《步步高学案导学设计》高中数学人教A版选修2-2【配套备课资源】第一章1.1.3
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1.1.3 导数的几何意义 一、基础过关 1. 下列说法正确的是 ( )
A .若f ′(x 0)不存在,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处就没有切线
B .若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处有切线,则f ′(x 0)必存在
C .若f ′(x 0)不存在,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线斜率不存在
D .若曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处没有切线,则f ′(x 0)有可能存在
2. 已知y =f (x )的图象如图所示,则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )
A .f ′(x A )>f ′(x
B )
B .f ′(x A ) C .f ′(x A )=f ′(x B ) D .不能确定 3. 在曲线y =x 2上切线倾斜角为π4 的点是 ( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,116) D .(12,14 ) 4. 设曲线y =ax 2在点(1,a )处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a 等于 ( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 5. 曲线y =-1x 在点(1,-1)处的切线方程为 ( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x +2 D .y =-x -2 6.已知函数y =f (x )的图象在点M (1,f (1))处的切线方程是y =12 x +2,则f (1)+f ′(1)=_______. 二、能力提升 7. 设f (x )为可导函数,且满足lim x →0 f (1)-f (1-x )x =-1,则曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率是 ( ) A .1 B .-1 C.12 D .-2 8.若曲线y =2x 2-4x +P 与直线y =1相切,则P =________. 9. 设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点,且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎡⎦ ⎤0,π4,则点P 横坐标的取值范围为________. 10.求过点P (-1,2)且与曲线y =3x 2-4x +2在点M (1,1)处的切线平行的直线. 11.已知抛物线y =x 2+4与直线y =x +10.求: (1)它们的交点; (2)抛物线在交点处的切线方程. 12.设函数f (x )=x 3+ax 2-9x -1(a <0),若曲线y =f (x )的斜率最小的切线与直线12x +y =6 平行,求a 的值. 三、探究与拓展 13.根据下面的文字描述,画出相应的路程s 关于时间t 的函数图象的大致形状: (1)小王骑车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (2)小华早上从家出发后,为了赶时间开始加速; (3)小白早上从家出发后越走越累,速度就慢下来了. 答案 1.C 2.B 3.D 4.A 5.A 6.3 7.B 8.3 9.⎣ ⎡⎦⎤-1,-12 10.解 曲线y =3x 2-4x +2在点M (1,1)处的切线斜率 k =y ′|x =1 =lim Δx →0 3(1+Δx )2-4(1+Δx )+2-3+4-2Δx =lim Δx →0 (3Δx +2)=2. ∴过点P (-1,2)的直线的斜率为2, 由点斜式得y -2=2(x +1), 即2x -y +4=0. 所以所求直线方程为2x -y +4=0. 11.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ y =x 2+4,y =x +10, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =-2y =8或⎩⎪⎨⎪⎧ x =3y =13 . ∴抛物线与直线的交点坐标为(-2,8)或(3,13). (2)∵y =x 2+4, ∴y ′=lim Δx →0 (x +Δx )2+4-(x 2+4)Δx =lim Δx →0 (Δx )2+2x ·Δx Δx =lim Δx →0 (Δx +2x )=2x . ∴y ′|x =-2=-4,y ′|x =3=6, 即在点(-2,8)处的切线斜率为-4, 在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(-2,8)处的切线方程为4x +y =0; 在点(3,13)处的切线方程为6x -y -5=0. 12.解 ∵Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0) =(x 0+Δx )3+a (x 0+Δx )2-9(x 0+Δx )-1-(x 30+ax 20-9x 0-1) =(3x 20+2ax 0-9)Δx +(3x 0+a )(Δx )2+(Δx )3, ∴Δy Δx =3x 20+2ax 0-9+(3x 0+a )Δx +(Δx )2. 当Δx 无限趋近于零时, Δy Δx 无限趋近于3x 20+2ax 0-9. 即f ′(x 0)=3x 20+2ax 0-9 ∴f ′(x 0)=3(x 0+a 3)2-9-a 23 . 当x 0=-a 3 时, f ′(x 0)取最小值-9-a 23 . ∵斜率最小的切线与12x +y =6平行, ∴该切线斜率为-12. ∴-9-a 23 =-12. 解得a =±3.又a <0, ∴a =-3. 13.解 相应图象如下图所示.