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1.2.3 三角函数的诱导公式(一) 一、填空题 1．sin 585°的值为________．＋．若n为整数，则代数式的化简结果是________．＋，则sin(2π＋α)＝________. 3．若cos(π＋α)＝－，－＋－π－．化简：＝________. －－．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°＝－，0，则cos(π＋α)的值为________．6．若sin(π－α)＝log ，且α∈1＋2sin 290°cos 430°的化简结果是______．7．代数式sin 250°＋cos＋＋x－x＝，则sin＋cos 的值为________．8．已知sin6664二、解答题24π)·cos(nπ＋π)，n∈Z. 9．化简：sin(nπ－33210．若cos(α－π)＝－，求－＋－α－－的值．－－－π－－．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 三、探究与拓展12．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cos A＝－2cos(π－B)，求△ABC的三个内角．答案21－k2351．－2.tan α 3.－4.sin α 5．－ 6.－7.－1 22k3118. 169．解当n为偶数时，n＝2k，k∈Z. 24π)·cos(2kπ＋π) 原式＝sin(2kπ－＋π－＝(－sin π)··coscos ＝sinπππ2313π·cos ＝sin ＝sin ·cos ＝×＝. 3333224当n为奇数时，n＝2k＋1，k∈Z. 24π)·cos(2kπ＋π＋π) 原式＝sin(2kπ＋π－＋ππ－π ·cos＝sin＋＝sin ·cosππ313＝sin ×cos ＝×＝. 33224243π)·cos(nπ＋π)＝∴sin(nπ－，n∈Z. 33410．解原式＝－－－＋－－cos α－－α－－＝＝2α－cos α＋cos －－＝－tan α. ∵cos(α－π)＝cos(π－α) 2＝－cos α＝－，32∴cos α＝. 3∴α为第一象限角或第四象限角．2当α为第一象限角时，cos α＝，352α＝sin α＝1－cos， 3sin α55∴tan α＝＝，∴原式＝－. cos α222当α为第四象限角时，cos α＝，352α＝－sin α＝－1－cos，3sin α55∴tan α＝＝－，∴原式＝. cos α225综上，原式＝±. 211．证明∵sin(α＋β)＝1，π∴α＋β＝2kπ＋ (k∈Z)，2π∴α＝2kπ＋－β (k∈Z)．2tan(2α＋β)＋tan β π2kπ＋－β＋β＋tan β ＝tan22＝tan(4kπ＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4kπ＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0，∴原式成立．12．解由条件得sin A＝2sin B，3cos A＝2cos B，22平方相加得2cosA＝1，cos A＝±，2π3π. 又∵A∈(0，π)，∴A＝或4433π时，cos B＝－当A＝<0，42π，π∴B∈，2∴A，B均为钝角，不合题意，舍去．ππ3∴A＝，cos B ＝，∴B＝，4267π. ∴C＝12。
§1.3 三角函数的诱导公式(二)一、基础过关1． 已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32 2． 若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( )A ．－12B ．12C.32D ．－32 3． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( )A ．－13B.13 C ．－223D.2234． 若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m 3 C ．－3m2D.3m 2 5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 36． 已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B ．23C ．－13D ．－237．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 8．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.二、能力提升9． 已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )． 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 12．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．三、探究与拓展13．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．答案1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.8928．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 9．210．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0. 11．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α ＝－sin α.∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，② ①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.12．解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α ＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335.13．解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
§1.3 三角函数的诱导公式(一)一、基础过关 1． sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32D.32 2． 若n 为整数，则代数式sin (n π＋α)cos (n π＋α)的化简结果是( )A ．±tan αB ．－tan αC ．tan αD ．12tan α3． 若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( )A.12B ．±32C.32D ．－32 4． tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1 5． 记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A.1－k 2kB ．－1－k 2kC.k1－k 2D ．－k1－k 26． 若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos(π＋α)的值为( )A.53B ．－53C ．±53D ．以上都不对7．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－θ＝________. 8．代数式1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°的化简结果是________．二、能力提升9． 设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 013)＝1，则f (2 014)＝________.10．化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z .11．若cos(α－π)＝－23，求sin (α－2π)＋sin (－α－3π)cos (α－3π)cos (π－α)－cos (－π－α)cos (α－4π)的值．12．已知sin(α＋β)＝1，求证：tan(2α＋β)＋tan β＝0. 三、探究与拓展13．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．答案1．A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.B 7．－338.－1 9.3 10．解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos ⎝⎛⎭⎫43π ＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π ＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z . 原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π)＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π ＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3 ＝sin π3×cos π3＝32×12＝34.∴sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .11．解 原式＝－sin (2π－α)－sin (3π＋α)cos (3π－α)－cos α－(－cos α)cos α＝sin α－sin αcos α－cos α＋cos 2α＝sin α(1－cos α)－cos α(1－cos α)＝－tan α.∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α ＝－23，∴cos α＝23.∴α为第一象限角或第四象限角．当α为第一象限角时，cos α＝23，sin α＝1－cos 2α＝53， ∴tan α＝sin αcos α＝52，∴原式＝－52.当α为第四象限角时，cos α＝23，sin α＝－1－cos 2α＝－53， ∴tan α＝sin αcos α＝－52，∴原式＝52.综上，原式＝±52.12．证明 ∵sin(α＋β)＝1，∴α＋β＝2k π＋π2 (k ∈Z )，∴α＝2k π＋π2－β (k ∈Z )．tan(2α＋β)＋tan β＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫2k π＋π2－β＋β＋tan β ＝tan(4k π＋π－2β＋β)＋tan β ＝tan(4k π＋π－β)＋tan β ＝tan(π－β)＋tan β ＝－tan β＋tan β＝0， ∴原式成立．13．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22，又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)一、基础过关1． sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32 2． 若锐角α、β满足cos α＝45，cos(α＋β)＝35，则sin β的值是( ) A.1725B.35C.725D.153． 已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1 4． 若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 35． 在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形6． 化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 7． 已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是______．8． 已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，求β. 二、能力提升9． 在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B.3365C ．－6365D.636510．式子sin 68°－cos 60°sin 8°cos 68°＋sin 60°sin 8°的值是________．11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．12．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)． 三、探究与拓展13．证明：sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β，并利用该式计算sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值．答案1．B 2.C 3.D 4.B 5.C 6.cos α 7.137 8.β＝π4 9.B 10. 311．解 因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin 2α＝sin [(α－β)＋(α＋β)] ＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－5665.12．解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513， cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213， sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45. cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β) ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－ cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－3365.13．证明 左边＝sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β) ＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β ＝sin 2α(1－sin 2β)－(1－sin 2α)sin 2β ＝sin 2α－sin 2αsin 2β－sin 2β＋sin 2αsin 2β ＝sin 2α－sin 2β＝右边．∴sin(α＋β)sin(α－β)＝sin 2α－sin 2β. ∴sin 220°＋sin 80°·sin 40°＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°) ＝sin 220°＋sin 260°－sin 220°＝sin 260°＝34.。
2.2.2 向量减法运算及其几何意义一、基础过关1. 四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于 ( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c2． 化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP → B.OQ →C.SP →D.SQ →3． 若O ，E ，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE →4． 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则 () A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝05． 在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有( ) A.AD →＝0B.AB →＝0或AD →＝0C ．ABCD 是矩形D ．ABCD 是菱形6. 如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.7． 化简(AB →－CD →)－(AC →－BD →)的结果是________．8． 已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示OD →.二、能力提升9． 若|AB →|＝5，|AC →|＝8，则|BC →|的取值范围是 ( )A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)10．边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为 () A ．1 B ．2 C.32 D. 311．若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 所在直线的夹角是________．12．已知|a |＝8，|b |＝6，且|a ＋b |＝|a －b |，求|a －b |.三、探究与拓展13. 如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA →＋OB →＋OC →.答案1．A 2.B 3.B 4.A 5.C 6.CA → 7.0 8．O D →＝a ＋c －b 9.C 10.D 11.30°12．解 设AB →＝a ，AD →＝b ，以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABCD ，如下图所示： 则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，所以|AC →|＝|DB →|.又因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD 为矩形，故AD ⊥AB .在Rt △DAB 中，|AB →|＝8，|AD →|＝6，由勾股定理得|DB →|＝|AB →|2＋|AD →|2＝82＋62＝10.所以|a －b |＝10.13．证明 作直径BD ，连接DA 、DC ，则OB →＝－OD →，DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形．∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.。
