当前位置：文档之家 › 第41课时 向量的概念与线性运算

第41课时 向量的概念与线性运算

  • 格式：doc
  • 大小：284.32 KB
  • 文档页数：4

江苏省宿迁中学2016届高三数学第一轮复习导学案 编写：纪玉宏 审校：王嘉琨 时间：2015年11月1日

第41课时 向量的概念与线性运算

一．考纲要求

内容 要求

平面向量的有关概念 √

平面向量的线性运算与基本定理 √

二．知识梳理

1.相关概念：向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，相反向量.

2.向量的线性运算：向量的加法，向量的减法

3.共线向量定理：向量(a≠0)a和b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得 .

4.平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组

.

三．基础训练

1.下列说法正确的有 个

(1)若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同．

(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.

(3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝－12.

(4)ABBCCDAD++=

(5)(教材习题改编)在△ABC中，D是BC的中点，则1()2ADABAC=+．

2.给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中真命题的序号是________．

3.已知P，A，B，C是平面内四点，且PAPBPCAC++=，那么PB＝________AP.

4.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的________条件．

5.在▱ABCD中，AB=a，AD＝b，AN＝3NC，M为BC的中点，则MN＝________.(用a，b表示)

江苏省宿迁中学2016届高三数学第一轮复习导学案 编写：纪玉宏 审校：王嘉琨 时间：2015年11月1日

四．合作探究

例1.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足53AMABAC=+，求△ABM与△ABC的面积比为________．

例2.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c，d表示AB,AD.

例3.如图，在△ABC中,1,3ANNC=P是BN上的一点，

若211APmABAC=+则实数m的值为________．

例4.设a，b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，求实数p的值．

四．体验成功

1.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点.则CF可用AD与BE表示为________．

2.如图，在正六边形ABCDEF中，ABCDEF++等于________．

江苏省宿迁中学2016届高三数学第一轮复习导学案 编写：纪玉宏 审校：王嘉琨 时间：2015年11月1日

第41课时 向量的概念与线性运算

同步训练题

1.下列说法正确的个数是 .

（1）平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．

（2）若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.

（3）已知a是已知的平面向量且a≠0.给定向量b，总存在向量c，使a＝b＋c.

（4）已知a是已知的平面向量且a≠0.给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a＝λb＋μc；

（5）已知a是已知的平面向量且a≠0.给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量c和实数λ，使a＝λb＋μc；

2.如图所示，在△ABC中，已知点D在AB边上，且12,3ADDBCDCACBl==+，则λ＝________.

3.如图，在平行四边形OADB中，设OA＝a，OB＝b，BM＝13BC，CN＝13CD.试用a，b表示OM，ON及MN.OM= ;ON= ;MN= .

4.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t=时，a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上.

5.在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交

于G点，设AB＝a，AC＝b，试用a，b表示AG= ..

6.在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若(1),AOxABxAC=+-则实数x的取值范围是________．

7.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|||2|OBOCOBOCOA-=+-则△ABC的形状为________．

8.设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________a＋________b.

9.如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，,OPxOAyOB=+

且2BPPA=，则x＝________，y＝________.

江苏省宿迁中学2016届高三数学第一轮复习导学案 编写：纪玉宏 审校：王嘉琨 时间：2015年11月1日

10.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若12DEABACll=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

11已知,OAOB不共线,设OPaOAbOB=+，,ab均为实数.求证：1ab+=的充要条件是,,ABP三点共线.

12.如图所示，在△ABO中,11,,42OCOAODOB==AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表示向量OM.

13.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外一点D，若OCmOAnOB=+，求m＋n的取值范围．

合集下载

平面向量的概念及线性运算(优质课)教案

平面向量的概念及线性运算(优质课)教案

1.6平面向量的基本概念与线性运算（优质课）

教案

教学目标：

1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；

2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．

3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.

教学过程：

*创设情境 兴趣导入

如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？

图7－1

一、平面向量的概念：

1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如

质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位

移等．

平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度

表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面

向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作

AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，

记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作

a．

图7－2

2、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,

AB的模依次记作a，

AB．

3、 零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．

4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．

5、 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组

平行向量都可以移到同一直线上． a

A B

规定：0与任一向量平行．

6、 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．

7、相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量

仍是零向量．

二、平面向量的基本运算：

一般地，a＋b叫做a, b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l ＝a＋ b，则

称l可以用a，b线性表示．

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．

1、三角形法则：

位移

AC叫做位移

AB与位移

BC的和，记作

AC=

AB+

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型(解析版)

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型(解析版)

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型

【考点分析】

考点一：向量的基本概念

①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．

②向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，叫做向量的模，记作||AB．

③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

④单位向量：长度等于1个单位的向量．

⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．

⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量．

⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量．

考点二：向量的线性运算和向量共线定理

①向量的线性运算

运算 定义 法则（或几何意义） 运算律

加法 求两个向量和的运算

三角形法则 平行四边形法则 ①交换律

abba

①结合律

()abc=()abc

减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 ()abab

数乘 求实数与向量a的积的运算 (1)||||||aa

(2)当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相同；

当0时，0a ()()aa

()aaa

()abab

考点三：向量共线定理

①如果ab且0b，则ab∥；反之ab∥且0b，则一定存在唯一一个实数，使ab．

推论：

①三点A，B，C共线AB，AC共线（功能：证明三点共线）；

①向量PA，PB，PC中三个向量的终点A，B，C共线存在实数，使得PAPBPC，且a+bbaa+bbabaa-b1.

①BDDC，111ADACAC．

【题型目录】

题型一： 平面向量的概念

题型二： 平面向量的加法、减法

题型三： 平面向量的线性运算与共线定理

题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状

【典型例题】

题型一： 平面向量的概念

【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等.其中正确的有（ ）

第五章 平面向量

第五章 平面向量

仁荣中学2019届高三文科数学一轮复习导学案------专题五 平面向量

1

第一节 平面向量的概念与线性运算

一、知识梳理

1. 向量的有关概念

(1).向量:既有 ,又有 的量叫向量;通常记为 ;长度为 的向量是零向量,记作: ; 的向量,叫单位向量.

(2).平行向量(或共线向量)记作: ;规定:零向量与任何向量 .

(3).相等向量:

(4).相反向量:

2.向量 加法与减法

(1).向量加法按 法则或 法则;

向量加运算律:交换律: ;结合律:

(2).向量减法作法:

3.实数与向量的积

(1). 实数与向量a的积是一个向量,记作,它的长度与方向规定如下：

长度：

方向：

(2)．运算律

4.共线定理:

5.平面向量基本定理:

6.基底:

二、考点分析

考点一：平面向量的基本概念

例1．给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a=b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a=b，b=c，则a=c； ④a=b的充要条件是|a|=|b|且a//b；

⑤ 若a//b，b//c，则a//c；

其中正确的序号是 。

例2：设0a为单位向量，

（1）若a为平面内的某个向量，则a=|a|·0a;

(2) 若a与a0平行，则a=|a|·0a；

（3）若a与0a平行且|a|=1，则a=0a。上述命题中，假命题个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

4.1平面向量的概念及其线性运算

4.1平面向量的概念及其线性运算

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

第一节 平面向量的概念及其线性运算

2019考纲考题考情

1．向量的有关概念

名称 定义 备注

向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量 长度为零的向量，其方向是任意的 记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2.向量的线性运算

向量

运算 定义 法则

(或几何意义) 运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则 (1)交换律：

a＋b＝b＋a。

(2)结合律：

(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)。

减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；

(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a；

(λ＋μ)a＝λa＋μa；

λ(a＋b)＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa。

1．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP→＝12(OA→＋OB→)。 2.OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1。

3．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件。要特别注意零向量的特殊性。

一、走进教材

1．(必修4P86例4改编)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，则DC→＝________，BC→＝________。(用a，b表示)