第32讲 平面向量的概念及线性运算

1.6平面向量的基本概念与线性运算（优质课）教案教学目标：1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.教学过程：*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1一、平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．BaA图7－22、向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：与向量a 长度相等且方向相反的向量叫做a 的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．二、平面向量的基本运算：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合（其中λ,μ均为系数）．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ，b 线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．1、三角形法则：位移AC 叫做位移AB 与位移BC 的和，记作AC =AB +BC ．一般地，设向量a 与向量b 不共线，在平面上任取一点A (如图7－6)，依次作AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量a 与向量b 的和，记作a ＋b ，即 a ＋b =AB ＋BC =AC （7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则． 2、平行四边形法则：如图7－9所示， ABCD 为平行四边形，由于AD =BC ，根据三角形法则得AB ＋AD =AB ＋BC =AC这说明，在平行四边形ABCD 中， AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质： （1）a ＋0 = 0＋a = a ； a ＋（−a ）= 0； （2）a ＋b =b ＋a ；图7－7ACBaba +bab图7－9ADCB（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c ）． 3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a 与向量b 的负向量的和定义为向量a 与向量b 的差．即a −b = a ＋(−b )．设a =OA ，b =OB ，则()= OA OB OA OB OA BO BO OA BA −=+−+=+=．即 OA OB −=BA （7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a 、 b ，其差a －b 仍然是一个向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b 的终点，终点是被减向量a 的终点．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3）若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4） 一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=−=−a a a a ，　；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４　．aAa -bBbO图7－13题型1 平面向量的基本概念 例1 给出下列六个命题：① 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ② 若|a |＝|b |，则a ＝b ；③ 若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； ④ 在ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤ 若m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ； ⑥ 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中错误的命题有________．(填序号) 答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a |＝|b |，由于a 与b 方向不确定，所以a 、b 不一定相等，故②不正确；AB →＝DC →，可能有A 、B 、C 、D 在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a ∥b ，b ∥c 时，若b ＝0，则a 与c 不一定平行，故⑥不正确．例2 在平行四边形ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点． （1）找出与向量DA 相等的向量； （2）找出向量DC 的负向量； （3）找出与向量AB 平行的向量．分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解 由平行四边形的性质，得 （1）CB =DA ；（2）BA =DC −,CD DC =−； （3）BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ．练习：1． 如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写出ADCB图7－5O（1）与EF 相等的向量；（2）与AD 共线的向量．2．如图，O 点是正六边形ABCDEF 的中心，试写出 （1）与OC 相等的向量； （2）OC 的负向量； （3）与OC题型2 向量的线性表示例3 一艘船以12 km/h 的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h ，求该船的实际航行速度．解 如图7－10所示，AB 表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC =+=22125+=13．又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723CAD '∠≈︒1． 即船的实际航行速度大小是13km/h ，其方向与河岸线(水流方向)的夹角约6723'︒．*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物体的重力为k ，两条绳子与垂线的夹角为θ，求物体受到沿两条绳子的方向的拉力1F 与2F 的大小．分析 由于两条同样的绳子与竖直垂线所成的角都是θ，所以12F F =．解决问题不考虑其它因素，只考虑受力的平衡，所以12F F k +=−.解 利用平行四边形法则，可以得到1212cos F F F k +==θ，所以12cos k F =θ．练习：1． 如图，已知a ，b ，求a ＋b ．F AD BE C（练习题第1题图EFAB C DO （图1－8）第2题图 A BDC图7－10F 1F 2kθ 图7－112．填空（向量如图所示）：（1）a ＋b =_____________ ,答案：→AC （2）b ＋c =_____________ ,答案：→BD （3）a ＋b ＋c =_____________ ．答案：→AD 3．计算：（1）AB ＋BC ＋CD ； （2）OB ＋BC ＋CA ． 答案：（1）→AD （2）→OA例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量a －b ．解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O 为起点，作OA =a ，OB =b ，连接BA ，则向量BA 为所求的差向量，即BA = a －b ． 练习：1．填空：（1）AB AD −=_______________，答案：→DABbOaAba（1）（2）图7－14（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图（2）BC BA −=______________，答案：→AC （3）OD OA −=______________．答案：→AD2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．解：AC =a+b ，BD =b-a,DB =a －b例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD . 解 ：AC ＝a ＋b ,BD ＝b −a ， 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以 1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，OD ＝12BD ＝12（b −a ）＝−12a +12b ．练习：1． 计算：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）；（2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）．解：（1）3（a −2 b ）－2（2 a ＋b ）=3a -6b-4a-2b=4 b-a （2）3 a −2（3 a −4 b ）＋3（a −b ）=-11b2．设a , b 不共线，求作有向线段OA ，使OA ＝12（a ＋b ）． 解：如图所示。

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ，　；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４　． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。

2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示 λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示 如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ )(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ )(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × )(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ )(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × )题组二 教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示)答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________．答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.。

§5.1平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念2.3.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得______.[难点正本疑点清源]1.向量的两要素向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小.2.向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.→－QP→＋MS→－MQ→的结果为________.1.化简OP→＝a，AD→＝b，则BE→＝____________.2.在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB3.下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________.→＋BP→＋CP→＝0，AP→＝λPD→，则实数λ的值为________.4.已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足P A→＋OB→＋OC→＝0，那么()5.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＝OD→ B.AO→＝2OD→A.AO→＝3OD→ D.2AO→＝OD→C.AO题型一平面向量的概念辨析例1给出下列命题：→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是________.探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键.(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈.(5)非零向量a与a|a|的关系是：a|a|是a方向上的单位向量.判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由.(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|＝|b|，且a与b方向相同，则a＝b；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算例2在△ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AD→，AG→.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设AB→＝a，AC→＝b，试用a，b表示AG→.题型三平面向量的共线问题例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立，若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a 、b 不共线.如图所示，△ABC 中，在AC 上取一点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取一点M ，使得AM ＝13AB ，在BN 的延长线上取点P ，使得NP ＝12BN ，在CM 的延长线上取点Q ，使得MQ →＝λCM →时，AP →＝QA →，试确定λ的值. 11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(14分)如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.审题视角 (1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去.(2)既然OM →能用a 、b 表示，那我们不妨设出OM →＝m a ＋n b . (3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解. 规范解答解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b . AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b .[3分]又∵A 、M 、D 三点共线，∴AM →与AD →共线. ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →， 即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝⎛⎭⎫－a ＋12b .[5分]∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1＝－t n ＝t 2，消去t 得，m －1＝－2n ， 即m ＋2n ＝1.①[7分]又∵CM →＝OM →－OC →＝m a ＋n b －14a ＝⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ， CB →＝OB →－OC →＝b －14a ＝－14a ＋b .又∵C 、M 、B 三点共线，∴CM →与CB →共线.[10分]∴存在实数t 1，使得CM →＝t 1CB →， ∴⎝⎛⎭⎫m －14a ＋n b ＝t 1⎝⎛⎭⎫－14a ＋b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －14＝－14t 1n ＝t 1，消去t 1得，4m ＋n ＝1.② [12分]由①②得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b .[14分]批阅笔记 (1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A 、M 、D 共线和B 、M 、C 共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会. 方法与技巧1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB →∥BC →，则A 、B 、C 三点共线. 失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.§5.1 平面向量的概念及线性运算(时间：60分钟) A 组 专项基础训练题组一、选择题 1.给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线. 其中错误命题的个数为( )A.1B.2C.3D.42.设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )A.P A →＋PB →＝0B.PC →＋P A →＝0C.PB →＋PC →＝0D.P A →＋PB →＋PC →＝03.已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b .如果c ∥d ，那么 ( )A.k ＝1且c 与d 同向B.k ＝1且c 与d 反向C.k ＝－1且c 与d 同向D.k ＝－1且c 与d 反向 二、填空题4.设a 、b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A 、B 、D 三点共线，则实数p 的值为________.5.在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.6.如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________.三、解答题7.如图，以向量OA →＝a ，OB →＝b 为边作▱OADB ， BM →＝13BC →，CN →＝13CD →，用a 、b 表示OM →、ON →、MN →.8.若a ，b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在同一条直线上？B 组 专项能力提升题组一、选择题1.已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A.△ABC 的内部 B.AC 边所在直线上 C.AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上2.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0，若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m 等于( )A.2B.3C.4D.53.O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP →＝OA →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心二、填空题4.已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是__________(将正确的序号填在横线上).①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ； ②存在相异实数λ、μ，使λ·a ＋μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB →与CD →共线.5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点. 过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的 两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则 m ＋n 的值为______.6.在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝________.7.已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________. 三、解答题8.已知点G 是△ABO 的重心，M 是AB 边的中点. (1)求GA →＋GB →＋GO →；(2)若PQ 过△ABO 的重心G ，且OA →＝a ，OB →＝b ，OP →＝m a ，OQ →＝n b ，求证：1m ＋1n＝3.答案要点梳理1.大小 方向 长度 模 零 0 1个单位 相同 相反 方向相同或相反 平行 相等 相同 相等 相反2.三角形 平行四边形 (1)b ＋a (2)a ＋(b ＋c ) 三角形(1)|λ||a | (2)相同 相反 0 λμa λa ＋μa λa ＋λb 3.b ＝λa 基础自测1.OS →2.b －12a3.①②③4.－25.A题型分类·深度剖析 例1 ②③变式训练1 解 (1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)不正确，因为AB →与CD →共线，而AB 与CD 可以不共线即AB ∥CD .(7)正确.(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等. 例2 解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ；AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b . 变式训练2 解 AG →＝AB →＋BG → ＝AB →＋λBE →＝AB →＋λ2(BA →＋BC →)＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB →＋λ2(AC →－AB →) ＝(1－λ)AB →＋λ2AC →＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG →＝AC →＋CG →＝AC →＋mCF →＝AC →＋m 2(CA →＋CB →)＝(1－m )AC →＋m 2AB →＝m2a ＋(1－m )b ，∴⎩⎨⎧1－λ＝m21－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，∴AG →＝13a ＋13b .例3 (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →、BD →共线，又∵它们有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线.(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0.∴k ＝±1. 变式训练3 12课时规范训练 A 组1.C2.B3.D4.－15.436.3117.解 ∵BA →＝OA →－OB →＝a －b ， BM →＝16BA →＝16a －16b ，∴OM →＝OB →＋BM →＝16a ＋56b .又OD →＝a ＋b ，∴ON →＝OC →＋13CD →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(a ＋b ).∴MN →＝ON →－OM →＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b . 即OM →＝16a ＋56b ，ON →＝23a ＋23b ， MN →＝12a －16b . 8.解 设OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )， ∴AC →＝OC →－OA →＝－23a ＋13b ， AB →＝OB →－OA →＝t b －a .要使A 、B 、C 三点共线，只需AC →＝λAB →.即－23a ＋13b ＝λt b －λa . ∴有⎩⎨⎧ －23＝－λ，13＝λt ，⇒⎩⎨⎧ λ＝23，t ＝12.∴当t ＝12时，三向量终点在同一直线上. B 组1.B2.B3.B4.①②5.26.237.±28.(1)解 ∵GA →＋GB →＝2GM →，又2GM →＝－GO →，∴GA →＋GB →＋GO →＝－GO →＋GO →＝0.(2)证明 显然OM →＝12(a ＋b ). 因为G 是△ABO 的重心，所以OG →＝23OM →＝13(a ＋b ). 由P 、G 、Q 三点共线，得PG →∥GQ →，所以，有且只有一个实数λ，使PG →＝λGQ →.而PG →＝OG →－OP →＝13(a ＋b )－m a ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， GQ →＝OQ →－OG →＝n b －13(a ＋b ) ＝－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b ， 所以⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ＝λ⎣⎡⎦⎤－13a ＋⎝⎛⎭⎫n －13b . 又因为a 、b 不共线，所以⎩⎨⎧13－m ＝－13λ13＝λ⎝⎛⎭⎫n －13， 消去λ，整理得3mn ＝m ＋n ， 故1m ＋1n＝3.。

1． 向量的有关概念名称定义 既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)长度为 的向量；其方向是任 意的备注向量平面向量是自由向量零向量 记作单位向量 长度等于 的向量 非零向量 a 的单位向量为 ±a|a |平行向量 方向 或的非零向量 共线向量的非零向量又叫做共线向量0 与任一向量 或共线相等向量 长度 且方向 的向量 相反向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小 0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算定义 法则 (或几何意义 ) 加法求两个向量和的运算运算律 (1)交换律：a ＋b ＝.(2)结合律： (a ＋ b ) ＋ c ＝.减法求 a 与 b 的相反向量－ b 的和的运算叫做 a 与 b 的差a －b ＝ a ＋(－b )法则平面向量的概念及线性运算OP求实数 λ与向量 a(1)|λa |＝ ；(2)当 λ>0 时， λa 的方向与 a 的方向λ( μa )＝ ； (λ ＋ μ)a ＝数乘的积的运算；当 λ<0 时，λa ；的方向与 a 的方向λ( a ＋ b ) ＝3.共线向量定理；当 λ＝0 时，λa＝a 是一个非零向量，若存在一个实数 λ，使得b ＝ λa ，则向量 b 与非零向量 a 共线．[ 难点正本疑点清源 ]1. 向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小． 2. 向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．1.(课本改编题 ) 化简→ － →QP ＋ →MS － →MQ 的结果为 ．2. 在平行四边形ABCD 中，E 为 DC 边的中点， 且 →AB＝ a ，→AD ＝ b ，则→BE ＝ .3. 下列命题：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；④相等向量一定共线．其中不正确命题的序号是．4.已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点 P 满足 →P A ＋ →BP ＋→CP ＝ 0， →AP ＝ λ→PD ，则实数 λ的值为．5.已知 O 是△ ABC 所在平面内一点， D 为 BC 边中点， 且 2→OA＋ →OB ＋ →OC ＝0，那么 ( )A. →AO ＝ →ODC.→AO＝ 3→OD B.→AO＝ 2→OD D ． 2→AO ＝ →OD题型一 平面向量的概念辨析例 1给出下列命题：①若 |a |＝ |b |，则 a ＝ b ；②若 A ，B ， C ， D 是不共线的四点，则→AB ＝ →DC 是四边形 ABCD为平行四边形的充要条件； ③若 a ＝ b ，b ＝ c ，则 a ＝ c ；④ a ＝b 的充要条件是 |a |＝ |b |且 a ∥ b . 其中正确命题的序号是．AB3探究提高 (1) 正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键．(2) 相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3) 共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(4) 向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图像移动混为一谈．(5) 非零向量 a 与 a 的关系是： a是 a 方向上的单位向量．|a | |a |判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由．(1) 若向量 a 与 b 同向，且 |a |>|b |，则 a>b ；(2) 若|a |＝ |b |，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3) 若|a |＝ |b |，且 a 与 b 方向相同，则 a ＝ b ；(4) 由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5) 若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反；(6) 若向量 →AB 与向量 →CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上；(7) 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8) 任一向量与它的相反向量不相等． 题型二 向量的线性运算 例 2如图，在△ ABC 中， D 、E 分别为 BC 、AC 边上的中点，G 为 BE 上一点，且 GB ＝ 2GE ，设 →AB ＝ a ， →AC ＝ b ，试用 a ， b 表示 →AD ，→AG .探究提高(1) 解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2) 用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．如图，在△ ABC 中， E 、F 分别为 AC 、AB 的中点， BE 与 CF 相交于 G 点，设 →AB ＝ a ， →AC ＝ b ，试用 a ，b 表示 →AG .题型三 平面向量的共线问题例 3设两个非零向量 a 与 b 不共线， (1) 若→ ＝a ＋ b ， →BC ＝ 2a ＋ 8b ， →CD ＝ 3(a － b )，求证： A 、B 、 D 三点共线； (2) 试确定实数 k ，使 k a ＋b 和 a ＋ k b 共线． 探究提高(1) 证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2) 向量 a 、b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使 λ1a ＋ λ2b ＝ 0 成立，若 λ1a ＋ λ2b ＝ 0，当且仅当 λ1＝ λ2＝ 0 时成立，则向量 a 、b 不共线．1如图所示，△ ABC 中，在 AC 上取一点 N ，使得 AN ＝ AC ，2－ 4 a在 AB 上取一点 M ，使得 AM ＝ 1AB ，在 BN 的延长线上取点 P ，使得3NP ＝1BN ，在 CM 的延长线上取点 Q ，使得 →MQ ＝λ→CM 时， →AP ＝→QA ，试确定 λ的值．11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题： (13 分)如图所示，在△ ABO 中， →OC ＝ 1→OA ，→OD ＝ 1→OB ，42AD 与 BC 相交于点 M ，设 →OA＝a ， →OB ＝ b .试用 a 和 b 表示向量 →OM . 审题视角(1) 用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形或三角形中去．(2) 既然 →OM 能用 a 、b 表示，那我们不妨设出 (3) 利用共线定理建立方程，用方程的思想求解． 规范解答 解设→OM ＝ m a ＋ n b ，→OM ＝m a ＋ n b .则→AM ＝→OM － →OA ＝m a ＋n b － a ＝ (m － 1)a ＋ n b . → → → 1→ →1AD ＝OD － OA ＝ 2 OB － OA ＝－ a ＋ 2b . [3 分]又∵ A 、M 、 D 三点共线， ∴ →AM 与→AD 共线． ∴ 存在实数 t ，使得 →AM ＝ t →AD ，1即(m － 1)a ＋ n b ＝t － a ＋ 2b .[5 分]∴ (m － 1)a ＋ n b ＝－ t a ＋ 1t b .2m － 1＝－ t ∴ tn ＝2，消去 t 得， m － 1＝－ 2n ，即 m ＋ 2n ＝ 1.① [7 分]又∵ →CM ＝ →OM －→OC ＝ m a ＋ n b － 1 ＝ m －1 a ＋ n b ，44→CB ＝ →OB －→OC ＝ b － 1 ＝－ 1a ＋b .a4又∵ C 、M 、 B 三点共线， ∴ →CM 与→CB 共线．[10 分]∴ 存在实数 t 1，使得 →CM ＝ t 1→CB ，∴ m 1 4a ＋ nb ＝ t 1 － 1a ＋b ， 4方法与技巧1. 将向量用其它向量 (特别是基向量 )线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础．2. 可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题．如AB ∥ CD ；若 →AB ∥ →BC ，则 A 、 B 、C 三点共线．失误与防范→AB ∥ →CD 且 AB 与 CD 不共线，则1. 解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．2. 在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．∴m － 4＝－ n ＝t 11 1 4 t 1，消去 t 1 得， 4m ＋n ＝ 1. ②[12 分]由①② 得 m ＝ 1， n ＝ 3 7 7 ， ∴ OM ＝ 1 7 a ＋ b 37 .[13 分]批阅笔记(1) 本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度． (2) 学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用待定系数法求解． 形结合思想是向量加法、 解决向量有关问题时， 减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量， (3) 数 因此在多数习题要结合图形进行分析判断求解， 这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题学生易忽视A 、M 、D 共线和B 、M 、C 共线这个几何特征． (4) 方程思想是解决本题的关键，要注意体会．BC课时规范训练一、选择题1. 给出下列命题：(时间： 60 分钟 ) A 组 专项基础训练题组①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝ 0 (λ为实数 )，则 λ必为零；④λ， μ为实数，若 λa ＝ μb ，则 a 与 b 共线． 其中错误命题的个数为 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ．42. 设 P 是△ ABC 所在平面内的一点， →＋ →BA ＝ 2→BP ，则 () A. →PA ＋ →PB ＝0 B.→PC ＋ →P A ＝ 0 C.→PB ＋ →PC ＝0 D.→PA ＋ →PB ＋ →PC ＝ 03. 已知向量 a ， b 不共线， c ＝ k a ＋ b (k ∈ R )，d ＝ a － b .如果 c ∥ d ，那么()A ．k ＝ 1 且 c 与 d 同向B ． k ＝ 1 且 c 与 d 反向C ． k ＝－ 1 且 c 与 d 同向D ．k ＝－ 1 且 c 与 d 反向 二、填空题4. 设 a 、b 是两个不共线向量，→AB＝ 2a ＋ p b ， →BC ＝ a ＋ b ， →CD ＝ a － 2b ，若 A 、B 、D 三点 共线，则实数 p 的值为．5. 在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点，若λ， μ∈R ，则 λ＋ μ＝ .→AC＝ λ→AE ＋ μ→AF ，其中 6. 如图，在△ ABC 中， →AN ＝ 1→NC ， P 是 BN 上的一点，若 32 →AC ，则实数 m 的值为 ．11 三、解答题→AP ＝ m →AB ＋7. 如图，以向量→OA ＝a ， →OB ＝b 为边作 ?OADB ，→BM ＝ 1→BC ， →CN ＝ 1→CD ， 33用 a 、b 表示 →OM 、→ON 、→MN .18. 若 a ， b 是两个不共线的非零向量，a 与b 起点相同，则当 t 为何值时， a ， t b ， 3(a ＋ b )三向量的终点在同一条直线上？nB 组 专项能力提升题组一、选择题1. 已知 P 是△ ABC 所在平面内的一点， 若→CB＝ λ→P A ＋→PB ，其中 λ∈ R ，则点 P 一定在 ( )A ．△ ABC 的内部B ． AC 边所在直线上 C ． AB 边所在直线上D ． BC 边所在直线上2.已知△ ABC 和点 M 满足 →MA＋ →MB ＋ →MC ＝0，若存在实数 m 使得 →AB ＋ →AC ＝ m →AM 成立，则 m 等于()A ．2B ． 3C ． 4D ． 53.O 是平面上一定点， A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：→OP ＝ →OA ＋ →ABλ＋→AC， λ∈ [0 ，＋∞ )，则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的()|→AB | |→AC |A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心二、填空题4.已知向量 a ， b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使 a 、 b 共线的条件是( 将正确的序号填在横线上 )．①2a － 3b ＝4e ，且 a ＋2b ＝－ 3e ； ②存在相异实数 λ、μ，使 λ·a ＋ μ·b ＝0； ③x ·a ＋y ·b ＝ 0(实数 x ， y 满足 x ＋ y ＝0)；④若四边形 ABCD 是梯形，则 →AB 与→CD 共线．5. 如图所示，在△ ABC 中，点 O 是 BC 的中点．过点 O 的直线分别交直线 AB 、AC 于不同的两点 M 、N ，若 →AB ＝ m →AM ， →AC ＝ n →AN ，则m ＋n 的值为．6. 在△ ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若则 λ＝ .→AD ＝ 2→DB ， →CD ＝ 1→CA＋ λ→CB ， 37. 已知直线 x ＋y ＝ a 与圆 x 2＋ y 2＝ 4 交于 A 、B 两点，且 |→OA ＋→OB |＝ |→OA － →OB |，其中 O 为坐标原点，则实数 a 的值为 ．三、解答题8. 已知点 G 是△ABO 的重心， M 是 AB 边的中点． (1) 求→GA＋ →GB ＋ →GO ； (2) 若 PQ 过△ ABO的重心 G ，且 →OA ＝ a ， →OB ＝ b ，→OP ＝ m a ， →OQ ＝ n b，求证： 1 1 ＋ ＝ 3. m( BA 答案要点梳理1．大小 相同 方向 相等 长度 相反 模 零 0 1 个单位相同 相反 方向相同或相反 平行 相等2．三角形 λa ＋ μa 平行四边形 λa ＋ λb(1)b ＋ a (2) a ＋(b ＋ c ) 三角形 (1)|λ||a | (2) 相同 相反 0 λμa基础自测1.→OS12a 3.①②③ 4.－ 2 5.A题型分类 ·深度剖析例 1 ②③变式训练 1 解 (1) 不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小． (2) 不正确，因为向量模相等与向量的方向无关．(3)正确． (4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行． (5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的．(6)不正确，因为→AB 与→CD 共线，而 AB 与 CD 可以不共线即AB ∥CD .(7) 正确． (8) 不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等．例 2 解 →AD ＝ 1(→AB ＋→AC )＝ 1a ＋ 1 ； 2 2 2b→AG ＝→AB ＋ →BG ＝ →AB ＋2→BE 3→ 1 → →＝ AB ＋ 3( BA ＋ BC )＝ 2→AB ＋ 1(→AC － →AB ) 3 3＝ 1→AB ＋ 1→AC ＝ 1 ＋ 1a b .3 3 3 3变式训练 2 解→AG ＝ →AB ＋ →BG＝ →AB ＋ λ→BE ＝→AB ＋ λ→＋ →BC ) 2＝ 1－ λ→AB ＋ λ→－ →AB )( AC22.b － 22＋ ＋ ，6 ， ＝ (1－ λ)→AB ＋ λ→ ＝(1 －λ)a ＋λ 2AC 2b .又 →AG ＝ →AC ＋ →CG ＝→AC ＋ mC →F＝ →AC ＋ m →＋ →CB )2( CA＝ (1－ m)→AC ＋m →AB ＝m a ＋(1 －m)b ，221－ λ＝ m2∴ λ 1－ m ＝2，解得 λ＝m ＝ ，3∴ →AG ＝ 1a ＋1b . 3 3 例 3(1)证明∵→AB ＝ a ＋ b ， →BC ＝ 2a ＋ 8b ， →CD ＝ 3(a －b )，∴ →BD ＝ →BC ＋ →CD ＝2a ＋ 8b ＋3( a － b )＝ 2a ＋8b ＋ 3a －3b ＝ 5(a ＋b )＝5→AB .∴ →AB 、→BD 共线，又 ∵ 它们有公共点B ，∴ A 、B 、D 三点共线．(2) 解 ∵ k a ＋ b 与 a ＋k b 共线，∴ 存在实数 λ，使 k a ＋ b ＝λ(a ＋ k b )， 即 k a ＋ b ＝ λa ＋λk b .∴ (k － λ) a ＝( λ－k 1)b . ∵ a 、b 是不共线的两个非零向量， ∴ k － λ＝ λk － 1＝ 0， ∴ k 2－ 1＝ 0.∴ k ＝ ±1. 变式训练 3 12课时规范训练 A 组1． C 2.B 3.D 4.－6. 3 114 1 5. 37.O →M ＝ 1 5→＝ 2 2 →＝ 1 1a b ON 6 a b MN 3 32a － 6b 8． 解 设→OA ＝ a ， →OB ＝ t b ， →OC ＝ 1 ＋ b )， 3(a ∴→AC ＝ →OC － →OA ＝－ 2a ＋ 1 ，b 3 3t ＝ 23＋＋ a n － →AB ＝→OB － →OA ＝ t b － a . 要使 A 、B 、 C 三点共线，只需→AC ＝ λ→AB .2 即－ a3 1 b ＝ λb t － λa .2 － ＝－ λ，3 ∴有 2 λ＝ 3， ?1＝ λ，t 1 3 2 ∴当 t ＝ 1时，三向量终点在同一直线上． 2 B 组1． B 2． B 3． B24．①② 5． 2 6.7． ±2 8． (1) 解∵ →GA＋ →GB ＝ 2→GM ，又 2→GM ＝－ →GO ，∴→GA ＋ →GB ＋ →GO ＝－ →GO ＋ →GO ＝ 0.(2) 证明显然 →OM ＝ 1(a ＋b )．因为 G 是△ ABO 的重心， → 2→1所以 OG ＝ 3OM ＝ 3(a ＋ b )．由 P 、 G 、 Q 三点共线，得 →PG ∥→GQ ， 所以，有且只有一个实数λ，使 →PG ＝ λ→GQ .而→PG ＝ →OG － →OP ＝1(a ＋ b )－ m a1 1＝ 3－ m a ＋ 3b ，→GQ ＝→OQ － →OG ＝ n b －1(a b )311 3a ＋ n － 3 b ，所以 1－ m a ＋13 3b 1 1 3 3 b . 又因为 a 、b 不共线，＋ 33 ＝－ ＝λ－ .1－ m ＝－ 1λ 3 3 所以 ，消去 λ， 1 1 3＝ λn － 3 整理得 3mn ＝ m ＋ n ，故1 1 ＋ ＝ 3. m n。

平面向量的概念与线性运算知识点.平面向量的有关概念１．向量：既有大小，又有方向的量．２．数量：只有大小，没有方向的量．３．有向线段的三要素：起点、方向、长度．４．零向量：长度为 0 的向量．５．单位向量：长度等于 1个单位的向量．６．平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的 非零 向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上向量的表示法r uuur１．字母表示法：如： a ， AB 等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量uuur３．代数表示法： 在平面直角坐标系中， 设向量 OA 的起点Ｏ是坐标原点， 终点坐标是 （ x ，uuur uuury ），则（ x ， y ）称为 OA 的坐标，记作： OA ＝（ x ， y ） 三．向量的运算１．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．r r r⑶三角形不等式： a r b a r b a r b ．r r r r⑷运算性质：①交换律： a r b b a r ；②结合律： a r b c r a r b c r ； r r r r r③ a 0 0 a a ．r r uuur uuur uuur a b C C ７．相等向量：长度相等且 方向相同 的向量．８．相反向量：长度相等且 方向相反 的向量２．向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设 a ruuur设 、 两点的坐标分别为 x 1,y 1 ， x 2,y 2 ，则 x 1 x 2,y 1 y 2３．向量数乘运算：⑴实数 与向量 a r的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a r ．②当 0 时， a r 的方向与 a r 的方向相同；当 0 时， a r 0r ．⑵运算律：① a r a r ；② r r r r ra a a ；③ ab a⑶坐标运算：设 a r x,y ，则 a r x, y x, y４．向量共线定理：向量a r a r r 0 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使b r a r ．rrx 2,y 2 ，其中 b 0 ，则当且仅当 x 1y 2 x 2y 1 0时，向量 a r 、２．给出命题（ 1）零向量的长度为零，方向是任意的 uuur uuur 3）向量 AB 与向量 BA 相等 . （ 4）若非零向量 D 四点共线 . 以上命题中，正确命题序号是A. （ 1）B. （2）C. （1）和（ 3）D. （1）和（ 4）uuur uuur uuur uuur３．在四边形 ABCD 中，如果 ABgCD 0，AB DC ，那么四边形 ABCD 的形状是A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 直角梯形 ４．如图，在△ ABC 中， AD 、BE 、CF 分别是 BC 、CA 、 AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是① a r四．跟踪训练１． AO OB CA OC BO （ ）A ． AB B ．0C ． ACD ． BC⑸坐标运算：设 a r yx r bra 则 y xrb y 0 时， a r 的方向与 a r 的方向相反；当共线y1 x 1 2）若 a ， b 都是单位向量，则 a ＝ b .uuur uuruAB 与CD 是共线向量，则 A ， B ，C ，５．给出命题：uuur uuur uuur（ 1）在平行四边形 ABCD 中， AB AD AC .uuur uuur（ 2）在△ ABC 中，若 ABgAC 0， 则△ ABC 是钝角三角形uuur（ 3）在空间四边形 ABCD 中， E,F 分别是 BC,DA 的中点，则 FE 以上命题中，正确的命题序号是 . uuur 2uuurA. BG BE 3B. uuur uuur uuur 1uuur 1uuur CG 2GFC. DG AGD. DA23 2uuur FC 3 1uuur BC 2 1 uuur uuur (AB DC) .。