第十节 闭区间上连续函数的性质1-10

F(a)F(b) [ f (a) C][ f (b) C] 0 ，由零点定理知，至少在一点 (a ，b) ，使点 F() 0 ，即 f () C ．
1.2 零点定理与介值定理
介值定理的几何意义是连续曲线 y f (x) 与水平直线 y C 在 (a ，b) 内至少有 一个交点，如图所示．
推论 若函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续， m 和 M 分别为 f (x) 在[a ，b] 上的最 小值与最大值，则对介于 m 和 M 之间的任一实数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
设 m f (x1) ， M f (x2 ) ， m M ，在闭区间[x1 ，x2 ]（或[x2 ，x1] ）上应用介值 定理，即得上述推论．
f (a) 与 f (b) 之间的任意一个常数 C ，至少存在一点 (a ，b) ，使得 f () C ．
定理 4 的证明，仅需设一个新的辅助函数 F(x) f (x) C ．由 f (x) 在[a ，b] 上连续， 且 C 介 于 f (a) 与 f (b) 之 间 ， 可 知 F(x) 在 [a ，b] 上 连 续 ，
x 1， 在闭区间[0，2] 上不连续
x 3， 1 x 2
（有跳跃间断点 x 1），虽有界但无最值，如图所示．
1.2 零点定理与介值定理
如果 f (x0 ) 0 ，则称 x0 点为函数 f (x) 的零点． 定理 3（零点定理） 设函数 f (x) 在闭区间[a ，b] 上连续，且 f (a) f (b) 0 ，则
至少存在一点 (a ，b) ，使得 f ( ) 0 ．
证明从略．从几何上看，定理 3 表示：如果连续曲线弧 y f (x) 的两个端点位于 x 轴的不同侧，那么这段曲线弧与 x 轴至少有一个交点，如图所示．

例2 设函数 f ( x)在区间[a, b]上连续, 且f (a) a,
f (b) b. 证明 (a, b), 使得 f ( ) .
证 令 F( x) f ( x) x, 则F( x)在[a, b]上连续, 而 F (a) f (a) a 0, F(b) f (b) b 0, 由零点定理,
证: 设
由定理 1 可知有
M max f (x) , m min f (x) y
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
M
y f (x)
上有界 .
二、介值定理
定理2. ( 零点定理 )
且
至少有一点
使
m
O a 1 2 b x
y y f (x) a
O bx
定理3. ( 介值定理 ) 设 f (x) C[ a , b ] , 且 f (a) A,
f (b) B , A B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有
一点
使
证: 作辅助函数
(x) f (x) C 则(x) C[ a, b] , 且
(a) (b) (A C)(B C)
y y f (x) B C A
Oa bx
故由零点定理知, 至少有一点
使
即
推论: 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与
适用于专升本及高职高专各专业
高等数学
M A T H E M A ＴＩＣＳ
第一章 函数与极限
第十节 闭区间连续函数的性质
介值定理
最值定理
一、最值定理
定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大
值和最小值.
即: 设 f (x) C[ a , b ] , 则 1 ,2 [ a , b ] , 使

即 3 4 2 1 0,
方程x 3 4 x 2 1 0在(0,1)内至少有一根 .
例2 设函数 f ( x )在区间[a , b] 上连续, 且f (a ) a ,
f (b ) b. 证明 (a , b ), 使得 f ( ) .
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
推论 2 零点存在定理 设函数f x 在闭区闭
a , b 上连续，且f a 与f b 异号，即 f a f b 0，那么在开区间 a , b 内至少有 函数f x 的一个零点，即至少有一点 a b ，使f 0
例如, y 1 sin x , 在[0, 2 ]上, ymax 2, ymin 0;
定理 1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续 的函数一定存在最大值和最小值.
即
若 f ( x ) Ca, b], 有 M f (1 ) f ( x ), m f ( 2 ) f ( x ).
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立.
定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界. 证 设函数f ( x )在[a, b]上连续, x [a , b],
有 m f ( x) M ,
取 K max{ m , M },
则有 f ( x ) K . 函数f ( x )在[a, b]上有界.
即方程 f ( x ) 0在 (a, b)内至少存在一个实根.
几何解释:
连续曲线弧 y f ( x )的两个 端点位于x轴的不同侧, 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点.

不论在区间I的任何部分，只要自变量的两个数 值接近到一定程度，就可使对应的函数值达到 所指定的接近程度。
定理5(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 那么它在该区间上一致连续.
h
18
思考题
下述命题是否正确？
如果f(x)在[a,b]上有定义，在(a,b) 内连续，且f(a) f(b)0，那么f(x)在 (a,b)内必有零点.
4. 当 f (a) f (b) 0 时, 必存在 x (a , b), 使 f (x ) = 0.
h
22
• P74：2，3
作业
h
23
h
12
二、零点定理与介值定理
❖定理3(零点定理)
设函数f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)与f(b)异号 即
f(a).f(b)<0,那么在开区间(a b)内至少存在一点x 使f(x)=0 ❖定理4(介值定理)
设函数 f(x)在闭区间[a b]上连续 且f(a)f(b) 那么 对于
f(a)与f(b)之间的任意一个数C 在开区间(a b)内至少有一点x 使得f(x)=C
11二零点定理不介值定理称为函数fx的零点定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续轴的不同侧个端点位于1内至少有一个根证明1上连续并且1内至少有一点x使得fx01内至少有一个根是x二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续13定理4介值定理设函数fx在闭区间ab上连续一个数c在开区间ab内至少有一点x使得fxc二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续14二零点定理不介值定理定理3零点定理设函数fx在闭区间ab上连续那么在开区间ab内至少一点x?推论在闭区间上连续的函数必取得介亍最大值m不最小值m乊间的任何值定理4介值定理设函数fx在闭区间ab上连续一个数c在开区间ab内至少有一点x使得fxc15设函数上连续且在这区间的端点取不同的函数值推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值m不最小值m之间的任何fxabfaafbbab设函数在区间上连续且证明使得fxab则在上连续fafaafbfbb18三一致连续性定理5一致连续性定理如果函数fx在闭区间ab上连续那么它在该区间上一致连续