向量的概念、表示和线性运算

第30讲 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB →的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB →|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a ，b 平行，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定 义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律： (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法 求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .➢考点1 平面向量的概念[名师点睛]平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,a b b c==，则a c=D．共线向量是在一条直线上的向量2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下面的命题正确的有（）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若a，b满足||||a b>且a与b同向，则a b>D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且AB DC=”⇔“四边形ABCD是平行四边形”[举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A．若a，b都是单位向量，则a b=B．若向量a b∥，b c∥，则a c∥C．与非零向量a共线的单位向量是唯一的D．已知,λμ为非零实数，若a ubλ=，则a与b共线2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量 C ．零向量与任一向量共线 D ．两平行向量所在直线平行3．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 都是非零向量，||||a b a b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．2a b =C ．//a bD ．//a b 且||||a b =4．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题： ①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______．➢考点2 向量的线性运算[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题： ①若,a b 同向，则有b a b a +=+； ②a b +与a b +表示的意义相同； ③若,a b 不共线，则有a b a b +>+； ④a a b <+恒成立；⑤对任意两个向量,a b ，总有a b a b +≤+；⑥若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，则此三向量围成一个三角形． 其中正确的命题是__________(填序号)2．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，若AB a =，AD b =，则EF =（ ）A ．53124a b - B ．115124a b - C ．133124a b - D ．195124a b - 3.如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A.1B.2C.3D.4[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且ED AE 3=，则AE 等于（ ）A ．1122AB AC +B ．1328AB AC + C ．3388AB AC +D ．3182AB AC +2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -4．（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD 中，3,3AD AE BC BF ==，则EF 可表示为（ ）A ．1133AB DC +B ．2233AB DC + C ．1233AB DC +D ．2133AB DC +➢考点3 共线向量定理的应用1．（2021·北京通州·一模）设向量12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e e =-，123AC e e =+，122BD e ke =-，且B ，C ，D 三点共线，则BC =______（用12,e e 表示）；实数k =______．2．（2022·全国·高三专题练习）设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，求证：A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +和k +a b 共线．[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）已知5AB a b =+，36BC a b =-+，4CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线2．（2023·全国·高三专题练习）设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，122AC be e =-0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．23．（2022·全国·高三专题练习）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ） A ．53-B ．53C ．35 D ．354．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线向量,a b ，()R AB ta b t =-∈，23AC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数t = __________.5．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，B ，M ，G 三点共线.若(62)AM a AE a AF =+-，则实数a 的值为______. 6．（2022·全国·高三专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线； （2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1第30讲 平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量AB →的大小就是向量的长度(或称模)，记作|AB →|.(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a ，b 平行，记作a ∥b .规定：0与任一向量平行.(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律： a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法 求两个向量差的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘规定实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝λμa ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .➢考点1 平面向量的概念[名师点睛]平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.(4)非零向量a与a|a|的关系：a|a|是与a同方向的单位向量.1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（）A．向量//AB CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若,a b b c==，则a c=D．共线向量是在一条直线上的向量【答案】C【分析】根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.【详解】对于A：根据共线向量的定义可知向量//AB CD就是AB所在的直线与CD所在的直线平行或重合，故选项A不正确；对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；对于C：若,a b b c==，则a c=，故选项C正确；对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；故选：C.2．（多选）（2022·全国·高三专题练习）下面的命题正确的有（）A．方向相反的两个非零向量一定共线B．单位向量都相等C．若a，b满足||||a b>且a与b同向，则a b>D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 【答案】AD 【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可. 【详解】对于A ，由相反向量的概念可知A 正确；对于B ，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B 错误； 对于C ，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C 错误； 对于D ，若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =， 可得//AB DC ，且AB DC =，故四边形ABCD 是平行四边形； 若四边形ABCD 是平行四边形，可知//AB DC ，且AB DC =， 此时A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =，故D 正确.故选：AD. [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ）A ．若a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a b ∥，b c ∥，则a c ∥C ．与非零向量a 共线的单位向量是唯一的D ．已知,λμ为非零实数，若a ub λ=，则a 与b 共线【答案】D 【分析】根据向量的基本概念和共线定理，逐项判断，即可得到结果. 【详解】单位向量的方向不一定相同，故A 错误； 当0b =时，显然a 与c 不一定平行，故B 错误； 非零向量a 共线的单位向量有a a±，故C 错误；由共线定理可知，若存在非零实数,λμ，使得a ub λ=，则a 与b 共线，故D 正确.故选：D. 2．（2023·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（ ） A ．向量AB 与BA 是相等向量 B ．共线的单位向量是相等向量 C ．零向量与任一向量共线 D ．两平行向量所在直线平行 【答案】C 【分析】根据向量相等和 平行的定义逐项分析可以求解. 【详解】对于A ，AB BA =- ，故A 错误；对于B ，两个单位向量虽然共线，但方向可能相反，故B 错误； 对于C ，因为零向量没有方向，所以与任何向量都是共线的，故C 正确； 对于D ，两个平行向量所在的直线可能重合，故D 错误；故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）设a ，b 都是非零向量，||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A ．a b =-B ．2a b =C ．//a bD ．//a b 且||||a b =【答案】B 【分析】由题意，利用a 、b 上的单位向量相等的条件，得出结论． 【详解】解：因为||a a 表示与a 同向的单位向量，||bb 表示与b 同向的单位向量，所以要使||||a b a b =成立，即a 、b 方向上的单位向量相等，则必需保证a 、b 的方向相同， 故||||a b a b =成立的充分条件可以是2a b =；故选：B ． 4．（2023·全国·高三专题练习）有下列命题： ①单位向量一定相等；②起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； ③相等的非零向量，若起点不同，则终点一定不同； ④方向相反的两个单位向量互为相反向量； ⑤起点相同且模相等的向量的终点的轨迹是圆． 其中正确的命题的个数为______． 【答案】3【分析】由相等向量、相反向量的知识依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，两个单位向量方向不同时不相等，①错误；对于②，方向相同且模长相等的向量为相等向量，与起点无关，②正确；对于③，相等的非零向量方向相同且模长相等，若起点不同，则终点不同，③正确； 对于④，单位向量模长相等，又方向相反，则这两个向量为相反向量，④正确； 对于⑤，若两个向量起点相同，且模长相等且不为零，则终点的轨迹为球面，⑤错误； 则正确的命题个数为3个. 故答案为：3.➢考点2 向量的线性运算1．（2022·全国·高三专题练习）给出下列命题：+=+；①若,a b同向，则有b a b a+表示的意义相同；②a b+与a b+>+；③若,a b不共线，则有a b a b<+恒成立；④a a b+≤+；⑤对任意两个向量,a b，总有a b a b⑥若三向量,,a b c满足0++=，则此三向量围成一个三角形．a b c其中正确的命题是__________(填序号)【答案】①⑤+=+，故①正确；【详解】对于①，若,a b同向，则+b a与,a b同向，所以b a b a+前者表示向量，后者表示向量模的和，表示的意义不相同，故②不对于②，a b+与a b正确；+<+，故③不正确；对于③，若,a b不共线，则有a b a b=+，故④不正确；对于④，若0b=，则a a b+≤+，故⑤正确；对于⑤，对任意两个向量,a b，总有a b a b对于⑥，若三向量,,a b c 满足0a b c ++=，若,,a b c 中有零向量，则此三向量不能围成一个三角形，故⑥不正确．故答案为：①⑤．2．（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，若AB a =，AD b =，则EF =（ ）A ．53124a b - B ．115124a b - C ．133124a b - D ．195124a b - 【答案】A 【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可. 【详解】解：因为在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别满足12DE EC =，13BF FD =，所以()()EF AF AE AB BF AD DE =-=+-+，()()111444BF BD AD AB b a ==-=-，所以()115343124a b a b EF a a b ⎡⎤⎛⎫=+--+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．故选：A3.如图，在直角梯形ABCD 中，DC →＝14AB →，BE →＝2EC →，且AE →＝rAB →＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析 法一 由题图可得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(BA →＋AD →＋DC →)＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝13AB →＋23⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →＝12AB →＋23AD →. 因为AE →＝rAB →＋sAD →，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.法二 因为BE →＝2EC →， 所以AE →－AB →＝2(AC →－AE →)，整理，得AE →＝13AB →＋23AC →＝13AB →＋23(AD →＋DC →)＝12AB →＋23AD →，以下同法一.法三 如图，建立平面直角坐标系xAy ，依题意可设点B (4m ，0)，D (3m ，3h )，E (4m ，2h )，其中m ＞0，h ＞0. 由AE →＝rAB →＋sAD →，得(4m ，2h )＝r (4m ，0)＋s (3m ，3h )，所以⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝4mr ＋3ms ，2h ＝3hs ，解得⎩⎨⎧r ＝12，s ＝23，所以2r ＋3s ＝1＋2＝3.[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且ED AE 3=，则AE 等于（ ） A ．1122AB AC +B ．1328AB AC + C ．3388AB AC +D ．3182AB AC +【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：在ABC 中，D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， 又ED AE 3=，所以34AE AD =， 所以()3313344288AE AD AB AC AB AC ==⨯+=+；故选：C 2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得； 【详解】解：因为2EO AE =，所以()111366AE AO AC AB AD ===+， 所以()151666EB AB AE AB AB AD AB AD =-=-+=-.故选：C. 3．（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，2233AE AB CF CD ==，，G 为EF 的中点，则DG =（ ）A ．1122AD AB -B ．1122AB AD -C ．3142AD AB -D ．3142AB AD -【答案】B 【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果. 【详解】()1111112111·2222323622DG DE DF DA AE DC AD AB AB AB AD ⎛⎫=+=++=-++=- ⎪⎝⎭． 4．（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD 中，3,3AD AE BC BF ==，则EF 可表示为（ ）A ．1133AB DC +B ．2233AB DC + C ．1233AB DC +D ．2133AB DC +【答案】D 【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.【详解】∵3,3AD AE BC BF ==，∴20,20EA ED BF CF +=+=， ∵,2222EF EA AB BF EF EA AB BF =++=++， 又EF ED DC CF =++，∴32222EF EA AB BF ED DC CF AB DC =+++++=+，即2133EF AB DC =+.故选：D.➢考点3 共线向量定理的应用1．（2021·北京通州·一模）设向量12,e e 是两个不共线的向量，已知122AB e e =-，123AC e e =+，122BD e ke =-，且B ，C ，D 三点共线，则BC =______（用12,e e 表示）；实数k =______．【答案】 124e e -+ 8【分析】由向量减法法则得BC AC AB =-即可得答案，再根据B ，C ，D 三点共线，得BD BC λ=即可得答案.【详解】由向量减法法则得：124BC AC AB e e =-=-+， 由于B ，C ，D 三点共线，所以BD BC λ=，即：()121224e ke e e λ-=-+，所以24k λλ-=⎧⎨-=⎩，解得：28k λ=-⎧⎨=⎩.故答案为：124e e -+；82．（2022·全国·高三专题练习）设两个非零向量a 与b 不共线，（1）若AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，求证：A ，B ，D 三点共线； （2）试确定实数k ，使ka b +和k +a b 共线． 【解】（1）证明：AB a b =+，28BC a b =+，()3CD a b =-，()283BD BC CD a b a b ∴=+=++- ()283355a b a b a b AB =++-=+= AB ∴，BD 共线，又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．（2）ka b +和k +a b 共线，∴存在实数λ，使()ka b a kb λ+=+， 即ka b a kb λλ+=+，()()1k a k b λλ∴-=-.a ，b 是两个不共线的非零向量，10k k λλ∴-=-= 210k ∴-=，1k ∴=±.[举一反三]1．（2023·全国·高三专题练习）已知5AB a b =+，36BC a b =-+，4CD a b =-，则（ ） A ．A ，B ，D 三点共线 B ．A ，B ，C 三点共线 C ．B ，C ，D 三点共线D ．A ，C ，D 三点共线【答案】A 【详解】由题意得5BD BC CD a b AB =+=+=，又,BD AB 有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线.故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）设1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，()121AB a e e =-+，122AC be e =-0a >，0b >，若A ，B ，C 三点共线，则21a b+的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】A 【分析】根据向量共线定理得到21a b +=，再根据基本不等式可求出结果. 【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以向量AB 、AC 共线， 所以存在R λ∈，使得AB AC λ=，即()121a e e -+()122be e λ=-，即()121a e e -+122be e λλ=-，因为1e 、2e 不共线，所以121a b λλ-=⎧⎨=-⎩，消去λ，得21a b +=，因为0a >，0b >，所以21a b +=()212a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭44a b b a =++44228≥+=+⨯=，当且仅当12a =，14b =时，等号成立.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知向量m ，n 不共线，向量53OA m n =-，OB xm n =+，若O ，A ，B 三点共线，则x =（ ） A ．53-B ．53C ．35 D ．35【答案】A【分析】根据O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥，R λ∃∈，OB OA λ=，代入整理． 【详解】因为O ，A ，B 三点共线，则OA OB ∥所以R λ∃∈，OB OA λ=，即()53xm n m n λ+=-整理得：()()531x m n λλ-=+ 又∵向量m ，n 不共线，则5310x λλ-=+=，则53x =-故选：A ．4．（2023·全国·高三专题练习）已知不共线向量,a b ，()R AB ta b t =-∈，23AC a b =+，若A ，B ，C 三点共线，则实数t = __________.【答案】23-【分析】根据三点共线的向量表达可得AB k AC =，再根据平面向量的线性运算与基本定理求解即可【详解】因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB k AC =， 所以()2323ta b k a b ka kb -=+=+，即()()231t k a k b -=+，因为,a b 不共线，所以20,310t k k -=+=，解得12,33k t =-=-故答案为：23-5．（2022·浙江·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，B ，M ，G 三点共线.若(62)AM a AE a AF =+-，则实数a 的值为______. 【答案】143【分析】将AM 化为以,AB AG 为基底可得()3123AM AB a AG =+-，由B ，M ，G 三点共线可知()3+1231a -=，计算即可. 【详解】(62)AM a AE a AF =+-，E ，F ，G 分别为边BC ，CD ，DA 的中点，()()1(62)231232AM a AB AG a AB AG AB a AG ⎛⎫∴=++-+=+- ⎪⎝⎭,B ，M ，G 三点共线，3+1231a -=，解得：143a =. 故答案为：143.6．（2022·全国·高三专题练习）已知O ，A ，B 是不共线的三点，且(,)OP mOA nOB m n R =+∈ （1）若m +n =1，求证：A ，P ，B 三点共线； （2）若A ，P ，B 三点共线，求证：m +n =1. 【解】（1）证明：若m +n =1，则()1OP mOA m OB =+-，()1OP m m OP =+-⎡⎤⎣⎦， 故()()11mOP m OP mOA m OB +-=+-，即()()()1m OP OA m OB OP -=--，()1mAP m PB =-，即,AP BP 共线，又,AP BP 有公共点，则A ，P ，B 三点共线；（2）证明：若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使得AP PB λ=，变形得()OP OA OB OPλ-=-，即()1OP OB OAλλ+=+，111OB OA OB OA OP λλλλλ+==++++，又OP mOA nOB =+，1111λλλ+=++，故1m n +=。

-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。

向量线性运算知识点总结一、向量的定义在数学中，向量通常用箭头符号表示，比如$\vec{a}$或者$\overrightarrow{AB}$。

向量是有方向和大小的量，通常用于表示空间中的位移、速度等。

在n维空间中，一个向量可以表示为一个具有n个有序实数的n维坐标组$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，而在实际应用中，可以用行向量或列向量来表示。

在数学中，向量可以用于表示空间几何中的位移、速度、力等，同时也可以用于表示抽象意义上的量，比如代数中的多项式、矩阵等。

在计算机科学中，向量也被广泛应用于向量空间的表示，比如在机器学习中的特征向量等。

二、向量的线性运算向量的线性运算包括两种基本运算：向量的加法和数乘运算。

1. 向量的加法设有两个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，则它们的和是一个n维向量，记作$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)$。

向量的加法满足以下性质：- 交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$- 结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$- 零向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$，其中$\vec{0}$表示零向量- 相反向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$，其中$-\vec{a}$表示向量$\vec{a}$的相反向量2. 数乘运算设有一个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和一个实数$k$，则它们的数乘运算结果是一个n维向量，记作$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$。

第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。

（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。

（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。

A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。

记作：4、零向量：长度为0的向量。

记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。

关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

记作：，或规定：零向量与任一向量平行。

2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。

记作：，或零向量与零向量相等。

3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。

注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。

1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。

解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。

（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。

（6）错误方向不定。

（7）错误线段AB可与线段CD平行。

（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。

[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。

数学向量的知识点总结一、向量的定义和表示1. 向量的定义在几何学中，向量通常表示为具有大小和方向的箭头，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

在代数学中，向量可以用有序数对表示，例如 (a, b)，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

2. 向量的表示向量通常用一个字母加上一个有向线段或者一个箭头表示，比如AB→ 或者a→，其中 AB表示向量的起点和终点，箭头表示向量的方向和大小。

在数学中，向量通常用粗体字母来表示，比如a或者a。

3. 向量的模和方向向量的模表示向量的大小，通常用两点间的距离来表示。

向量的方向表示向量指向的方向，通常用夹角或者方向余弦来表示。

例如，向量 a 的模表示为 |a|，向量 a 的方向表示为θ。

二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足三角形法则，即两个向量的和等于连接它们的两条边的和。

向量的加法可以表示为 c = a + b，其中 c 表示两个向量的和，a 和 b 分别表示加数。

2. 向量的减法向量的减法可以看成是向量加法的逆运算，即 c = a - b 等价于 c + b = a。

向量的减法也满足三角形法则，即两个向量的差等于连接它们的两个端点的线段。

3. 向量的数量积向量的数量积又叫作点积或者内积，表示为 a·b，定义为a·b = |a| |b| cosθ，其中 |a| 和 |b|分别表示向量的模，θ 表示两个向量的夹角。

向量的数量积是一个标量，表示向量的大小和方向之间的关系。

4. 向量的向量积向量的向量积又叫作叉积或者外积，表示为 a×b，定义为|a×b| = |a| |b| sinθ n，其中 |a×b| 表示向量的模，n 表示两个向量所在平面的法向量。

向量的向量积是一个向量，表示向量的方向和大小之间的关系。

三、向量的线性运算1. 向量的线性组合给定一组向量a₁, a₂, ..., aa 和一组标量k₁, k₂, ..., ka，它们的线性组合定义为k₁a₁ + k₂a₂ + ... + k aaa。