收敛数列的性质-课件(ppt·精选)

当 n N 时，必有 0 n n 1 成立
lim n n 1
n
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
n 2 n
lim
n n 1
lim
1
1,
由夹逼定理得
6 绝对值收敛性:
lim a n a, lim a n a .
n n
( 注意反之不成立 ).
0.
lim a n 0, lim a n
n n
推论 设数列 { an } 和 {
bn
n
(6), 收敛数列与其子列的关系.
作业 P33: 1, 2, 3, 4, 6.
定义：在数列x n 中任意抽取无限多项并 保持 的一个数列称为原数列x n 的子数列（或子列）． 这些项在原数列x n 中的先后次序，这样得 到
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
x n1 , x n2 ,, x nk ,
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，
n
am n a1n a0 例3 求 lim n b n k b1n b0 k
m
例4 求
an lim n n a 1
解： 分 a=1， |a|<1， |a|>1 三种 情况 n ( n 1 n ) 例4 求 lim n 解：（分子有理化）
8、子数列的收敛性

详细描述
几何级数是每一项都等于前一项乘以一个固 定比例的数列。数列极限的概念用于计算几 何级数的和，帮助我们了解这种数列的增长
趋势和规律。
05
数列极限的扩展知识
无穷级数的概念
要点一
无穷级数定义
无穷级数是无穷多个数按照一定顺序排列的数列，可以表 示为$sum_{n=0}^{infty} a_n$，其中$a_n$是级数的项。
《高数》数列极限》ppt课件
• 数列极限的定义 • 数列极限的性质与定理 • 数列极限的运算 • 数列极限的应用 • 数列极限的扩展知识
01
数列极限的定义
定义及性质
定义
数列的极限是指当项数n无限增大时 ，数列的项无限趋近的数值。
性质
极限具有唯一性、有界性、局部保序 性等性质。
收敛与发散
收敛
如果数列的极限存在，则称该数列收敛。
单调有界定理
如果数列单调递增且有上界或单调递减且有下界，则 该数列收敛。
反例
举出一些不满足单调有界定理的数列，如无界且无周 期的数列等。
应用
单调有界定理在证明某些数学问题时具有重要应用， 如求函数的极值点等。
柯西收敛准则
柯西收敛准则
数列收敛的充要条件是对于任意 给定的正数$varepsilon$，存在 正整数$N$，使得当$n,m>N$时 ，有$|a_n - a_m|<varepsilon$ 。
幂级数求极限
幂级数求极限的方法
介绍如何利用幂级数的方法求极限，包 括将函数展开为幂级数，并利用幂级数 的性质求极限。
VS
举例说明
通过具体例子演示如何运用幂级数求极限 ，如求lim(x->0) (1+x)^1/x的极限值。

定理 4： 1o 设 lim a n = a , α , β 满足 α < a < β , 那么当
n→ ∞
n 充分大时有 a n > α ; a n < β ;
2 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且 a < b , 那么当
n→ ∞ n→ ∞
n 充分大时有 a n < bn ; 3 o 设 lim a n = a , lim bn = b , 且当 n 充分大时
因此 , an = a + α n , bn = b + β n
并且 lim α
n→∞
n
= lim β n = 0
n→∞
进一步整理
a1bn + a2bn1 + ...... + anb1 n nab + b (α1 +α2 +....αn ) + a ( b1 + b2 + ...... + bn ) + (α1βn + .... +αnβ1 ) = n
例 4 设 a > 0, 求 证 :lim a = 1
n→ ∞
1 n
证明 : 先设 a ≥ 1, 当 n > a 时 , 我们有 1≤ a ≤ n
1 n
1 n 1 n
由于 lim n = 1, 由夹逼定理 , 知
n→ ∞
lim a = 1对 a ≥ 1成立 .
n→ ∞
1 n
再设a ∈ (0, 1), 这时a 1 > 1, 于是
1 lim a = = 1. 1 = n→ ∞ 1 n 1 lim n→ ∞ a
1 n
1

例如：
1，2，3，， n , ; 2 3 4 n1
2, 4, 8, , 2n , ;
1, 1, 1, , (1)n1, ;
2 , 1 , 4 ,, n (1)n1 ,
23
n
均为数列.它们旳一般项依次为：
n
n
,2 1
n
,
1 2n
,
(1)
n1,
n
(1)n1 n
.
数列极限旳定义:
设 {为xn一} 数列，假如存在常数a，对于任意给定旳正 数 (不论 它多么小)，总存在正整数N，使得当n>N时，
lim
n
xn
a，那么a
0(或a
0).
证：设数列{xn}从第N1项起，即当n N1时有xn 0.
若 lim
n
xn
a
0，则由定理3知，
正整数N2 0,当n N2时，有xn 0. 取N max{N1, N2},
当n N时，按假定有xn 0，按定理3有xn 0. 这引起矛盾，所以必有a 0.
证：如果这数列收敛，由定理 1 知
它有唯一的极限，设极限为 lim
n
xn
a.
但是，当n 时，xn无休止地重复1和 1这
两个数；
因xn不可能趋向同一数，因此数列xn 是发散的.
定理2(收敛数列旳有界性):
假如数列{xn收} 敛，那么数列 {一xn}定有界.
证明：
因为数列{xn
}收敛，设
lim
n
xn
第二节 数列旳极限
一、数列极限旳定义 二、收敛数列旳性质
一、数列极限旳定义
极限概念是因为求某些实际问题旳精确解答而产 生旳.例如，我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆 内接正多边形来推算圆旳面积旳措施——割圆术，就 是极限思想在几何学上旳应用.