，它可以帮助我们在进行数列极限运算时更加方便和简化计算。

本文将从定理的定义、证明思路、具体证明过程以及应用等方面进行详细介绍和阐述。

让我们来了解一下数列极限四则运算法则的定义。

数列极限四则运算法则是指在满足一定条件的情况下，对数列的极限进行加、减、乘、除运算，得到的结果仍然是一个数列，并且这个数列的极限等于对原数列的极限进行相应的运算得到的结果。

简单来说，就是对数列的极限进行四则运算，可以直接对数列的极限进行运算，而不需要对数列的每一项进行运算。

接下来，我们来探讨数列极限四则运算法则的证明思路。

证明数列极限四则运算法则的关键在于如何证明对于两个数列极限的和、差、乘积和商，它们的极限分别等于原数列极限的和、差、乘积和商。

我们可以通过数学归纳法来证明这一点，即先证明对于两个数列极限的和，它们的极限等于原数列极限的和，然后再逐一证明差、乘积和商的情况。

然后，让我们来具体证明数列极限四则运算法则。

首先，考虑两个数列{a_n}和{b_n}，它们的极限分别为A和B。

我们要证明数列{a_n+b_n}的极限为A+B。

假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N 时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。

那么对于n>N，有|a_n+b_n-(A+B)|=|(a_n-A)+(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。

由此可得，数列{a_n+b_n}的极限为A+B。

接下来，我们来证明数列{a_n-b_n}的极限为A-B。

同样地，假设存在ε>0，对于任意的N>0，当n>N时，有|a_n-A|<ε/2和|b_n-B|<ε/2成立。

那么对于n>N，有|a_n-b_n-(A-B)|=|(a_n-A)-(b_n-B)|≤|a_n-A|+|b_n-B|<ε/2+ε/2=ε。

§2.2 收敛数列的性质本节主要教学内容：收敛数列的性质；运算法则；子列及其收敛性。

教学方法与设计：性质的证明以保序性为重点，以训练)(N -ε定义为主要目的；多以例题讲解运算法则（包括迫敛性）；子列及其收敛性为本节的难点，以子列的概念和)(N -ε定义突破之。

一、收敛数列的性质1、极限的唯一性：若}{n a 收敛，则它的极限是唯一的。

证明：设b a a a n n n n ==∞→∞→lim ,lim ，则由N -ε定义及P 3例2和P 4习题3知a=b 。

2、有界性：若}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列。

即N n M ∈∀>∃,0有M a n ≤。

证明：设.l i m a n =∞→取N n N N >∀∈∃=,,1ε有.1<-a a n 即a a n +≤1，取{}N a a a a M ,,,,1m a x 21 +=，则N n ∈∀有.M a n ≤注意：有界性只是数列收敛的必要条件而非充分条件。

例如数列{}n)1(-有界但不收敛。

当然：无界⇒发散。

3、保序性：若b b a a n n n n ==∞→∞→lim .lim .且b a <，则N n >∀有n n b a <。

证明：取,0)(21>-=a b ε由N -ε定义有： ε<-⇒>∀∃a a N n N n 11,，即)(21b a a n +<； （1）ε<-⇒>∀∃b b N n N n 22,，即n b b a <+)(21。

（2）取},m ax {21N N N =，则N n >∀有n n b a <。

1o 、推论1：若.lim b a a n n <=∞→则b a N n N n <⇒>∀∃,.2o 、推论2：若0lim <=∞→a a n n ,则.0,<⇒>∀∃n a N n N3o 、推论3：（不等式定理）。

收敛数列性质
1、唯一性：如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。

2、有界性：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。

推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

收敛数列
收敛数列，设数列{Xn}，如果存在常数a（只有一个），对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|<q成立，就称数列{Xn}收敛于a（极限为a），即数列{Xn}为收敛数列。

收敛数列与其子数列间的关系
子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M
若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

如果数列{Xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

收敛级数的四则运算公式收敛级数是数学中一个重要的概念，它描述了一种数列的和是否趋于一个有限的值。

在计算中，我们经常会遇到对收敛级数进行四则运算的情况，即对两个收敛级数进行加减乘除运算。

下面我们就来介绍一下收敛级数的四则运算规则。

一、加法运算：对于两个收敛级数∑an和∑bn，如果它们都收敛，则它们的和级数∑(an+bn)也收敛，并且有如下性质：（1）如果∑an和∑bn都绝对收敛，则∑(an+bn)也绝对收敛；（2）如果∑an和∑bn都条件收敛，则∑(an+bn)也条件收敛。

例如，考虑两个收敛级数∑(1/n^2)和∑(1/n^3)，它们分别是著名的调和级数和。

通过计算可以得知，这两个级数都收敛。

那么它们的和级数∑(1/n^2+1/n^3)是否收敛呢？我们来看一下。

对于级数∑(1/n^2+1/n^3)，我们可以将其拆分为两个级数∑1/n^2和∑1/n^3的和级数。

根据加法运算的性质，只需证明∑1/n^2和∑1/n^3都收敛即可。

对于∑1/n^2，我们知道它是一个收敛的级数，其和为π^2/6。

对于∑1/n^3，我们可以通过积分的方法证明其收敛，具体过程略去。

所以根据加法运算的性质，我们可以得知∑(1/n^2+1/n^3)也收敛。

二、减法运算：对于两个收敛级数∑an和∑bn，如果它们都收敛，则它们的差级数∑(an-bn)也收敛，并且有如下性质：（1）如果∑an和∑bn都绝对收敛，则∑(an-bn)也绝对收敛；（2）如果∑an和∑bn都条件收敛，则∑(an-bn)也条件收敛。

例如，考虑两个收敛级数∑(1/n^2)和∑(1/n^3)，我们已经知道它们都收敛。

那么它们的差级数∑(1/n^2-1/n^3)是否收敛呢？我们来看一下。

对于级数∑(1/n^2-1/n^3)，我们可以将其拆分为两个级数∑1/n^2和∑1/n^3的差级数。

根据减法运算的性质，只需证明∑1/n^2和∑1/n^3都收敛即可。

对于∑1/n^2，我们已经知道它是一个收敛的级数，其和为π^2/6。

收敛发散级数的四则运算
收敛发散级数是统计学中常用的一个重要概念，它可以用来描述一个数列是收
敛还是发散，这也是对数列收敛发散四则运算的基础。

简单地说，收敛发散级数是指一系列数字（或加法和减法）序列收敛和发散，其中，收敛级数代表着数据套用了一定的规律趋向于一个值，而发散级数却表示着数据没有任何的规律趋向于无穷大。

收敛发散级数的四则运算包括加法，减法，乘法和除法。

首先，用加法求收敛
发散级数时，只需将多个级数加起来，若所有级数和收敛到某一值，则该数列是收敛级数，若部分级数和收敛，但结果继续发散，则该数列也是发散级数。

其次，用减法求收敛发散级数时，只需将多个级数依次相减，最终结果无论是否有存在的趋势，都可以看作是收敛级数或发散级数。

紧接着，用乘法和除法求收敛发散级数时，其最终结果都是收敛级数，也就是说，无论有没有原始序列，元素及其数值大小都是固定的，只是顺序不定。

总之，收敛发散级数的四则运算实际上是对数列四则运算的延伸，与数列收敛
发散息息相关，能够有效预测数列未来发展趋势。

数列极限的四则运算法则好嘞，今天咱们聊聊数列极限的四则运算法则。

听起来很严肃，对吧？其实这玩意儿就像你早上喝的豆浆，慢慢喝才有味道。

极限，这个词听上去高大上，其实说白了就是一个数列在无限逼近某个数字时的表现。

就像你追着一只小猫，越追越近，最后它就在你面前停下了。

这就是极限。

咱们得搞清楚，数列是什么东西。

数列就是一个个数字按一定规律排成的队伍。

想象一下，你在吃糖果，巧克力、牛奶糖、果仁糖，一颗接一颗，这些糖果就像数列里的数字。

你一开始可能就吃一颗，但随着时间推移，可能会吃到第十颗、第二十颗，甚至更多。

咱们要知道，每次吃到的新糖果代表数列中的一个数，慢慢地，你就会对它们的味道有个大概的了解。

极限的四则运算就像一场有趣的游戏。

加法、减法、乘法、除法，嘿，听起来是不是很简单？就像你和朋友一起吃火锅，大家分着吃，越吃越快乐。

先说加法，两个数列相加，就像把两盘菜放在一起，嘿嘿，味道更丰盛了。

假如你有两个数列，一个是2、4、6，另一个是3、5、7。

它们的极限分别是6和7，加起来，极限就是13。

这就跟你和朋友一起点了牛肉和虾，最后大家一起分享，肉虾双全，太幸福了。

再说减法，听上去似乎有点伤感。

两个数列相减，就像你从一盘菜里拿走一部分，虽然有点遗憾，但味道还是不错的。

比如说，数列A的极限是10，数列B的极限是4，AB的极限就是6。

别忘了，生活中总会有些失去，重要的是珍惜眼前的美好。

然后，咱们谈谈乘法，嘿，这个可真是让人激动。

两个数列相乘，就像把你最爱的两种口味的冰淇淋混合在一起。

假如一个数列的极限是2，另一个是3，它们的乘积的极限就是6。

这就像你吃到巧克力和香草的组合，哇，简直是味蕾的狂欢，幸福感直线飙升。

别忘了除法。

这个有点儿小心翼翼，毕竟不是所有的数都能被完美地分开。

就像你和朋友一起分披萨，不能让某个人分到0片，那可就没法玩了。

如果数列A的极限是8，B的极限是2，A除以B的极限就是4。

记住，除法的时候一定得小心，确保分母不是零，不然就得抓瞎。

收敛与发散四则运算
收敛与发散四则运算，是指利用数学知识进行收敛和发散的运算，从而获得有益的结果。

收敛与发散四则运算是一种比较复杂的运算，涉及到许多学科和知识，例如数学、统计学、计算机科学等等。

收敛与发散四则运算的基本原理是：通过计算机程序，根据一定的输入，得到一定的输出，从而达到收敛和发散的效果。

收敛指的是一种计算过程，当输入的变量变化，输出的值也会随之变化，但是变化的幅度会随着输入变量的变化而变小，最终形成一个稳定的状态。

发散指的是一种计算过程，当输入的变量变化，输出的值也会随之变化，但是变化的幅度会随着输入变量的变化而变大，最终形成一个不稳定的状态。

收敛与发散四则运算的应用非常广泛，在计算机科学、号处理、机器研究和机器人技术等领域都有广泛的应用。

比如，在机器研究领域，收敛与发散四则运算可以用来模拟人脑，从而帮助开发机器研究算法，以便机器能够自动研究和推理。

在号处理领域，收敛与发散四则运算可以用来模拟号传输过程，从而获取有用的息，提高号传输的效率。

§2 收敛数列的性质之杨若古兰创作Ⅰ. 教学目的与请求数列的独一性、有界性、保号性、保不等式性，并会利用这些性质证实相干命题.极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求数列极限. 3．把握数列极限迫敛性定理 、数列与其子列的收敛关系，会利用其讨论数列的收敛性. Ⅱ.教学重点与难点:重点:收敛数列的性质.难点: 收敛数列的性质的证实及其利用. Ⅲ. 讲授内容收敛数列有如下一些主要性质：定理2．2(独一性) 若数列}{n a 收敛，则它只要一个极限．证设a 是}{n a 的一个极限．我们证实：对任何数b a b ,≠不是}{n a 的极限．事实上，若取||21a b -=ε，则按定义'1，在U(a );0ε以外至少只要}{n a 中无限个项，从而在U(0;εb )内至少只要{}n a 中无限个项；所以b 不是}{n a 的极限．这就证实了收敛数列只能有一个极限．一个收敛数列普通含有没有量多个数，而它的极限只是一个数．我们单凭这一个数就能精确地估计出几乎全体项的大小．以下收敛数列的一些性质，大都基于这一事实．定理2．3(有界性) 若数列}{n a 收敛，则}{n a 为有界数列，即存在负数M ，使得对一切正整数有证 设a a n n =∞→lim 取1=ε，存在负数N ，对一切n >N 有1||<-a a n 即 .11+<<-a a a n记 |},1||,1||,||,||,max{|21+-=a a a a a M N 则对一切正整数n 都有na ≤M．注 有界性只是数列收敛的须要条件，而非充分条件．例如数列(){}n 1-有界，但它其实不收敛．定理2.4 (保号性) 若0lim >=∞→a a n n (或<0)，则对任何),0(a a ∈'(或a '))0,(a ∈，存在负数N，使得当N n >时有a a n '>(或a a n '<)．证 设0>a ．取a a '-=ε(>0)，则存在负数N ，使得当N n >时有a a n >a '=-ε，这就证得结果．对于0<a 的情形，也可类似地证实．注 在利用保号性时，经常取2a a ='.定理2.5(保不等式性) 设{}n a 与{}n b 均为收敛数列．若存在负数0N ，使得当0N n >时，有n n b a <，则.lim lim n n n n b a ∞→∞→≤ 证 设,0.lim ,lim >==∞→∞→ε任给b b a a n n n n 分别存在负数n N N ，使得当与211N >时，有n a a <-ε， （1）当2N n >时有ε+<b b n . (2)取{}210,,max N N N N =，则当Nn >时，按假设及不等式(1)和(2)有由此得到.2ε+<b a 由的ε任意性推得b a ≤，即≤∞→n n a lim.lim n n b ∞→ 请先生n n b a ≤换成严酷不等式<n a n b ，那么能否把结论换成?lim limn n n n b a ∞→∞→<，并给出理由 . 例1 设() ,2,10=≥n a n ．证实：若,lima a n n =∞→则.lim a a n n =∞→ （3）证 .0≥a若0=a ，则由0lim =∞→n n a ，任给0>ε，存在负数N，使得当Nn >时有<n a 2ε，从而ε<n a 即,0ε<-n a 故有.0lim =∞→n n a若0>a ，则有aa a aa a a a a n n n n -≤+-=-.任给0>ε，由a a n n =∞→lim ，存在负数N ，使得当N n >时有从而ε<-a a n ．(3)式得证．定理 7.2(迫敛性) 设收敛数列{}{}n n b a ,都觉得a 极限，数列{}n c 满足：存在负数0N ，当0N n >时有n n n b c a ≤≤， (4)则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim．证 任给0>ε，由a b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，分别存在负数1N 与2N ，使得当n >1N 时有n a a <-ε， (5)当2N n >时有ε+<a b n ． (6)取{},,,max 210N N N N =，则当N n >时,不等式(4)、(5)、(6)同时成立，即有εε+<≤≤<-a b c a a n n n ．从而有ε<-a c n ，这就证得所要的结果． 定理2．6不但给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限 的工具．例2 求数列{n n }的极限．解 记n n n h n a +==1，这里()10>>n h n ，则有 由上式得 ()1120>-<<n n h n ，从而有 12111-+≤+=≤n h a n n . (7) 数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+121n 是收敛于1的，因对任给的>ε，取221ε+=N ，则当N n >时有ε<--+1121n ．因而，不等式(7)的摆布两边的极限皆为1，故由迫敛性证得1lim =∞→nn n ． 在求数列极限时，常须要使用极限的四则运算法则． 定理2．7(四则运算法则) 若{}n a 与{}n b 为收敛数列，则{}n n b a +，-n a {}n b ，{}n n b a .也都是收敛数列，且有()n n n n n n n b a b a ∞→∞→∞→±=±lim lim lim ，特别当n b 为常数c 时有若再假设0≠n b 及0lim ≠∞→n n b ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 也是收敛数列，且有n n n n nnn b a b a ∞→∞→∞→=lim lim lim.证 因为()n n n n b a b a 1-+=-及nn nnb a b a 1.=，是以我们只须证实关于和、积与倒数运算的结论即可.设,lim ,lim b b a a n n n n ==∞→∞→则对任给的,0>ε分别存在负数1N 与2N ，使得,ε<-n n b a 当,1N n > ,ε<-b b n 当.2N n >取{},,max 21N N N =则当N n >时上述两不等式同时成立，从而有1．()()().lim2b a b a b b a a b a b a n n n n n n n +=+⇒<-+-≤+-+∞→ε 2． ()().b b a b a a b b a b a a ab b a n nn n n n n n -+-≤-+-=- （8）由收敛数列的有界性定理，存在负数M ，对一切n 有Mb n <.因而，当N n >时由（8）式可得()εa M ab b a n n +<-.由ε的任意性，得ab b a n n n =∞→lim .3．因为,0lim ≠=∞→b b n n 根据收敛数列的保号性，存在负数3N ，则当>n 3N 时有b b n 21>.取{},,max 32N N N ='则当N n '>时有 由ε的任意性，这就证得bb n n 11lim=∞→. 例3 求01110111lim b n b n b n b a n a n a n a k k k k m m m m n ++++++++----∞→ ，其中k m ≤，0,0≠≠km b a ．解 以k n -同乘分子分母后，所求极限式化为kk k k kk k m m k m m n n b n b n b b n a n a n a n a ----------∞→++++++++0111101111lim. 当0>α时有0lim=-∞→αn n .因而，当k m =时，上式除了分子分母的第一项分别为m a 与m b 外，期于各项的极限皆为0，故此时所求的极限等于mm b a ；当k m <时，因为()∞→→-n n k m 0，故此时所求的极限等于0．综上所述， 得到 例4 求,1lim+∞→n nn a a 其中1-≠a . 解 若,1=a 则明显有211lim =+∞→n n n a a ;若1<a ,则由0lim=∞→n n a 得若1>a ,则例5求().1limn n nn -+∞→解(),111111++=++=-+nnn n n n n由()∞→→+n n111及例1得最初，我们给出数列的子列概念和关于子列的一个主要定理．定义1 设{}n a 为数列，{}k n 为正整数集+N 的无穷子集，且<<< 21n n , <k n 则数列称为数列{}n a 的一个子列,简记为}{kn a .注1 由定义1可见，{}n a 的子列{}kn a 的各项都选自{}n a ，且坚持这些项在{}n a 中的前后次序．{}kn a 中的第k 项是{}n a 中的第kn 项，故总有k n k≥．实际上{}k n 本人也是正整数列{}n 的子列．例如，子列{}k a 2由数列{}n a 的所有偶数项所构成，而子列{}12-k a 则由{}n a 的所有奇数项所构成．又{}n a 本人也是{}n a 的一个子列，此时k n k=，2,1=k ，.注2 数列{}n a 本人和{}n a 去掉无限项后得到的子列，称为{}n a 的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为{}n a 的非平凡子列．例如{}k a 2和{}12-k a 都是{}n a 的非平凡子列．由上节例8可知：数列{}n a 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有不异的极限．定理2．8 数列{}n a 收敛的充要条件是：{}n a 的任何非平凡子列都收敛．证 须要性 设a a n n =∞→lim ，{}kn a 是{}na 的任一子列．任给0>ε，存在负数N ，使得当N k >时有ε<-a a k ．因为k n k≥，故当Nk >时更有N n k >，从而也有ε<-a a k n ，这就证实了{}kn a 收敛(且与{}n a 有不异的极限)．充分性 考虑{}n a 的非平凡子列{}k a 2，{}12-k a 与{}k a 3．按假设，它们都收敛．因为}{6k a 既是{}k a 2，又是{}k a 3的子列，故由刚才证实的须要性，k k k k k k a a a 362lim lim lim ∞→∞→∞←==． （9）又{}36-k a 既是{}k a 2又是{}k a 3的子列，同样可得.lim lim 312k k k k a a ∞→-∞→= （10）(9)式与(10)式给出所以由上节例7可知{}n a 收敛由定理2．8的证实可见，若数列{}n a 的任何非平凡子列都收敛，则所有这些子列与{}n a 必收敛于同一个极限．因而，若数列{}n a 有一个子列发散，或有两个子列收敛而极限不相等，则数列{}n a 必定发散．例如数列(){}n 1-，其偶数项构成的子列(){}n 21-收敛于1，而奇数项构成的子列(){}121--k 收敛于—1，从而(){}n 1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn ，它的奇数项构成的子列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-π212sink 即为(){}11--k ，因为这个子列发散，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧2sin πn 发散.因而可知，定理2.8是判断数列发散的无力工具．Ⅳ小结与提问:本节请求先生理解把握收敛数列的性质，并利用其讨论相干命题.指点先生对定理的利用作总结.Ⅴ课外功课:P 2、3、5、7、8、9、10.３３。

2收敛数列一、收敛数列的性质定理1 (唯一性) 若数列aₙ收敛，则它的极限是唯一的.证法一：设aₙ有两个极限a和b.若a≠b，则存在a和b和两个不相交的邻域.一方面，当n充分大时，a，后面所有的项全落在a的邻域中：另一方面，当n充分大时，aₙ后面所有的项又全落在b的邻域中，前后矛盾，从而a=b。

证法二：若a和b是aₙ的两个极限,则只要证a=b,即证∀ε>0,有|a-b|<ε.设lim n→∞a n=a n lim n→∞a n=b,则∀ε>0. ∃N₁∈N₊∀n>N₁,有|aₙ−a|< c∃N₂∈N₊,∀n>N₂,有|aₙ−b|<ε当n>N₁且n>N₁时,即取N=max{N₁,N₁},当n>N时,①与②同时成立,从而有|a−b|=|(a−aₓ)+(aₙ−b)|≤|a−aₙ|+|aₙ−b|<c+c=2c,问题得证. (请读者自行完成详细证明过程)定理2 (有界性) 若数列{a₁}收敛，则数列aₙ有界，即3M>0. Vn e N..有|aₙ|<M,证法：由极限定义，从数列的某项a₁起后面所有的项都有界，数列的前N项是有限项，从而可以找到M>0.注：1)定理2等价于：若数列aₙ无界，则数列发散，比如，数列2ⁿ无界，所以它是发散的.2)有界数列不一定收敛，比如，数列(−1)ⁿ有界，但它并不收敛，定理 3 (保序性) 若lim n→∞a n=a lim n→∞b n=b,且a<b , 则∃N∈N₊,∀n>N,有aₙ<bₙ.证法：一方面，由a<b知，存在a和b的两个互不相交的邻域(比如邻域半径可取b−a);另一方面，由数列极限定义知，对任意事先指定的邻域。

3N∈N ,∀n>N, 2有an全落在a的邻域中, 而bₙ全落在b的邻域中.因此，3N∈N ₁,∀n>N,有( aₙ<bₙ.推论1 若 lim n→∞a n =a 与 lim n→∞b n =b,且∃N ∈N ,∀n>N.有 aₙ≤bₙ(aₙ≥bₙ),则 a≤b(a≥b).证法：用反证法。

17 函数、极限与连续第1章然而，尽管ε有任意性，但它一经给出，就应暂时看作固定不变的，以便根据它来求N . 再者，ε既然可以是任何正数，那么它也可用2,3εε或2ε来代替.（2）N 的存在性 N 是与ε有关的正整数，用来刻画保证不等式||n x A ε−<成立需要n 有多大的程度. 一般地，ε越小，N 越大. 定义中重要的是N 的存在性，而不在于它到底取何值. 当N 存在时，它的取值不唯一，可取比它大的任何正整数，因此我们确定时，经常将||n x A −作适当的放大处理，使问题简单化. 同样的，N 也未必要求是正整数，只要是正数即可.（3）收敛数列的简明图形 如果用数轴上的点来表示收敛数列{}n x 的各项，就不难发现：不论正数ε多么小，所以下标大于N 的n x ，都落在A 的一个邻域(,)U A ε内（图1-2-1），而在此邻域之外，至多只有N 项（有限项）.图1-2-1利用收敛数列的简明图形不难推测数列2{}n 与{(1)}n −都是发散的，因为它们不是几乎全体的点（至多有限个点除外）都能聚集在某一个点的任意小邻域内.例1.2.1 证明cos lim0.n n n→=∞ 证 对0ε∀>，要使 cos |cos |||0n n n x A n nε−=−=<， 而|cos |1n n n <，所以只要使1n ε<，即1n ε>. 取正整数1N ε⎡⎤=⎢⎣⎦，当n N >时，总有||n x A ε−<，所以cos lim 0.n n n→=∞ 例1.2.2 设||1q <，证明等比数列 211,,,,,n q q q −的极限为0.证 如果0q =，结论显然. 因此我们只要证明0||1q <<的情形. 由于11||0||,n n n x A q q −−−=−=因此对0ε∀>（01ε<<），要使||n x A ε−<，只要1||n q ε−<. 两边取自然对数，得ln 1.ln ||n q ε>+ 取正整数ln 1ln ||N q ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，当n N >时，有||n x A ε−<，所以1lim 0.n n q −→=∞ 1.2.2 收敛数列的性质定理1.2.1（唯一性） 收敛数列的极限唯一.证 反证法. 假设收敛数列{}n x 有两个不同的极限,A B ，不妨设.A B <由于lim n n x A →=∞，所以对。