《步步高 学案导学设计》2020—2021学年 高中数学 人教A版必修4【配套备课资源】第1章

§1.3 三角函数的诱导公式(二)一、基础过关1． 已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.32 2． 若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于( )A ．－12B ．12C.32D ．－32 3． 已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于( )A ．－13B.13 C ．－223D.2234． 若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为( )A ．－2m3B.2m 3 C ．－3m2D.3m 2 5． 已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ等于( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 36． 已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是( )A.13B ．23C ．－13D ．－237．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝________. 8．求证：tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝－tan α.二、能力提升9． 已知tan(3π＋α)＝2，则sin (α－3π)＋cos (π－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－2cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α－sin (－α)＋cos (π＋α)＝________.10．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )． 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 12．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2，求sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α的值．三、探究与拓展13．是否存在角α，β，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式⎩⎪⎨⎪⎧sin (3π－α)＝2cos ⎝⎛⎭⎫π2－β3cos (－α)＝－2cos (π＋β)同时成立．若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．答案1．A 2.A 3.A 4.C 5.C 6.D 7.8928．证明 左边＝tan (－α)·sin (－α)·cos (－α)sin ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α·cos ⎣⎡⎦⎤2π－⎝⎛⎭⎫π2－α＝(－tan α)·(－sin α)·cos αsin ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝sin 2α－cos α·sin α＝－sin αcos α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立． 9．210．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋ cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0. 11．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α ＝－sin α.∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，② ①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169，②－①得(sin α－cos α)2＝49169.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0， 即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0， ∴sin α＋cos α＝1713，③sin α－cos α＝713，④③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513.12．解 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2， ∴－sin α＝－2cos α，∴tan α＝2.∴sin 3(π＋α)＋cos (α＋π)5cos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＋3sin ⎝⎛⎭⎫7π2－α＝－sin 3α－cos α5sin α－3sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－(sin 3α＋cos α)5sin α－3cos α＝sin 3α＋cos α3cos α－5sin α＝sin 2α·tan α＋13－5tan α ＝sin 2αsin 2α＋cos 2α·tan α＋13－5tan α＝tan 3α1＋tan 2α＋13－5tan α＝231＋22＋13－5×2＝－1335.13．解 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④ 由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22，因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， 所以α＝π4或α＝－π4.当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合．当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合．综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)一、基础过关1．已知α∈，α＝，则的值等于()B．7 C．－D．－72．若α＝，(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则β的值是()B．－C．－7 D．－3．已知α＝，β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是()4．A，B，C是△的三个内角，且A，B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△是() A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．无法确定5. 75°,1－75°)＝.6．已知＝2，则αα＋2α)的值为．7．如果α，β是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝.8．求下列各式的值：(1)7°＋15° 8° 7°－15° 8°)；(2)(1－59°)(1－76°)．二、能力提升9．化简10° 20°＋20° 60°＋60° 10°的值等于() A．1 B．2C．10°20°10．已知α、β均为锐角，且β＝α－αα＋α)，则(α＋β)＝.11．在△中，求证：＋＋＝1.它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.求：(1)(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．三、探究与拓展13．已知在△中，0<A<，0<B<，A＝，(A－B)＝－.求：(1) B的值；(2)A＋2B的大小．答案1．A234 5.－67.－8.(1)原式＝2－(2)原式＝2 9．A10.1 11．证明∵A＋B＋C＝180°，∴＋＋＝90°.∴＝90°－.∴＝＝C 2).∴·＝1.∴A2＋B2))C2,1－A2B2)＝1，∴＋＝1－ .即＋＋＝1.12．解由条件得α＝，β＝.∵α，β为锐角，∴α＝＝，β＝＝.∴α＝αα)＝7，β＝ββ)＝.(1)(α＋β)＝α＋β,1－α·β)＝＝－3.(2)∵ 2β＝(β＋β)＝β,1－2β)＝＝，∴(α＋2β)＝α＋2β,1－α· 2β)＝＝－1.∵α，β为锐角，∴0<α＋2β<，∴α＋2β＝.13．解 (1)∵A ，B 是锐角， A ＝，∴ A ＝， A ＝， ∴ B ＝[A －(A －B )] ＝A －(A －B ),1＋ A ·(A －B )) ＝＝(或解(A －B )＝A － B,1＋ A · B )＝B,1＋17 B )＝－，∴ B ＝)． (2)∵ B ＝，∴ 2B ＝B,1－2B )＝＝， ∴(A ＋2B )＝A ＋ 2B,1－ A · 2B ) ＝＝1.又 A ＝<1， B ＝<1.∵A ，B 是锐角，∴0<A <，0<B <， ∴0<A ＋2B <.∴A ＋2B ＝.。

§3.2简单的三角恒等变换一、基础过关1．已知180°<α<360°，则的值等于() A．－α,2)) B. α,2))C．－α,2)) D. α,2))2．使函数f(x)＝(2x＋θ)＋(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是() 3．函数f(x)＝x－x(x∈[－π，0])的单调递增区间是()4．函数f(x)＝4x＋2x的最小正周期是()C．πD．2π5．函数f(x)＝(2x－)－22x的最小正周期是．6．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为．7．已知函数f(x)＝4x－2 x－4x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的集合．8．已知＋α＝－，－<α<0，求α的值．二、能力提升9．当y＝2 x－3 x取得最大值时，x的值是()B．－D．410．若α＝－，α是第三象限角，则等于() A．－C．2 D．－211．若8 α＋5 β＝6,8 α＋5 β＝10，则(α＋β)＝.12．已知函数f(x)＝4 －1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝(1＋x))2x－2·.(1)若α＝2，求f(α)；(2)若x∈，求f(x)的取值范围．答案1．C 2 3 4 5.π 6.37．解 (1)f (x )＝(4x －4x )－2 x ＝(2x ＋2x )(2x －2x )－ 2x ＝ 2x － 2x ＝.∴T ＝＝π，∴f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤，∴≤2x ＋≤， ∴当2x ＋＝π，即x ＝时，f (x )＝－，f (x )取最小值时x 的集合为.8． 解 ∵＋ α＝ α ＋ α ＋ α＝ α＋ α＝－.∴ α＋ α＝－，∴＝－.∵－<α<0，∴－<α＋<， ∴＝.∴ α＝＝ ＋＝×＋×＝.9．B 10．A 1112．解 (1)因为f (x )＝4 －1＝4 π6＋ π6))－1 ＝4 x ＋12x ))－1 ＝ 2x ＋22x －1＝ 2x ＋ 2x ＝2，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝－，即x＝－时，f(x)取得最小值－1.13．解(1)f(x)＝2x＋x＋2x＝2x,2)＋2x＋2x＝( 2x＋2x)＋，由α＝2得2α＝αα2α＋2α)＝α2α＋1)＝，2α＝＝＝－，所以f(α)＝×＋＝.(2)由(1)得f(x)＝( 2x＋2x)＋＝＋，由x∈得2x＋∈，所以∈，从而f(x)＝＋∈.。