向量的概念及线性运算

向量的概念及线性运算考纲要求1.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

2.理解向量的几何表示。

3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

一、必备知识1.向量的相关概念（1）向量的定义：既有又有的量叫做向量。

（2）向量的长度：表示AB的长度，即AB的大小叫做AB的长度或称为AB的模，的向量叫做零向量，记作0，的向量叫做单位向量。

（3）平行向量：方向或的向量叫做平行向量。

规定：0与任何向量平行，平行向量也叫。

（4）相等向量：的向量叫做相等向量，向量a与b相等，记作b a .(5)相反向量：的向量叫做相反向量。

向量)0(≠a a 与b 共线的充要条件是存有唯一一个实数λ，使得 。

二、必记结论1.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++- ，特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量。

2.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则)(21+= 3.若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则（1）的重心。

为ABC P PC PB PA ∆⇔=++0（2）的重心。

为ABC G ∆⇔++=)(31 4.证明三点A 、B 、C 共线，借助向量，只需证明由这三点A 、B 、C 所组成的向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数λ，使得(0)a b b λ=≠。

三、题型归纳（独立完成三维设计P62考点一----考点三的练习，注意总结题型。

）。

平面向量的概念及线性运算知识点：1．向量的有关概念2.向量的线性运算三角形法则(1)|λa|＝|λ||a|；3.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．选择题：给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( )A．① B．③ C．①③ D．①②解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误．已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM→；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→－CD→，其中结果为零向量的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析由题知结果为零向量的是①④，故选B.设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( )A．a0＝b0 B．a0·b0＝1 C．|a0|＋|b0|＝2 D．|a0＋b0|＝2解析∵是单位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同 C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．设a 、b 是两个非零向量( )A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥bB ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a |－|b |解析 对于A ，可得cos 〈a ，b 〉＝－1，∴a ⊥b 不成立；对于B ，满足a ⊥b 时|a ＋b |＝|a |－|b |不成立；对于C ，可得cos 〈a ，b 〉＝－1，∴成立，而D 显然不一定成立．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →等于( ) A ．a ＋34b B.14a ＋34b C.14a ＋14b D.34a ＋14b解析 ∵CB →＝AB →－AC →＝a －b ，又BD →＝3DC →，∴CD →＝14CB →＝14(a －b )，∴AD →＝AC →＋CD →＝b ＋14(a －b )＝14a ＋34b如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝( )A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 解析 由题图知BA →＋CD →＋EF →＝BA →＋AF →＋CB →＝CB →＋BF →＝CF →.如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，A C →＝b ，则A D →＝( )A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b解析 连接CD ，∵C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，∴AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →，∴BD →、AB →共线，又公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →解析 ∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →，∴AD →＝－13AB →＋43AC →.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →等于( ) A.BC → B.12AD → C.AD → D.12BC →解析 EB →＋FC →＝12(AB →＋CB →)＋12(AC →＋BC →)＝12(AB →＋AC →)＝AD →在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c 解析 ∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝BD →＝2DC →＝2(AC →－AD →)， ∴3AD →＝2AC →＋AB →，∴AD →＝23AC →＋13AB →＝23b ＋13c .设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A.OM → B ．2OM → C ．3OM → D ．4OM → 解析 OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝(OA →＋OC →)＋(OB →＋OD →)＝2OM →＋2OM →＝4OM →已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上 C ．点P 在线段AB 的延长线上 D ．点P 不在直线AB 上解析 ∵2OP →＝2OA →＋BA →，∴2AP →＝BA →，∴点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ等于( )A.23B.13 C ．－13 D ．－23 解析 ∵AD →＝2DB →，即CD →－CA →＝2(CB →－CD →)，∴CD →＝13CA →＋23CB →，∴λ＝23.在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 解析 设CO →＝yBC →，∵AO →＝AC →＋CO →＝AC →＋yBC →＝AC →＋y (AC →－AB →)＝－yAB →＋(1＋y )AC →. ∵BC →＝3CD →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13， ∵AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，∴x ＝－y ，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆 解析 ∵若A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λAC →，即x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎨⎧x ＝λ，1＝λy ，⇒xy ＝1，故选B.设a，b不共线，AB→＝2a＋p b，BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( ) A．－2 B．－1 C．1 D．2解析∵BC→＝a＋b，CD→＝a－2b，∴BD→＝BC→＋CD→＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴AB→，BD→共线．设AB→＝λBD→，∴2a＋p b＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.已知平面内一点P及△ABC，若PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则点P与△ABC的位置关系是( )A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部解析由PA→＋PB→＋PC→＝AB→得PA→＋PC→＝AB→－PB→＝AP→，即PC→＝AP→－PA→＝2AP→，所以点P在线段AC上．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA→＋OB→＋OC→＝0，则△ABC的内角A等于( )A．30° B．60° C．90° D．120°解析由OA→＋OB→＋OC→＝0，知点O为△ABC的重心，又∵O为△ABC外接圆的圆心，∴△ABC为等边三角形，A＝60°.填空题：设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE→＝λ1AB→＋λ2AC→(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________解析DE→＝DB→＋BE→＝12AB→＋23BC→＝12AB→＋23(AC→－AB→)＝－16AB→＋23AC→，∵DE→＝λ1AB→＋λ2AC→，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB→＋AD→＝λAO→，则λ＝________解析 ∵ABCD 为平行四边形，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →，已知AB →＋AD →＝λAO →，故λ＝2已知□ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________(用a ，b 表示)．解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________.解析 由已知得a ＋λb ＝－k (b －3a )，∴⎩⎨⎧λ＝－k ，3k ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13，k ＝13.已知O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA →，OB →，OC →，OD →满足等式OA →＋OC →＝OB →＋OD →，则四边形ABCD 的形状为________解析 由OA →＋OC →＝OB →＋OD →得OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________ 解析：OB →＋OC →－2OA →＝(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，故A ，B ，C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________ 解析 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|得，AB →⊥AC →，则AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，∴|AM →|＝12|BC →|＝2在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.解答题：在△ABC 中，D 、E 分别为BC 、AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AD →，AG →. 解 AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b .AG →＝AB →＋BG →＝AB →＋23BE →＝AB →＋13(BA →＋BC →)＝23AB →＋13(AC →－AB →)＝13AB →＋13AC →＝13a ＋13b .设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，求证：A 、C 、D 三点共线； (2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． (1)证明 ∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2，∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A 、C 、D 三点共线．(2)解 AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2，∵A 、C 、D 三点共线， ∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 即3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)，得⎩⎨⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43.专项能力提升设a ，b 不共线，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析 ∵BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a －b . 又∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →，BD →共线．设AB →＝λBD →，∴2a ＋p b ＝λ(2a －b )，∴2＝2λ，p ＝－λ，∴λ＝1，p ＝－1.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b解析 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点， 得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，∴AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .设G 为△ABC 的重心，且sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，则B 的大小为( ) A ．45° B ．60° C ．30° D ．15°解析 ∵G 是△ABC 的重心，∴GA →＋GB →＋GC →＝0，GA →＝－(GB →＋GC →)，将其代入sin A ·GA →＋sin B ·GB →＋sin C ·GC →＝0，得(sin B －sin A )GB →＋(sin C －sin A )GC →＝0.又GB →，GC →不共线， ∴sin B －sin A ＝0，sin C －sin A ＝0，则sin B ＝sin A ＝sin C ．根据正弦定理知b ＝a ＝c ，∴△ABC 是等边三角形，则角B ＝60°设e 1与e 2是两个不共线向量，AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k 的值为( )A ．－94B ．－49C ．－38 D ．不存在解析 由题意，A ，B ，D 三点共线，故必存在一个实数λ，使得AB →＝λBD →. 又AB →＝3e 1＋2e 2，CB →＝k e 1＋e 2，CD →＝3e 1－2k e 2，∴BD →＝CD →－CB →＝3e 1－2k e 2－(k e 1＋e 2)＝(3－k )e 1－(2k ＋1)e 2， ∴3e 1＋2e 2＝λ(3－k )e 1－λ(2k ＋1)e 2，∴⎩⎨⎧3＝λ(3－k )，2＝－λ(2k ＋1)，解得k ＝－94.在□ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝__________(用a ，b 表示) 解析 由AN →＝3NC →得AN →＝34AC →＝34(a ＋b )，AM →＝a ＋12b ，∴MN →＝AN →－AM →＝34(a ＋b )－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b .如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n＋1m的值为________．解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意知OG →＝23×12(OA →＋OB →)＝13(a ＋b )，PQ →＝OQ →－OP →＝n b －m a ，PG →＝OG →－OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ，由P ，G ，Q 三点共线得，存在实数λ，使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，从而⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ得1n ＋1m＝3.精品文档。

向 量1.向量的概念(1)向量的基本要素：___________________________.(2)向量的表示：几何表示法 AB ；字母表示：a ；坐标表示法 a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的长度：_______________________________.(4)特殊的向量：零向量a ＝O ⇔__________规定：O 与任一向量______单位向量：a O 为单位向量⇔____________(5)相等的向量：______________(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）⎩⎨⎧==⇔2121y y x x(6) 相反向量：a =-b ⇔__________⇔_____________(7)平行向量(共线向量)：_________.记作a ∥b .平行向量也称为______. 运算类型 几何方法 坐标方法 运算性质向量的 加法 1.平行四边形法则 2.三角形法则1212(,)a b x x y y +=++a b b a +=+()()a b c a b c ++=++AC BC AB =+向量的减法三角形法则1212(,)a b x x y y -=--()a b a b -=+-AB BA =-,AB OA OB =-数 乘 向 量1.a λ是一个向量,满足:||||||a a λλ=2.λ>0时, a a λ与同向; λ<0时, a a λ与异向;λ=0时, 0a λ=.(,)a x y λλλ=()()a a λμλμ=()a a a λμλμ+=+()a b a b λλλ+=+//a b a b λ⇔=1． 已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 为 _____________2．已知,,AB a BC b CA c ===,则0a b c ++=是,,A B C 三点构成三角形的______条件 3．若P 是ABC ∆的重心，则PA+PB+PC =____________4．若,a b 满足8,2a b ==，则a b +的最大值为____，最小值为_________ 5．若,OA a OB b ==，a b ==3，060AOB ∠=，则a b +=_________6．若32,43a eb e =-=-，则____a b =7．若,OA OB 不共线，且()AP t AB t R =∈，用,OA OB 表示OP 为_________ 8.设1(2,3),(1,5),,33A B AC AB AD AB -==且，则C 、D 的坐标分别是_________ 9.对平面内任意的四点A,B,C,D ，则AB BC CD DA +++= . 10．若3,a b =与a 的方向相反，且5,______b a b ==则 11．化简：（1）AB BC CD ++=_____________。

向量的概念及表示、向量的线性运算向量的概念及表示、向量的线性运算在数学中，几何向量(也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量)，指具有大小(magnitude)和方向的几何对象，可以形象化地表示为带箭头的线段：箭头所指，代表向量的方向、线段长度，代表向量的大小。

一个向量可以有多种记法，如记作粗体的字母(a、b、u、v)，或在字母顶上加一小箭头&rarr;，或在字母下加波浪线~。

如果给定向量的起点(A)和终点(B)，可将向量记作AB(并于顶上加&rarr;)。

给空间设一直角坐标系，也能把向量以数对形式表示，例如Oxy平面中(2,3)是一向量。

而在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。

许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力，等等。

与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。

一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。

几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。

此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。

因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。

不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类空间基本定理知，有且只有一组实数(x，y, z)，使得a=向量OP=xi+yj+zk，因此把实数对(x，y, z)叫做向量a的坐标，记作a=(x，y, z)。

这就是向量a的坐标表示。

其中(x，y, z)，也就是点P的坐标。

向量OP称为点P的位置向量。

3) 当然,对于多维的空间向量，可以通过类推得到,此略。

向量线性运算知识点总结一、向量的定义在数学中，向量通常用箭头符号表示，比如$\vec{a}$或者$\overrightarrow{AB}$。

向量是有方向和大小的量，通常用于表示空间中的位移、速度等。

在n维空间中，一个向量可以表示为一个具有n个有序实数的n维坐标组$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，而在实际应用中，可以用行向量或列向量来表示。

在数学中，向量可以用于表示空间几何中的位移、速度、力等，同时也可以用于表示抽象意义上的量，比如代数中的多项式、矩阵等。

在计算机科学中，向量也被广泛应用于向量空间的表示，比如在机器学习中的特征向量等。

二、向量的线性运算向量的线性运算包括两种基本运算：向量的加法和数乘运算。

1. 向量的加法设有两个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和$\vec{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$，则它们的和是一个n维向量，记作$\vec{a}+\vec{b}=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n)$。

向量的加法满足以下性质：- 交换律：$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$- 结合律：$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$- 零向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$，其中$\vec{0}$表示零向量- 相反向量：对于任意向量$\vec{a}$，都有$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$，其中$-\vec{a}$表示向量$\vec{a}$的相反向量2. 数乘运算设有一个n维向量$\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$和一个实数$k$，则它们的数乘运算结果是一个n维向量，记作$k\vec{a}=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n)$。

第一节向量有关概念及线性运算一、向量的概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量。

2、向量的表示：（1）几何法：且一条有向线段表示，长度表示大小，箭头表示方向。

（2）符号表示法：有向线段记法：，，或一个字母：，。

（3）坐标表示：与起点在原点的有向线段一一对应。

A，B的坐标分别为，，则向量的坐标为3、向量的长度（大小）：向量的长度称为向量的模。

记作：4、零向量：长度为0的向量。

记作：5、单位向量：长度为1个单位长度的向量。

关注重点：（1）方向（2）长度二、两个向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。

记作：，或规定：零向量与任一向量平行。

2、相等的向量：长度相等且方向相同的向量。

记作：，或零向量与零向量相等。

3、相反向量：与长度相同方向相反的向量，记作的相反向量是。

注意：数学上的向量均指自由向量：一切向量都可以在不改变方向和大小的前提下，将它移至任意位置，即起点可任取，且起点一旦确定，终点也将唯一确定。

1、判断下列命题的正误：（1）零向量与非零向量平行；（2）长度相等方向相反的向量共线；（3）若与是两个单位向量，则与相等；（4）若向量与向量不共线，则与都是非零向量；（5）若两个向量相等，则它们的起点、方向、长度必须相等；（6）若两个向量的模相等，则这两个向量不是相等向量就是相反向量；（7）若非零向量，是共线向量，则A、B、C、D四点共线；（8）“四边形ABCD是平行四边形”的充要条件是“”；（9）共线的向量一定相等；（10）相等的向量一定共线。

解：（1）正确（2）正确（3）错误两个单位向量的模均为1，但方向可以不同。

（4）正确因为零向量与任意向量共线（5）错误两向量相等，起点可以不同，只需模相等，方向相同。

（6）错误方向不定。

（7）错误线段AB可与线段CD平行。

（8）正确一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

小结：[1]相等与共线区别：向量相等一定共线，但共线未秘相等。

[2]向量共线与四点共线：向量是自由向量，因此四点不共线但可能两个向量共线。