2017-2018学年度第一学期模块监测高二数学(文科)试题第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知b a >,d c >,那么下列不等式一定正确的是( )A .bc ad >B .bd ac >C .d b c a ->-D .c b d a ->-2.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,若3531=++a a a ,则=5S ( )A .5B . 7C . 9D .113.若ABC ∆的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ,则ABC ∆( )A .一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C .一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形4.设}{n a 是等比数列,下列说法一定正确的是( ) A .931,,a a a 成等比数列 B .632,,a a a 成等比数列 C. 842,,a a a 成等比数列 D .963,,a a a 成等比数列5. 若关于x 的不等式mx x x >+-2212的解集为)2,0(,则实数m 的值是( ) A .1 B .2 C. 3 D .46.《莱茵德纸草书》是世界最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的三份之和的71是较小的两份之和,则最小的一份为( )A .35B .310 C. 65 D .6117.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ,则y x z +=2的最大值为( )A . 4B .3 C. 2 D .18.设}{n a 是等差数列,下列结论中正确的是( )A .若031<+a a ,则021<+a a B .若210a a <<,则312a a a > C.若031>+a a ,则021>+a a D .若01<a ,则0))((3212>--a a a a9.在等腰ABC ∆中,内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,32=a ,0120=∠A ,则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为( )A .4和2B .4和32 和332- D .2和332+10.若b a ,是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点,且b a ,2,-这三个数依次成等比数列,a b ,,2-这三个数依次成等差数列,则=pq ( )A .4B . 5 C. 9 D .2011.设b a x x f <<=0,ln )(,若)(ab f p =,)2(b a f q +=,))()((21b f a f r +=,则下列关系中正确的是( )A . q r p >=B .q r p <= C. p r q <= D .p r q >=12.已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,且n n T n S n )237()1(+=+,则使得n nb a 为整数的正整数n 的个数是( )A . 2B . 3 C. 4 D .5第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.函数)3(31>-+=x x x y 的最小值为 . 14.已知数列}{n a 是递减等比数列,且274=a ,36=a ,则数列 }{n a 的通项公式=n a .15.已知ABC ∆中,满足060=B ,2=c 的三角形有两解,则边长b 的取值范围为 .16.寒假期间,某校长委员会准备租赁B A ,两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅游,B A ,两种客车的载客量分别为36人和60人,租金分别为1200元/辆和1800元/辆,家长委员会为节约成本,要求租车总数不超过21辆,且B 型车不多于A 型车7辆,则租金最少为 元.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 解下列关于x 的不等式:(1)321≥-+x x ;(2)0222≤--a ax x )(R a ∈.18. 已知ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,且满足B A B A sin sin 2)cos(=-.(1)判断ABC ∆的形状;(2)若3=a ,6=c ,CD 为角C 的平分线,求BCD ∆的面积.19. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,已知231-=+a a ,7515=S ,)(*N n ∈. (1)求9S ; (2)若数列)4)(4(11++=+n n n a a b ,求数列}{n b 的前n 项和n T .20. 已知ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,,且b A c C a B =+)cos cos (cos 2.(1)求B ;(2)若1=+c a ,求b 的取值范围.21. 潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑,某班同学准备测量观光塔AE 的高度H (单位:米),如图所示,垂直放置的标杆BC 的高度4=h 米,已知α=∠ABE ,β=∠ADE .(1)该班同学测得βα,一组数据:31.1tan ,35.1tan ==βα,请据此算出H 的值;(2)该班同学分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到观光塔的距离d (单位:米),使α与β的差较大,可以提高测量精确度,若观光塔高度为136米,问d 为多大时,)tan(βα-的值最大?22.已知数列}{n a 的前n 项和n S ,n n S n 22+=.(1)求数列}{n a 的通项公式;(2)令n n n a b 2=,设数列}{n b 的前n 项和为n T ,求n T . (3)令π)1cos(1+=+n a a c n n n ,若221tn c c c n ≥+++ 对*N n ∈恒成立,求实数t 的取值范围.试卷答案一、选择题:1-5 D A C D A 6-10 A B B C D 11-12 B C二、填空题:13. 5 14.n -73 15. (3,2) 16. 27600三、解答题17.(本小题满分10分)解:(I )将原不等式化为0272≤--x x ,即),2(0)2)(72(≠≤--x x x ,272 ≤<∴x 所以原不等式的解集为7{2}.2x x <≤ (II )当0a =时,不等式的解集为{0};当0a ≠时,原不等式等价于()(2)0x a x a +-≤,因此 当0a >时,2a a -<, 2,a x a ∴-≤≤当0a <时,2a a ->, 2,a x a ∴≤≤-综上所述,当0a =时,不等式的解集为{0},当0a >时,不等式的解集为,{2}x a x a -≤≤,当0a <时,不等式的解集{2}.x a x a ≤≤-18. (本小题满分12分)解:(I )由B A B A sin sin 2)cos(=-,得 B A B A B A sin sin 2sin sin cos cos =+,0sin sin cos cos =-∴B A B A ,0)cos( =+∴B A .︒=∴90 C , 故ABC ∆为直角三角形.(II)由(I )知︒=90C ,又6,3==c a ,∴3322=-=a c b ,︒=∠︒=105,30ADC A ,由正弦定理得ADC AC A CD ∠=sin sin ,26329214263330sin 105sin 33 -=⨯+=︒⨯︒=∴CD ,.439274sin 32632921sin 21 -=⋅⋅-⋅=∠⋅⋅⋅=∴πBCD a CD S19. (本小题满分12分)解:(I )设数列}{n a 的公差为d ,则{112221510575a d a d +=-+=,即 {1111510575a d a d +=-+=, …2分解得{211-==a d ,所以9989(2)1182S ⨯=⨯-+⨯=.(也可利用等差数列的性质解答)(II)由(I )知21(1)3n a n n =-+⋅-=-,2111)2)(1(1)4)(4(11+-+=++=++=+n n n n a a b n n n ,∴=++++=n nb b b b T 321)2111()4131()3121(+-++-+-n n .422121+=+-=n n n20. (本小题满分12分)解:(I )由已知及正弦定理得,B A C C A B sin )cos sin cos (sin cos 2=+,即B C A B sin )sin(cos 2=+,B B B sin sin cos 2 =∴,在ABC ∆中,可得,21cos =B 所以3π=B .(II )∵1a c +=,即1c a =-,1cos 2B =,∴由余弦定理得:2222cos b a c ac B =+-⋅,即2222()313(1)b a c ac a c ac a a =+-=+-=--2113(),24a =-+∵01a <<,∴211,4b ≤<则1 1.2b ≤<21. (本小题满分12分)解:(I )由αtan H AB =,βtan h BD =,βtan H AD =, 及AD BD AB =+,得ββαtan tan tan H h H =+, 解得tan 4 1.35135tan tan 1.35 1.31h H ααβ⨯===--,因此算出观光塔的高度H 是135m.(II )由题设知AB d =,得d H =αtan ,由ββtan tan h H BD AD AB -=-=得d h H -=βtan , 所以)(2)(tan tan 1tan tan )tan(h H H h d h H H d h -≤-+=+-=-βαβαβα.当且仅当d d H H d )(-=,即()136(1364)41122()d H H d m -=⨯-=时, 上式取等号,所以当m d 11224=时)tan(βα-最大.22.(本小题满分12分)解:(I)当2≥n 时,,12)]1(2)1[(2221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n当1=n 时,31=a ,适合上式, ∴12+=n a n (*∈N n ).(II)n n nb 212+=,则n n n T 21221322122211232++++⨯++⨯++⨯= ,143221221)1(2213221222112 21++++-⨯+++⨯++⨯++⨯=n n n n n T ,-得1322122222222321++-++++=n n n n T ,125225++-=n n.n n n T 2525 +-=∴ .(III)ππ)1cos()32)(12()1cos(1+++=+=+n n n n a a c n n n ,当n 为奇数时,1)1cos(=+πn ,=+⨯+++⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n.7624)1)(82(415)12117(4532++=-+⨯+=++++⨯+⨯n n n n n, 2tn T n ≥ ,762 22tn n n ≥++∴,75)731(726722++=++≤∴n n n t 2.t ∴≤当n 为偶数时,1)1cos(-=+πn ,=+⨯+-+⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n.62)121395(42n n n --=+++++⨯-, 2tn T n ≥ ,62 22tn n n ≥--∴,62 n t --≤∴.5 -≤∴t综上所述, 5.t ≤-2017—2018学年度第一学段模块监测高二数学(文科)参考答案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1-5 D A C D A 6-10 A B B C D 11-12 B C二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分)答案填写在答题卡相应的位置上.13. 5 14.n -73 15. (3,2) 16. 27600三、解答题(本大题包括6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,把正确答案填在答题卡中的对应位置上).17.(本小题满分10分)解:(I )将原不等式化为0272≤--x x , …………………2分即),2(0)2)(72(≠≤--x x x ,272 ≤<∴x …………………4分 所以原不等式的解集为7{2}.2x x <≤ ………… …………………5分 (II )当0a =时,不等式的解集为{0}; ……………………6分当0a ≠时,原不等式等价于()(2)0x a x a +-≤,因此 当0a >时,2a a -<, 2,a x a ∴-≤≤当0a <时,2a a ->, 2,a x a ∴≤≤- ……… ……………………9分综上所述,当0a =时,不等式的解集为{0},当0a >时,不等式的解集为,{2}x a x a -≤≤,当0a <时,不等式的解集{2}.x a x a ≤≤- ……… ……… …………10分18. (本小题满分12分)解:(I )由B A B A sin sin 2)cos(=-,得 B A B A B A sin sin 2sin sin cos cos =+, … ………………2分0sin sin cos cos =-∴B A B A ,0)cos( =+∴B A . ……… …………4分︒=∴90 C , 故ABC ∆为直角三角形. …………………………6分(II)由(I )知︒=90C ,又6,3==c a ,∴3322=-=a c b ,︒=∠︒=105,30ADC A , … …………8分由正弦定理得ADC AC A CD ∠=sin sin ,26329214263330sin 105sin 33 -=⨯+=︒⨯︒=∴CD , ………………10分.439274sin 32632921sin 21 -=⋅⋅-⋅=∠⋅⋅⋅=∴πBCD a CD S ………12分19. (本小题满分12分)解:(I )设数列}{n a 的公差为d ,则{112221510575a d a d +=-+=,即 {1111510575a d a d +=-+=, …2分解得{211-==a d , ……………………………………4分 所以9989(2)1182S ⨯=⨯-+⨯=. ……………………………………6分 (也可利用等差数列的性质解答)(II)由(I )知21(1)3n a n n =-+⋅-=-, ……… ………… ………7分 2111)2)(1(1)4)(4(11+-+=++=++=+n n n n a a b n n n , ………………9分∴=++++=n n b b b b T 321)2111()4131()3121(+-++-+-n n.422121+=+-=n n n ……………… ………………12分20. (本小题满分12分)解:(I )由已知及正弦定理得,B A C C A B sin )cos sin cos (sin cos 2=+,即B C A B sin )sin(cos 2=+,B B B sin sin cos 2 =∴, 在ABC ∆中,可得,21cos =B 所以3π=B . ……………………6分(II )∵1a c +=,即1c a =-,1cos 2B =, ∴由余弦定理得:2222cos b a c ac B =+-⋅,即2222()313(1)b a c ac a c ac a a =+-=+-=--2113(),24a =-+∵01a <<,∴211,4b ≤<则1 1.2b ≤< …………………………12分21. (本小题满分12分)解:(I )由αtan H AB =,βtan h BD =,βtan H AD =, ………………2分 及AD BD AB =+,得ββαtan tan tan H h H =+, ……………………3分 解得tan 4 1.35135tan tan 1.35 1.31h H ααβ⨯===--, ………… ………………5分因此算出观光塔的高度H 是135m. ………………6分(II )由题设知AB d =,得d H =αtan ,由ββtan tan h H BD AD AB -=-=得d h H -=βtan , ………………8分 所以)(2)(tan tan 1tan tan )tan(h H H h d h H H d h -≤-+=+-=-βαβαβα.………………10分当且仅当d d H H d )(-=,即()136(1364)41122()d H H d m -=⨯-=时, 上式取等号,所以当m d 11224=时)tan(βα-最大. ………………12分22.(本小题满分12分)解:(I)当2≥n 时,,12)]1(2)1[(2221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n …………2分当1=n 时,31=a ,适合上式, ∴12+=n a n (*∈N n ). …………3分百度文库 - 让每个人平等地提升自我 11 (II)n n n b 212+=,则n n n T 21221322122211232++++⨯++⨯++⨯= ,……………4分 143221221)1(2213221222112 21++++-⨯+++⨯++⨯++⨯=n n n n n T , ………5分-得 1322122222222321++-++++=n n n n T , ………………………6分125225++-=n n .n n n T 2525 +-=∴ . ………… ………………………………………7分(III)ππ)1cos()32)(12()1cos(1+++=+=+n n n n a a c n n n , ………………8分 当n 为奇数时,1)1cos(=+πn ,=+⨯+++⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n .7624)1)(82(415)12117(4532++=-+⨯+=++++⨯+⨯n n n n n, 2tn T n ≥ ,762 22tn n n ≥++∴ ,75)731(7267 22++=++≤∴n n n t 2.t ∴≤ ………………………10分 当n 为偶数时,1)1cos(-=+πn ,=+⨯+-+⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n.62)121395(42n n n --=+++++⨯-, 2tn T n ≥ ,62 22tn n n ≥--∴ ,62 n t --≤∴.5 -≤∴t 综上所述, 5.t ≤- ………………………………………12分。