高中 平面向量的概念及其线性运算 知识点+例题

辅导讲义――平面向量的概念及其线性运算

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a ＋

b ＝b ＋a . （2）结合律： (a ＋b )＋

c ＝a ＋(b ＋c ). 减法

求a 与b 的相反向量－b 的 和的运算叫做a 与b 的差

三角形法则

a －

b ＝a ＋(－b )

数乘

求实数λ与向量a 的积的运算

（1）|λa |＝|λ||a |； （2）当λ>0时，

λa 的方向与a 的方向相同； 当λ<0时，

λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0

λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb

[例1] 若OB OA OC =-23，则AB AC ____=.3

1

[巩固] 在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若15e BC =，23e DC =，则.________=OC )35(2

1

21e e +

[例2] 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则._______=-DB AF

BE

[巩固1] 设M 是△ABC 的重心，记a BC =，b CA =，c AB =，且0=++c b a ，则._______=AM

)(3

1

b c -

[巩固2] 已知空间四边形ABCD ，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，连接AM 、AG 、CD ，则._______)(2

1

=++

BC BD AB AG

[例3] 如图，向量a AB =，，b AC =，c CD =，则向量，BD 可以表示为_____________. c a b +-

精典例题透析

[巩固] 如图，在△ABC 中，已知DC BC 3=，则)(

=AD C

A ．AC A

B 3132+ B ．A

C AB 3132- C ．AC AB 3231+

D ．AC AB 3

2

31-

[例4] 在△ABC 中，O 为外心，P 是平面内点，且满足OP OC OB OA =++，则P 是△ABC 的_________.（填外心，内心，重心或垂心） 垂心

[巩固] 已知点P 是△ABC 内一点，且BP BC BA 6=+，则._______=∆∆ACP ABP S S 4

1

[例5]已知向量)4,3(=a ，若5=a λ，则实数λ的值为________. 1±

[巩固1] 已知a 与b 满足：3=a ，2=b ，4=+b a ，则.________=-b a 10

[巩固2] 设a 与b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使

0=+

b

b a

a 成立的是_________.A

A ．b a 3

1

-= B ．b a // C ．b a 2= D ．b a ⊥

共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 知识模块3平面向量的共线定理 精典例题透析

③正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；又b ＝c ， ∴b ，c 的长度相等且方向相同， ∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .

④不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故“|a |＝|b |且a ∥b ”不是“a ＝b ”的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，正确命题的序号是②③.

思维升华 (1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈． (4)非零向量a 与a |a |的关系：a

|a |是a 方向上的单位向量．

[巩固]下列命题中，正确的是________．(填序号) ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③向量AB →与CD →

向量共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； ④如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥c ；

⑤两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 答案 ⑤

解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；

②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； ③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行； ④不正确，如果b ＝0，则a 与c 不一定平行；

⑤正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小．

题型二：平面向量的线性运算

[例]（1）如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF →

等于( )

A.12AB →－13AD →

B.14AB →＋12AD →

C.13AB →＋12

DA → D.12AB →－23

AD → （2）在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →

等于( )

A.23b ＋13c

B.53c －23b

C.23b －13

c D.13b ＋23

c 答案 (1)D (2)A