《步步高学案导学设计》高中数学人教A版选修2-2【配套备课资源】综合检测一

综合检测(二)一、选择题1． “金导电、银导电、铜导电、锡导电，所以一切金属都导电〞．此推理方法是( )A ．完全归纳推理B ．归纳推理C ．类比推理D ．演绎推理 2． 复数21－i等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i3． 设f (x )＝10x ＋lg x ，那么f ′(1)等于( ) A ．10B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10D ．11ln 104． 假设大前提：任何实数的平方都大于0，小前提：a ∈R ，结论：a 2>0，那么这个演绎推理出错在( )A ．大前提B ．小前提C ．推理形式D ．没有出错5．观察以下数表规律2→3 6→710→110→1 4→5 8→9 12→… 那么数2 007的箭头方向是( )A ．2 007→B ．↓ ↑2 007→C ．↑D ．→2 007→2 007 ↓6． 函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，那么a ，b 的值为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 B.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝11 C.⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝5D ．以上都不对7． 给出以下命题：①ʃa b d x ＝ʃb a d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )； ②ʃ0－1x 2d x ＝ʃ10x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2， 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．38． 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n >1，n ∈N *)的过程中，从n ＝k 到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( )A.12k ＋2B.12k ＋1－12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋19． 结论：“在正三角形ABC 中，假设D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，那么AGGD＝2”．假设把该结论推广到空间，那么有结论：在棱长都相等的四面体A —BCD 中，假设△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的间隔 都相等，那么AO OM等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( ) A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2D ．e 211．设x ，y ，z 都是正数，那么三个数x ＋1y ，y ＋1z ，z ＋1x 的值( ) A ．都小于2B ．至少有一个不大于2C ．至少有一个不小于2D ．都大于2二、填空题12．假设复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，那么其共轭复数z ＝________.13．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为l 216〞，可猜测关于长方体的相应命题为______________________________________ ________________________________________________________________________.14．某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，那么它在4秒末的瞬时速度为________．15．如下图的数阵中，第20行第2个数字是________．1 12 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15三、解答题16．复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2.求：(1)z 1＋z 2；(2)z 1·z 2；(3)z 1z 2.17．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0，试求ʃπ2－1f (x )d x .18．a ，b ，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1)a 2＋b 2＋c 2≥13；(2)a ＋b ＋c ≤ 3.19．如图，平面α∩平面β＝直线a ，直线b ⊂α，直线c ⊂β，b ∩a ＝A ，c ∥a .求证：b 与c 是异面直线．20．函数f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－(m ＋2)x ＋32－m (m 为常数)，(1)当m ＝4时，求函数的单调区间；(2)假设函数y ＝f (x )有两个极值点，务实数m 的取值范围．21．是否存在常数a ，b ，使等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切n ∈N ＋都成立？假设不存在，说明理由；假设存在，请用数学归纳法证明．答案1．B 2．A 3．B 4．A 5．D 6．B 7．B 8．B 9．C 10．D 11．C 12．i13．外表积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为(S 6)3214.12516米/秒 15.119116．解 z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i 3＋4i ＝5(3－i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝5－15i5 ＝1－3i.(1)z 1＋z 2＝(2－3i)＋(1＋3i)＝3.(2)z 1·z 2＝(2－3i)(1－3i)＝2－9－9i ＝－7－9i. (3)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝2＋9＋3i 10＝1110＋310i. 17．解 ʃπ2－1f (x )d x ＝ʃ0－1f (x )d x ＋ʃπ20f (x )d x ＝ʃ0－1x 2d x ＋ʃπ20(cos x －1)d x ＝13x 3|0－1＋(sin x －x )|π20 ＝13＋1－π2＝43－π2. 18．证明 (1)∵a 2＋19≥23a ，b 2＋19≥23b ，c 2＋19≥23c ，∴(a 2＋19)＋(b 2＋19)＋(c 2＋19)≥23a ＋23b ＋23c ＝23. ∴a 2＋b 2＋c 2≥13.(2)∵a ·13≤a ＋132，b ·13≤b ＋132， c ·13≤c ＋132， 三式相加得a 3＋b 3＋c 3≤12(a ＋b ＋c )＋12＝1，∴a ＋b ＋c ≤ 3.19．证明 假设b ，c 不是异面直线，即b 与c 共面，设b 与c 确定的平面为γ，那么γ∩α＝b ，γ∩β＝c . ∵a ∥c ，∴a ∥γ.又∵a ⊂α，且α∩γ＝b ，∴a ∥b ，这与a ∩b ＝A 矛盾． 因此b 与c 不可能共面，故b 与c 是异面直线． 20．解 依题意得，函数的定义域为(1，＋∞)．(1)当m ＝4时，f (x )＝4ln(x －1)＋12x 2－6x －52.f ′(x )＝4x －1＋x －6＝x 2－7x ＋10x －1＝(x －2)(x －5)x －1.令f ′(x )>0，解得x >5，或1<x <2. 令f ′(x )<0，解得2<x <5.可知函数f (x )的单调递增区间为(1,2)和(5，＋∞)，单调递减区间为(2,5)． (2)f ′(x )＝4x －1＋x －(m ＋2)＝x 2－(m ＋3)x ＋m ＋6x －1假设函数y ＝f (x )有两个极值点，那么⎩⎨⎧Δ＝[－(m ＋3)]2－4(m ＋6)>0，1－(m ＋3)＋m ＋6>0，m ＋32>1.解得m >3.21．解 假设存在常数a ，b 使等式成立，那么将n ＝1，n ＝2代入上式，有⎩⎪⎨⎪⎧13＝a ＋1b ＋2，13＋415＝4a ＋22b ＋2.得a ＝1，b ＝4，即有121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n4n ＋2对于一切n ∈N ＋都成立． 证明如下：(1)当n ＝1时，左边＝121×3＝13，右边＝1＋14×1＋2＝13，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时等式成立，即 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1) ＝k 2＋k4k ＋2， 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k＋12k＋1·(k2＋k＋12k＋3)＝k＋12k＋1·2k2＋5k＋22(2k＋3)＝k＋12k＋1·(2k＋1)(k＋2)2(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)4k＋6＝(k＋1)2＋(k＋1) 4(k＋1)＋2，也就是说，当n＝k＋1时，等式成立，综上所述，等式对任何n∈N＋都成立．。

综合检测(一)一、选择题1． i 是虚数单位，复数1－3i1－i的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋2iD ．－1－2i2． 演绎推理“因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数”所得结论错误的原因是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误3． 用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除4． i 为虚数单位，复平面内表示复数z ＝－i2＋i的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5． 若P ＝a ＋a ＋7，Q ＝a ＋3＋a ＋4(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定6． 求证：7－1>11－ 5.证明：要证7－1>11－5， 只要证7＋5>11＋1，即证7＋27×5＋5>11＋211＋1， 即证35>11，即证35>11，∵35>11恒成立，∴原式成立． 以上证明过程应用了( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法7． 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如下图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极大值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8． 设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)∪(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－1,0)9． 如右图阴影部分面积是( )A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e－2D ．e －1e10．曲线f (x )＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 的坐标为( ) A ．(1,0)B ．(－1，－4)C ．(1，－4)D ．(1,0)或(－1，－4)11．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且(x －1)f ′(x )>0，a ＝f (0)，b ＝f (12)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．c >b >a12．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体S —ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S —ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4二、填空题13．若复数z ＝cos θ－sin θi 所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．14．变速直线运动的物体的速度为v (t )＝1－t 2(m/s)(其中t 为时间，单位：s)，则它在前2 s内所走过的路程为________m.15．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题16．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 17．求函数f (x )＝x (e x －1)－12x 2的单调区间．19．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3，求a 2、a 3、a 4的值，由此猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．20．已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，且其中任意两边长均不相等．若1a ，1b ，1c成等差数列．(1)比较b a与cb的大小，并证明你的结论． (2)求证：B 不可能是钝角．21．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)求f (x )的单调区间．答案1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 11．B 12．C 13．一 14．215．[－3，3]16．解 (1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ＝－1，或a ＝6，且a ≠±1， ∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1. ∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数． (3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0， 且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数． 17．解 f ′(x )＝e x －1＋x e x －x＝(e x －1)(x ＋1)．当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0. 故f (x )在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减． 18．证明 要证a －5－a －3<a －2－a ， 只需证a －5＋a <a －3＋a －2，只需证(a －5＋a )2<(a －3＋a －2)2， 只需证2a －5＋2a 2－5a <2a －5＋2a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6， 只需证0<6. 因为0<6恒成立， 所以a －5－a －3<a －2－a 成立．19．解 a 1＝12＝36，a 2＝37，a 3＝38，a 4＝39，猜想a n ＝3n ＋5，下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝31＋5＝12，猜想成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时猜想成立， 即a k ＝3k ＋5. 则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝3a ka k ＋3＝3·3k ＋53k ＋5＋3＝3(k ＋1)＋5，所以当n ＝k ＋1时猜想也成立， 由①②知，对n ∈N *，a n ＝3n ＋5都成立．20．(1)解 大小关系为b a<c b ， 证明如下：要证b a <c b， 只需证b a <c b，由题意知a 、b 、c >0， 只需证b 2<ac ，∵1a ，1b ，1c 成等差数列， ∴2b ＝1a ＋1c ≥21ac， ∴b 2≤ac ，又a 、b 、c 任意两边均不相等， ∴b 2<ac 成立． 故所得大小关系正确．(2)证明 假设B 是钝角，则cos B <0， 而cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac >2ac －b 22ac >ac －b 22ac >0.这与cos B <0矛盾，故假设不成立． ∴B 不可能是钝角．21．解 (1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x －1＋2x .由于f (1)＝ln 2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln 2＝32(x －1)，即3x －2y ＋2ln 2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x .所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0； 在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)， 单调递减区间是(0，＋∞)．当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk>0.所以，在区间(－1,0)和(1－kk ，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(0，1－kk)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和(1－kk ，＋∞)，单调递减区间是(0，1－kk )．当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x.故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)． 当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝1－kk∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间(－1，1－k k )和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间(1－kk ，0)上，f ′(x )<0.故f (x )的单调递增区间是(－1，1－kk )和(0，＋∞)，单调递减区间是(1－kk ，0)．。

《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A 版2-2(配套备课资源)第一章11．1.1 变化率问题1．1.2 导数的概念一、基础过关1． 一物体的运动方程是s ＝3＋t2，则在一小段时刻[2,2.1]内相应的平均速度为 ( )A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 2． 函数y ＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )A ．0B ．1C ．2D ．Δx 3． 设函数f(x)可导，则lim Δx →0 f 1＋Δx －f 13Δx 等于 ( )A ．f ′(1)B ．3f ′(1)C.13f ′(1) D ．f ′(3)4． 一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t ＝1时的瞬时速度为( )A ．4B ．6C ．24D ．485． 函数y ＝3x2在x ＝1处的导数为 ( )A ．12B ．6C ．3D ．26． 甲、乙两厂污水的排放量W 与时刻t 的关系如图所示，治污成效较好的是( ) A ．甲 B ．乙C ．相同D ．不确定 7． 函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为______．二、能力提升 8． 过曲线y ＝f(x)＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝________.9． 函数f(x)＝1x2＋2在x ＝1处的导数f ′(1)＝__________. 10．求函数y ＝－2x2＋5在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率．11．求函数y ＝f(x)＝2x2＋4x 在x ＝3处的导数．12．若函数f(x)＝ax2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．三、探究与拓展13．若一物体运动方程如下：(位移单位：m ，时刻单位：s) s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t2＋2 t ≥3 ①29＋3t －32 0≤t<3 ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度； (2)物体的初速度v0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．答案1．D 2．A 3．C 4．B 5．B 6．B7．－98．2.19．－210．解 因为Δy ＝－2(2＋Δx)2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx)2，因此函数在区间[2,2＋Δx]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2Δx 2Δx ＝－8－2Δx.11．解 Δy ＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx)2＋4Δx ＝2(Δx)2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2Δx 2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2Δx ＋16)＝16.12．解 ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c －a －c＝a(Δx)2＋2a Δx.∴f ′(1)＝lim Δx →0 f 1＋Δx －f 1Δx＝lim Δx →0 a Δx 2＋2a Δx Δx＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a)＝2，即2a ＝2，∴a ＝1.13．解 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时刻变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24 (m/s)． (2)求物体的初速度v0即求物体在t ＝0时的瞬时速度．∵物体在t ＝0邻近的平均变化率为Δs Δt ＝f 0＋Δt －f 0Δt ＝29＋3[0＋Δt －3]2－29－30－32Δt＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时的瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率． ∵物体在t ＝1邻近的平均变化率为Δs Δt ＝f 1＋Δt －f 1Δt ＝29＋3[1＋Δt －3]2－29－31－32Δt＝3Δt －12. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 (3Δt －12)＝－12.即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

1.5.3 定积分的概念一、基础过关1． 下列命题不正确的是 ( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则ʃa －a f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则ʃa －a f (x )d x ＝2ʃa 0f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则ʃb a f (x )d x >0D ．若f (x ) 在[a ，b ]上连续且ʃb a f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正2． 定积分ʃ31(－3)d x 等于( ) A ．－6B ．6C ．－3D ．33． 已知ʃt 0x d x ＝2，则ʃ0－t x d x 等于( ) A ．0B ．2C ．－1D ．－24． 由曲线y ＝x 2－4，直线x ＝0，x ＝4和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是 ( )A ．ʃ40(x 2－4)d xB.||40(x 2－4)d xC ．ʃ40|x 2－4|d xD ．ʃ20(x 2－4)d x ＋ʃ42(x 2－4)d x5． 设a ＝ʃ10x 13d x ，b ＝ʃ10x 2d x ，c ＝ʃ10x 3d x ，则a ，b ，c 的大小关系是 ( ) A ．c >a >bB ．a >b >cC ．a ＝b >cD ．a >c >b6． 若ʃa －a |56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( )A ．6B ．56C ．36D ．2 016 二、能力提升 7．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝－π，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S ＝________.8．计算定积分ʃ1－14－4x 2d x ＝________. 9．设f (x )是连续函数，若ʃ10f (x )d x ＝1，ʃ20f (x )d x ＝－1，则ʃ21f (x )d x ＝________. 10．利用定积分的定义计算ʃ21(－x 2＋2x )d x 的值，并从几何意义上解释这个值表示什么．11．用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2)ʃ32－321－x 2d x . 12．lim n →∞ln n (1＋1n )2(1＋2n )2…(1＋n n)2等于 ( ) A ．ʃ21ln 2x d xB ．2ʃ21ln x d xC ．2ʃ21ln(1＋x )d xD ．ʃ21ln 2(1＋x )d x 三、探究与拓展13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3， x ∈[－2，2)2x ， x ∈[2，π)cos x ， x ∈[π，2π]，求f (x )在区间[－2,2π]上的积分．答案1．D 2．A 3．D 4．C 5．B 6．A7．－ʃ0－πsin x d x8．π9．－210．解 令f (x )＝－x 2＋2x .(1)分割在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[1,2]等分为n 个小区间[1＋i －1n ，1＋i n](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n. (2)近似代替、作和取ξi ＝1＋i n(i ＝1,2，…，n )，则 S n ＝∑ni ＝1f (1＋i n )·Δx ＝∑n i ＝1[－(1＋i n )2＋2(1＋i n )]·1n ＝－1n 3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n 2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋(n ＋3)＋…＋2n ] ＝－1n 3[2n (2n ＋1)(4n ＋1)6－n (n ＋1)(2n ＋1)6]＋2n 2·n (n ＋1＋2n )2＝－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n， (3)取极限ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞[－13(2＋1n )(4＋1n )＋16(1＋1n )(2＋1n )＋3＋1n ]＝23， ʃ21(－x 2＋2x )d x ＝23的几何意义为由直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与曲线f (x )＝－x 2＋2x 所围成的曲边梯形的面积．11．解 (1)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线，ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x＝3与x 轴围成的直角梯形OABC 的面积，如图(1)所示，其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ30(2x ＋1)d x ＝12.(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知ʃ32－321－x 2d x 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和． S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34， S 矩形＝|AB |·|BC |＝2×32×12＝32， ∴ʃ32－321－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34. 12．B13．解 由定积分的几何意义知ʃ2－2x 3d x ＝0，ʃπ22x d x ＝(π－2)(2π＋4)2＝π2－4，ʃ2ππcos x d x ＝0，由定积分的性质得ʃ2π－2f (x )d x ＝ʃ2－2x 3d x ＋ʃπ22x d x ＋ʃ2ππcos x d x ＝π2－4.。

§1.3 导数在研究函数中的应用1．3.1 函数的单调性与导数一、基础过关1． 命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)3． 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数4． 下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x 5． 函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．6．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调递增区间为______．7．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，试画出函数y ＝f (x )的大致图象．二、能力提升8． 如果函数f (x )的图象如图，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 9． 设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)10．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则a的取值范围为________．11．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x.12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间．答案1．A 2．D 3．A 4．B5.⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) 6.⎝⎛⎭⎫π3，5π37．解 由y ＝f ′(x )的图象可以得到以下信息：x <－2或x >2时，f ′(x )<0，－2<x <2时，f ′(x )>0，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0.故原函数y ＝f (x )的图象大致如下：8．A 9．C10．a ≤011．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x， 由y ′>0，得x >1；由y ′<0，得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x |x ≠0}，y ′＝－12x 2，∵当x ≠0时，y ′＝－12x 2<0恒成立．∴函数y ＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间． 12．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0解得b ＝c ＝－3.故所求的解析式是f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2.(2)f ′(x )＝3x 2－6x －3.令f ′(x )>0，得x <1－2或x >1＋2；令f ′(x )<0，得1－2<x <1＋ 2.故f (x )＝x 3－3x 2－3x ＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．13．解 (1)由已知条件得f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，又f ′(2)＝0，∴3m ＋n ＝0，故n ＝－3m .(2)∵n ＝－3m ，∴f (x )＝mx 3－3mx 2，∴f ′(x )＝3mx 2－6mx .令f ′(x )>0，即3mx 2－6mx >0，当m >0时，解得x <0或x >2，则函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，解得0<x <2，则函数f (x )的单调增区间是(0,2)．综上，当m >0时，函数f (x )的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m <0时，函数f (x )的单调增区间是(0,2)．。

§1.6 微积分基本定理一、基础过关1． 已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( )①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ；②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞∑i ＝1n b －a n s ′(ξi )； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④2． 若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3 B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1 D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数) 3． ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( ) A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋14． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为 ( )A.32B.43C.23D ．－23 5． ʃπ20sin 2x 2d x 等于( ) A.π4B.π2－1 C ．2D.π－24 6．ʃ1－1|x |d x 等于( ) A ．ʃ1－1x d xB ．ʃ1－1(－x )d xC ．ʃ0－1(－x )d x ＋ʃ10x d xD ．ʃ0－1x d x ＋ʃ10(－x )d x二、能力提升7． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0， 若f [f (1)]＝1，则a ＝________.8．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ；(4)ʃ211x (x ＋1)d x . 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .答案1．D 2.B 3．C 4．B 5．D 6．C7．1 8.339．f (x )＝4x ＋310．解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋23x 32)′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋23x 32)|91 ＝1723. (3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1，∴ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e.(4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1，(ln x )′ ＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1， ∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．解 由积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x ＝x 44|10＋23x 32|21＋2xln 2|32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2.12．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2 ＝－12(a 2－43a ＋49)＋29＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 13．解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a －4＋(x 22＋ax )|3－a ＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92) ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。

综合检测一、选择题1．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0，则綈p 为( )A ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14≤0B ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14≤0C ．∃x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥02．双曲线x2m2＋12－y24－m2＝1的焦距是( )A ．4B ．2 2C ．8D ．与m 有关3．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于 ( ) A.532B.212C.372D.3524．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．设F 1，F 2是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.456．对于空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，有如下关系：6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( )A ．四点O 、A 、B 、C 必共面 B ．四点P 、A 、B 、C 必共面 C ．四点O 、P 、B 、C 必共面D ．五点O 、P 、A 、B 、C 必共面7．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．1≤a ≤3B ．－1≤a ≤3C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤1 8．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A.172B ．3C. 5D.929.如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足BP →＝12BA →－12BC →＋BD →，则|BP →|2的值为( )A.32B ．2C.10－24D.9410．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a <log12b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．411．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 所成角的余弦值为( )A.24B.23C.33D.3212．过M (－2,0)的直线m 与椭圆x22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1 (k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2C .12D ．－12二、填空题(每小题4分，共16分)13.在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为 AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)14．命题p ：若a ，b ∈R ，则“ab ＝0”是“a ＝0”的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”中是真命题的有________． 15．设F 1、F 2是椭圆x23＋y24＝1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝1，则cos ∠F 1PF2＝________.16.如图，已知A (－3p,0) (p >0)，B 、C 两点分别在y 轴和x 轴上运动，并且满足AB →·BQ →＝0，BC →＝12CQ →，则动点Q 的轨迹方程为____________．三、解答题17．已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m(m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标和顶点坐标． 19．已知椭圆x2b2＋y2a2＝1 (a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．20.如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角 三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝ PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .21.如图，在四棱锥A —BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥ 底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC . (1)证明AD ⊥CE ；(2)设CE 与平面ABE 所成的角为45°，求二面角C —AD —E 的余 弦值． 22．已知椭圆x22＋y24＝1与射线y ＝2x(x ≥0)交于点A ，过A 作倾斜角互补的两条直线，它们与椭圆的另一交点为点B 和点C .(1)求证：直线BC 的斜率为定值，并求出这个定值； (2)求△ABC 面积的最大值．答案1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．B 8．A 9．D 10．B 11．C 12．D 13.12a ＋14b ＋14c 14．p ∨q ，綈p 15.3516．y 2＝4px (p >0)17．解 由于不等式|x －1|>m －1的解集为R ，所以m －1<0，m <1；又由于f (x )＝－(5－2m )x 是减函数， 所以5－2m >1，m <2.即命题p ：m <1，命题q ：m <2. 又由于p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p 和q 中一真一假．当p 真q 假时应有⎩⎪⎨⎪⎧ m<1，m≥2，m 无解．当p 假q 真时应有⎩⎪⎨⎪⎧m≥1，m<2， 1≤m <2.故实数m 的取值范围是1≤m <2. 18．解 椭圆的方程可化为x2m ＋y2mm ＋3＝1. ∵m －mm ＋3＝错误!>0，∴m >m m ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a2－b2＝错误!. 由e ＝32，得m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12. 19．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a2＝2b ，b2＝a2－c2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 联立直线与椭圆的方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，所以x 0＝x1＋x22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m 3， 又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m32＝5， 解得m ＝±3.20．证明 如图，连接OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，则O (0,0,0)，B (8,0,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)，F (4,0,3)，G (0,4,0)． 因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)， 设平面BOE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n·OB →＝8x ＝0，n·OE →＝－4y ＋3z ＝0，解得x ＝0,4y ＝3z ，令z ＝4，则n ＝(0,3,4)，所以平面BOE 的一个法向量为 n ＝(0,3,4)．由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0， 又直线FG 不在平面BOE 内， 所以FG ∥平面BOE .21．(1)证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，则AO ⊥底面BCDE ，且O为BC 的中点．以O 为坐标原点，射线OC 为x 轴正方向，建立如图(1)所示 的空间直角坐标系Oxyz . 设A (0,0，t )． 由已知条件有图(1)C (1,0,0)，D (1，2，0)，E (－1，2，0)，CE →＝(－2，2，0)，AD →＝(1，2，－t )， 所以CE →·AD →＝0，得AD ⊥CE .(2)解 作CF ⊥AB ，垂足为F ，连接FE ，如图(2)所示．设F (x,0，z )，则CF →＝(x －1,0，z )，BE →＝(0，2，0)， CF →·BE →＝0. 故CF ⊥BE . 又AB ∩BE ＝B ， 所以CF ⊥平面ABE ，图(2)故∠CEF 是CE 与平面ABE 所成的角，∠CEF ＝45°， 由CE ＝6，得CF ＝ 3. 又CB ＝2，所以∠FBC ＝60°， 所以△ABC 为等边三角形， 因此A (0,0，3)．作CG ⊥AD ，垂足为G ，连接GE . 在Rt △ACD 中，求得|AG |＝23|AD |.故G ⎝⎛⎭⎫23，223，33， GC →＝⎝⎛⎭⎫13，－223，－33， GE →＝⎝⎛⎭⎫－53，23，－33.又AD →＝(1，2，－3)，GC →·AD →＝0， GE →·AD →＝0，所以GC →与GE →的夹角等于二面角C —AD —E 的平面角． 由cos 〈GC →，GE →〉＝GC →·GE →|GC →||GE →|＝－1010.得二面角C —AD —E 的余弦值为1010. 22．(1)证明 由错误!得A (1，2)．设直线AB 的斜率为k ，则直线AC 的斜率为－k . 直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2，① 直线AC 的方程为y ＝－k (x －1)＋2，② 将①代入椭圆方程并化简得(k 2＋2)x 2－2(k －2)kx ＋k 2－22k －2＝0. ∵1和x B 是它的两个根， ∴x B ＝k2－22k －2k2＋2，y B ＝kx B ＋2－k ＝－2k2－4k ＋22k2＋2.同理可得x C ＝k2＋22k －2k2＋2，y C ＝－2k2＋4k ＋22k2＋2.∴k BC ＝yB －yCxB －xC＝ 2.(2)解 设直线BC 的方程为y ＝2x ＋m ， 代入椭圆方程并化简得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0， |BC |＝3|x 1－x 2|＝316－2m22.∵A 到BC 的距离为d ＝|m|3， ∴S △ABC ＝错误!≤错误!·错误!＝错误!，当且仅当2m 2＝16－2m 2，即m ＝±2时，上式“＝”成立．故△ABC 面积的最大值为 2.。