41平面向量的概念及线性运算

平面向量的概念及线性运算一、知识要点梳理 知识点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2．向量的表示方法: (1)字母表示法:如,,,a b c →→→等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,AB CD →→等. (3)向量的有关概念向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:0→与任一向量共线. 知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则2．运算律：①交换律：a b b a →→→→+=+；②结合律：()()a b c a b c →→→→→→++=++ 知识点三：数乘向量1．实数与向量的积：实数λ与向量a →的积是一个向量，记作：a λ→(1) ||||||a a λλ→→=；(2)①当λ>0时,a λ→的方向与a →的方向相同； ②当λ<0时,a λ→的方向与a →的方向相反； ③当0λ=时,0a λ→→=. 2．运算律 设,λμ为实数结合律：()()a a λμλμ→→=；分配律：(),()a a a a b a b λμλμλλλ→→→→→→→+=++=+ 3．共线向量基本定理非零向量a →与向量b →共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数,λ使b a λ→→=. 经典例题类型一：向量的基本概念1．判断下列各命题是否正确： (1)若||||,a b →→=则a b →→=；(2)若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC →→=是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (3)若,,a b b c →→→→==，则.a c →→=(4)两向量,a b →→相等的等价条件是||||a b →→=且//a b →→. 类型二：向量的线性运算2．如图所示，ABCD 的两条对角线相交于点,M 且,,AB a AD b →→→→==用,a b →→表示,,,MA MB MC MD →→→→【变式1】如图,ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且2,AN NC AM =与BN 相交于点,P 求:AP PM 的值.【答案】解：(如图)设则和分别共线，∴存在使故，而∴由基本定理得即类型三：共线向量与三点共线问题 3．设两非零向量1e →和2e →不共线，(1)如果121212,28,3(),AB e e BC e e CD e e →→→→→→→→→=+=+=-求证,,A B D 三点共线. (2)试确定实数,k 使12k e e →→+和12e k e →→+共线. 类型四：综合应用4．如图，已知点,,D E F 分别是ABC ∆三边的中点， 求证：0EA FB DC →→→→++=. 测评 基础达标：1.下面的几个命题：①若||||,a b →→=则,a b →→共线；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量； ③若,a b →→满足||a →>||,b →且,a b →→同向，则a →>b →； ④由于0→方向不定，故0→不能与任何向量平行；⑤对于任意向量,a b →→必有||||||a b →→-≤||a b →→+≤||||a b →→+. 其中正确命题的序号是：( )A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2.在正六边形ABCDEF 中,O 为其中心，则2FA AB BO ED →→→→+++= ( ) A.FE → B. AC → C. DC → D. FC →3.如图所示,,,D E F 分别是ABC ∆的边,,AB BC CD 的中点，则AF DB →→-= ( ) A. FD → B. FC → C. FE → D. BE →4.若,,O E F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.B.C.D.5.已知向量,,a b →→且2,56,72,AB a b BC a b CD a b →→→→→→→→→=+=-+=-则一定共线的三点是( ) A.A 、B 、D B.A 、B 、C C.B 、C 、D D.A 、C 、D 6.下列命题中，真命题的个数为( )①||||||a b a b a →→→→→+=+⇔与b →方向相同 ②||||||a b a b a →→→→→+=-⇔与b →方向相反 ③||||a b a b a →→→→→+=-⇔与b →有相等的模 ④||||||a b a b a →→→→→-=-⇔与b →方向相同 A.0 B.1 C.2D.37.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点1,2,,3AD DB CD CA CB λ→→→→→==+则λ= ( )A.23B. 13C. 13-D. 23-8.设12,e e →→是两个不共线的向量，则向量12()m e k e k R →→→=-+∈与向量212n e e →→→=-共线的条件是 ( ) A. 0k = B. 1k = C. 2k = D. 12k =9.已知正方形ABCD 边长为1,,,,AB a BC b AC c →→→→→→===则||a b c →→→++=( )A.0B.3C.D.10.如图，在平行四边形ABCD 中,,M N 分别是,DC BC 中点，已知1,,,AM c AN d →→→→==用,c d →→表示=___________，___________.11.若1212,,,OP a OP b PP PP λ→→→→→→===则OP →= (用,a b →→表示) 12.已知在ABC ∆中,,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点，求证：(1)//DE AB →→；(2) 1||||2DE AB →→=； (3)0AD BE CF →→→→++=.13.已知OAB ∆中，点C 是以A 为中心的B 的对称点,D 是将OB →分成2:1的一个内分点,DC 与OA 交于,E 设,OA a OB b →→→→==. (1)用,a b →→表示,OC DE →→； (2)若,OE OA λ→→=求实数λ的值.。

《平面向量的概念及线性运算》教学反思本节课主要是要让学生理解平面向量的基本概念：向量、有向线段、零向量、单位向量、平行（共线）向量、相等向量、相反向量；掌握基本方法：向量加法的三角形法则、平行四边形法则、向量的减法法则、数乘向量的运算法则。

因为向量知识比较抽象，就像学生说的有点“横空出世”，很难想到，学生容易产生厌烦的情绪。

建议：1、借助图形帮助学生理解，把抽象的问题转化为形象具体的问题；2、向量有两种表示方法：即有向线段和字母法，但是书写时必须加箭头，必须强调这一点。

7.2平面向量的坐标表示反思：本节课主要是要让学生理解向量坐标化的意义，并且能熟练掌握平面向量的坐标运算。

向量的坐标表示比较好理解，所以课上没有太多问题。

只是课上和学生的交流太少，几乎都是自己在讲，而且学生的呼应不够，有时候问他们，并没有多少人会回答。

建议：1.在表示向量时要注意与表示点的坐标的区别，前者有等号连接，后者无等号，这点要向学生强调；2.必须强化“数形结合”的思想；3.多和学生进行眼神交流。

4.讲解速度可以放慢一点。

7.3平面向量的内积反思：本节课主要是①通过物理中"功"等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②理解平面向量夹角的定义和内积运算公式；③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

由于公式比较多，学生有点消化良；学生对数量积的性质、运算律不够灵活应用。

建议：1、讲课速度放慢点，花多点时间放在练习上。

让学生熟练数量积的性质、运算律的应用，发展学生从特殊到一般的能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯。

2、鼓励学生积极参与到课堂中来。

第七章反思和体会向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。

由于平面向量理论性强，内容抽象，解题方法独特。

2024年中考重点之平面向量的线性运算一、平面向量的定义与表示平面向量是指在平面内具有大小和方向的量，一般表示为箭头形式。

通常用有序数对表示平面向量，如AB表示起点为A、终点为B的平面向量。

二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下运算规律：1. 交换律：AB+CD=CD+AB2. 结合律：(AB+CD)+EF=AB+(CD+EF)3. 平移性质：向量的平移不影响其大小和方向，即若P、Q为平面上两点，则PQ=QR，其中R为PQ的平移向量。

三、平面向量的数乘平面向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。

设k为实数，AB为平面向量，则kAB为平面向量，其大小为|k|·|AB|，方向与AB相同（k>0）或相反（k<0）。

四、平面向量的线性运算平面向量的线性运算包括加法和数乘。

根据向量运算规律，我们可以得出以下结论：1. 乘法分配律：k(AB+CD)=kAB+kCD，(k+m)AB=kAB+mAB，其中k、m为实数。

2. 结合律：k(mAB)=(km)AB，其中k、m为实数。

3. 零向量：0AB=O，其中O为原点。

4. 相反向量：(-1)AB=-AB。

五、平面向量的应用平面向量的线性运算在几何学和物理学中有广泛的应用，尤其是解决平面几何问题和力学问题时。

其中一些常见的应用包括：1. 平面向量的模运算：通过向量的数乘和加法，我们可以求解平面向量的模和方向角。

2. 平面向量的共线与垂直判定：设有两个非零向量AB和CD，若存在实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线；若CD·AB=0，则称向量CD与向量AB垂直。

3. 平面向量的平行判定：设有两个非零向量AB和CD，若存在实数k，使得CD=kAB或CD=k(-AB)，则称向量CD与向量AB平行。

4. 向量的投影：向量的投影是指将一个向量沿另一个向量的方向分解的过程，用于求解向量的分解与合成问题。

5. 平面向量的线性方程组：由平面向量的线性运算性质，我们可以建立平面向量的线性方程组，用于求解几何和物理问题。

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算【教学目标】知识目标：（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念； （2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．【教学重点】向量的线性运算．【教学难点】已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．【教学设计】从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念． 向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a ＞b ”没有意义，而“︱a ︱＞︱b ︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a -b =a +(-b )，它可以通过几何作图的方法得到，即a -b 可表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数λ乘以非零向量a ，是数乘运算，其结果记作λa ，它是一个向量，其方向与向量a 相同，其模为a 的λ倍．由此得到λ⇔=a b a b ∥．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a 、b ”与“0λ≠ ”等条件.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】过程行为行为意图间7.1 平面向量的概念及线性运算*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1 介绍播放课件引导分析了解观看课件思考自我分析从实例出发使学生自然的走向知识点3*动脑思考探索新知【新知识】在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．图7－2向量的大小叫做向量的模．向量a,AB的模依次记作a，AB．模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的．总结归纳仔细分析讲解关键词语思考理解记忆带领学生分析引导式启发学生得出结果10aABAB与MN，它们所在的直线平行，两个向量的方向相同；向量CD与PQ所在的直线平行，两个AB与MN，方向相同，模相等；平HG与TK，方向相反，模相等．我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．的模相等并且方向相同时，称向量b．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种性质的向量叫做自由向量．AB = MN ，GH = －TK ． ABCD 中（图7－5），O 为对角线交点DA 相等的向量； DC 的负向量；）找出与向量AB 平行的向量要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．CB =DA ；BA =DC -,CD DC =-； BA //AB ,DC //AB ，CD //AB ． 强化练习如图，∆ABC 中，D 、E 、F 分别是三边的中点，试写EF 相等的向量；AD 共线的向量OC 相等的向量；）OC 的负向量；OC 共线的向量．巡视指导A D E FAB DAC 叫做AB 与位BC 的和AC =AB +BC ．AB =a , BC =b ，则向量AC 叫做向量＋b ，即b =AB ＋BC =AC （求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方三角形法则．可以看到：依照三角形法则进行向量abaAD=BC，AB＋AD=AB＋BC=AC这说明，在平行四边形AC所表示的向量就是AB与AD的和．这种求和向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：总结归纳AB表示船速，AC 为水流速度，由向量加法的平行四边形法则，AD 是船的实际航行速度，显然22AD AB AC=+=12又512tan =∠CAD ，利用计算器求得6723'≈︒1．即船的实际航行速度大小是流方向)的夹角约6723'︒．过程行为行为意图间图7-12 讲解说明思考求解62*运用知识强化练习练习7.1.21．如图，已知a，b，求a＋b．2．填空（向量如图所示）：（1）a＋b =_____________ ,（2）b＋c =_____________ ,（3）a＋b＋c =_____________ ．3．计算：（1）AB＋BC＋CD；（2）OB＋BC＋CA．启发引导提问巡视指导思考了解动手求解可以交给学生自我发现归纳65*创设情境兴趣导入在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数的相反数．质疑引导分析思考参与分析引导启发学生思考66*动脑思考探索新知与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即总结归纳（图1－15）bbaa （1）（2）第1题图=OA，b OB，则OA OB OA OB OA BO BO OA BA-=+-+=+=．()=-=BA（7．OA OB观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减的终点，终点是被减向量a的终点．OA=a，OB=b，连接BA为所求的差向量，即BA= a－b ．【想一想】当a与b共线时，如何画出 b ．*运用知识-=_______________AB AD过 程行为 行为 意图 间（2）BC BA -=______________， （3）OD OA -=______________．2．如图，在平行四边形ABCD 中，设AB = a ,AD = b ，试用a , b 表示向量AC 、BD 、DB ．启发 引导 提问 巡视 指导 思考 了解 动手 求解可以 交给 学生 自我 发现 归纳72 *创设情境 兴趣导入观察图7－15可以看出，向量OC 与向量a 共线，并且OC ＝3a ．图7−15质疑 引导 分析思考 参与 分析引导启发学生思考74 *动脑思考 探索新知一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的模为||||||a a λ=λ （7．3） 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a 、b ，当0λ≠时，有 λ⇔=a b a b ∥ （7．4）一般地，有 0a = 0,λ0 = 0 ．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对总结 归纳思考 归纳带领 学生 分析a a aaOAB C过 程行为 行为 意图 间于任意向量a , b 及任意实数λμ、，向量数乘运算满足如下的法则：()()111=-=-a a a a ，　；()()()()2a a a λμλμμλ== ；()()3a a a λμλμ+=+ ；()()a b a b λλλ+=+４　． 【做一做】请画出图形来，分别验证这些法则．向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．仔细 分析 讲解 关键 词语理解 记忆 理解 记忆引导 启发 学生 得出 结论78 *巩固知识 典型例题例6 在平行四边形ABCD 中，O 为两对角线交点如图7－16，AB ＝a ，AD ＝b ，试用a , b 表示向量AO 、OD ．分析 因为12AO AC =,12OD BD =，所以需要首先分别求出向量AC 与BD .解 AC＋b ,BD ＝b −a ，＝a 因为O 分别为AC ，BD 的中点，所以1122==AO AC （a ＋b ）＝12a ＋12b ，强调 含义 说明思考 求解 领会注意 观察 学生 是否 理解 知识 点图7－16OD＝12BD＝12（a＋12b和−12a+12AO、OD可以用向量λa＋μb叫做a, b的一个．如果l ＝λa＋μb向量的加法、减法、数乘运算都叫做OA，使OA＝12（向量、向量的模、向量相等是如何定义的？向量的大小叫做向量的AB的模依次记作AB．a与向量的模相等并且方向相同时，称向量相等，记作*归纳小结本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？过程AB＋BC＋CD；（OB＋BC＋CA．活动探究读书部分：教材书面作业：教材习题7．A组（必做）；7．1 B 【教师教学后记】。