山东省潍坊市2019-2020学年第二学期高二期末考试数学试题

5。 老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：
学生
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
平均
标准差
数学
88
62
物理
75
63
若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是( ）
∴ 面 ,又 面 ，即有 ，故B正确
选项C中，点 运动到 中点时，即在△ 中 、 均为中位线
∴Q为中位线的交点
∴根据中位线的性质有： ，故C错误
选项D中,由于 ，直线 与 所成角即为 与 所成角：
结合下图分析知：点 在 上运动时
当 在 或 上时， 最大为45°
当 在 中点上时， 最小为
∴ 不可能是30°，故D正确
故选:B
【点睛】本题主要考查利用棱柱侧面展开图求解距离最值问题,意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
8. 在桌面上有一个正四面体 .任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面,称为一次操作.如图，现底面为 ，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面 再度与桌面接触的概率为（ ）
二、多项选择题：
9。 已知复数 的共轭复数为 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A。 B。 虚部为 C。 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先利用题目条件可求得 ，再根据复数的模的计算公式，以及复数的有关概念和复数的四则运算法则即可判断各选项的真假．
【详解】由 可得, ,所以 ， 虚部为 ；

7。孟德斯鸠认为：雅典民主制能够比较有效地防止个人独裁，但是，无法防止野心政客利用群众情绪，进行党派斗争，往往城邦政府是寡头政治或专制的。孟德斯鸠重在强调古代雅典
A. 内部斗争激烈
B。 直接民主缺乏理性
C。 政党政治盛行
D。 政府实行寡头政治
【答案】B
【解析】
【详解】依据材料结合所学可知，古代雅典民主政治是颇为原始的直接民主，其优点在于能够最大限度地激发人们参政的热情，使决策体现多数人的意愿。但群体决策也不可避免地存在某些弊端,在决策时难以避免自身条件、生活经历、价值观念以及当时情绪的影响,以至雅典人有时会在不自觉中受到误导,造成决策失误或被人利用。这说明古代雅典直接民主缺乏理性，因此B选项正确。A选项错误，材料中孟德斯鸠强调的是直接民主制的缺陷,并非重在说明雅典内部斗争激烈；C选项错误,党派斗争不等于政党政治,近代政党政治兴起于英国；D选项错误，古代雅典实行民主政治，不是寡头政治.故正确答案为B选项。
5.《马可波罗行记》记载：所有通至各省之要道上，每隔二十五迈耳,或三十迈耳,必有一驿.无人居之地，全无道路可通,此类驿站，亦必设立。……全国驿站计之，备马有三十万匹，专门钦使之用。”这说明,元朝设立驿站旨在
A。 显示元帝国的强盛
B. 推动东西方文化融合
C。 强化对地方的控制
D。 促进地区之间的交流
【答案】C
12.1871年德意志帝国宪法规定“联邦议会由联邦成员代表组成，其票权分配如下，普鲁士17票、巴伐利亚6票、萨克森4票、符腾堡4票、巴登3票、黑森3票、梅格棱堡-许威林2票、布伦瑞克2票.”这一规定
A。 使皇帝能够凌驾于联邦设会之上
B. 用法律的形式巩固了战争成果
C. 确保了联邦成员享有独立立法权
D. 适应了德意志经济发展的需要

济南市高新区2019-2020学年第二学期七年级期末考试数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在一个不透明的袋中，装有1个白球、2个红球、2个黄球、3个黑球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球，可能性最大的是（ ）A ．白球B ．红球C ．黄球D ．黑球2．汉字书法博大精深，下列汉字“行“的不同书写字体中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ）A ．太阳光强弱B ．水的温度C ．所晒时间D ．热水器的容积4．下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．在下列各图的△ABC 中，正确画出AC 边上的高的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．6．下列计算正确的是（ ）A ．5a ﹣2a ＝3B ．a 2+4a 2＝5a 4C ．（x 2）3＝x 6D ．x 6÷x 3＝x 27．下列各组数据不是勾股数的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，5C ．5，12，13D ．6，8，108．如图，将一张矩形纸片折叠，若∠1＝78°，则∠2的度数是（ ）A ．51°B ．56°C ．61°D ．78°9．小红到文具店买彩笔，每打彩笔是12支，售价18元，那么买彩笔所需的钱数y （元）与购买彩笔的支数x （支）之间的关系式为（ ）A ．y =23xB ．y =32xC ．y ＝12xD ．y ＝18x10．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知图案的面积为25，小正方形的面积为9，若用x ，y 长示小长方形的两边长（x ＞y ），请观察图案，以下关系式中不正确的是（ ）A ．4xy +9＝25B ．x +y ＝5C ．x ﹣y ＝3D ．x 2+y 2＝16第10题图 第11题图11．如图，圆柱的底面半径是4，高是5，一只在A 点的蚂蚁想吃到B 点的食物，需要爬行的最短路径是（π取3）（ ）A ．9B ．13C ．14D ．2512．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＞BC ，点D 在边BC 上，且41 BC BD ，点E 、F 在线段AD 上，满足∠BED ＝∠CFD ＝∠BAC ，若S △ABC ＝20，则S △ABE +S CDF 是多少？（ ）A ．9B ．12C ．15D ．18二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算：（m ﹣n ）（m +n ）＝ ．14．袋中装有6个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同．现进行摸球试验，每次随机摸出一个球记下颜色后放回．经过大量的试验，发现摸到黑球的频率稳定在附近，则袋中白球约有 个．15．如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点O 既是AA '的中点，也是BB '的中点，若测得AB ＝5cm ，则该内槽A 'B '的宽为 cm ．第15题图 第16题图16．如图所示正五角星是轴对称图形，它有 条对称轴．17．某汽车生产厂对其生产的A 型汽车进行油耗试验，试验中汽车为匀速行驶，在行使过程中，油箱的余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如下表：t（小时）0123y（升）100928476由表格中y与t的关系可知，当汽车行驶小时，油箱的余油量为40升．18．如图所示，“赵爽弦图”是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S2+S3＝10，则S2的值是．三、解答题:（本大题共12个小题，共102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）19．（本题4分）计算：（x+3）（x﹣4）20．（本题4分）运算：（x+2）221．（本题4分）已知：如图，直线AB，CD被直线GH所截，∠1＝112°，∠2＝68°，求证：AB∥CD．完成下面的证明．证明：∵AB被直线GH所截，∠1＝112°，∴∠1＝∠＝112°∵∠2＝68°，∴∠2+∠3＝，∴AB∥（）（填推理的依据）22．（本题5分）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中的所走路程s （米）与时间t（分）之间的关系．（1）学校离他家米，从出发到学校，王老师共用了分钟；王老师吃早餐用了分钟？（2）观察图形直接回答王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快？23．（本题5分）如图所示，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点分别在格点上，请在网格中按要求作出下列图形，并标注相应的字母．（1）作△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC关于直线l对称；（2）△A1B1C1的面积是．24．（本题6分）先化简，再求值：（x﹣1）2﹣x（x﹣3），其中x＝2．25．（本题6分）把下面的说理过程补充完整：已知：如图，BC∥EF，BC＝EF，AF＝DC线段AB和线段DE平行吗？请说明理由．答：AB∥DE理由：∵AF＝DC（已知）∴AF+FC＝DC+∴AC＝DF（）（填推理的依据）∵BC∥EF（已知）∴∠BCA＝∠（两直线平行，内错角相等）又∵BC＝EF（已知）∴△ABC≌△DEF（）（填推理的依据）∴∠A＝∠（全等三角形的对应角相等）∴AB∥（内错角相等，两直线平行）26．（本题6分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，AD＝16，求AB的长．27．（本题8分）如图，现有一块长为（3a+b）米，宽为（a+2b）米的长方形地块，规划将阴影部分进行绿化，中间预留部分是边长为a米的正方形．（1）求绿化的面积（用含a，b的代数式表示）；（2）若a＝3，b＝1，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少元？28．（本题8分）如图，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端点B处，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端9米的点C处，发现此时绳子底端距离打结处约3米，请算出旗杆AB的高度．29．（本题10分）甲口袋中放有3个红球和5个白球，乙口袋中放有7个红球和9个白球，所有球除颜色外都相同．充分搅匀两个口袋，分别从两个口袋中任意摸出一个球，设从甲中摸出红球的概率是P甲（红），从乙中摸出红球的概率是P乙（红）（1）求P甲（红）与P乙（红）的值，并比较它们的大小．（2）将甲、乙两个口袋的球都倒入丙口袋，充分搅匀后，设从丙中任意摸出一球是红球的概率为P丙（红）．小明认为：P丙（红）＝P甲（红）+P乙（红）．他的想法正确吗？请说明理由．30．（本题12分）已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，AD＝DE．（1）如图1，当E在AC的延长线上且CE＝CD时，AD是△ABC的中线吗？请说明理由；（2）如图2，当E在AC的延长线上时，AB+BD等于AE吗？请说明理由；（3）如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系．。

因为 ， ,所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C不正确；
当 时， ,此时 ，点 ， ，故D正确，
故选:AD．
【点睛】本题考查的是有关函数的应用问题，涉及到的知识点有数学建模，将实际问题转化为函数问题来解决，结合三角函数的相应的性质求得结果,属于中档题。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】(1） ；（2） 。
【解析】
【分析】
（1）用三角函数的定义；
（2)先求正切值，再把弦化切.
【详解】(1)由题意知， ，
因为 ，
所以 。
解得 ，
所以 .
(2）当 时， ，
所以 。
【点睛】本题为基础题，考查三角函数的定义及同角三角函数的关系。
18。 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图(1)的多面体石凳是由图(2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到,且该石凳的体积是 .
【详解】由题意，某扇形的半径为 ,圆心角为 ,
根据扇形的面积公式，可得
所以此扇形的面积为 。
故选:B。
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式及其应用，其中解答中熟记扇形的面积公式是解答的关键,着重考查推理与运算能力。
4。 在 中，点 满足 ，则（ )
A。 B.
C. D。
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知条件可得 ，然后由向量的加减法法则进行运算可得答案.
对于C，因为平面与平面的位置关系有：相交或平面，因为 , 是空间两个不同的平面,而 ,所以平面 与 相交，即 ， 必相交于一条直线，故C正确；
对于D，当直线 与平面 相交，且 垂直于平面 内的无数条直线,若这些直线中没有相交直线，则 不一定垂直平面 ,故D 不正确，

空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单项选择题1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ）A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或4【答案】A【解析】AB ==()2216x -=，解得：2x =-或6x =．故选A2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ 的长度为( )A B ．5C D 【答案】B【解析】由题得2(3,4,0),35PQ PQ =∴=+=，所以线段PQ 的长度为5． 故答案为B3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A ．13- B ．-3 C ．13D ．6【答案】A【解析】因为//m n ，所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=， 所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-．故选A ．4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出NO 与AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,0,1)M ，(1,1,0)O ，(2,1,2)N ，∴(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-．∵0NO AM ⋅=，∴直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直． 故选: C5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212aC ．214a D 2 【答案】C【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C. 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OBb =，OC c =则OP =（ ）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++C ．111633a b c ++D ．111366a b c ++【答案】C【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ． 7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定【答案】A【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-， 所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可． 【解析】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，，(),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=，()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，，(2213a b ∴+=+-=，故选C ．9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选B10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（ ）A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++D ．111366AA AB AD '++【答案】D【解析】∵点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =， ∴111111()333236AF AE AA A E AA A C AA A C ⎛⎫''''''''==+=+=+ ⎪⎝⎭ 11()36AA A B A D '''''=++111366AA AB AD '=++，故选D ． 11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅，AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，i AB BP ∴⋅=，21i AB AP AB ∴⋅==，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个，故选D .12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（ ） A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，－3) D ．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反． 【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--【答案】C【分析】根据题意求出2(4,0,2)a=-，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a =-，则2(4,0,2)(0,1,2)(4,1,0)a b -=---=-，故选C ．14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（ ）A BC ．D ．18【答案】B【解析】根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP =B ．16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B ））已知向量()1,2a =，()3,b x =，()1,1c y =--，且//a b ，b c ⊥，则x y ⋅的值为（ ）A ．6B ．32 C ．9D ．132-【答案】C【解析】∵//a b ，∴60x -=，6x =，∴向量()3,6b =， ∵b c ⊥，∴()3610y -+-=，∴32y =，∴9x y ⋅=．故选C ． 17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为（ ） A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1 D ．()7,1,2【答案】D【分析】首先设出点(,,)B x y z ，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果． 【解析】设(,,)B x y z ，所以(1,1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z =--==，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以712x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为(7,1,2)，故选D ．18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++【答案】D 【解析】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++．故选D ．19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++， 设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C所成角的余弦值为（ ）A． B ．15- C ．15D．5【答案】D【分析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ，利用向量的夹角公式即可求解． 【解析】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,2BC BC BB B C BC BB =-=+=，()211111111111cos ,AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝〈〉===0122cos604⨯⨯+⨯==故选D21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A．9 B．9CD ．23【答案】A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则1C E (1,1,1)=--，设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =，则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩，取n (2,2,1)=--，则1,cos n C E =11n C E nC E⋅9==，设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ，则9sin θ=，9cos θ==．故选A ． 22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B tt ，则A ，B 两点的距离的最小值为A．10 B．5C．5D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95，AB ∴，故选C ．23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(11)(1PN z =--+=所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===12c =时，||PQ 取得最小值4，此时P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选B24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A BCD ．【答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值．【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,1,2C 、()2,1,1E ，()2,1,1AE =，()10,1,2BC =，111cos ,6AE BC AE BC AEBC ⋅<>===⋅． 因此，异面直线1BC 与AE ．故选B ． 25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD --A 1B 1C1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A．5-B．5C ．D 【答案】B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【解析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，， 设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =，∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，，∴10cos ,n BE n BE n BE ⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（ ）A ． BC ．D 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()1222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅==，故选B ．27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4 B ．[]0,2 C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2．故选B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．116【答案】A【解析】由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=．故选A ．29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-， 所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以2cos QP QB QP QBx zα⋅==⋅+又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，sin QP CP QPβ⋅==所以cos β=cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53 C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=，||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x=+-，底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n =，cos|cos,|m nα=<>==当1(0,)2x∈，cosα随着x增大而增大，则α随着x的增大而减小，当1(,2)2x∈，cosα随着x增大而减小，则α随着x的增大而增大．故选D．32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,,)Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得(,,2)Qλλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB⋅取得最小值，即可求解．【解析】设(,,)Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得OQ OPλ=，即(,,)(1,1,2)x y zλ=，可得(,,2)Qλλλ，所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---，则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ）A ．24B ．23 C ．3 D ．3 【答案】C【分析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值． 【解析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1D B C A ∴()()()111,0,1,1,0,1,1,1,0BC A D BD =-=--=--， 设(),,n x y z =是平面1A BD 的一个法向量，∴100n A D n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =--，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ， ∴11126sin cos ,323BC nBC n BC nθ⋅-=〈〉===⨯， ∴23cos 1sin θθ=-1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是33， 故选C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB APθ⋅===⋅ ==12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ． 36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．4B ．6C．14D【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1A C 与平面ABCD 所成角为θ，则11sin 4cos ||CA nCAn θ⋅===⋅设315cos ,,sin 222t αθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦ 所以直线1A C 与平面ABCD ，故选A ． 二、多项选择题37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a为单位向量 【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD ．38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ） A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选AB.39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A ．点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4 B ．到()1,0,0的距离小于1的点的集合是()(){}222,,11x y z x y z -++<C ．点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D ．点()1,2,0关于平面yOz 对称的点的坐标为()1,2,0- 【答案】BCD【解析】对于选项A ：点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，所以A 不正确； 对于选项B ：点(),,x y z到()1,0,0的距离小于11<，所以B 正确；对于选项C ：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2⎛⎫=⎪⎝⎭+++，所以C 正确；对于选项D ：由点(),,x y z 关于平面yOz 对称的点的坐标为(),,x y z -，所以D 正确． 故选B C D ．40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（ ）A ．211AB AC a ⋅=- B ．212BD BD a ⋅= C ．21AC BA a⋅=- D ．212AB AC a ⋅=【答案】BC【解析】如下图所示：对于A 选项，()2211AB AC AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B ，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误．故选BC ．41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-，所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD 【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． 43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅不是定值 C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥【答案】ACD【解析】A ．因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B ．11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos901212AA DC A P DC =+=⨯⨯=，故11AP DC ⋅=，故B 不正确； C ．1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D ．111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确．故选ACD44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确．故选ABC ．45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-，设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =，所以(1,2,1)n =， 同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确； 三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确．故选CD ．46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱锥1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】BC【解析】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-，(111cos ,01D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-1301,01,,24a b D P AC ππ<<<<∴<<∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选BC ．47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-,∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--,()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠， ∴AC 与AF 不垂直，A 错误．E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D ，∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等，∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离，A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△，∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确．故选BD ．48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（ ）A ．AO =111222AB AC AA '++ B ．AO B C '⊥C ．三棱锥A BB O '-D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+ 111222AB AC AA '=++，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，22OC，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC 中BC 边上的高，所以h =以111334A BB O BB O V S h ''-==⨯=C 正确； 设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱，所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误．故选AC49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==(1,2,3)n =--，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以22cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛++-=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确．故选BD.50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=，3PA PB PC PQ ∴++=，即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=，0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=，()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=，0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=D 错误．故选ABC.三、填空题51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝_________．。

2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线x -y +1=0的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．135︒D ．150︒【答案】B【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【详解】直线10x y -+=的斜率1k =，设其倾斜角为0180θθ︒≤︒（＜），tan 1θ∴=，得45θ=︒．故选B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2．在二项式()412x +的展开式中，含3x 的项为（ ） A ．332x B ．316x C ．38x D ．34x【答案】A【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得含3x 的项．【详解】解：二项式()412x +的展开式的通项公式为142r r rr T C x +=⋅⋅，令3r =，故开式中含3x 项为33334232x C x =⋅⋅， 故选：A3．已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列一定能得到l α⊥的是（ ） A ．l m ∥，m α⊥ B ．l m ⊥，m α∥C ．αβ⊥，l β∥D ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α【答案】A【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A 正确，举反例可判定BCD 错误.【详解】A. 若m α⊥，则直线m 与平面α内的所有直线都垂直，又l m ∥，∴l 与平面α内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得l α⊥，故A 正确；B.若m α∥，设过m 的平面β与α交于n ，则根据线面平行的性质定理可得//m n ，在平面α内，作直线l n ⊥,则l m ⊥，而此时l 在平面α内，故B 错误；C. 若αβ⊥，设=a αβ，在平面α内作直线l a //，则l β⊄，由线面平行的判定定理可得l β∥，而此时l 在平面α内，故C 错误；D.若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，当,m n 平行时，l 与平面α可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D 错误. 故选：A.4．现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．35种【答案】C【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求.【详解】从7人中选3人,有3735C =种选法，其中甲、乙都不入选的有3510C =种选法，所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有351025-=种, 故选：C5．已知直线()()1:2220l m x m y +--+=，直线()2:3250l x m y ++-=，若12l l ⊥，则m =（ ） A ．2或－5 B ．－2或－5C ．2或5D ．－2或5【答案】D【分析】直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=垂直的充要条件是12120A A B B +=，根据题意即可得到：()()()32220m m m +--+=，然后解得结果即可 【详解】根据题意，由12l l ⊥，则有： ()()()32220m m m +--+= 解得：2m =-或5m = 故选：D6．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为264cm π和236cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接AB ，则线段AB 长度的最小值是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD 41cm【答案】A【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求. 【详解】设外球和内球的半径分别为R 和r ,则22464,436R r ππππ==,解得4,3R r ==, 当B 在大球的过A 的半径上时AB 的长最小， ∴AB 长度的最小值是()1R r cm -=, 故选：A7．过等轴双曲线()2220x y a a -=>的右焦点F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若FMN 的面积为2，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】求出过右焦点F 与y x =垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M 的坐标，根据对称性得点N 的坐标，则可得表示出FMN 的面积，然后解方程即可. 【详解】双曲线为22221x y a a-=，右焦点()2,0Fa ，由已知双曲线的一条渐近线方程为y x =， 则过右焦点F 与y x =垂直的直线为2y x a =-+， 联立2y x y x a =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2222x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨取22,22M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则根据对称性得22,22N a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2222221222FMNa a Sa a ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 解得2a = 故选：B.8．如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为()01p p <<，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦ B ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦C ．()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦D ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦【答案】C【分析】要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统X 能正常工作的概率为()P X ，该系统正常工作的概率为:(){}()()P AB C D P AB C P D ⎡⎤⎡⎤⋃⋂=⋃⎣⎦⎣⎦()()()()()()()11P AB P C P D P A B P C P D ⎡⎤=-=-⋃⎣⎦()()()()()()()2111111P AB P C P D p p p ⎡⎤⎡⎤=---=---⎣⎦⎣⎦,故选：C. 二、多选题9．已知圆221:1O x y +=的半径为1r ，圆222:3440O x y x y +--+=的半径为2r ，则（ ）A ．12r r >B ．12r r <C ．圆1O 与圆2O 外切D ．圆1O 与圆2O 外离【答案】BC【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.【详解】解：圆221:1O x y +=的半径为11r =，圆()22239:224O x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的半径为232r =，故12r r <,故B 对，A 错；圆心距1252d r r ===+，故圆1O 与圆2O 外切，故C 对，D 错；故选：BC. 10．若()20222202201220221x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．展开式中所有的二项式系数之和为20222B ．展开式中二项式系数最大的项为第1012项C ．01a =D ．12320220a a a a +++⋅⋅⋅+= 【答案】ABC【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.【详解】展开式中所有项的二项式系数和为01202220222022202220222C C C ++⋯+=,故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；在二项式展开式中，令0x =可得01a =，故C 正确；令1x =可得0120220a a a ++⋯+=,∴1202201a a a +⋯+=-=-,故D 错误. 故选：ABC11．如图，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 线交于两点A ，B ，与抛物线的准线交于点D ，1BF =，则（ ）A ．2BD =B ．32p =C ．点A 到准线的距离为2D ．点F 为线段AD 的中点【答案】ABD【分析】作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，计算得到32p =，逐项分析，得到答案. 【详解】如图所示：作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，直线的斜率为3，所以tan 3,HFB ∠=∴,3HFB π∠=所以6BDE π∠=，故||2||2||2DB BE BF ===，故A正确； 又∵1BF =，∴1313,,222p HF HB B ⎛==- ⎝⎭代入抛物线，得32p =（12p =-舍去），故B 正确； 对于C ，由B 选项得，直线AB 方程为：333y x = 2590216x x -+=，即91044x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故94A x =,故点A 到准线的距离为32A px +=，故C 错误； 对于D, 由C 选项得,3AF FD ==, 点F 为线段AD 的中点, 故D 正确. 故选：ABD ．12．如图，点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上运动，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于E ，F 两点．设BP x =，()EF f x =，则（ ）A ．动点E 5B ．线段EF 6C ．324f =⎝⎭ D 33x <<())263f x x =【答案】ABD【分析】作出线段EF 运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可． 【详解】线段EF 运动形成的图形如图所示： 动点E 运动形成的轨迹长度为112154BE ED +=+=A 正确； 线段EF 运动形成的图形为平行四边行1BED F 其面积为1136222222BEFS SEF BP ==⨯⋅=⨯=B 正确； 当3BP =31222f =⎝⎭，故C 错误； 33x <<332x -=())263f x EF x ==，故D 正确；故选：ABD三、填空题13．计算：2344A C +=______． 【答案】16【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.【详解】234443416A C +=⨯+=故答案为：16.14．已知向量()1,2,3a =-，()1,3,6b λλ=---，若a b ∥，则实数λ=______． 【答案】1- 【分析】由题意可知136123λλ--==--，解方程，即可求出结果. 【详解】因为a b ∥，所以136123λλ--==--，所以1λ=-. 故答案为：1-.15．甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同．”则他们五人不同的名次排列共有______种情况．（用数字填写作答） 【答案】14【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步计数原理可得．【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有336A =种，若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的2人中选1人为成绩最好，再选一人为成绩最差的，其它任意排，故有1122228A A A =种，故共有6814+=种， 故答案为：14．16．如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为______．【答案】8 17【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点F为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面α也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率【详解】根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面α分别交两个球于点1F 和点2F ，则可得：点1F 和点2F 是椭圆的两个焦点当且仅当2G 在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值如上图所示，2G C 为圆柱的高，11O F 为球的半径，则12F F 为2c ，12G G 为2a ，然后建立以1A 为坐标原点，以11A E 为x 轴，以12AG 为y 轴的平面直角坐标系， 易知：21835G A ，113O F圆1O 的方程为：()2239x y -+=设直线12G G 的斜率为k ，则该直线的方程为：5y kx =+ 根据相切可知：点1O 到直线12G G 的距离为32531k k解得：815k =-故直线12G G 的方程为：8515y x则有：196,5G 则123425G G a因1112O F G G ，则直线11O F 的方程为：1538yx联立直线12G G 和直线11O F 的方程：()85151538y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得：17545,1717F 则1195G F a c解得：85c =故椭圆的最大离心率为：817c e a故答案为：817【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题. 四、解答题17．已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点．(1)求C 的离心率和渐近线方程； (2)若15MF =，求2MF ．【答案】(1)2e =，y = (2)29MF =【分析】（1）由已知直接求a 、b 、c ，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为c a -. (1)由题知：b =4c =所以222a c b =-=所以双曲线C 的离心率2e =，渐近线方程为3y x =±. (2)由双曲线定义知：1224MF MF a -==15MF =29MF ∴=，或21MF =又12c a <-=，故21MF =不满足29MF ∴=.18．如图所示，在Rt AOB △中，6OAB π∠=，斜边4AB =．现将Rt AOB △以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=，点D 是线段AB 的中点．(1)求直线CD 与OA 所成角的余弦值； (2)求点B 到平面OCD 的距离． 【答案】63【分析】（1）取OB 中点M ，连接DM ，则可得CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角，在CDM 中计算其余弦值即可；（2）过B 作BN OD ⊥交OD 于N ，通过证明BN ⊥面OCD 可得线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，在ODM △中计算BN 的长度即可. (1)取OB 中点M ，连接DM ，CM ,因为D ,M 分别为BA ，BO 的中点，则//DM AO 则CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角， 因为AO ⊥面O ,则DM ⊥面O ， 又CM ⊂面O ，则DM CM ⊥,2BOC π∠=，222215CM OC OM ∴=+=+=，又11343222DM AO ==⨯⨯=, 228CD CM DM ∴=+=36cos 48DM CDM CD ∴∠===, 即直线CD 与OA 所成角的余弦值为64； (2)过B 作BN OD ⊥交OD 于N ， ,,CO OB CO OA OB OA O ⊥⊥=，CO ∴⊥面OAB ，又BN ⊂面OAB ， CO BN ∴⊥，又,BN OD CO OD O ⊥=，BN ∴⊥面OCD ，则线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，232OBDSBN =⨯=，3BN ∴=.即点B 到平面OCD 的距离为3.【点睛】19．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件()1,2,3i A i =表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．(1)分别求()1P BA ，()2P BA ，()3P BA 和()P B 的值；(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【答案】(1)()1112P BA =，()216P BA =，()313P BA =，()P B 712=.(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.【分析】（1）利用条件概率公式()()(|)i i i P BA P A P B A =,计算即可求得()1P BA ，()2P BA ，()3P BA ；三式求和即得()P B ；（2）利用条件概率公式分别计算()1|P A B ，()2|P A B ，()3|P A B ，最大者即为所求箱号. (1)由已知可得()()()12313P A P A P A ===,()()()123123|,|,|443P B A P B A P B A ===,∴()111111()(|)3412P BA P A P B A ==⨯=，()222121()(|)346P BA P A P B A ==⨯=，()333131()(|)333P BA P A P B A ==⨯=，∴()P B ()()()1231117126312P BA P BA P BA =++=++=. (2)()()()111112|7712P A B P A B P B ===，()()()22126|7712P A B P A B P B ===，()()()33143|7712P A B P A B P B ===，()3|P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,M p p -在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点，且MFN △的面积为3，求直线l 的方程．【答案】(1)24y x =；1x =- (2)2340x y -+=或240x y +-= 【分析】（1）将点M 代入计算即可；（2）设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，与抛物线方程联立，消去x ，可求出0y ，再求出直线与x 轴交点坐标，再利用0122MFN S y FQ =-△列方程求解即可. (1)由已知得()221p p p =-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-; (2)由（1）得()1,2M ，()1,0F ，设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，联立()2421y x x k y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得24840y ky k -+-=，024y k ∴+=，则042y k =-又直线l 与x 轴交点坐标为()21,0Q k -+，()0112242211322MFN S y FQ k k ∴=-=--⋅-+-=△ 解得32k或12k =- 所以直线l 的方程为()3212x y =-+或()1212x y =--+， 即2340x y -+=或240x y +-=.21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值； (3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析 21 (3)存在，1AP =【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC ⊥CD ,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD ⊥平面ACEF ,从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得； （3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. (1)∵AD BC ∥，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为直角梯形， 又∵1AB BC ==，∴∠BAC =45°，AC 2∴∠CAD =45°， 又∵AD =2,∴CD 2222?·cos 4222222AD AC AD AC CAD +-∠=+-⨯⨯⨯= ∴222AC CD AD +=,∴AC CD ⊥,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,CD ⊂平面ABCD , ∴CD ⊥平面ACEF , 又∵AF ⊂平面ACEF , ∴CD ⊥AF(2)∵四边形ACEF 为矩形，∴AF ⊥AC ,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,AF ⊂平面ACEF , ∴AF ⊥平面ABCD ,CE ⊥平面ABCD ∴AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF ⊥平面ABCD ,AF //CE ,∴CE ⊥平面ABCD ， 又∵30EDC ∠=︒，∴CE =CDtan 30°, ∴A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE), DF ⎛=- ⎝⎭,由AC ⊥CE ,AC ⊥CD ,CE ∩CD =C ,∴AC ⊥平面CDE , ∴平面CDE 的法向量为()1,1,0AC =,∴直线DF 与平面CDE所成的角的正弦值为··4AC DFAC DF==(3)若ACEF 为正方形，则与（2）同理可得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.∴A(0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE 设()0,0,(0P t t <,平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()2,0,,2,1,0PD t BD =-=-,则2020x tz x y -=⎧⎨-=⎩,令x t =,则2,2y t z ==,(),2,2n t t =,平面ABD 的法向量为()0,0,1m =, ∴22cos ,3m n t ==+,解得1t =， 在线段AF 上存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23，线段AP 的长为1.22．如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQMD DQ-是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)2212516x y +=(2)是定值，为15.【分析】（1）设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，根据条件可得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y - ，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC 与x 轴交于点Q 的坐标，，直接计算MD DQMD DQ-即可得答案. (1)设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ， 则由已知2PF r =，110PF r =-， 消去r 得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，设为22221,0x y a b a b+=>>，则210a =，5a ∴=，225916b ∴=-=则E 的方程为2212516x y +=；(2)设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -联立221625400x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(1625)32164000k y kmy m +++-=， 21212223216400,16251625km m y y y y k k -∴+=-=++，又直线AC 的方程为121112()y y x x y x x y +=-+- 令0y =， 得112111222122211221()()2()x y x y ky m y ky m ky y m y y x y y y y y y y ++++++===+++2222164003222516251625321625m km k m k k km m k -⎛⎫⋅+- ⎪++⎝⎭==-+， 即25,0Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()111151255555555MD DQ m MD DQDQ MD m m m m-∴=-=-=-=----MD DQMD DQ -∴是定值，且为15.。

A． B． C． D．
4．下列各式中，运算正确的是（）
A． B． C． D．
5．一个正多边形的每一个外角都等于．已知一次函数y=（m+1）x+n-2的图象经过一．三．四象限，则m，n的取值范围是（）
A．m＞-1，n＞2B．m＜-1，n＞2C．m＞-1，n＜2D．m＜-1，n＜2
（3）在图2中补画y乙与t之间的函数图象，并观察图象得出在整个行驶过程中两车相遇的次数．
15．在一次“人与环境”知识竞赛中，共有25个题，每题四个答案，其中只有一个答案正确，每选对一题得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少要答对______题
16．已知一组数据1，2，0，﹣1，x，1的平均数是1，则这组数据的中位数为_____．
17．小数0.00002l用科学记数法表示为_____．
三、解答题
18．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民户一表生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
吨及以下
超过17吨但不超过30吨的部分
超过30吨的部分
2019-2020学年山东省潍坊市八年级第二学期期末达标检测数学试题
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．已知直线y=mx+n（m，n为常数）经过点（0，﹣2）和（3，0），则关于x的方程mx+n=0的解为（ ）
A．x=0B．x=1C．x=﹣2D．x=3
2．甲，乙，丙，丁四位跨栏运动员在某天“110米跨栏”训练中，每人各跑5次，据统计，他们的平均成绩都是13.2秒，甲，乙，丙，丁成绩的方差分别是0.11，0.03，0.05，0.02，则当天这四位运动员“110米跨栏”训练成绩最稳定的是（）

山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若23a =，292S =，则公比q =（ ） A ．12B ．13C ．3D ．22．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.4P ξ<<=，则()0P ξ>=（ ）A ．0.9B ．0.8C ．0.4D ．0.13．函数()f x 的图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，记()()43a f f =-，()3b f ='，()4c f ='，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b4．若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ）A ．15B ．25C ．110D ．3105．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()121nn a n =--，则101S =（ ） A ．301B ．101C ．101-D ．301-6．函数()()322,f x x ax bx a a b =+++∈R 在0x =处取得极大值9，则a b +=（ ）A ．3B ．3-C ．3-或3D ．07．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '为其导函数．当0x >时，()()0xf x f x '->，()10f =，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()()1,00,1-UD ．()()1,01,-⋃+∞8．某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为45，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为35，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ） 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++A ．60B ．65C ．70D ．75二、多选题9．下列函数的导数运算正确的是（ ） A ．()e e e x x x x x '=+B ．'=C ．2sin 1cos cos x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()1lg 2ln10x x '=⎡⎤⎣⎦10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x 表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，记事件A ：x y +为偶数，B ：xy 为偶数，C ：2x >，则（ ）A ．()34P B =B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立11．黎曼函数（Riemann function ）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩N 为既约真分数和内的无理数，若数列2221n n n a R ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，*n ∈N ，则（ ）A ．121n n a =- B ．12n n a a ++>C ．()111112321nii i n i a a ++==--∑ D ．1211ni i a n =≤-+∑三、填空题12．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是．13．记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()15485k S a a a =++，则k =． 14．已知函数()ln x f x x=，设()()()2g x f x af x =-，若()g x 只有一个零点，则实数a 的取值范围是；若不等式()0g x >的解集中有且只有三个整数，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知函数()2ln f x x x x =+-．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．16．某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立． (1)求比赛结束时恰好打了5局的概率；(2)若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望． 17．已知数列{}n a 满足123111n n a a a a a n -⋅⋅⋅=+． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令21n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不等式2122n n n S n λ⋅-≥+对*n ∀∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．18．近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：(1)已知y 与x 线性相关，求出y 关于x 的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为()01p p <<．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，（i ）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为()f p ．求()f p 的最大值点0p ； （ii ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i ）中确定的0p 作为p 的值．预计最多可以调多少人到其他部门？参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 19．已知函数()()220m f x mx m m x-=+->． (1)当1m =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若()2ln 2f x x ≥-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)证明：()()*11ln 122nk n n n kn =>++∈+∑N ．。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

2019-2020学年山东省菏泽市高一第二学期期末数学试卷（A卷）一、选择题（共8小题）.1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）A．0.45 0.45B．0.5 0.5C．0.5 0.45D．0.45 0.52．复数z＝的虚部为（）A．2B．﹣2C．﹣3D．﹣3i3．在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A．平均数B．标准差C．众数D．中位数4．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“有”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．者B．事C．竟D．成5．加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60°，每只胳膊的拉力大小均为400N，则该学生的体重（单位：kg）约为（）（参考数据：取重力加速度大小为g＝10m/s2，≈1.732）A．63B．69C．75D．816．已知向量＝（2，3），＝（﹣1，2），若m+与﹣2共线，则m的值为（）A．﹣2B．2C．D．7．如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分3组，分别为[5，10），[10，15），[15，20]．估计样本数据的第60百分位数是（）A．14B．15C．16D．178．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为4，P是AA1中点，过点D1作平面α，满足CP⊥平面α，则平面α与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的截面周长为（）A．4B．12C．8D．8二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9．给出如图所示的三幅统计图，则下列命题中正确的有（）A．从折线图能看出世界人口的变化情况B．2050年非洲人口将达到大约15亿C．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多D．从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列结论正确的是（）A．若b2+c2﹣a2＞0，则△ABC为锐角三角形B．若A＞B，则sin A＞sin BC．若b＝3，A＝60°，三角形面积S＝3，则a＝D．若a cos A＝b cos B，则△ABC为等腰三角形11．在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB中点，下列说法正确的是（）A．B．C．若点P是线段AD上的动点，且满足＝+，则λ+2μ＝1D．若△ABC所在平面内一点P满足＝λ（）（λ≥0），则点P的轨迹一定通过△ABC的内心12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，动点E在线段A1C1上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）A．FM∥A1C1B．BM⊥平面CC1FC．存在点E，使得平面BEF∥平面CC1D1DD．三棱锥B﹣CEF的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A．B．C．D．2．（4分）一元二次方程x2+x＝0的根的是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝0，x2＝﹣1C．x1＝x2＝0D．x1＝x2＝13．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则cos B的值为（）A．B．C．D．4．（4分）如果用线段a、b、c，求作线段x，使a：b＝c：x，那么下列作图正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）若反比例函数的图象经过（﹣1，3），则这个函数的图象一定过（）A．（﹣3，1）B．（﹣，3）C．（﹣3，﹣1）D．（，3）6．（4分）在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到白色球的频率稳定在85%左右，则口袋中红色球可能有（）A．34个B．30个C．10个D．6个7．（4分）如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE为9m，AB为1.5m（即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（）A．3m B．27m C．（3+）m D．（27+）m8．（4分）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．9．（4分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF ＝1，则GF的长为（）A．B．C．D．10．（4分）二次函数γ＝ax2+bx+c的部分对应值如表，利用二次的数的图象可知，当函数值y＞0时，x的取值范围是（）x﹣3﹣2﹣1012y﹣12﹣50343A．0＜x＜2B．x＜0或x＞2C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣1或x＞311．（4分）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．212．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN，沿着CM折叠，点D 的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论，其中正确的个数为（）①△CMP是直角三角形②AB＝BP③PN＝PG④PM＝PF⑤若连接PE，则△PEG∽△CMDA．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）若＝2，则＝．14．（4分）已知点A（3，y1）、B（2，y2）都在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则y1与y2的大小关系是．15．（4分）已知抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+5＝．16．（4分）如图，等腰直角三角形AOC中，点C在y轴的正半轴上，OC＝AC＝4，AC交反比例函数y＝的图象于点F，过点F作FD⊥OA，交OA与点E，交反比例函数与另一点D，则点D的坐标为．17．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2如图所示，已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4，过点A4作A4A5∥x轴交抛物线于点A5，则点A5的坐标为．18．（4分）如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，且点C是弧AB的中点，若扇形的半径为，则图中阴影部分的面积等于．三、解答题（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明、19．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0（2）计算：tan30°+（π+4）0﹣|﹣|20．（6分）如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥AD于E，过点B作BF⊥CD于F，求证：AE＝CF．21．（6分）近年来，无人机航拍测量的应用越来越广泛．如图，拍无人机从A处观测得某建筑物顶点O时俯角为30°，继续水平前行10米到达B处，测得俯角为45°，已知无人机的水平飞行高度为45米，则这栋楼的高度是多少米？（结果保留根号）22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC 边相交于点E．（1）求证：AC是⊙D的切线；（2）若CE＝2，求⊙D的半径．23．（8分）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图（1）所示，成本y2与销售月份之间的关系如图（2）所示（图（1）的图象是线段图（2）的图象是抛物线）（1）分别求出y1、y2的函数关系式（不写自变量取值范围）；（2）通过计算说明：哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？24．（10分）为提升学生的艺术素养，某校计划开设四门选修课程：声乐、舞蹈、书法、摄影．要求每名学生必须选修且只能选修一门课程，为保证计划的有效实施，学校随机对部分学生进行了一次调查，并将调査结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．学生选修课程统计表课程人数所占百分比声乐14b%舞蹈816%书法1632%摄影a24%合计m100%根据以上信息，解答下列问题：（1）m＝，b＝．（2）求出a的值并补全条形统计图．（3）该校有1500名学生，请你估计选修“声乐”课程的学生有多少名．（4）七（1）班和七（2）班各有2人选修“舞蹈”课程且有舞蹈基础，学校准备从这4人中随机抽取2人编排“舞蹈”在开班仪式上表演，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率．25．（10分）如图，A为反比例函数y＝（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA、AB，且OA＝AB＝2．（1）求k的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C．①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求的值．26．（10分）如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，EF⊥AB，交BD于点F．（1）如图1，直按写出的值；（2）将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当BE＝BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为α（0°＜α＜360°），当α为何值时，EA＝ED？在图3或备用图中画出图形，并直接写出此时α＝．27．（12分）若二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，且过点C（3，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝5，求点P的坐标；（3）在AB下方的抛物线上是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．2019-2020学年山东省济南市历城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．【解答】解：从上往下看，得两个长方形的组合体．故选：D．2．【解答】解：∵一元二次方程x2+x＝0，∴x（x+1）＝0，∴x1＝0，x2＝﹣1，故选：B．3．【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，则cos B＝＝，故选：B．4．【解答】解：A、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项A不正确；B、a：b＝c：x与已知a：b＝c：x符合，故选项B正确；C、a：c＝x：b与已知a：b＝c：x不符合，故选项C不正确；D、a：x＝b：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项D不正确；故选：B．5．【解答】解：∵反比例函数的图象经过（﹣1，3），∴k＝﹣1×3＝﹣3．∵﹣3×1＝﹣3，﹣×3＝﹣1，﹣3×（﹣1）＝3，×3＝1，∴反比例函数的图象经过点（﹣3，1）．故选：A．6．【解答】解：∵摸到白色球的频率稳定在85%左右，∴口袋中红色球的频率为15%，故红球的个数为40×15%＝6个．故选：D．7．【解答】解：∵AB⊥BE，DE⊥BE，AD∥BE，∴四边形ABED是矩形，∵BE＝9m，AB＝1.5m，∴AD＝BE＝9m，DE＝AB＝1.5m，在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，AD＝9m，∴CD＝AD•tan30°＝9×＝3，∴CE＝CD+DE＝3+1.5故选：C．8．【解答】解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选：C．9．【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，在△BCE和△CDF中，，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，cos∠CBE＝cos∠ECG＝，∴，CG＝，∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，故选：A．10．【解答】解：∵抛物线经过点（0，3），（2，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线的顶点坐标为（1，4），抛物线开口向下，∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选：C．11．【解答】解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m，∵∠AOB＝90°，∴∠AOC+∠BOD＝90°，∵∠DBO+∠BOD＝90°，∴∠DBO＝∠AOC，∵∠BDO＝∠ACO＝90°，∴△BDO∽△OCA，∴＝＝，∵OB＝2OA，∴BD＝2m，OD＝2n，因为点A在反比例函数y＝的图象上，则mn＝1，∵点B在反比例函数y＝的图象上，B点的坐标是（﹣2n，2m），∴k＝﹣2n•2m＝﹣4mn＝﹣4．故选：A．12．【解答】解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，∴∠DMC＝∠EMC，∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，∴∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①符合题意；∵AD＝2AB，∴设AB＝x，则AD＝2x，∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；∴AM＝DM＝AD＝x＝BN＝NC，∴CM＝＝x，∵∠PMC＝90°＝∠CNM，∠MCP＝∠MCN，∴△MCN∽△NCP，∴CM2＝CN•CP，∴3x2＝x×CP，∴CP＝x，∴BP＝x∴AB＝BP，故②符合题意；∵PN＝CP﹣CN＝x，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴BP＝PG＝x，∴PN＝PG，故③符合题意；∵AD∥BC，∴∠AMP＝∠MPC，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴∠AMP＝∠PMF，∴∠PMF＝∠FPM，∴PF＝FM，故④不符合题意，如图，∵沿着MP折叠，使得AM与EM重合，∴AB＝GE＝x，BP＝PG＝x，∠B＝∠G＝90°∴＝，∵＝＝，∴，且∠G＝∠D＝90°，∴△PEG∽△CMD，故⑤符合题意，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．【解答】解：∵＝2，∴x＝2y，∴＝＝2；故答案为：2．14．【解答】解：∵函数y＝﹣（x+1）2+2的对称轴为x＝﹣1，∴A（3，y1）、B（2，y2）在对称轴右侧，∵抛物线开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，3＞2，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．15．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），∴m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣m＝1，∴m2﹣m+5＝1+5＝6．故答案为6．16．【解答】解：∵OC＝AC＝4，AC交反比例函数y＝的图象于点F，∴F的纵坐标为4，代入y＝求得x＝，∴F（，4），∵等腰直角三角形AOC中，∠AOC＝45°，∴直线OA的解析式为y＝x，∴F关于直线OA的对称点是D点，∴点D的坐标为（4，），故答案为（4，）17．【解答】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A1A2为y＝x+2，解得或，∴A2（2，4），∴A3（﹣2，4），∵A3A4∥OA，∴直线A3A4为y＝x+6，解得或，∴A4（3，9），∴A5（﹣3，9），故答案为（﹣3，9）．18．【解答】解：两扇形的面积和为：＝π，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG与△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，∴空白区域的面积为：××＝1，∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．故答案为：π﹣2．三、解答题（本大题共7个小题，共78分.解答应写出文字说明、19．【解答】解：（1）方程整理得：x2﹣4x＝3，配方得：x2﹣4x+4＝7，即（x﹣2）2＝7，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；（2）原式＝3×+1﹣＝1．20．【解答】证明：∵菱形ABCD，∴BA＝BC，∠A＝∠C，∵BE⊥AD，BF⊥CD，∴∠BEA＝∠BFC＝90°，在△ABE与△CBF中，∴△ABE≌△CBF（AAS），∴AE＝CF．21．【解答】解：过O点作OC⊥AB的延长线于C点，垂足为C，根据题意可知，∠OAC＝30°，∠OBC＝45°，AB＝10米，AD＝45米，在Rt△BCO中，∠OBC＝45°，∴BC＝OC，设OC＝BC＝x，则AC＝10+x，在Rt△ACO中，tan30°＝＝＝，解得x＝5+5，则这栋楼的高度h＝AD﹣CO＝45﹣5﹣5＝（40﹣5）（米）．22．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝60°，∴∠DAC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AC是⊙D的切线；（2）解：连接AE，∵AD＝DE，∠ADE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠AED＝60°，∴∠EAC＝∠AED﹣∠C＝30°，∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2，∴⊙D的半径AD＝2．23．【解答】解：（1）设y1＝kx+b，将（3，5）和（6，3）代入得，，解得．∴y1＝﹣x+7．设y2＝a（x﹣6）2+1，把（3，4）代入得，4＝a（3﹣6）2+1，解得a＝．∴y2＝（x﹣6）2+1，即y2＝x2﹣4x+13．（2）收益W＝y1﹣y2＝﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）＝﹣（x﹣5）2+，∵a＝﹣＜0，∴当x＝5时，W最大值＝．故5月出售每千克收益最大，最大为．24．【解答】解：（1）m＝8÷16%＝50，b%＝×100%＝28%，即b＝28，故答案为：50、28；（2）a＝50×24%＝12，补全图形如下：（3）估计选修“声乐”课程的学生有1500×28%＝420（人）．（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数为4，则所抽取的2人恰好来自同一个班级的概率为＝．25．【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA＝AB，AH⊥OB，∴OH＝BH＝OB＝2，∴AH＝＝＝6，∴点A的坐标为（2，6）．∵A为反比例函数y＝图象上的一点，∴k＝2×6＝12；（2）①∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH⊥OB，∴AH∥BC，∴点A到BC的距离＝BH＝2，∴S△ABC＝×3×2＝3；②∵BC⊥x轴，OB＝4，点C在反比例函数y＝上，∴BC＝＝3．∵AH∥BC，OH＝BH，∴MH＝BC＝，∴AM＝AH﹣MH＝．∵AM∥BC，∴△ADM∽△BDC，∴＝．26．【解答】解：（1）∵∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝45°，BD＝AB，∵EF⊥AB，∴∠BEF＝90°，∴∠BFE＝∠ABD＝45°，∴BE＝EF，∴BF＝BE，∴DF＝BD﹣BF＝AB﹣BE＝（AB﹣BE）＝AE，∴＝，故答案为；（2）DF＝AE，理由：由（1）知，BF＝BE，BD＝AB，∴，由旋转知，∠ABE＝∠DBF，∴△ABE∽△DBF，∴＝，∴DF＝AE；（3）如图3，连接DE，CE，∵EA＝ED，∴点E在AD的中垂线上，∴AE＝DE，BE＝CE，∵AB＝BE，∴CE＝BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝BC，∴BE＝CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠CBE＝60°，如图3，∠ABE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣60°＝30°，即：α＝30°，如图4，∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°+60°＝150°，即：α＝150°，故答案为30°或150°．27．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象过点A（4，0），点C（3，﹣2），∴解得：∴二次函数表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）设直线BP与x轴交于点E，过点P作PD⊥OA于D，设点P（a，a2﹣a﹣2），则PD＝a2﹣a﹣2，∵二次函数y＝x2﹣x﹣2与y轴交于点B，∴点B（0，﹣2），设BP解析式为：y＝kx﹣2，∴a2﹣a﹣2＝ka﹣2，∴k＝a﹣，∴BP解析式为：y＝（a﹣）x﹣2，∴y＝0时，x＝，∴点E（，0），∵S△PBA＝5，∴×（4﹣）×（a2﹣a﹣2+2）＝5，∴a＝﹣1（不合题意舍去），a＝5，∴点P（5，3）（3）如图2，延长BM到N，使BN＝BO，连接ON交AB于H，过点H作HF⊥AO于F，∵BN＝BO，∠ABO＝∠ABM，AB＝AB，∴△ABO≌△ABN（SAS）∴AO＝AN，且BN＝BO，∴AB垂直平分ON，∴OH＝HN，AB⊥ON，∵AO＝4，BO＝2，∴AB＝＝＝2，∵S△AOB＝×OA×OB＝×AB×OH，∴OH＝＝，∴AH＝＝＝，∵cos∠BAO＝，∴＝，∴AF＝，∴HF＝＝＝，OF＝AO﹣AF＝，∴点H（，﹣），∵OH＝HN，∴点N（，﹣）设直线BN解析式为：y＝mx﹣2，∴﹣＝m﹣2，∴m＝﹣，∴直线BN解析式为：y＝﹣x﹣2，∴x2﹣x﹣2＝﹣x﹣2，∴x＝0（不合题意舍去），x＝，∴点M坐标（，﹣），∴点M到y轴的距离为．。

潍坊市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.5534C C +=（）A.5B.10C.15D.202.设空间向量()1,2,1a =- ，()2,4,b k =-- ，若a b，则实数k 的值为（）A.2B.10- C.2- D.103.已知两直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且12,k k 是方程210x x +-=的两根，则1l 与2l 的位置关系为（）A.平行B.相交且垂直C.重合D.相交且不垂直4.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c =，点P 在1AC 上，且123AP AC = ，则AP = （）A.222333a b c ++B.111333a b c ++C.222333a b c-++D.111333a b c--5.月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点()0,1F ，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线22x =与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则ABF △的面积为（）A.1)4+ B.3(21)2+ C.1+ D.214+6.有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（）A.240B.360C.480D.7207.若圆()()221:22C x y m ++-=与圆()()222:121C x y -++=相交，则实数m 的取值范围为（）A.()4,6 B.()4,10 C.()4,36 D.()16,368.如图，已知二面角l αβ--的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =,AC BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且1AC =，2BD =，则CD 的长为（）A.6B.10C.D.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知直线:l y x =，点()0,1A -，则（）A.过点A 与l 平行的直线的方程为1y x =-B.点A 关于l 对称的点的坐标为()0,1 C.点A 到直线l 的距离为22D.过点A 与l 垂直的直线的方程为=1y x --10.若423401234(21)x a a x a x a x a x -=++++，则（）A.01a = B.0123416a a a a a ++++=C.02441a a a ++= D.1340a a +=11.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（）A.A 与D 相互独立.B.A 与B 相互独立C.B 与D 相互独立D.A 与C 相互独立12.已知椭圆C ：22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，且点M 是直线4x =上任意一点，过点M 作C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为,A B ，则（）A.12AF F △的周长为6B.A ，2F ，B 三点共线C.A ，B 两点间的最短距离为2D.12AMF BMF ∠=∠三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.13.62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______．14.针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为______.15.已知抛物线28y x =，F 为抛物线的焦点，且P 是该抛物线上一点，点()6,2A ，则PA PF +的最小值为______.16.在直三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，AB =α经过点A ，且直线1AA 与平面α所成的角为30°，过点1A 作平面α的垂线，垂足为H ，则点1A 到平面α的距离为______，直线1AA 与BH 所成角的范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，点E 是B C '的中点（1）证明：//D E '平面A BD '；（2）求直线//D E '与平面ABCD 所成角的正弦值.18.如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在其准线上，MF =，直线MF 的倾斜角为135︒，且与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点（1）求C 的方程；（2）求AOB 的面积.19.现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.（1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.20.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，点1(1,0)A -，22,3)A 都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F .（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点000(,)(2)P x y x ≠是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和1PA 的斜率分别为12k k 、，证明：212221k k k =-.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，90BCD ABC ∠=∠=︒，222AB CD BC ===M 是棱PC 上的点，且PM PC λ=，01λ≤≤.（1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）设二面角M BD C --的大小为θ，若13cos 13θ=，求λ的值.22.如图，已知圆22:23210T x y x ++-=，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为)3,0，线段CH 的垂直平分线交线段TC 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA AH λ= ，CB BH μ=，试探究λμ+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点()2,1M 作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得1MP MQ k k ⋅=.且MD PQ ⊥，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得DF 为定值.潍坊市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题答案1.C【分析】先根据组合数的性质将其化简，再运用组合数计算公式即得.【详解】由2155534554=+5=15C 21C C C +⨯⨯+=.2.A【分析】由向量平行的坐标表示求解．【详解】由题意24121k --==-，解得2k =．3.B【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．【详解】由题意121k k =-，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．4.A【分析】根据已知条件，利用空间向量的线性运算即得.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111AC AB BC CC AB AD AA =++=++因为AB a = ，AD b = ，1AA c =，点P 在1AC 上，且123AP AC = ，所以()122223333AB AD A AP a b c A ++==++ .5.D【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可.【详解】由题意得，半圆的方程为221(0)x y y +=≤，在半椭圆中1b c ==，则a =，故半椭圆方程为221(0)2y x y +=≥，将22x =代入半椭圆，解得1B y =，将22x =代入半圆，解得22A y =-，故222AB +=，然1212224ABF S ++=⨯⨯=，6.B【分析】先按人数分组，再分配到三个学校可得．【详解】选按人数3，2，1分成3组再分配到三个学校，不同的分法种数为323633C C A 360=．7.D【分析】利用圆心距离与两圆半径关系求解．【详解】由已知1(2,2)C -，2(1,2)C -，125C C =，151-<<+，解得1636m <<．8.C【分析】利用CD CA AB BD =++，将其两边同时平方即可求2CD ，再开方即可求解.【详解】由图得：CD CA AB BD =++，又由题意知：π2π,,,π33CA AB BD AB CA BD ⊥⊥=-= ，所以()2222CD CD CA AB BD CA AB BD==++=++ 222222CA AB BD CA AB BD AB CA BD =+++⋅+⋅+⋅ 222ππ2π2cos 2cos 2cos223CA AB BD CA AB BD AB CA BD =+++⋅+⋅+⋅ 221120021262⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以26CD CD =⇒=，所以CD ，9.ACD【分析】由平行垂直求出直线方程判断AD，写出对称点坐标判断B，由得点到直线距离判断C．【详解】与直线y x =平行的直线方程可设为y x m =+，代入点(0,1)A -坐标得10m -=+，即1m =-，即平行线方程为1y x =-，A 正确；A 关于l 的对称点坐标为(1,0)-，B 错；A 到直线l 的距离为22d ==，C 正确；与直线l 垂直的直线方程可设为y x n =-+，代入A 点坐标得10n -=+，1n =-，直线方程即为=1y x --，D 正确．10.AC【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项计算判断即得.【详解】令423401234()(21)f x x a a x a x a x a x =-=++++，对于A，由0x =，得0(0)1a f ==，A 正确；对于B，由1x =，得01234(1)1a a a a a f ++++==，B 错误；对于C，由=1x -，得01234(1)81a a a a a f -+-+=-=，因此0241(1)4(1)2a f f a a +-+=+=，C 正确；对于D，13(1)(1)402f f a a --+==-，D 错误.11.BCD【分析】根据相互独立事件的概念进行判定.【详解】不放回依次取出两个，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，共12种，事件A =“13,14,23,24,31,41,32,42”；事件B =“12,13,14,21,23,24”；事件C =“12,21,31,41,32,42”；事件D =“12,21,34,43”.事件AD =∅，事件AB =“13,14,23,24”，事件BD =“12,21,”，事件AC =“31,41,32,42”，则()()8261,123122P A P B ====，()61122P C ==，()41123P D ==，()0P AD =，()41123P AB ==，()21126P BD ==，()41123P AC ==，所以()()()P AD P A P D ≠，所以A 与D 不相互独立；()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立；()()()P BD P B P D =，所以B 与D 相互独立；()()()P AC P A P C =，所以A 与C 相互独立；12.ABD【分析】根据椭圆焦点三角形的周长的算法，可判断A 的真假；求出切点弦AB 的方程，判断是否过右焦点2F 可判断B 的真假；求过右焦点的弦长的最小值，判断C 的真假；利用斜率与倾斜角的关系及正切的差角公式计算即可判定D 项.【详解】设椭圆长轴长2a ，短轴长2b ，焦距2c ，则由椭圆方程可知2,1a b c ===，如图：因为A 在椭圆C 上，所以1224AF AF a +==，1222F F c ===，所以12AF F △的周长为226a c +=，故A 正确；对B：设M 点的坐标为()4,t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由图可知，过M 点作椭圆22143x y +=的切线，切线斜率必存在.所以过A 点的切线方程可设为：()11y y k x x -=-，联立方程组：()1122143y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()22211113484120k x k y kx x y kx ++-+--=，由Δ0=得：()()()222111184344120k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤--+--=⎣⎦⎣⎦，整理得：()()2211340y kx k--+=⇒()()22211113240ykx y k x --+-=，因为：2211143x y +=⇒2211334x y -=-，2211443y x -=-，所以：2221111342043x y kx y k ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭⇒2221111924160x kx y k y ++=⇒()211340x ky +=⇒11340x ky +=,即1134x k y =-.所以过点A 的切线为：()111134x y y x x y -=--⇒11143x x y y +=.又切线过点M ，所以1113ty x +=.同理：2213ty x +=.故A ，B 两点都在直线13tyx +=上，而点2F ()1,0也在这条直线上，所以A ，2F ，B 三点共线，故B 正确；对C：若直线AB 无斜率，则232232b AB a =⨯=⨯=,若直线AB 有斜率，结合B 项结论可设其方程为：()1y k x =-,联立方程组：()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()22234112x k x +-=，整理得：()22223484120kxk x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，所以()()()()222121212221691434k x x x x x x k ⨯+-=+-=+，所以：()212221213333434k AB x k k+=-==+>++.综上：3AB ≥.故C 错误；对D：设过M 点的切线方程为：()4y k x t =-+，联立方程组：()224143y k x t x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()222223483264324120k x kt k x k kt t ++-+-+-=，由Δ0=得：()2222283243464324120kt k k k kt t ⎡⎤⎡⎤--+-+-=⎣⎦⎣⎦，整理得：2212083kt t k +--=，不妨设12,MA MBk k k k ==，则2121223,312t t k k k k -+==，易知121221121200354141tan tan 0035114141t t k k k t t k F MA F MB t t tk tk k k -------+∠==∠==--+++⋅+⋅-+，且12,AMF BMF ∠∠均为锐角，故12211235tan tan 35k t t k F MA F MB tk tk --∠-∠=-++()()()()2121212158835t k k tk k ttk tk -++-=++()()()()221222153833035t tt t ttk tk -⨯+⨯--==++，所以12AMF BMF ∠=∠，故D 正确.【点睛】难点点睛：对于B 项，利用同解方程求出切点弦方程即可，而积累结论：过椭圆22221x y a b +=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，过椭圆22221x y a b+=外一点()00,P x y 的切点弦方程为00221x x y ya b+=，如此可直接快速判定B 项；对于C 项，通过分类讨论及弦长公式计算即可，而积累结论焦点弦通径最短可快速得出结论；对于D 项，根据同解方程得出两切线斜率的关系式，结合到角公式计算即可.13.【分析】由题意利用二项式定理可得解.【详解】二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式6662162C C 2rr r r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令620r -=，可得3r =，所以展开式中的常数项为336C 2160⨯=.故答案为：160.14.【分析】甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，由此求得甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率.【详解】由于两个机构互不影响，故甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，所以甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：11321(1)15455P =---=-=.故答案为：2515.【分析】作邮抛物线的准线，把PF 转化为P 到准线的距离PQ ，由三点共线得最小值．【详解】由题意抛物线28y x =的准线l 的方程是2x =-，过P 作PQ l ⊥于Q ，则PQ PF =，所以PA PF PA PQ +=+当且仅当,,A P Q 三点共线时，PA PQ +取得最小值6(2)8--=，所以PA PF +的最小值是8.故答案为：8.16.【分析】利用1AH AH ⊥，得出H 在以1AA 为直径的球面上，其时可得出1A 到平面α的距离，由直线1AA 与平面α所成的角为30°，得H 在以1AA 为轴，顶角为60︒的圆锥面上，从而得出H 的轨迹是圆，然后建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求得BH 与1AA 所成角的余弦值，角的范围．【详解】如图，连接AH ，因为1A H α⊥，AH α⊂，所以1AH AH ⊥，所以H 在以1AA 为直径的球面上，又直线1AA 与平面α所成角为30︒，而1A AH ∠即为直线1AA 与平面α所成的角，因此130A AH ∠=︒，因此H 在以1AA 为轴，顶角为60︒的圆锥面上，过H 作1HO AA ⊥于点O，则112,1,3HA HA HO A O AO =====，其中1HA 的长即为1A 到平面α的距离．所以H 在圆锥AO 的底面圆上，O，以AB 为y 轴，1AA 为z 轴，过A 与AB 垂直的直线的为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,B，设,3)H θθ，BH θθ=- ，取1AA 的一个方向向量为(0,0,1)n =，cos ,BH n BH n BH n ⋅===1,22∈，又0,πBH n ≤≤，所以ππ,[,]63BH n ∈ ，所以直线BH 与1AA 所成角的范围是[,63ππ，即[30,60]︒︒，故答案为：2；[30,60]︒︒．17.【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定与性质推理即得.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在正方体ABCD A B C D -''''中，四边形BDD B ''是其对角面，则//B D BD ''，BD ⊂平面A BD '，B D ''⊄平面A BD '，于是//B D ''平面A BD '，同理//B C '平面A BD '，又B D B C B ''''= ，,B D B C '''⊂平面B CD ''，因此平面//A BD '平面B CD ''，又D E '⊂平面B CD ''，所以//D E '平面A BD '.【小问2详解】以D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,1),1(,1,)22E D '，11(,1,)22D E '=- ，显然平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，设直线D E '与平面ABCD 所成角为θ，则1||62sin |cos ,|6||||D E n n D E D E n θ'⋅'=〈〉=='⋅，所以直线D E '与平面ABCD 所成角的正弦值为66.18.【分析】（1）记准线与x 轴交点为K ，MKF为等腰直角三角形，得MF =，从而求得p 得抛物线方程；（2）直线AB 方程代入抛物线方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，然后求得弦长AB ，再求得O 到直线AB 的距离后可得三角形面积．【小问1详解】因为直线MF 的倾斜角为135︒，记准线与x 轴交点为K ，易知MKF为等腰直角三角形，且MF =，所以焦点到准线的距离为2，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】由（1）可得()1,2M -，()1,0F ，因为直线MF 的倾斜角为135︒，所以直线MF 的斜率为1k =-，所以直线MF 的方程为1y x =-+，即AB 的方程为1y x =-+，联立21,4,y x y x =-+⎧⎨=⎩可得2610x x -+=，所以12126,1,x x x x +=⎧⎨=⎩所以()22121211423648AB x x x x =++-=-=，又点O 到直线AB 的距离1222d ==，所以AOB 的面积112||82222AOB S AB d =⋅=⨯⨯=△19.【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，准确计算，即可求解；（2）根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.【小问1详解】解：记事件1A ：第一台车床加工的零件，记事件2A ：第二台车床加工的零件，记事件B ：这个零件是次品，由题意可得12()0.45P A ==，23()0.65P A ==，1(|)0.06P B A =，2(|)0.05P B A =，由全概率公式可得：1122()()(|)()(|)0.40.060.60.050.054P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.【小问2详解】解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为1111()()(|)0.0244(|)()()0.0549P A B P A P B A P A B P B P B ⋅====.20.【分析】（1）把1A 、2A 的坐标代入双曲线C 得方程可得答案；（2）求出1k 、2k 得()()002222021211+=-+y x k k x ，再由点P 的坐标满足双曲线方程代入可得答案.【小问1详解】由题意，把()11,0A -，(2A -代入双曲线C 得：22211231a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a =，b =，2c =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=，故离心率2ce a==，渐近线方程为y =；【小问2详解】由题意得，12,k k 一定存在且21k ≠±，()2,0F ，00x >，0102PF y k k x ==-，1021PA y k k x ==+，则()()()00022222020221121111y y x x k y k x x ++==-+-+，又点P 的坐标满足220013y x -=，则220033y x =-，故()()()()()000002122220000021212122121y x y x y k k k x x x x y ++===-=----+-+-，所以212221k k k =-.21.【分析】（1）由余弦定理计算后由勾股定理逆定理证明AD BD ⊥，取AD 的中点O ，连结PO ，由面面垂直得线面垂直，从而得线线垂直PO BD ⊥，然后可得证题设线面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角，从而求出λ值．【小问1详解】因为90BCD ∠=︒，22CD BC ==，所以4BD =，45CBD ∠=︒，在ABD △中，45ABD ∠=︒，42AB =，由余弦定理得，222cos 4AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠，所以222AD BD AB +=，即90ADB ∠=︒，AD BD ⊥，取AD 的中点O ，连结PO ，因为PAD 是等边三角形，所以PO AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥.又因为PO AD O = ，PO ，AD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD .【小问2详解】取AB 的中点N ，连结ON ，则ON BD ∥，所以AD ON ⊥，以O 为原点，,,ON OD OP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,2,0A -，()0,2,0D ，()4,2,0B ，()2,4,0C ，(0,0,3P ，(0,2,23)AP =，((()0,2,32,4,32,42,23(1)DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=--，又()4,0,0DB = ，设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则0,0,DM n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，2(42))0,40,x y z x λλλ⎧+-+-=⎪⎨=⎪⎩当12λ=时，平面MBD ⊥平面ABCD ，不合题意；当12λ≠时，令21z λ=-，得平面MBD的法向量为)()1,21n λλ=--，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，由于平面MBD 与平面ABCD 所成角的余弦值为1313，故有|cos ,|13m n ==，解得13λ=或35λ=.22.【分析】（1）根据题意，得RT RH RT RG TG TH +=+===动点R 的轨迹是以T ，H 为焦点，长轴长为的椭圆；（2）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，由向量坐标运算表示λμ+，化简即可；（3）设PQ 的方程是y hx m =+，与椭圆方程联立，由条件1MP MQ k k ⋅=，可得()22821230m k m k +++-=，则63m k =--或12m k =-，可证直线PQ 经过定点()6,3K -，又因为MD PQ ⊥，所以D 在以线段MK 为直径的圆上，可得解.【小问1详解】因为22210x y ++-=，所以22(24x y ++=，所以()T，半径r =因为线段GH 的中垂线交线段TG 于点R ，所以RH RG =，所以RT RH RT RG TG TH +=+===所以动点R的轨迹是以0()T，)H为焦点，长轴长为的椭圆，所以a =，c =b =故曲线E 的方程为22163x y +=..【小问2详解】当直线AB的斜率不存在时，其方程为x =，与y轴不相交，不合题意，舍去，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为()3y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(1,63y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y整理得2222(12)660k x x k +-+-=，0∆>恒成立，所以21222122126612x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又因为直线AB 与y 轴的交点为C，所以()0,C ，所以()11,CA x y =+，)11,AH x y =-，()22,CB x y =+，)22,BH x y =- ，又因为CA AH λ=，所以)11x x λ=，同理)22x x μ=，所以λ=，且μ=所以2222436621212k k k λμ--⨯+-+==，整理后得222221212121243612663k k k k k λμ-++==-=-+-+-，所以λμ+为定值4-，原题得证.【小问3详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，显然PQ 的斜率存在，12x ≠，22x ≠，设PQ 的方程是y hx m =+，由22,26,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()222214260k x kmx m +++-=，则()()()222222Δ16421268630k m k m k m =-+⋅-=-+>，即2263k m +>，由韦达定理得12221224212621km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，根据已知1MP MQ k k ⋅=，可得121211122y y x x --⋅=--，即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++，又11y kx m =+，22y kx m =+，代入上式整理得()22821230m k m k +++-=，则63m k =--或12m k =-，当63m k =--时，直线PQ 的方程为()63y k x =--，所以直线PQ 经过定点()6,3-，当12m k =-时，直线PQ 的方程为()21y k x =-+，所以直线PQ 经过定点()2,1与M 重合，舍去，故直线PQ 经过定点()6,3K -，又因为MD PQ ⊥，所以D 在以线段MK 为直径的圆上.所以F 为线段MK 的中点，即()4,1F -，所以1122DF MK ===【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式；（5）代入韦达定理求解.。

1．若函数 f ( x) = x2 + sin x ，则 f (0) = （ ）
A． −1
B．0
C．1
D．3
2．正项等比数列an 中， a1 a3 = 4 ， a5 = 16 ，则公比为（ ）
A．1
B． −2
C．2
D．4
3．已知函数 f ( x) = x + 4 ，则 y = f ( x) 的极小值点是（ ）
lg 3 0.48）（第一空 2 分，第二空 3 分）
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）
在① bn
=
log2
1 an+1 log2
an+2
；② bn
=
log2
an
−3
；③ bn
=
n+
an ，这三个条件中任选一个，补充在下面问
ex
f(
e3
x)
2021的解集是______．
16．某公司为一个高科技项目投入启动资金 2000 万元，已知每年可获利 20%，但由于竞争激烈，每年年底需 从利润中取出 200 万元资金进行科研、技术改造，方能保持原有利润的增长率，则第三年年初该项目的资金为
______万元，该公司经过______年该项目的资金可以达到或超过翻一番（即原来的 2 倍）的目标． （ lg 2 0.30 ，
2由题意知??11223ln3xxexx?所以????21ln312ln3xxxeex?因为213x?所以??12213ln30xxxxe??令????0xhxxex??????10xhxxe????所以??hx在??0??单调递增所以12ln3xx?1213xxe?????111111112121ln3lnlnxxxxexexxxxxxxe???令110xtxe??令??3lntgtt?????231lntgtt???所以当??0te???10g??当??te?????0gt??所以??gt在??0e单调递增在??e??单调递减所以????max3gtgee??所以1112lnxxxx?最大值为3e

2019-2020学年山东省潍坊市潍城区、安丘市七年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．下列运算正确的是（）A．a+a3＝a4B．（a+b）2＝a2+b2C．a10÷a2＝a5D．（a2）3＝a62．已知：如图，AB⊥CD于O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是（）A．互余B．互补C．互为对顶角D．相等3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣54．如图是小亮跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线l于点B处成直角，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A．垂线段最短B．过两点有且只有一条直线C．两点之间线段最短D．过一点可以做无数条直线5．现有四根木棒，长度分别为6cm，9cm，10cm，15cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．46．如图，可以判定AB∥CD的条件是（）A．∠1＝∠2B．∠BAD+∠B＝180°C．∠3＝∠4D．∠D＝∠57．甲、乙两个城市，乙城市位于甲城市北偏东50°方向，距离为80km，那么甲城市位于乙城市（）A．南偏东50°方向，距离为80kmB．南偏西50°方向，距离为80kmC．南偏东40°方向，距离为80kmD．南偏西40°方向，距离为80km8．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣2x＝x（x+2）B．a2﹣a﹣6＝（a﹣2）（a+3）C．4a2+4ab﹣b2＝（2a﹣b）2D．4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）9．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，若△ABC的面积为12cm2，则△CEF的面积为（）A．0.75B．1.5C．3D．610．下列说法不正确的是（）A．在x轴上的点的纵坐标为0B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q（x，y）在第四象限D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限11．已知a﹣b＝1，ab＝12，则a+b等于（）A．7B．5C．±7D．±512．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；④x，y间的数量关系是x﹣2y＝3．其中正确的是（）A．②③B．①②③C．②③④D．①②③④二、填空题（共6小题，共18分．）13．若一个多边形每个内角为160°，则这个多边形的边数是．14．如果（x+3）（x+a）＝x2﹣2x﹣15，则a＝．15．已知a m＝2，a n＝3（m，n为正整数），则a3m+2n＝．16．如图，将长方形纸片进行折叠，ED，EF为折痕，A与A'、B与B'、C与C'重合，若∠AED＝25°，则∠BEF的度数为．17．某车间有56名工人，每人每天能生产螺栓16个或螺母24个，设有x名工人生产螺栓，其他y名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则列方程组为．18．如图，点D是△ABC的边BC的延长线上的一点，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…，已知∠A＝α，则∠A2020的度数为．（用含α的代数式表示）．三、解答题（共7小题；满分66分）19．（1）计算：①利用乘法公式计算：2020×1980；②．（2）因式分解：①xy2﹣9x；②（x﹣y）﹣2x（y﹣x）+x2（x﹣y）．20．解下列方程组：（1）；（2）．21．（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2，其中a＝﹣，b＝2．22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，1）B（1，1），C（4，5），D（6，﹣3），E（﹣2，5）．（1）在坐标系中描出各点，并画出△AEC，△BCD．（2）求出△BCD的面积．23．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2＝90°，∠B ＝75°，求∠A的度数．24．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．①请帮柑橘园设计租车方案；②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．25．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD ＝α，∠BCD＝β（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，错选、不选或选出的答案超过一个均记0分．）1．下列运算正确的是（）A．a+a3＝a4B．（a+b）2＝a2+b2C．a10÷a2＝a5D．（a2）3＝a6【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A，根据完全平方公式，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C，根据幂的乘方，可判断D．解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；B、和的平方等于平方和加积的二倍，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D正确；故选：D．2．已知：如图，AB⊥CD于O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是（）A．互余B．互补C．互为对顶角D．相等【分析】根据垂直得直角：∠BOD＝90°；然后由平角的定义来求∠1与∠2的关系．解：∵AB⊥CD，∴∠BOD＝90°．又∵EF为过点O的一条直线，∴∠1+∠2＝180°﹣∠BOD＝90°，即∠1与∠2互余．故选：A．3．成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为（）A．46×10﹣7B．4.6×10﹣7C．4.6×10﹣6D．0.46×10﹣5【分析】本题用科学记数法的知识即可解答．解：0.0000046＝4.6×10﹣6．故选：C．4．如图是小亮跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先使皮尺从后脚跟的点A处开始并与起跳线l于点B处成直角，然后记录AB的长度，这样做的理由是（）A．垂线段最短B．过两点有且只有一条直线C．两点之间线段最短D．过一点可以做无数条直线【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答即可．解：这样做的理由是根据垂线段最短．故选：A．5．现有四根木棒，长度分别为6cm，9cm，10cm，15cm，从中任取三根木棒，能组成三角形的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】取四根木棒中的任意三根，共有4中取法，然后依据三角形三边关系定理将不合题意的方案舍去．解：共有4种方案：①取6cm，9cm，10cm；由于9﹣6＜10＜9+6，能构成三角形；②取6cm，9cm，15cm；由于15＝6+9，不能构成三角形；③取6cm，10cm，15cm；由于10﹣6＜15＜10+6，能构成三角形；④取9cm，10cm，15cm；由于10﹣9＜15＜10+9，能构成三角形．所以有3种方案符合要求．故选：C．6．如图，可以判定AB∥CD的条件是（）A．∠1＝∠2B．∠BAD+∠B＝180°C．∠3＝∠4D．∠D＝∠5【分析】利用内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行逐一判定即可得．解：A．∠1＝∠2可判定AD∥BC，不符合题意；B．∠BAD+∠B＝180°可判定AD∥BC，不符合题意；C．∠3＝∠4可判定AB∥CD，符合题意；D．∠D＝∠5可判定AD∥BC，不符合题意；故选：C．7．甲、乙两个城市，乙城市位于甲城市北偏东50°方向，距离为80km，那么甲城市位于乙城市（）A．南偏东50°方向，距离为80kmB．南偏西50°方向，距离为80kmC．南偏东40°方向，距离为80kmD．南偏西40°方向，距离为80km【分析】首先作出甲与乙的位置示意图，然后可以直接写出．解：如图：∵乙城市位于甲城市北偏东50°方向，距离为80km，∴甲城市位于乙城市南偏西50°方向，距离为80km，故选：B．8．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣2x＝x（x+2）B．a2﹣a﹣6＝（a﹣2）（a+3）C．4a2+4ab﹣b2＝（2a﹣b）2D．4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y）【分析】各项分解因式得到结果，判断即可．解：A、原式＝x（x﹣2），不符合题意；B、原式＝（a﹣3）（a+2），不符合题意；C、原式不能分解，不符合题意；D、原式＝（2x+y）（2x﹣y），符合题意，故选：D．9．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、BE上的中点，若△ABC的面积为12cm2，则△CEF的面积为（）A．0.75B．1.5C．3D．6【分析】根据三角形中线把三角形分成两个面积相等的三角形可得S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，从而求出S△BCE＝S△ABC，再根据S△CEF＝S计算即可得解．△BCE解：∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC，S△BDE＝S△ABD，∵E是AD的中点，∴S△BDE＝S△ABD，S△CDE＝S△ACD，∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∵F是BE的中点，∴S△CEF＝S△BCE＝×S△ABC＝S△ABC，∵△ABC的面积为12cm2，∴△BCF的面积＝×12＝3cm2．故选：C．10．下列说法不正确的是（）A．在x轴上的点的纵坐标为0B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1C．若xy＜0，x﹣y＞0，那么点Q（x，y）在第四象限D．点A（﹣a2﹣1，|b|）一定在第二象限【分析】根据坐标轴上点的坐标特点，点的坐标到坐标轴的距离及各个象限内点的坐标符号特点逐一判断可得．解：A．在x轴上的点的纵坐标为0，说法正确，故本选项不合题意；B．点P（﹣1，3）到y轴的距离是1，说法正确，故本选项不合题意；C．若xy＜0，x﹣y＞0，则x＞0，y＜0，所以点Q（x，y）在第四象限，说法正确，故本选项不合题意；D．﹣a2﹣1＜0，|b|≥0，所以点A（﹣a2﹣1，|b|）在x轴或第二象限，故原说法错误，故本选项符合题意．故选：D．11．已知a﹣b＝1，ab＝12，则a+b等于（）A．7B．5C．±7D．±5【分析】利用完全平方公式解答即可．解：∵a﹣b＝1，ab＝12，∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝（a﹣b）2+4ab＝1+48＝49，∴a+b＝±7，故选：C．12．已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②当a＝﹣2时，x，y的值互为相反数；③当a＝1时，方程组的解也是方程x+y＝4﹣a的解；④x，y间的数量关系是x﹣2y＝3．其中正确的是（）A．②③B．①②③C．②③④D．①②③④【分析】①将x＝5，y＝﹣1代入检验即可做出判断；②将a＝﹣2代入方程组求出方程组的解即可做出判断；③将a＝1代入方程组求出方程组的解，代入方程中检验即可；④消去a得到关于x与y的方程，即可做出判断．解：①将x＝5，y＝﹣1代入方程组得：，解得：a＝2，本选项正确；②将a＝﹣2代入方程组得：，①﹣②得：4y＝12，即y＝3，将y＝3代入②得：x＝﹣3，则x与y互为相反数，本选项正确；③将a＝1代入方程组得：，解得：，将x＝3，y＝0代入方程x+y＝3的左边得：3+0＝3，是方程x+y＝3的解，本选项正确；④，由①得：a＝4﹣x﹣3y，代入②得：x﹣y＝3（4﹣x﹣3y），整理得：x+2y＝3，本选项错误，则正确的选项为①②③．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，共18分．只要求填写最后结果，每小题填对得3分．）13．若一个多边形每个内角为160°，则这个多边形的边数是18．【分析】本题需先根据内角度数计算公式，列出式子解出结果，即可求出边数．解：根据题意得：360°÷（180°﹣160°）＝360°÷20°＝18．故答案为：18．14．如果（x+3）（x+a）＝x2﹣2x﹣15，则a＝﹣5．【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，合并后利用多项式相等的条件即可求出a的值．解：（x+3）（x+a）＝x2+（a+3）x+3a＝x2﹣2x﹣15，可得a+3＝﹣2，解得：a＝﹣5．故答案为：﹣5．15．已知a m＝2，a n＝3（m，n为正整数），则a3m+2n＝72．【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．解：∵a m＝2，a n＝3（m，n为正整数），∴a3m+2n＝（a m）3×（a n）2＝23×32＝8×9＝72．故答案为：72．16．如图，将长方形纸片进行折叠，ED，EF为折痕，A与A'、B与B'、C与C'重合，若∠AED＝25°，则∠BEF的度数为65°．【分析】根据折叠的性质和平角的定义即可得到结论．解：根据翻折的性质可知，∠AED＝∠A′ED，∠BEF＝∠FEB′，∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠FEB′＝180°，∴∠AED+∠BEF＝90°，又∵∠AED＝25°，∴∠BEF＝65°．故答案为：65°．17．某车间有56名工人，每人每天能生产螺栓16个或螺母24个，设有x名工人生产螺栓，其他y名工人生产螺母，每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，则列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：（1）车间有56名工人；（2）x名工人生产螺栓的数量×2＝y名工人生产螺母的数量，根据等量关系列出方程组即可．解：设有x名工人生产螺栓，其他y名工人生产螺母，由题意得：，故答案为：．18．如图，点D是△ABC的边BC的延长线上的一点，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，依此类推…，已知∠A＝α，则∠A2020的度数为，．（用含α的代数式表示）．【分析】根据角平分线的定义及三角形的内角和的及外角的性质可得∠A1＝α，∠A2＝α，∠A3＝α，据此找规律可求解．解：在△ABC中，∠A＝∠ACD﹣∠ABC＝α，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝α，同理可得∠A2＝∠A1＝α，∠A3＝∠A2＝α，…以此类推，∠A2020＝，故答案为..三、解答题（共7小题；满分66分）19．（1）计算：①利用乘法公式计算：2020×1980；②．（2）因式分解：①xy2﹣9x；②（x﹣y）﹣2x（y﹣x）+x2（x﹣y）．【分析】（1）①根据平方差公式对要求的式子进行分解，然后进行计算即可；②根据零指数幂、负整数指数幂对要求的式子进行计算即可得出答案；（2）①先提取公因式，再根据平方差公式进行分解即可；②先提取公因式，再根据完全平方公式进行解答即可．解：（1）①2020×1980＝（2000+20）（2000﹣20）＝20002﹣202＝3999600；②＝1﹣8+9﹣2＝0；（2）①xy2﹣9x＝x（y2﹣9）＝x（y2﹣32）＝x（x+3）（x﹣3）；②（x﹣y）﹣2x（y﹣x）+x2（x﹣y）＝（x﹣y）（1+2x+x2）＝（x﹣y）（1+x）2．20．解下列方程组：（1）；（2）．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．解：（1），②﹣①得：y＝1，把y＝1代入②得：x+2＝1，解得：x＝﹣1，∴原方程组的解为；（2）原方程组整理得，，①×③﹣②，得16x＝8，解得x＝，把x＝代入①得，，解得y＝，∴原方程组的解是．21．（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2，其中a＝﹣，b＝2．【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．解：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2＝4a2﹣b2+2ab+b2﹣4a2＝2ab，当a＝﹣，b＝2时，原式＝2×（﹣）×2＝﹣2．22．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，1）B（1，1），C（4，5），D（6，﹣3），E（﹣2，5）．（1）在坐标系中描出各点，并画出△AEC，△BCD．（2）求出△BCD的面积．【分析】（1）根据各点坐标描出点的位置，依次连接即可；（2）根据割补法，利用三角形面积公式计算可得．解：（1）如图所示：（2）S△BCD＝×4×4+×4×4＝16．23．如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2＝90°，∠B ＝75°，求∠A的度数．【分析】根据已知条件∠1+∠2＝90°，CE，DE分别为角平分线，可得一对同旁内角互补，证得AD∥BC；根据两直线平行，同旁内角互补由已知∠B的度数，即可求出∠A 的度数．解：∵∠1+∠2＝90°，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝75°，∴∠A＝180°﹣75°＝105°．24．某生态柑橘园现有柑橘21吨，计划租用A，B两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B型车一次可运柑橘17吨．（1）1辆A型车和1辆B型车满载时一次分别运柑橘多少吨？（2）若计划租用A型货车m辆，B型货车n辆，一次运完全部柑橘，且每辆车均为满载．①请帮柑橘园设计租车方案；②若A型车每辆需租金120元/次，B型车每辆需租金100元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【分析】（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y吨，根据“用2辆A型车和3辆B型车一次可运柑橘12吨；用3辆A型车和4辆B 型车一次可运柑橘17吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）①根据一次运载柑橘21吨，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为非负整数，即可得出各租车方案；②根据租车总费用＝租用每辆车的费用×租用的辆数，即可求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．解：（1）设1辆A型车满载时一次可运柑橘x吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘y 吨，依题意，得：，解得：．答：1辆A型车满载时一次可运柑橘3吨，1辆B型车满载时一次可运柑橘2吨．（2）①依题意，得：3m+2n＝21，∴m＝7﹣n．又∵m，n均为非负整数，∴或或或．答：共有4种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；方案2：租用3辆A 型车，6辆B型车；方案3：租用5辆A型车，3辆B型车；方案4：租用7辆A型车．②方案1所需租车费为120×1+100×9＝1020（元），方案2所需租车费为120×3+100×6＝960（元），方案3所需租车费为120×5+100×3＝900（元），方案4所需租车费为120×7＝840（元）．∵1020＞960＞900＞840，∴最省钱的租车方案是租用7辆A型车，最少租车费是840元．25．已知如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD ＝α，∠BCD＝β（1）如图1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度数；（2）如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请写出α、β所满足的等量关系式；（3）如图2，若α＝β，判断BE、DF的位置关系，并说明理由．【分析】（1）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及α+β＝150°推导即可；（2）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可；（3）利用角平分线的定义和四边形的内角和以及三角形的外角的性质计算即可．解：（1）在四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NDC+∠ADC＝180°∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β，∵α+β＝150°，∴∠MBC+∠NDC＝150°，（2）β﹣α＝90°理由：如图1，连接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），在△BCD中，在△BCD中，∠BDC+∠DBC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∴∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD＝180°，∴（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，∴β﹣α＝90°，（3）平行，理由：如图2，延长BC交DF于H，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC，∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（α+β），∵α＝β，∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β，∴∠CBE＝∠DHB，∴BE∥DF．。

试卷类型:A高二数学2024.7本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a =1,2,3 ,b =-4,5,x ,若a ⊥b ,则实数x =A.2B.-2C.3D.-32.已知等差数列a n 中,a 2=4,a 5=-2,则这个数列的前6项和为 A.2B.4C.6D.83.已知数列a n 满足a n +2=-1a n,且a 1=1,a 2=2,则a 2024=A.1B.2C.-1D.-124.一圆锥的轴截面SAB 为等边三角形,S 为圆锥顶点,点C 为AB的中点,则直线SA 与BC 所成角的余弦值为A.14B.24C.34D.645.已知等差数列a n 的公差不为零,S n 为其前n 项和,若S 7=0,则S k k =1,2,⋯,50 中不同数值的个数为A.45B.46C.47D.486.已知两圆台体积之比为1:12,第一个圆台上、下底面半径分别为r 1,r 2,第二个圆台上、下底面半径分别为r 2,r 3,若r 1,r 2,r 3是公比为2的等比数列,则这两个圆台的高之比可以为A.19B.14C.13D.127.如图,已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外任意一点,且平面ABC 中的小方格均为边长为1的正方形,‹OA ,AB ›=‹OA,AC ›=60°,OA =2,若AP =2AB +AC ,则OP =A.15B.15C.23D.12ABC O8.已知数列a n满足a1=2024,a n+1=a2n+a n-2n∈N*,若正整数k使得a k+1=a21+a22+⋯+a2k 成立,则k=A.1012B.1013C.2024D.2026二、多项选择题:本大题共3个小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB.若m⊥α,m⊥β,n⊂α,则n⎳βC.若m⎳α,m⎳β,α∩β=n,则m⎳nD.若m⊥n,m⊥α,n⎳β,则α⊥β10.将一些数排成如图所示的倒三角形,其中第一行各数依次为1,3,5,⋯,2025,从第二行起,每一个数都等于它“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,从上往下每一行的第一个数构成的数列记为a n,则13⋯202120232025574812⋯404440481220⋯8092⋯MA.a4=32B.a n+1=a n+2nC.M=1013×21012D.第n行的所有数之和为10131014-n2n-111.在一个棱长为2的正方体内做两个互相垂直的内切圆柱,其相交的部分就是“牟合方盖”,如图1所示,图2是牟合方盖的八分之一,其中OABC为正方形,截面PSRQ与平面OABC平行,设二面角A-DO-B大小为α,二面角A-CO-Q大小为β,∠BOR=γ,∠QOR=δ,则A.该牟合方盖的内切球体积为4π3B.α<δC.sinδ=sinαcosγD.cosαcosγ=cosβcosδ图1ABCDOP QRS图2三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分.12.记S n为等比数列a n的前n项和,若a1=1,S3=34,则a4=.13.一个三棱锥和一个四棱锥恰好可以拼接成一个正三棱台,这个三棱锥的底面为边长是1的等边三角形,这个四棱锥的底面为等腰梯形,该等腰梯形的上、下底面边长分别为1,3,腰长为2,则正三棱台的高为.14.已知函数f x =x-13+2,数列a n 是公差不为0的等差数列f a1 +f a2 +⋯+f a9 = 18,则a1+a2+⋯+a9=.四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记S n为正项数列a n的前n项和,且数列S n是公差为2的等差数列,a1=2.(1)证明:an是等差数列;(2)若bn =a n2n+1,求数列bn的前n项和T n.16.(15分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上靠近点C的三等分点,平面D1AE∩平面BCC1B1=l,l∩BC=F.(1)求CFFB的值;(2)已知ABCD为边长为2的正方形,AA1=3.①证明:D1E⊥平面ADE;②求四棱锥D-AD1EF的体积.17.(15分)已知S n为数列a n的前n项和,且满足S n=2a n-1.(1)求an的通项公式;(2)设bn =-1n S n,c n=a n+1a n+1-1a n+2-1,若对任意的n∈N*,都有2n-1i=1b i<m<2ni=1c i,求实数m的取值范围.A BCDA1B1C1 D1E18.(17分)如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形,下底面圆O的一条弦EF交CD于点G,DG=1,DE=DF,P是上底面圆周上的动点.(1)证明:平面AEF⊥平面ABCD;(2)求点D到平面AEF的距离;(3)若二面角P-EF-A的正切值为67,且P,F在轴截面ABCD同侧,求圆柱侧面上点P到点F的最短距离.19.(17分)已知集合M=a1,a2,⋯,a nn≥3且n∈N* 的元素均为正整数,对于M的任意两个非空子集A,B,如果A中所有元素之和与B中所有元素之和不相等,就称M具有性质R.(1)判断以下两个集合是否具有性质R,并说明理由;M1={1,2,4,6,9},M2={1,3,5}.(2)已知M具有性质R.证明:①∀k≤n,ki=1a i≥2k-1,k∈N*;②ni=11 a i≤2-12n-1,并指出“=”成立的条件.A BCDEFOPG。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。

解得 ，又 ，所以 ，
即数列 满足：
当 时， ，
当 时， ，所以 取得最大值时， ，选项D错误．
故选：AB．
10.已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）
A.
B.函数 在 上递增，在 上递减
C.函数 的极值点为 ，
D.函数 的极大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】
【分析】
（1）由 可得 ，再由 时， 与条件作差可得 ，从而利用等差数列求通项公式即可；
（2）由 利用裂项相消求和即可.
【详解】（1）∵ ，
∴ ，解得 ，
当 时，由 ①可得，
②，
①－②： ，
∵ ，∴ ，∴ ，
即∴ ，
∴ 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
∴
综上所述，结论是： .
（2）由（1）可得
∴
小问2详解】
解：因为 ，
所以 ， ，
则 ，
令 ，则 或 ，
当 时，令 可得 ，
函数 的单调递增区间为 ；
当 时，令 ，可得 或 ，
函数 的单调递增区间为 ， ；
当 时， 在 上恒成立，
函数 的单调递增区间为 ；
当 时，令 可得： 或 ，
函数 的单调递增区间为 ， ；
综上可得：当 时单调递增区间为 ，当 时单调递增区间为 ， ，
对D，函数 的极大值为 ，故D错误.
故选：ABD.
11.已知斜率为 的直线l经过抛物线C： （ ）的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若 ，则以下结论正确的是（）
A. B.
C. D.F为AD中点
【答案】BCD
【解析】