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第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一)一、基础过关1．在△ABC 中，下列等式中总能成立的是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．b sin C ＝c sin AC ．ab sin C ＝bc sin BD ．a sin C ＝c sin A2．在△ABC 中，若A ＝30°，B ＝60°，b ＝3，则a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．2 D.123．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形4．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6C.π3或23π D.π6或56π 5．在△ABC 中，已知a ∶b ∶c ＝3∶4∶5，则2sin A －sin B sin C＝________. 6．在△ABC 中，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________. 7．已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B .8．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C .二、能力提升9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为( ) A.π2 B.π3 C.π4 D.π610．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是 ( ) A.⎝⎛⎭⎫152，＋∞ B ．(10，＋∞)C ．(0,10) D.⎝⎛⎦⎤0，403 11．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 12．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，求A 的值．三、探究与拓展13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，求角C 的大小．答案1．D 2.B 3.A 4.C 5.25 6.5237．解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°) ＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 8．证明 因为左边＝4R 2sin 2A ·sin 2B ＋4R 2sin 2B ·sin 2A ＝8R 2sin 2A sin B cos B ＋8R 2sin 2B sin A cos A ＝8R 2sin A sin B (sin A cos B ＋cos A sin B ) ＝8R 2sin A sin B sin(A ＋B )＝8R 2sin A sin B sin C＝2·(2R sin A )·(2R sin B )·sin C＝2ab sin C ＝右边，∴等式成立．9．D 10.D 11.10212．解 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ， 即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ， 化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 13．解 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ， 即sin C ＝－3cos C ．∴tan C ＝－ 3. 又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.。
习题课 正弦定理和余弦定理一、基础过关1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝44°，则此三角形解的情况为( )A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定 2．在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，当△ABC 的面积等于3时，sin C 等于 ( ) A.23913B.1313C.2393D.213133．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 ( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 24．若△ABC 的内角A 、B 、C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B 等于( ) A.154 B.34 C.31516 D.11165．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．60° 6．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是________． 7．已知△ABC 的面积为23，BC ＝5，A ＝60°，则△ABC 的周长是________．8．在△ABC 中，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 二、能力提升9．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 为( ) A ．30° B ．60°C ．45°或135°D ．120° 10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sinC .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．12．已知△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(sin C ，sin B cos A )，n ＝(b,2c )，且m ·n ＝0.(1)求A 的大小；(2)若a ＝23，c ＝2，求△ABC 的面积S 的大小．三、探究与拓展13．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a ＋a b ＝6cos C ，求tan C tan A ＋tan C tan B的值．答案1．B 2.A 3.D 4.D 5.A 6.3 7.128．证明 右边＝sin A cos B －cos A sin B sin C＝sin A sin C ·cos B －sin B sin C·cos A ＝a c ·a 2＋c 2－b 22ac －b c ·b 2＋c 2－a 22bc＝a 2＋c 2－b 22c 2－b 2＋c 2－a 22c 2＝a 2－b 2c 2 ＝左边．所以a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C. 9．C [由已知有a 4＋b 4＋c 4－2a 2c 2－2b 2c 2＝0， ∴(a 2＋b 2)2－2(a 2＋b 2)c 2＋c 4＝2a 2b 2，∴(a 2＋b 2－c 2)2＝2a 2b 2，∴a 2＋b 2－c 2－2ab ＝0或a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab 或c 2＝a 2＋b 2＋2ab .∴cos c ＝22或cos C ＝－22. ∴C ＝45°或135°.] 10.π611．解 (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .①由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以cos A ＝－12，故A ＝120°. (2)由①得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，又sin B ＋sin C ＝1，故sin B ＝sin C ＝12. 因为0°＜B ＜90°，0°＜C ＜90°，故B ＝C .所以△ABC 是等腰的钝角三角形．12．解 (1)∵m ·n ＝0，∴(sin C ，sin B cos A )·(b,2c )＝0.∴b sin C ＋2c sin B cos A ＝0.∵b sin B ＝c sin C，∴bc ＋2bc cos A ＝0. ∵b ≠0，c ≠0，∴1＋2cos A ＝0.∴cos A ＝－12.∵0＜A ＜π，∴A ＝2π3. (2)在△ABC 中，∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋4－4b cos 2π3. ∴b 2＋2b －8＝0.∴b ＝－4(舍)或b ＝2.∴△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×2×32＝ 3. 13．解 由b a ＋a b＝6cos C 得b 2＋a 2＝6ab cos C .化简整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，将tan C tan A ＋tan C tan B 切化弦， 得sin C cos C ·(cos A sin A ＋cos B sin B ) ＝sin C cos C ·sin (A ＋B )sin A sin B ＝sin C cos C ·sin C sin A sin B＝sin 2C cos C sin A sin B. 根据正、余弦定理得sin 2C cos C sin A sin B ＝c 2ab ·a 2＋b 2－c 22ab＝2c 2a 2＋b 2－c 2＝2c 232c 2－c 2＝4. 故tan C tan A ＋tan C tan B＝4.。
1.1.2 余弦定理(二)一、基础过关1．在△ABC 中，若b 2＝a 2＋c 2＋ac ，则B 等于( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°2．若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形3．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为 ( )A.13B ．－23C.14D ．－144．在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，A ＝30°，则角C 等于( )A ．30°B ．120°C ．60°D ．150°5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．7．已知△ABC 的内角B ＝60°，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 二、能力提升9．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( )A ．1＜c ＜3B ．2＜c ＜3 C.5＜c ＜3D ．22＜c ＜310．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·CA →＝________. 11．在△ABC 中，B ＝45°，AC ＝10，cos C ＝255.(1)求边BC 的长；(2)记AB 的中点为D ，求中线CD 的长．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2C ＝－14.(1)求sin C 的值；(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长． 三、探究与拓展13．某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能否做出这样的三角形？若能，是什么形状；若不能，请说明理由．答案1．C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.π6 7. 38．解 (1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，故cos B ＝22. 又B 为三角形的内角，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45° ＝2＋64. 故a ＝b sin Asin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b sin C sin B ＝2×sin 60°sin 45°＝ 6.9．C 10.－3211．解 (1)由cos C ＝255，得sin C ＝55.sin A ＝sin(180°－45°－C )＝22(cos C ＋sin C )＝31010. 由正弦定理知BC ＝AC sin B ·sin A＝1022·31010＝3 2. (2)AB ＝AC sin B ·sin C ＝1022·55＝2，BD ＝12AB ＝1.由余弦定理知 CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos B＝ 1＋18－2×1×32×22＝13. 12．解 (1)∵cos 2C ＝1－2sin 2C ＝－14，0<∠C <π，∴sin C ＝104. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理a sin A ＝csin C，得c ＝4.由cos 2C ＝2cos 2C －1＝－14及0<∠C <π，得cos C ＝±64.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 得b 2±6b －12＝0(b >0)， 解得b ＝6或26，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝6，c ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝26，c ＝4.13．解 此人能做出这样的三角形．理由如下：设高线113，111，15分别对应的边为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，S ＞0，则由S ＝12×a ×113得a ＝26S ，由S ＝12×b ×111得b ＝22S ，由S ＝12×c ×15得c ＝10S .∵b 2＋c 2－a 2＝(22S )2＋(10S )2－(26S )2＝4S 2(112＋52－132)＜0， ∴能做出这样的三角形且为钝角三角形．。
