【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中人教B版数学必修五课时作业：第3章 不等式的性质

数学人教B 必修5第三章3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝12 D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y →(1x ＋1y )·1→(1x ＋1y)(2x ＋y )→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x的最值． 错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log 5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )．A ．a ＋b ≥2abB ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2abD ．b a ＋ab≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．154若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________．5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案： 基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】22 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2 (2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254(1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋y x ≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log 5x )≥2(－log 5x )·(－5log 5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log 5x≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5.当且仅当log 5x ＝5log 5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1. 令t ＝x 2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5. 5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。

整理得2t2－t－1＝0， 1 解得t＝1或t＝－ (舍去)． 2
即舰艇需1小时靠近渔船，此时AB＝10 3，BC＝10，
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§1.2（一）
在△ABC中，由正弦定理得 BC AB ＝sin 120° ， sin∠CAB 3 10× BCsin 120° 2 1 所以sin∠CAB＝ ＝ ＝ ， AB 10 3 2
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§1.2（一）
dsin α2 sinα1＋α2 甲方案：第一步：计算AM.由正弦定理AM＝___________；
dsin β2 sinβ2－β1 第二步：计算AN.由正弦定理AN＝___________；
第三步：计算MN.由余弦定理
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AM2＋AN2－2AM×ANcosα1－β1 MN＝_________________________________.
解 在△ABC中，
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§1.2（一）
∠BCA＝90° ＋β， ∠ABC＝90° －α， ∠BAC＝α－β，∠CAD＝β. AC BC 根据正弦定理得 ＝ ， sin∠ABC sin∠BAC AC BC 即 ＝ ， sin90° －α sinα－β
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3.如图所示,为了测定河的宽度，在一岸边选定 两点A、B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝ 30° ，∠CBA＝75° ，AB＝120m，则河的宽度
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§1.2（一）
为

．
解析 在△ABC中，∠CAB＝30° ，∠CBA＝75° ， ∴∠ACB＝75° .∠ACB＝∠ABC. ∴AC＝AB＝120(m)．

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1．不等式 2x≤x2＋1 的解集为( A．∅ C．{x|x≠1} B．R
)
D．{x|x>1 或 x<－1}
【解析】 2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0， ∴x∈R.
【答案】 B
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1．本例中不等式对应的方程 x2－2ax－8a2＝0 有实根，只是 大小由参数的范围决定，故按根的大小讨论参数． 2．解含参数的一元二次不等式的一般思路 (1)当二次项系数不确定时，按二次项系数等于零、大于零 和小于零三种情况讨论； (2)判别式大于零时，还需要讨论两根的大小； (3)判别式不确定时，按判别式等于零、大于零和小于零三 种情况讨论．
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一元二次不等式
【问题导思】 给出下面四个不等式 (1)x2－x－6>0，(2)x2－x－6≤0， (3)x2－4x＋4≥0，(4)2x2＋x＋5<0.
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1．以上四个不等式中，每个不等式含有几个未知数？未知 数的最高次数是多少？
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●重点难点 重点：用图象法解一元二次不等式． 难点： 围绕“二次函数图象性质”这一主线如何渗透数形结 合思想．
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第三章 不等式本章整合知识网络专题探究专题一 用函数的图象解不等式函数是中学数学中的重点内容之一，它贯穿于中学数学教学的始终，而利用函数的图象能直观、准确、迅速地分析研究函数的性质或解决与函数有关的问题，因此，函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．函数图象形象显示了函数的性质，为研究数量关系提供了形的直观性，它是探求解题路径、获得问题结果的重要工具，在解方程或不等式时，特别是非常规的方程或不等式，有时需要画出图象，利用数形结合能起到十分快捷的效果．【应用1】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ≥32，lg(3－x )，x <32，若方程f (x )＝k 无实根，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，lg 32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32，＋∞提示：所给的函数f (x )是分段函数，而方程f (x )＝k 无实数根，可利用数形结合法转化为函数图象无交点．解析：在同一坐标系内作出y ＝f (x )与y ＝k 的图象，如图，当x ＝32时，f (x )＝lg 32．所以若两函数图象无交点，则k <lg 32．答案：C【应用2】已知a，b，c依次是方程2x＋x＝0，log2x＝2－x和12log x＝x的实数根，则a，b，c的大小关系是________．提示：构造常见的初等函数利用函数的图象可解决问题．解析：由2x＋x＝0，得2x＝－x，设函数y1＝2x，y2＝－x，分别作出它们的图象，如图1，两图象交点的横坐标即为a，可得a<0，同理，对于方程log2x＝2－x，可得图2，得1<b<2；对于方程12log x＝x，可得图3，得0<c<1，所以a<c<b．答案：a<c<b专题二不等式的解法常见的不等式有一元一次不等式，一元二次不等式，简单的高次不等式，分式不等式，含有指数、对数的不等式，其解法为：(1)解一元二次不等式，画出其对应的二次函数图象，来确定解集．(2)解高次不等式常用穿根法．(3)分式不等式利用不等式的性质将其转化为整式不等式(组)求解．(4)解含有指数、对数的不等式利用指数与对数函数的单调性，将指数、对数不等式转化成与之等价的不等式(组)求解．【应用1】求解下列不等式：(1)－x2＋2x＋3<0；(2)x3＋2x2－3x>0；(3)x2x－2≥－1；(4)log 12(2x 2＋3x )≥－1．提示：(1)注意解一元二次不等式的几个步骤． (2)穿根法求解．(3)转化为整式不等式，注意分母不为0． (4)对数不等式，真数大于0．解：(1)∵－x 2＋2x ＋3<0，∴x 2－2x －3>0． 又∵方程x 2－2x －3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝3， ∴不等式的解集为{x |x >3或x <－1}．(2)由x 3＋2x 2－3x ＝x (x 2＋2x －3)＝x (x ＋3)(x －1)，可令f (x )＝x (x －1)(x ＋3)， ∵f (x )＝0的根为－3，0，1，∴由穿根法(如图)，得不等式x 3＋2x 2－3x >0的解集为{x |x >1或－3<x <0}．(3)由x 2x －2≥－1可得x 2x －2＋1＝x 2＋x －2x －2≥0，即(x 2＋x －2)(x －2)≥0，且x －2≠0， 即(x －1)(x ＋2)(x －2)≥0且x ≠2，如图，由穿根法得原不等式的解集为{x |－2≤x ≤1或x >2}． (4)∵12log (2x 2＋3x )≥－1＝12log 2，又∵0<12<1，∴原不等式同解于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3x >0，2x 2＋3x ≤2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0或x <－32，－2≤x ≤12.∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2≤x <－32或0<x ≤12．【应用2】 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)>0．提示：二次项系数为a ，需对a 的正负进行讨论；还要对根的大小进行讨论，两者要同时进行．解：(1)当a ＝0时，原不等式化为(x －2)·(－2)>0即x －2<0，∴x <2．(2)当a <0时，原不等式可化为(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a <0，此时两根大小关系为2>2a，解得2a<x <2．(3)当a >0时，原不等式可化为(x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －2a >0，此时两根分别为2，2a．①当a ＝1时，2a＝2，解得x ≠2．②当a >1时，2>2a ，解得x >2或x <2a．③当0<a <1时，2<2a ，解得x >2a或x <2．综上所述，不等式的解集为 ①当a ＝0时，{x |x <2}； ②当a ＝1时，{x |x ≠2}；③当a <0时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a<x <2；④当a >1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2，或x <2a ；⑤当0<a <1时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >2a ，或x <2． 专题三 利用均值不等式求最值的常用方法均值不等式是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题．对于有些题目，可以直接利用均值不等式求解．但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解．常见的变形手段为配凑法、整体代换法等．下面介绍一些常用的变形方法．1．凑系数【应用1】 已知0<x <5，求y ＝x (10－2x )的最大值．提示：由0<x <5，知10－2x >0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x ＋(10－2x )＝10为定值，故只需将y ＝x (10－2x )凑上一个系数即可．解：y ＝x (10－2x )＝12[2x ·(10－2x )]≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋10－2x 22＝252，当且仅当2x ＝10－2x ，即x ＝52时，等号成立．所以当x ＝52时，y ＝x (10－2x )的最大值为252．2．凑项法【应用2】 已知x <54，求函数f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值．提示：由题意知4x －5<0，首先要调整符号，又(4x －2)·14x －5不是定值，故需对4x －2进行凑项才能得到定值．解：∵x <54，∴5－4x >0．∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2(5－4x )·15－4x ＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时等号成立，此时f (x )的最大值为1． 3．分离法【应用3】 求f (x )＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ≠－1)的值域．提示：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x ＋1)的项，再将其分离．解：f (x )＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5，当x ＋1>0，即x >－1时，f (x )≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9(当且仅当x ＝1时等号成立)； 当x ＋1<0，即x <－1时，f (x )≤－2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝1(当且仅当x ＝－3时等号成立)． ∴f (x )＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x ≠－1)的值域为(－∞，1]∪[9，＋∞)．4．整体代换法【应用4】 若x ，y 都是正数，且满足4x ＋16y＝1，求x ＋y 的最小值．提示：由于x ＋y ＝1·(x ＋y )，故可以将4x ＋16y＝1整体代入，展开之后，再用基本不等式求最小值．解：∵x ＋y ＝1·(x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x＋16y (x ＋y )＝20＋⎝⎛⎭⎪⎫4y x ＋16x y ≥20＋24y x ·16xy＝36，当且仅当x ＝12，y ＝24时，等号成立， ∴x ＋y 的最小值为36． 专题四 不等式恒成立问题恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是很综合的一个题型，也是历年高考的一个热点．变量分离法和数形结合的方法比较常用，数形结合的方法较简单．当然还有其他的解决方法，如赋值法、根据对称性等．1．一次函数型【应用1】 对于满足|p |≤2的所有实数p ，求使不等式x 2＋px ＋1>p ＋2x 恒成立的x 的取值范围．提示：在不等式中出现了两个字母：x 和p ，关键在于该把哪个字母看成是变量．本题可将p 视作变量，则上述问题即可转化为在[－2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．解：原不等式即(x －1)p ＋x 2－2x ＋1>0，设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－2x ＋1，则f (p )在[－2，2]上恒大于0，故有：⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)>0，f (2)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3>0，x 2－1>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <1，x >1或x <－1，∴x <－1或x >3． 2．二次函数型【应用2】 设f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，都有f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．提示：题目中要证明f (x )≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[－1，＋∞)上恒大于0的问题，就可以利用函数的图象解决了．解：设F (x )＝f (x )－a ＝x 2－2ax ＋2－a ．(1)当Δ＝4a 2－4(2－a )＝4(a －1)(a ＋2)<0，即－2<a <1时，对一切x ∈[－1，＋∞)，F (x )≥0恒成立；(2)当Δ＝4(a －1)(a ＋2)≥0时，由图可得以下充要条件：⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，F (－1)≥0，－－2a 2≤－1，即⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)(a ＋2)≥0，a ＋3≥0，a ≤－1，得－3≤a ≤－2．综上可得a 的取值范围为[－3，1)． 3．变量分离型【应用3】 对一切实数x ，不等式x 4＋ax 2＋1≥0恒成立，求字母a 的取值范围． 提示：从所给不等式中解出a ，再利用基本不等式求解． 解：不等式x 4＋ax 2＋1≥0可以化为a ≥－1－x4x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫1x2＋x 2(x ≠0)．函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋x 2≤－2，则a ≥－2．若x ＝0，则a ∈R ． 故a 的取值范围是[－2，＋∞)． 专题五 不等式与函数、方程的综合问题1．利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函数中的有关问题，主要体现在：利用不等式求函数的定义域、值域、最值、证明单调性等．2．利用函数、方程、不等式之间的关系，可解决一元二次方程根的分布及相关的不等式问题．【应用1】 已知函数f (x )＝log 3mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为R ，值域为[0，2]，求m ，n 的值．提示：将定义域问题转化为不等式恒成立问题，即转化为mx 2＋8x ＋n >0的解集为R ．解：令y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，∵函数f (x )的定义域为R ，∴对任意实数x ∈R ，y >0恒成立，即mx 2＋8x ＋n >0恒成立． 当m ＝0时，不等式化为8x >－n ，不可能恒成立；当m ≠0时，必须有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝64－4mn <0，即⎩⎪⎨⎪⎧m >0，mn >16.由y ＝mx 2＋8x ＋n x 2＋1，得(m －y )x 2＋8x ＋(n －y )＝0． ∵x ∈R ，∴Δ＝82－4(m －y )(n －y )≥0， 即y 2－(m ＋n )y ＋mn －16≤0．① 由题意知f (x )∈[0，2]，则y ∈[1，9]． 即关于y 的不等式①的解集为[1，9]．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝10，mn －16＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝5.此时满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，mn >16.故所求m ＝5，n ＝5．【应用2】 已知在△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，m 为正数． 求证：aa ＋m ＋b b ＋m >cc ＋m．提示：可利用通分作差的方法解决，也可以构造函数利用函数的单调性解决． 证明：构造函数f (x )＝xx ＋m(x >0，m 为正数)．由于xx ＋m＝1－mx ＋m，易证f (x )是正实数集上的增函数．因为在△ABC 中，a ＋b >c ，所以f (a ＋b )>f (c )， 即a ＋b a ＋b ＋m >cc ＋m．又因为a a ＋m ＋bb ＋m >a a ＋b ＋m ＋b a ＋b ＋m ＝a ＋ba ＋b ＋m，所以原不等式成立．。