潍坊市高二数学下学期期末考试试题含解析

山东省潍坊市2020年高二(下)数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设sin a xdx π=⎰，则二项式8(展开式的常数项是（ ） A ．1120B ．140C ．-140D ．-11202．函数()ln 2x xf x x-=的图象在点()1,2-处的切线方程为( ) A ．240x y --=B ．20x y +=C ．30x y --=D ．10x y ++=3．某机构需掌握55岁人群的睡眠情况，通过随机抽查110名性别不同的55岁的人的睡眠质量情况，得到如下列联表由()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++得，27.8K ≈.根据2K 表得到下列结论，正确的是（）A ．有99%以下的把握认为“睡眠质量与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“睡眠质量与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“睡眠质量与性别无关”4．某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（ ） A ．35B ．310C ．12D ．255．已知复数2017i 12iz =-，则复数z 的虚部为 （ ）A ．25-B ．1i 5C ．15D ．15-6．已知i 是虚数单位, 复数()1z a R a i=∈-在复平面内对应的点位于直线2y x =上, 则a =（ ） A ．12B ．2C ．2-D ．12-7．设,a b ∈R ，则a b ≥是a b ≥的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有 种不同的涂色方案．A ．420B ．180C ．64D ．259．已知函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，则a的取值范围为（ ） A ．1,121e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭B ．21,12e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．211,22e -⎛⎤ ⎥-⎝⎦D ．11,212e ⎛⎤⎥-⎝⎦ 10．过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则MN =（ ） A ．2B ．8C ．4D ．1011．已知a ，b 是两个向量，则“0a b ⋅=”是“0a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件12．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若,,则B ．若，，，则C ．若,,则D ．若,,则二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13． “2,2340x R x x ∀∈++>”的否定是__________．14．设函数f(x)＝|x ＋a|，g(x)＝x －1，对于任意的x ∈R ，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a 的取值范围是________．15．121(1)2x x dx -⎰= . 16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，90ACB ∠=，1CA CB CC ==，D 是1CC 的中点，则直线1AC 与BD 所成角的余弦值为__________．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．近来国内一些互联网公司为了赢得更大的利润、提升员工的奋斗姿态，要求员工实行“996”工作制，即工作日早9点上班，晚上21点下班，中午和傍晚最多休息1小时，总计工作10小时以上，并且一周工作6天的工作制度，工作期间还不能请假，也没有任何补贴和加班费.消息一出，社交媒体一片哗然，有的人认为这是违反《劳动法》的一种对员工的压榨行为，有的人认为只有付出超越别人的努力和时间，才能够实现想要的成功，这是提升员工价值的一种有效方式.对此，国内某大型企业集团管理者认为应当在公司内部实行“996”工作制，但应该给予一定的加班补贴（单位：百元），对于每月的补贴数额集团人力资源管理部门随机抽取了集团内部的1000名员工进行了补贴数额（单位：百元）期望值的网上问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为员工的加班补贴X 服从正态分布()251,15N ，若该集团共有员工40000人，试估计有多少员工期待加班补贴在8100元以上；（3）已知样本数据中期望补贴数额在[]80,100范围内的8名员工中有5名男性，3名女性，现选其中3名员工进行消费调查，记选出的女职员人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望. 附：若()2,XN μσ，则()0.683P X μσμσ-≤<+≈，()220.954P X μσμσ-≤<+≈，()330.997P X μσμσ-≤<+≈.18．将正整数排成如图的三角形数阵，记第n 行的n 个数之和为n a .（1）设*13521()n n S a a a a n N -=+++⋅⋅⋅+∈，计算2S ，3S ，4S 的值，并猜想n S 的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）的猜想.19．（6分）已知函数2()(1)2xf x ax x e =++-（e 是自然对数的底数）.（1）当1a =-时，求函数在[3,2]-上的最大值和最小值； （2）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性.20．（6分）已知函数2012()(1)n n n n f x x a a x a x a x λ=+=++++，其中,R n N λ∈∈.（1）若2λ=-，2019n =，求1352019a a a a +++⋯+的值； （2）若1λ=-，化简：2*1(),nkk n n k k k Cx f x n N -=∈∑.21．（6分）已知0a >，设命题p ：函数(32)xy a =-在R 上为减函数，命题q ：不等式210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求a 的取值范围. 22．（8分）已知函数1()21x f x a =+-是奇函数． （1）求a ；（2）若()1ln 0f x x ⋅⎡⎤⎣⎦-<，求x 的范围．参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【详解】分析：利用微积分基本定理求得2a =，先求出二项式8⎛⎝的展开式的通项公式，令x 的指数等于0，求出r 的值，即可求得展开式的常数项. 详解：由题意()00sin cos |2a xdx x ππ==-=⎰，∴二项式为8⎛⎝，设展开式中第r 项为1r T +，(()88418812rrr r r r r r T C C x ---+⎛∴==-⋅⋅ ⎝， 令40-=r ，解得4r =，代入得展开式中可得常数项为()4448121120C -⋅=，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r rr n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 2．C 【解析】 f′(x)＝21lnxx -，则f′(1)＝1， 故函数f(x)在点(1，－2)处的切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0. 故选C 3．C 【解析】 【分析】根据独立性检验的基本思想判断得解. 【详解】因为7.8 6.635> ，根据2K 表可知；选C. 【点睛】本题考查独立性检验的基本思想，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=，由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率. 【详解】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=， 则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率()()()3110325P AB P B A P A ===.故选：C 【点睛】本题考查了条件概率的求法、解题的关键是理解题干，并能分析出问题，属于基础题. 5．C 【解析】分析：由复数的乘除法法则计算出复数z ，再由定义可得．详解：2017(12)22112(12)(12)555i i i i z i i i i +-====-+--+，虚部为15． 故选C ．点睛：本题考查的运算复数的概念，解题时根据复数运算法则化复数为简单形式(,)a bi a b R +∈，可得虚部与实部． 6．A 【解析】 【分析】 【详解】分析：等式分子分母同时乘以()a i +，化简整理，得出z ，再将z 的坐标代入2y x =中求解a 即可. 详解：2221111a i a i z a i a a a +===+-+++，所以221211aa a =++． 解得12a = 故选B点睛：复数的除法运算公式()()22c di ac bd ad bc iz a bi a b ++-+==++，在复平面内点在直线上，则坐标满足直线方程． 7．A 【解析】 【分析】通过分类讨论可证得充分条件成立，通过反例可知必要条件不成立，从而得到结果. 【详解】若0a b ≥≥，则a a b =≥；若0b a ≤≤，则0a a b =-≥≥；若0a b ≥≥，则0a a b =≥≥，可知充分条件成立；当3a =-，2b =-时，则a b ≥，此时a b <，可知必要条件不成立；a b ∴≥是a b ≥的充分不必要条件本题正确选项：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，属于基础题. 8．B 【解析】分析：由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法，根据乘法原理可得结论． 详解：由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域A 有5种涂法，B 有4种涂法，C 有3种，D 有3种涂法 ∴共有5×4×3×3=180种不同的涂色方案． 故答案为：B.点睛：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 9．B 【解析】 分析：数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，等价于1x xe a xe x <-+有两个整数解，构造函数()1xx e h x xe x =-+，利用导数判断函数的极值点在()0,1，由零点存在定理，列不等式组，从而可得结果.. 详解：因为()()0010,10,11xx xx x x x e x e e e ≥<⎧⎧⇒-≥⇒->⎨⎨≥<⎩⎩ 所以110x xe x -+≥>函数()()()10xf x eax ax a a =--+≥，若有且仅有两个整数()1,2i x i =，使得()0i f x <，等价于1xx e a xe x <-+有两个整数解，设()()()()22,'11x x xx x e x e e h x h x xe x xe x --==-+-+， 令()'020xh x x e =⇒--=，令()()2,'10xxg x x e g x e =--=--<恒成立，()g x ∴单调递减，又()()00,10g g ><，∴存在()00,1x ∈，使()()()000,,,h x x x h x =∴∈-∞递增，()()0,,x x h x ∈-∞递减， 若()a h x <解集中的整数恰为2个，则0,1x =是解集中的2个整数，故只需()()()()2222201112121211121a h a h e e a h a e e a h e ⎧<=⎪<=⎪⎪⎨≥=⇒≤<--⎪⎪≥-=⎪-⎩，故选B. 点睛：本题主要考查不等式有解问题以及方程根的个数问题，属于难题.不等式有解问题不能只局限于判别式是否为正，不但可以利用一元二次方程根的分布解题，还可以转化为()a f x ≤有解（max ()a f x ≤即可）或转化为()a f x ≥有解（min ()a f x ≥即可）,另外，也可以结合零点存在定理，列不等式（组）求解. 10．C 【解析】 【分析】 【详解】由已知得321143AB k -==--，27341CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ∆为直角三角形，其外接圆圆心为AC 中点(1,2)-，半径为长为AC52，所以外接圆方程为22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±，所以MN =C ． 考点：圆的方程． 11．B 【解析】分析：先化简已知条件，再利用充分条件必要条件的定义判断.详解：由题得0a b ⋅=，所以cos ,0a b a b =，所以||0a =或||0b =或a b ⊥，所以0a =或0b =或a b ⊥.因为0a =或0b =或a b ⊥是0a =的必要非充分条件, 所以“0a b ⋅=”是“0a =”的必要非充分条件. 故答案是：B.点睛：（1）本题主要考查充分条件和必要条件，考查向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 判定充要条件常用的方法有定义法、集合法、转化法，本题利用的是集合法. 12．C 【解析】 【分析】结合空间中点线面的位置关系，对选项逐个分析即可选出答案. 【详解】 对于选项A ，当,，有可能平行，也有可能相交，故A 错误； 对于选项B ，当，，，有可能平行，也可能相交或者异面，故B 错误；对于选项C ，当,,根据线面垂直的判定定理可以得到，故C 正确；对于选项D ，当,,则或者，故D 错误；故答案为选项C. 【点睛】本题考查了空间中直线与平面的位置关系，考查了学生的空间想象能力，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．2,2340x R x x ∃∈++≤ 【解析】分析：根据“,?x p ∀的否定为“,?x p ∃⌝得结果. 详解：因为“,?x p ∀的否定为“,?x p ∃⌝，所以“2,2340x R x x ∀∈++>”的否定是2,2340x R x x ∃∈++≤点睛：对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定. “,?x p ∀的否定为“,?x p ∃⌝，“,?x p ∃的否定为“,?x p ∀⌝.14． [－1，＋∞) 【解析】 【分析】对于x R ∀∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，等价于()f x x a =+的图象在()1g x x =-的图象上方，根据数形结合可求出实数a 的取值范围. 【详解】不等式f(x)≥g(x)恒成立如图，作出函数f(x)＝|x ＋a|与g(x)＝x －1的图象，观察图象可知：当且仅当－a≤1，即a≥－1时，不等式f(x)≥g(x)恒成立， 因此a 的取值范围是[－1，＋∞)．故答案为[－1，＋∞)． 【点睛】本题主要考查利用函数图象解答不等式恒成立问题，属于中档题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 15．14π+ 【解析】21x -，则221x y +=（y≥0），∴12(1)x dx -⎰表示的是上半圆在第一象限的部分的面积，其值等于4π，1201111)|0244x dx x ==⎰， 所以1201(1)2x x dx -+⎰=12(1)x dx -⎰+1011)244x dx π=+⎰=14π+. 考点：定积分. 16．1010【解析】分析：记AC 中点为E ，则1//DE AC ，则直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设12CA CB CC ===，从而即可计算.详解：记AC 中点为E ，并连接BE ，D 是1CC 的中点，则1//DE AC ，∴直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设12CA CB CC ===，∴1,CD BD DE BE====，cos10θ∴==.故答案为10.点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）约为51百元；（2）估计有920名员工；（3）分布列见解析，9()8E Y=【解析】【分析】（1）样本的中位数为x，根据中位数两侧的频率相等列出方程，可得答案；（2）由近似地认为员工的加班补贴X服从正态分布()251,15N，可得51,15,281μσμσ==+=，由正态分布计算(2)P xμσ≥+对照题中所给数据可得答案.（3）由题意，Y的可能取值为0,1,2,3，分别计算出其概率，列出其分布列，可得数学期望.【详解】解：（1）设样本的中位数为x，则2250450(40)0.510001000100020x-++⋅=，解得51x≈，所以所得样本的中位数约为51百元.（2）51,15,281μσμσ==∴+=，由题意：期待加班补贴在8100元以上的概率为1(22)10.954(2)0.02322P xP xμσμσμσ--≤<+-≥+=≈=，0.023********⨯=，所以估计有920名员工期待加班补贴在8100元以上.（3）由题意，Y的可能取值为0,1,2,3.又因为35385(0)28CP YC===，12353815(1)28C CP YC⋅===，21353815(2)56C CP YC⋅===，33381(3)56CP YC===，Y的分布列为()0123282856568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.(或者答：Y 服从8,3,3N M n ===的超几何分布，则339()88M n E Y N ⋅⨯===）【点睛】本题主要考查正态分布的相关知识及离散型随机变量的期望与方差，属于中档题，注意运算准确.18．（1）423416,81,256,n S S S S n ====；（2）见解析．【解析】分析：直接计算23416,81,256S S S ===，猜想：4n S n =；（2）证明：①当1n =时，猜想成立. ②设()*n k k N =∈时，命题成立，即4kSk =③证明当1n k =+时，成立。

2022届山东省潍坊市高二第二学期数学期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数sin ln ||=+y x x 在区间[3,3]-的图像大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．2．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到如下的列联表：由公式算得：K 2＝()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++≈7.8.附表：参照附表，得到的正确结论是( )A ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关” 3．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A ．24B ．30C ．10D ．604．用数学归纳法证明：()111112331n n n N n ++++⋯+<∈>-，时，在第二步证明从n k =到1n k =+成立时，左边增加的项数是（ ） A ．23k ⨯B ．3kC ．13k +D ．15．已知定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(]0,1x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()()sin π=-F x f x x ，在区间[]1-，m 上有10个零点，则m 的取值范围是（ ） A ．[)3.54，B ．(]3.5,4C ．(]5,5.5D ．[)55.5， 6．从5个中国人、4个美国人、3个日本人中各选一人的选法有（ ） A ．12种B ．24种C ．48种D ．60种7．箱子中有标号为1，2，3，4，5，6且大小、形状完全相同的6个球，从箱子中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．若有4人参与摸奖，则恰好有3人获奖的概率为( ) A ．B ．C ．D ．8．设211()22()x x f x x x e e --=-+-+，则使得(1)(22)f x f x +<-的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(3,)-∞+∞U B ．(1,3)C ．1(,)(1,)3-∞⋃+∞ D ．1(,1)39．观察下列各式：1234577749734372401,716807,=====L ，，，，则20197的末尾两位数字为（ ） A ．49B ．43C ．07D ．0110．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，有下列命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，//n β，那么αβ⊥； ②如果m α⊥，//n α，那么m n ⊥； ③如果//αβ，m α⊂，那么//m β；④如果平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，那么//αβ； 其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．②③④11．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ．1B ．2C ．3D ．412．方程22123x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是（ ）A ．－3＜m ＜0B ．－3＜m ＜2C ．－3＜m ＜4D ．－1＜m ＜3二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M 为11A B 的中点，则异面直线AM 与1B C 所成角的余弦值为______．14．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩ 若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________ 15．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的6个点A 、B 、C 、A 1、、B 1、C 1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种（用数字作答）.16．已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵1A B -=________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．为调查某小区居民的“幸福度”．现从所有居民中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于8.5分，则称该人的幸福度为“幸福”．（1）求从这16人中随机选取3人，至少有2人为“幸福”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个小区的总体数据,若从该小区（人数很多）任选3人，记ξ表示抽到“幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望和方差．18．为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计，随机抽取的100名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图.（1）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于70千米的人数； （2）已知跑步千米数在[20,30)的人数是跑步千米数在[60,70)的110，跑步千米数在[40,50)的人数是跑步千米数在[50,60)的12，现在从跑步千米数在[20,40)的跑友中抽取3名代表发言，用ξ表示所选的3人中跑步千米数在[20,30)的人数，求ξ的分布列及数学期望.19．（6分）在四棱锥S ABCD -中，//AD BC ，AC BC ⊥，222AC SD AD BC SC ====，E 为棱SC 上一点（不包括端点），且满足AE AD ⊥.（1）求证：平面SAC ⊥平面ABCD ；（2）F 为SD 的中点，求二面角F AC B --的余弦值的大小. 20．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 1sin x r y r ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（0r >，ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()106πρθ++=.若直线l 与曲线C 相切.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）在曲线C 上任取两点M ，N ，该两点与原点O 构成MON ∆，且满足6MON π∠=，求MON ∆面积的最大值.21．（6分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且32sin a b A =. （1）求角B 的大小； （2）若7b =，5a c +=，求ABC ∆的面积.22．（8分）已知函数，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）求实数,m n 的值及函数()f x 的最大值； （2）证明：对任意的.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】分析：判断()f x 的奇偶性，在(0,1)上的单调性，计算()1f 的值，结合选项即可得出答案. 详解：设()sin ln f x x x =+，当0x > 时，()()1sin ln cos f x x x f x x x=+⇒=+'， 当(0,1)x ∈时，()0f x '>，即函数()f x 在(0,1)上为单调递增函数，排除B ； 由当1x =时，()1sin10f =>，排除D ；因为()()()sin()ln sin ln f x x x f x x x f x -=-+-==-+≠±， 所以函数()f x 为非奇非偶函数，排除C ，故选A.点睛：本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中涉及到函数的单调性、函数的奇偶性和函数值的应用，试题有一定综合性，属于中档试题，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 2．A 【解析】 【分析】 【详解】22110(40302020)7.860506050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯27.8 6.635K ≈> ，则有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”. 本题选择A 选项.点睛：独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释. 3．A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积． 【详解】根据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体 几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：截掉的三棱锥体积为：所以该几何体的体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 4．A 【解析】 【分析】先求出n=k+1时左边最后的一项，再求左边增加的项数. 【详解】n=k+1时左边最后的一项为1131k +-，n=k 时左边最后一项为131k -， 所以左边增加的项数为1313123k k k +--+=⋅. 故选：A 【点睛】本题主要考查数学归纳法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 5．A 【解析】 【分析】由()()20f x f x -+=得出函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称以及函数()y f x =的周期为2，由函数()y f x =为奇函数得出()00f =，并由周期性得出()2f =()40f =，然后作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象，列举前10个交点的横坐标，结合第11个交点的横坐标得出实数m 的取值范围． 【详解】由()()20f x f x -+=可知函数()y f x =的图象关于点()1,0成中心对称， 且()()()2f x f x f x -=-=-，所以，()()2f x f x +=， 所以，函数()y f x =的周期为2，由于函数()y f x =为奇函数，则()00f =，则()()240f f ==， 作出函数()y f x =与函数()sin y x π=的图象如下图所示：211log 122f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭Q ，则11122f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 于是得出7311222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，51122f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由图象可知，函数()y f x =与函数()sin y x π=在区间[]1,m -上从左到右10个交点的横坐标分别为1-、12-、0、12、1、32、2、52、3、72，第11个交点的横坐标为4，因此，实数m 的取值范围是[)3.5,4，故选A ． 【点睛】本题考查方程的根与函数的零点个数问题，一般这类问题转化为两个函数图象的交点个数问题，在画函数的图象时，要注意函数的奇偶性、对称性、周期性对函数图象的影响，属于难题． 6．D 【解析】 【分析】直接根据乘法原理得到答案. 【详解】根据乘法原理，一共有54360⨯⨯=种选法. 故选：D . 【点睛】本题考查了乘法原理，属于简单题. 7．B 【解析】获奖的概率为 ，记获奖的人数为 ， ，所以4人中恰好有3人获奖的概率为，故选B.8．B 【解析】分析：根据题意，由函数f （x ）的解析式分析可得函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，当x ≥1时，对函数f （x ）求导分析可得函数f （x ）在[1，+∞）上为减函数，则原不等式变形可得f （|x|）＜f （|2x ﹣3|），结合单调性可得|x|＞|2x ﹣3|，解可得x 的取值范围，即可得答案． 详解：根据题意，f （x ）=﹣x 2+2x ﹣2（e x ﹣1+e 1﹣x ）=﹣（x ﹣1）2﹣2（e x ﹣1+11x e-）+1，分析可得：y=﹣（x ﹣1）2+1与函数y=2（e x ﹣1+e 1﹣x ）都关于直线x=1对称，则函数f （x ）=﹣x 2+2x ﹣2（e x ﹣1+e 1﹣x ）的图象关于直线x=1对称， f （x ）=﹣x 2+2x ﹣2（e x ﹣1+e 1﹣x ）， 当x ≥1时，f′（x ）=﹣2x +2﹣（e x ﹣1﹣11x e-）=﹣2（x+1+e x ﹣1﹣11x e-），又由x ≥1，则有e x ﹣1≥11x e-，即e x ﹣1﹣11x e -≥0，则有f′（x ）＜0，即函数f （x ）在[1，+∞）上为减函数，f （x+1）＜f （2x ﹣2）⇒f （|x+1﹣1|）＜f （|2x ﹣2﹣1|） ⇒f （|x|）＜f （|2x ﹣3|）⇒|x|＞|2x ﹣3|， 变形可得：x 2﹣4x+3＜0， 解可得1＜x ＜3，即不等式的解集为（1，3）； 故选：B ．点睛：处理抽象不等式问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组)的问题，若()f x 为偶函数，则()()()f x f x f x =-= ，若函数是奇函数，则()()f x f x -=-．9．B 【解析】 【分析】通过观察前几项，发现末尾两位数分别为49、43、01、07，以4为周期重复出现，由此即可推出20197的末尾两位数字。

2020年山东省潍坊市数学高二第二学期期末经典试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()32f x x ax bx c =+++，那么下列结论中错误的是（ ）A ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减B ．函数()y f x =的图像可以是中心对称图形C ．0x R ∃∈，使()00f x =D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=2．已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 3．设sin1a =,12sin 2b =，13sin 3c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<4．已知平面向量(1,3),(2,0)a b =-=-v v，则2a b +=v v （ ）A ．32B ．3C ．22D ．55．b 是区间22,22⎡⎤-⎣⎦上的随机数，直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率为( ) A ．13B ．34C ．12D ．146．如图所示，给出了样本容量均为7的A 、B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为r 1，B 组数据的相关系数为r 2，则（ ）A ．r 1＝r 2B ．r 1<r 2C ．r 1>r 2D ．无法判定7．62x x ⎛⎝展开式中的常数项为A ．192-B ．160-C ．64D ．240 8．sin cos y x x =是（ ）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数9．若函数y ＝f （x ）的导函数y ＝f′（x ）的图象如图所示，则y ＝f （x ）的图象可能（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知2a e =，2b e = ，1123e⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，（e 为自然对数的底）则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>11．在下列命题中，①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是518； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是（ ） A ．② B ．①③ C ．②③D ．①②③12．已知随机变量X 服从正态分布(4,1)N ，且(5)0.1587P x >=，则(34)P x <<=（ ） A ．0.6826B ．0.1587C ．0.1588D ．0.3413二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．设2(5,2)N ξ~，则(37)P ξ<≤=__________．14．关于x 的不等式12x x m +--≥恒成立，则m 的取值范围为________15．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是等腰梯形，其中AB ∥CD ，若1BC CD ==，60BAD ∠=︒，且侧棱与底面ABCD 所成的角均为45°，则该棱锥的体积为_________． 16．某校高二学生一次数学诊断考试成绩（单位：分）X 服从正态分布()2110,10N ，从中抽取一个同学的数学成绩ξ，记该同学的成绩90110ξ<≤为事件A ，记该同学的成绩80100ξ<≤为事件B ，则在A 事件发生的条件下B 事件发生的概率()P B A =______．（结果用分数表示） 附参考数据：()0.68P X μσμσ-<≤+=；()220.95P X μσμσ-<≤+=；()330.99P X μσμσ-<≤+=．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图，在矩形ABCD 中，2,AB BC E =为CD 的中点，将ADE ∆沿AE 折起到PAE ∆的位置，使得平面PAE ⊥平面ABCE ．（1）证明：平面PBE ⊥平面PAE ；（2）求平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值. 18．已知函数321()(1)42,(3f x x a x ax a =-+++为实数）． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若2()(1)2ln 2f x a x x x >-+++在[1,]e 上恒成立，求a 的范围；19．（6分）已知2:,21p x R m x x ∃∈≤--+； :q 方程221x my +=表示焦点在x 轴上的椭圆.若p q ∧为真，求m 的取值范围.20．（6分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数少与月份x 之间的回归直线方程yb ˆˆˆx a =+；（2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2×2列联表：不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过1年22 8 30驾龄1年以上8 12 20合计30 20 50能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？参考公式：()()()n ni i i ii1i1n n222i ii1i1x y nxy?x x y ybx nx?x xˆ====---==--∑∑∑∑，ˆa y bxˆ=-.()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82821．（6分）已知椭圆C：22221x ya b+=＝1（a＞b＞0）的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2212yx-=的焦点重合，过点P（4，0）且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求OA OB⋅u u u v u u u v的取值范围.22．（8分）如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD 的中点，且2,22PA AB AC BC====.（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB,求ANNB的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．A【解析】分析：求导f′（x）=3x2+2ax+b，导函数为二次函数，若存在极小值点，根据二次函数的图象便知一定存在极大值点，并且该极大值点在极小值点的左边，从而知道存在实数x1＜x0，使f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增，从而判断出A的结论错误，而根据f（x）的值域便知f（x）和x轴至少一个交点，从而B的结论正确，而a=b=c=0时，f（x）=x3为中心对称图形，从而判断C正确，而根据极值点的定义便知D正确，从而得出结论错误的为A．详解：A．f′（x）=3x2+2ax+b，导函数为二次函数；∴在极小值点的左边有一个极大值点，即方程f′（x）=0的另一根，设为x1；则x1＜x0，且x＜x1时，f′（x）＞0；即函数f（x）在（﹣∞，x1）上单调递增,∴选项A错误；B．该函数的值域为（﹣∞，+∞），∴f（x）的图象和x轴至少一个交点；∴∃x0∈R，使f（x0）=0；∴选项B正确；C．当a=b=c=0时，f（x）=x3，为奇函数，图象关于原点对称；∴f（x）是中心对称图形,∴选项C正确；D．函数在极值点处的导数为0,∴选项D正确．故选：A．点睛：本题利用导函数研究了函数的极值点，零点，对称性，单调性等性质，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.2．D【解析】由A，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；由B，若m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；由C，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线；由D项，其逆否命题为“若m与n 垂直于同一平面，则m，n平行”是真命题，故D项正确.所以选D.考点：1.直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用. 3．A 【解析】 【分析】 先研究函数sin xy x=单调性，再比较大小. 【详解】2sin cos sin x x x xy y x x -'=∴=Q ,令cos sin t x x x =-，则sin t x x '=- 因此当(0,)2x π∈时0,0,0t t y ''<<<，即sin y x x =在(0,)2π上单调递减，因为11123>>，所以a b c <<，选A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查基本分析判断能力，属中档题. 4．A 【解析】 【分析】先由,a b r r 的坐标，得到2a b +r r的坐标，进而可得向量的模.【详解】因为(1,3),(2,0)=-=-r ra b ，所以2(3,3)a b +=--r r，因此|2|a b +==r r故选A 【点睛】本题主要考查向量的模，熟记向量的坐标表示即可，属于常考题型. 5．C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离小于等半径可求出满足条件的b ，最后根据几何概型的概率公式可求出所求． 【详解】解：b 是区间⎡-⎣上的随机数.即b -≤≤由直线y x b =-+与圆221x y +=1≤，b ≤，区间长度为直线y x b =-+与圆221x y +=有公共点的概率12P ==， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，与长度有关的几何概型的求解． 6．C 【解析】 【分析】利用“散点图越接近某一条直线线性相关性越强，相关系数的绝对值越大”判断即可. 【详解】根据,A B 两组样本数据的散点图知，A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，∴相关系数为1r 应最接近1，B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关， ∴相关系数为2r ，满足21r r <，即12r r >，故选C ． 【点睛】本题主要考查散点图与线性相关的的关系，属于中档题.判断线性相关的主要方法：（1）散点图（越接近直线，相关性越强）；（2）相关系数（绝对值越大，相关性越强）. 7．B【解析】解：因为6621666226(1)()2(1)()()30,3--+---⎛∴=- ⎝=-∴-==rr r r r r r rrrT C x C x x r r则可知展开式中常数项为3321606-=-C ,选B 8．D 【解析】 【分析】整理1sin cos sin 22y x x x ==,即可判断选项. 【详解】由题,因为1sin cos sin 22y x x x ==,所以该函数是奇函数,周期为22T ππ==, 故选:D 【点睛】本题考查三角函数的奇偶性和周期性的判定,考查正弦的二倍角公式的应用. 9．C 【解析】 【分析】根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可. 【详解】由当()0f x '<时，函数()f x 单调递减， 当()0f x '>时，函数()f x 单调递增，则由导函数()y f x '=的图象可知：()f x 先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除,A D ，且两个拐点（即函数的极值点）在x 轴上的右侧，排除B. 故选：C . 【点睛】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题. 10．A 【解析】 【分析】根据条件即可得出，a ＝log 2e ，b ＝ln2，c ＝log 23，容易得出log 23＞log 2e ＞1，ln2＜1，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】∵1122()23a bce e ===，，； ∴21221233a log eb lnc log log ====，，； ∵log 23＞log 2e ＞log 22＝1，ln2＜lne ＝1； ∴c ＞a ＞b ． 故选：A ． 【点睛】本题考查指数式和对数式的互化，对数的换底公式，考查了利用对数函数的单调性比较大小的问题，属于基础题．11．C 【解析】 【分析】根据二项式定理，古典概型，以及正态分布的概率计算，对选项进行逐一判断，即可判断. 【详解】对①：从9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有9872⨯=种可能； 满足2张卡片上的数奇偶性不同，共有54240⨯⨯=种可能； 根据古典概型的概率计算公式可得，其概率为405729P ==，故①错误； 对②：对341()2x x +写出通项公式可得434124144122rrr r r rr x T C C x x ---+⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1240r -=，解得3r =，即可得常数项为31422C -⋅=，故②正确；对③：由正态分布的特点可知11(10)(1)22P P p ξξ-<<=-≥=-，故③正确. 综上所述，正确的有②③. 故选：C . 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，二项式定理求常数项，以及正态分布的概率计算，属综合性基础题. 12．D 【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，知这组数据是以4x =为对称轴的，根据所给的区间的概率与要求的区间的概率之间的关系，单独要求的概率的值． 详解：∵机变量X 服从正态分布()4,1N ，，(5)0.1587P x >=，∴10.15872(34)?0.34132P x -⨯<<==.故选：D ．点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查根据正态曲线的性质求某一个区间的概率，属基础题．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．0.6826 【解析】由正态分布中三个特殊区间上的概率知()0.6826P X μσμσ-<≤+=， ∴(37)(5252)0.6826P X P X <≤=-<≤+=．答案：0.6826 14．(],3-∞- 【解析】 【分析】由题意得()min12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式求出函数12y x x =+--的最小值，从而可求出实数m 的取值范围. 【详解】由题意得()min12m x x ≤+--，由绝对值三角不等式得()()12123x x x x +--≥-+--=-，3m ∴≤-， 因此，实数m 的取值范围是(],3-∞-，故答案为：(],3-∞-. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，同时也考查了利用绝对值三角不等式求最值，解题时要结合题中条件转化为函数的最值来求解，考查化归与转化数学思想，属于中等题. 15．34【解析】 【分析】过D 作DE AB ⊥于E ，求得12AE =，3DE =，11222AB =+⨯=，设O 为AB 的中点，则1OA OB OC OD ====，由题意得顶点P 在底面ABCD 的射影为O ，且1PO =，再根据体积公式即可求出答案． 【详解】解：过D 作DE AB ⊥于E ，∵1BC CD ==，60BAD ∠=︒， ∴12AE =，3DE =，∴11222AB =+⨯=，设O 为AB 的中点，则1OA OB OC OD ====， ∵侧棱与底面ABCD 所成的角均为45°，∴顶点P 在底面ABCD 的射影到ABCD 各顶点的距离相等， 即为等腰梯形ABCD 的外接圆的圆心，即为点O ， ∴PO 为四棱锥的高，即PO ⊥平面ABCD ， ∴1PO =，∴该棱锥的体积()1112132P ABCD V -=⨯⨯+=，故答案为：4． 【点睛】本题主要考查棱锥的体积公式，考查线面垂直的的性质，考查推理能力，属于中档题． 16．2795【解析】 【分析】计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式可得出()()()P AB P B A P A =的值.【详解】由题意可知110μ=，10σ=，事件AB 为90100ξ<≤，902μσ=-Q ，100μσ=-， 所以，()()()901002P AB P P ξμσξμσ=<≤=-<≤-()()220.950.682722200P X P X μσμμσμσσ-<≤+-=+=-<≤-=， ()()()()95901102222200P A P P P X ξμσξμμσμσ=<≤=-<≤=-≤+=<， 由条件概率公式得()()()27200272009595P AB P B A P A ==⋅=，故答案为：2795. 【点睛】本题考查条件概率的计算，同时也考查了正态分布3σ原则计算概率，解题时要将相应的事件转化为正态分布事件，充分利用正态密度曲线的对称性计算，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）证明见解析；（2【解析】 【分析】（1）由题可得222AE BE AB +=，即AE BE ⊥，由平面PAE ⊥平面ABCE ，根据面面垂直的性质可得BE ⊥平面PAE ，从而证明平面PBE ⊥平面PAE ；（2）结合（1），如图建立空间直角坐标系，分别求出平面PAE 与平面PBC 的法向量，由二面角的余弦公式求出余弦值，从而可得到平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值． 【详解】（1）证明：设22AB BC a ==，在矩形ABCD 中，由E 为CD 的中点，易求得：2AEBE a ==，所以222222224AE BE a a a AB +=+==． 所以AE BE ⊥．又因为平面PAE ⊥平面ABCE ，平面PAE I 平面ABCE AE =， 所以BE ⊥平面PAE ．又BE ⊂平面PBE ，所以平面PBE ⊥平面PAE .（2）设2a =，取AE 中点F ，连接PF ﹐由PA PE =，得PF AE ⊥，所以122PF AE ==．又平面PAE ⊥平面ABCE ，平面PAE I 平面ABCE AE =，故PF ⊥平面ABCE ．如图，以E 为坐标原点，分别以EA u u u r ，EB u u u r的方向为x 轴，y 轴正方向建立空间直角坐标系，依题意得：(0,0,0),(0,22,0),(2,2,0),2,0,2)E B C P .2,22,2),2,2,0)BP CB =-=u u u r u u u r，由（1）知BE ⊥平面PAE ，故可取平面PAE 的法向量为(0,1,0)m =r，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r ，则00n BP n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即22220220x y z x y -==不妨取1x =，得(1,1,3)n =--r，设平面PAE 与平面PBC 所成二面角为θ，11|cos |||||11m n m n ⋅θ==r r r r ，则110sin θ=，所以平面PAE 与平面PBC 所成二面角的正弦值为11011. 【点睛】本题考查立体几何中面面垂直的证明以及二面角的正弦值的求法，考查利用空间向量解决问题的能力，属于中档题．18．（I ）见解析；（Ⅱ）11(ln 3,)44-+? 【解析】 【分析】(Ⅰ) 求得函数的导数()(2)(2)f x x x a ¢=--令()0f x '=，解得2x =或2a ，根据根的大小三种情况分类讨论，即可求解．（II ）依题意有321(1)4+23x a x ax -++2(1)2ln 2a x x x >-+++在[1,]e 上的恒成立， 转化为211>ln 122a x x -+在[1,]e 上的恒成立，设211()ln 122g x x x =-+，[1,e]x ∈，利用导数求得函数()g x 的单调性与最大值，即可求解． 【详解】(Ⅰ) 由题意，函数321()(1)4+23f x x a x ax =-++， 则 2()2(1)4(2)(2)f x x a x a x x a ¢=-++=-- 令()0f x '=，解得2x =或2a ，①当1a =时，有22a =，有2()(2)0f x x ¢=-?，故()f x 在R 上单调递增； ②当1a <时，有22a <，(),()f x f x '随x 的变化情况如下表：x(,2)a -∞2a(2,2)a2(2,)+∞()g x '()g x极大 极小由上表可知()f x 在(,2)a -∞和(2,)+∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减； ③同②当1a >时，有22a >，有()f x 在(,2)-∞和(2,)a +∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减；综上，当1a >时，()f x 在(,2)-∞和(2,)a +∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在R 上单调递增；当1a <时，()f x 在(,2)a -∞和(2,)+∞上单调递增，在(2,2)a 上单调递减． （II ）依题意有321(1)4+23x a x ax -++2(1)2ln 2a x x x >-+++在[1,]e 上的恒成立， 即314>2ln 3ax x x x -+在[1,]e 上的恒成立， 故211>ln 122a x x -+在[1,]e 上的恒成立， 设211()ln 122g x x x =-+，[1,e]x ∈，则有max ()a g x >…（*） 易得2113()626x g x x x x -+¢=-+=，令()0g x '=，有230x -+=，3x =， (),()g x g x '随x 的变化情况如下表： x1(1,3)3(3,)ee()g x '()g x极大由上表可知，2max ()(3)(3)ln 3ln 312244g x g ==-?- 又由（*）式可知max 11()ln 344a g x >=-， 故a 的范围为11(ln 3,)44-+?． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 19．(]1,2. 【解析】试题分析：因为(]221,2x x --+∈-∞，可命题p 为真时2m ≤，又由命题q 为时()1,m ∈+∞，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：因为()(]222112,2x x x --+=-++∈-∞， 所以若命题p 为真，则2m ≤. 若命题q 为真，则101m<<，即()1,m ∈+∞.因为p q ∧为真，所以(]1,2m ∈. 20．（1）ˆ8.5125.5y x =-+；（2）66人；（3）有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关．【解析】 【分析】（1）利用所给数据计算x 、,y ，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）由（1）中的回归直线方程计算x=7时ˆy的值即可； （3）由列联表中数据计算K 2，对照临界值得出结论． 【详解】（1）由表中数据知，3,100x y ==，∴1221ˆni i i n i i x y nxy bx nx ==-=-∑∑141515008.55545-==--，∴ˆ125.ˆ5ay bx =-=， ∴所求回归直线方程为8.512.5ˆ5yx =-+． （2）由（1）知，令7x =，则8.571ˆ25.566y=-⨯+=人. （3）由表中数据得()225022128850302030209K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 5.556 5.024≈>，根据统计有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关． 【点睛】本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，是基础题． 21．（1）；（2）【解析】试题分析：（1）设椭圆的方程，若焦点明确，设椭圆的标准方程，结合条件用待定系数法求出的值，若不明确，需分焦点在轴和轴上两种情况讨论；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：解：（1）由题意知22222211,24c c a b e e a a a -==∴===，2243a b =.又双曲线的焦点坐标为(0,3),3b ±=，224,3a b ∴==，∴椭圆的方程为22143x y +=. （2）若直线l 的倾斜角为0o，则(2,0),(2,0),4A B OA OB -⋅=-u u u r u u u r，当直线l 的倾斜角不为0o 时，直线l 可设为4x my =+，22224{(34)243603412x my m y my x y =+⇒+++=+=，由 2220(24)4(34)3604m m m ∆>⇒-⨯+⨯>⇒>设1122(4,),(4,)A my y B my y ++，1212222436,3434m y y y y m m +=-=++， 21212121212(4)(4)416OA OB my my y y m y y my y y y ⋅=+++=+++u u u r u u u r2116434m =-+，2134,(4,)4m OA OB >∴⋅∈-u u u u Q r u u r ，综上所述：范围为13[4,)4-. 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的综合问题. 22．（1）证明见解析；（2）1ANNB=． 【解析】试题分析：（1）由2,22AB AC BC === ⇒ 222BC AB AC =+ ⇒所以AB AC ⊥ ⇒ AC CD ⊥．又因为PA ⊥底面ABCD ⇒ PA CD ⊥ ⇒ CD ⊥平面PAC ；（2）如图以A 为原点建立空间直角坐标系，求得平面MAB 的法向量和1x =⇒ 1,1AN NB == ⇒1ANNB=． 试题解析： （1）连结AC ，因为在ABC ∆中， 2,2AB AC BC ===222BC AB AC =+， 所以AB AC ⊥．因为//AB CD ，所以AC CD ⊥．又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AC PA A ⋂=， 所以CD ⊥平面PAC（2）如图以A 为原点， ,,AB AC AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,0,0,2,2,0,0,0,2,0,2,2,0A P B C D -．因为M 是棱PD 的中点，所以()1,1,1M -．所以，设为平面MAB 的法向量，所以，即0{20x y z x -++==， 令1y =，则0{1 1x y z ===-，所以平面MAB 的法向量因为N 是在棱AB 上一点，所以设．设直线CN 与平面MAB 所成角为α， 因为平面MAB 的法向量，所以．解得1x =，即1,1AN NB ==，所以1ANNB= 考点：1、线面垂直；2、线面角.。

2020年山东省潍坊市数学高二第二学期期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．条件:24p x -<<，条件()():20q x x a ++<，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则a 的取值范围是 （ ） A ．()4,+∞ B ．(),4-∞-C ．(],4-∞-D ．[)4,+∞【答案】B 【解析】因为p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，所以q 是p 的必要不充分条件，p ∴可以推导出q ，但是q 不能推导出p ，若2a >，则q 等价于2,a x p -<<-无法推导出q ；若2a =，则q 等价于满足条件的x 为空集，p无法推导出q ；若2a <，则q 等价于2x a -<<-，由题意可知，4a <-，4a ∴<-，，a ∴的取值范围是(),4-∞-，故选B.2．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm 的金属球，将它浸没底面半径为2cm 的圆柱形容器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（） A ．43cm B ．316cm C ．34cm D ．13cm【答案】D 【解析】 【分析】利用等体积法求水面下降高度。

【详解】球的体积等于水下降的体积即43π3212h π⋅=⋅⋅，13h =．答案：D ．【点睛】利用等体积法求水面下降高度。

3．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n =1000)，利用2×2列联表和2χ统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得24.453χ=，经查阅临界值表知()23.8410.05P χ≈，下列结论正确的是( )A ．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病B ．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病C ．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”D ．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 【答案】C 【解析】【分析】将计算出的24.453χ=与临界值比较即可得答案。

山东省潍坊市2020年高二第二学期数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设为三角形三边长，，若，则三角形的形状为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定2．已知0,0,42a b a b >>+=，则11a b +的最小值是 A ．4 B ．92C ．5D ．9 3．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的上半部分均为半圆，下半部分为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A ．(2042)π+B ．(2022)π+C ．(4042)π+D ．(4082)π+4．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，将数据制成茎叶图如图，若用样本估计总体，年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是（精确到1%）（ ）A ．56%B ．14%C ．25%D ．67%5．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线为正态分布的密度曲线)的点的个数的估计值为（ ）附：若，则，.A ．1193B ．1359C ．2718D ．3413 6．()32233f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）A ．2-B ．2C ．3-D ．37．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为7,则输出的s 的值为（ ）A ．22B ．16C ．15D ．118．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()()2f 21x log x =+-，则()6f -=（ ） A ．2 B ．4C ．-2D ．-4 9．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()f x "是()'f x 的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122018(201920192019g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭) A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．201910．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，点M ，N 分别是线段1A E 与线段1DD 上的动点，当点M ，N 之间的距离最小时，异面直线AM 与1CD 所成角的余弦值为（ ）A ．714B ．4221C ．36D 1841 12．已知集合{}|1,M y y x x R ==-∈，{}2|log (1)N x y x ==-，则M N =（ ）A ．[1,1)-B ．()1,1-C ．[1,)-+∞D ．(,1)-∞二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知1233,3,(){log (6),3,x e x f x x x -<=-≥则((15))f f 的值为 ． 14．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()x f x e x -=-，则(ln 2)f =__________．15．如果曲线C 上的动点P 到定点0Q 的距离存在最小值，则称此最小值为点0Q 到曲线C 的距离.若点(),Q x y 到圆()2221x y -+=的距离等于它到直线10x +=的距离，则点(),Q x y 的轨迹方程是______. 16．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为327πcm ，则该圆柱的侧面积为______2cm ．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且15b a =，23b =，581b =-，132b b a +=，是否存在k ，使1k k S S +>，且12k k S S ++<？若存在，求k 的值．若不存在，则说明理由．18．如图，在多面体PABCDE 中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD ，//DE PA .（1）证明：//CE 平面PAB ；（2）若60ABC ∠=︒，2PA AB ==，当DE 长为多少时，平面PAC ⊥平面PCE .19．（6分）若一圆锥的底面半径为4，体积是16π.（1）求该圆锥的母线长；（2）已知该圆锥的顶点为O ，并且OA 、OB 为圆锥的两个母线，求线段AB 长度为何值时，△OAB 的面积取得最大值？20．（6分）已知函数21()log 1x f x x+=-. (1)判断()f x 的奇偶性并证明你的结论;(2)解不等式()1f x <-21．（6分）已知函数32()([1,2])f x x ax bx c x =+++∈-，且函数()f x 在1x =和23x =-处都取得极值． （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的单调递增区间．22．（8分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球，两个“2”号球，三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球，五个“2”号球，每次摸奖后放回，每位顾客消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元，“2”号球奖20元，“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（1）经统计，顾客消费额X 服从正态分布()150,625N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X （单位：元）在区间(]100,150内并中奖的人数.（结果四舍五入取整数）附：若()~,X N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=.（2）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列.（3）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会.请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B 【解析】试题分析：两边除以得，，故为直角三角形.考点：1.解三角形；2.对数运算.2．B【解析】【分析】 将代数式11a b+与代数式4a b +相乘，展开后利用基本不等式求出代数式的最小值，然后在不等式两边同时除以2可得出答案．【详解】 因为1144()(4)4159b a b a a b a b a b a b++=+++≥+⋅= ，又42a b +=，所以119()2a b +≥， 当且仅当12,33a b ==时取""=，故选B ． 【点睛】 本题考查利用基本不等式求代数式的最值，在利用基本不等式求最值时，要注意配凑“定值”的条件，注意“一正、二定、三相等”基本思想的应用．3．A【解析】【分析】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体，计算表面积得到答案.【详解】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体.(212311424342022S S S S ππππ=++=⨯⋅+⨯+⨯=+. 故选：A .【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.4．A【解析】【分析】 求出样本平均值与方差，可得年龄在(,)x s x s -+内的人数有5人，利用古典概型概率公式可得结果.【详解】363637374440434443409x ++++++++==, 2161699160916910099s ++++++++== 103s =,年龄在(,)x s x s -+内，即110130,33⎛⎫ ⎪⎝⎭内的人数有5人， 所以年龄在(,)x s x s -+内的人数占公司总人数的百分比是等于505609≈，故选A. 【点睛】样本数据的算术平均数公式 12n 1(++...+)x x x x n =． 样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-，标准差s =5．B【解析】 由正态分布的性质可得，图中阴影部分的面积 ， 则落入阴影部分（曲线为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为. 本题选择B 选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.6．D【解析】【分析】对()f x 求导，判断函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，即可求出最大值。

山东省潍坊市寒亭区实验中学2022年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量、，，，与夹角等于，则等于参考答案：D，，故选.2. 复数i（2﹣i）=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则解答．【解答】解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；故选：A．3. 若函数f（x）=，则f′（0）等于（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2参考答案：A【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，令x=0，即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=，则f′（0）==1，故选：A4. 已知函数，若存在实数使成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：A5. 已知变量x与y负相关，且由观测数据计算得样本平均数，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）A．y=2x﹣1.5 B．y=0.8x+3.3 C．y=﹣2x+14.5 D．y=﹣0.6x+9.1参考答案：C【考点】线性回归方程．【分析】利用变量x与y负相关，排除选项A、B，再利用回归直线方程过样本中心验证即可得出结论．【解答】解：根据变量x与y负相关，排除选项A，B；再根据回归直线方程经过样本中心（，），把=4， =6.5，代入C、D中，满足6.5=﹣2×4+14.5，C方程成立，D方程不成立．故选：C．6. 一个圆形纸片，圆心为为圆内一定点，是圆周上一动点，把纸片折叠使点与点重合，然后抹平纸片，折痕为,设与交与点，则点的轨迹是（）双曲线椭圆抛物线圆参考答案：B略7. 若则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.参考答案：B试题分析：由题意得，因为，所以，且，有根据基本不等式可知，，所以，故选B．考点：不等式与不等关系．8. 若点A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，则相异两点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是（）A．2x﹣3y+1=0 B．3x﹣2y+1=0 C．2x﹣3y﹣1=0 D．3x﹣2y﹣1=0参考答案：A【考点】直线的两点式方程；两条直线的交点坐标．【分析】把点A（2，﹣3）代入线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的方程，发现点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上，从而得到点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程．【解答】解：∵A（2，﹣3）是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点，∴2a1﹣3b1+1=0，且2a2﹣3b2+1=0，∴两点（a1，b1）和（a2，b2）都在同一条直线 2x﹣3y+1=0上，故点（a1，b1）和（a2，b2）所确定的直线方程是2x﹣3y+1=0，答案选 A．9. 把把二项式定理展开，展开式的第项的系数是（）A．B．C．D．参考答案：D10. 若直线的倾斜角为，则= （）A. 0° B．90° C．45° D．不存在参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线被圆所截得的弦长为，则实数a的值为.参考答案：0或4圆心到直线的距离为：，结合弦长公式有：，求解关于实数的方程可得：或.12. 从1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),…,推广到第个等式为__________________.参考答案：略13. 已知，且，则_______。

山东省潍坊市昌乐第二中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在(0，1)内有极小值，则（）A．0<b<1 B. b<1 C．b>0 D．参考答案：A略2. 已知的值如表所示：如果与呈线性相关且回归直线方程为，则（）A． B．C． D．参考答案：B3. 如图，正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点.那么=（）A． B．C． D．参考答案：D4. 已知等比数列的各项均为正数，公比，记，，则P与Q的大小关系是( )A . B. C. D. 无法确定参考答案：A略5. 圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0的公切线有（）A．.1条B．.2条C．.3条D．.4条参考答案：D【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，1；两圆圆心距离：=＞2+1，说明两圆相离，因而公切线有四条．故选：D．6. 已知集合，，则（）A．{0,1,2} B．{－2,－1,0} C．{1,2} D．{1}参考答案：B由已知，，∴，故选B.7. 如左下图所示，过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作……………………（▲）A．1条 B．2条 C．3条D．4条参考答案：D略8. 对于两个变量之间的相关系数，下列说法中正确的是（）A．越大，相关程度越大B．，越大，相关程度越小，越小，相关程度越大C．且越接近于，相关程度越大；越接近于，相关程度越小D．以上说法都不对参考答案：C9. 一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是（）A．三棱锥 B．球 C．圆柱D．正方体参考答案：C略10. 过椭圆的右焦点且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B，则|AB|=A． B. C. 1D. 2参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在一椭圆中以焦点F1，F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率等于参考答案：略12. （5分）函数的值域为．参考答案：由题意令=t，则t≥0，可得x=t2+1，代入已知式子可得y=2t2+t+1=，函数为开口向上的抛物线的部分，对称轴为t=，故可得函数y在t∈[0，+∞）单调递增，故当t=0时，函数取最小值1，故原函数的值域为：[1，+∞）故答案为：[1，+∞）令=t，则t≥0，可得x=t2+1，代入已知式子可得关于t的二次函数，由二次函数区间的最值可解．13. （圆锥曲线）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为________．参考答案：略14. 关于函数，有下列命题：①其图象关于轴对称；②当时，是增函数；当时，是减函数；③的最小值是；④在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数；⑤无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是．参考答案：15. 函数在上的最大值是 .参考答案：1216. 若是三条互不相同的空间直线，是两个不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 (填所有正确答案的序号)．①若则；②若则；③若则；④若则．参考答案：④17. .参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2014-2015学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数等于（）A． 1+2i B． 1﹣2i C． 2+i D． 2﹣i2．A={x||x﹣1|≥1，x∈R}，B={x|log2x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是（）①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．A．①②B．①③C．①D．②③4．从字母a，b，c，d，e，f中选出4个字母排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻（a在b的前面），共有排列方法（）种．A． 36 B． 72 C． 90 D． 1445．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y，则x2＞y2；在下列命题中：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p∧（￢q）；（4）（￢p）∨q，真命题是（）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）6．下列推理过程是演绎推理的是（）A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人C．两条直线平行，同位角相等；若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A=∠B D．在数列{a n}中，a1=2，a n=2a n﹣1+1（n≥2），由此归纳出{a n}的通项公式7．函数y=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的减区间是[﹣1，1]，则（）A． a=B． a=1 C． a=2 D．a≤08．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从小组中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是（）A． P（ξ=2）B． P（ξ=3）C． P（ξ≤2）D． P（ξ≤3）9．若（1+2x）2015=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2015x2015（x∈R），则﹣+﹣+…+﹣的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． 1 D． 210．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（0，1）D．（0，e）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，δ2），p（ξ≤3）=0.8413，则P（ξ≤1）= ．12．设动点P（x，y）满足，则z=5x+2y的最大值是．13．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为．14．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是．15．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=﹣2f（﹣2），则a，b，c的大小关系为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．17．已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（Ⅰ）若，求实数a，b的值；（Ⅱ）解不等式f（x）＞．18．观察下列等式照此规律下去（Ⅰ）写出第5个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．19．如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度d的平方和宽度a的乘积成正比，与它的长度l的平方成反比．（Ⅰ）在a＞d＞0的条件下，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？（Ⅱ）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为R=）的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度l，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？20．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？21．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）当时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）时，令，求h（x）在[1，e]的最大值和最小值；（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组所表示的区域内，求实数a的取值范围．2014-2015学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数等于（）A． 1+2i B． 1﹣2i C． 2+i D． 2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简．解答：解：复数===2+i，故选C．点评：本题考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．2．A={x||x﹣1|≥1，x∈R}，B={x|log2x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：A={x||x﹣1|≥1，x∈R}={x|x≥2或x≤0}，B={x|log2x＞1，x∈R}={x|x＞2}，则B⊊A，则“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故选：B点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法求出等价条件是解决本题的关键．3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是（）①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．A．①②B．①③C．①D．②③考点：类比推理．专题：推理和证明．分析：对每个命题进行判断，即可得出结论解答：解：根据平行公理，可知①正确；②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直，符合异面直线所成角的定义，故正确；③如果一条直线与两条平行线中的一条相交，与另一条不一定相交，也可能异面，故不正确．故选：A．点评：本题考查了线线的平行和垂直定理，借助于具体的事物有助于理解，还能培养立体感．4．从字母a，b，c，d，e，f中选出4个字母排成一列，其中一定要选出a和b，并且必须相邻（a在b的前面），共有排列方法（）种．A． 36 B． 72 C． 90 D． 144考点：排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：再从剩余的4个字母中选取2个，方法有种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得结果．解答：解：由于ab已经选出，故再从剩余的4个字母中选取2个，方法有=6种，再将这2个字母和整体ab进行排列，方法有=6种，根据分步计数原理求得所有的排列方法共有6×6=36种，故选：A．点评：本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，属于中档题．5．已知命题p：若x＞y，则﹣x＜﹣y；命题q：若x＜y，则x2＞y2；在下列命题中：（1）p∧q；（2）p∨q；（3）p∧（￢q）；（4）（￢p）∨q，真命题是（）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：容易判断命题p是真命题，q是假命题，根据p∧q，p∨q，￢p，￢q的真假和p，q 真假的关系，这样即可找出真命题．解答：解：显然命题p是真命题，x＜y得不到x2＞y2，比如x=2，y=3时便得不到22＞32，所以命题q是假命题；∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，￢q为真命题，p∧（￢q）为真命题，￢p为假命题，（￢p）∨q为假命题；∴真命题是（2）（3）．故选：C．点评：考查不等式的性质，不等式两边平方时，不等号方向可能变可能不变，p∧q，p∨q，￢q，￢p的真假和p，q真假的关系．6．下列推理过程是演绎推理的是（）A．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质B．某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人C．两条直线平行，同位角相等；若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A=∠B D．在数列{a n}中，a1=2，a n=2a n﹣1+1（n≥2），由此归纳出{a n}的通项公式考点：演绎推理的基本方法．专题：推理和证明．分析：根据三种推理的定义及特点，逐一分析四个答案中的推理过程，可得结论．解答：解：A中，由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质是类比推理；B中，某校高二1班有55人，2班有52人，由此得高二所有班人数都超过50人，是归纳推理；C中，两条直线平行，同位角相等；若∠A与∠B是两条平行直线的同位角，则∠A=∠B，是演绎推理；D中，在数列{a n}中，a1=2，a n=2a n﹣1+1（n≥2），由此归纳出{a n}的通项公式，是归纳推理．故选：C点评：本题考查的知识点是演绎推理的特征，熟练掌握三种推理的定义及特点，是解答的关键．7．函数y=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）上的减区间是[﹣1，1]，则（）A． a=B． a=1 C． a=2 D．a≤0考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：由f（x）=ax3+x的减区间为[﹣1，1]，得f′（x）=3ax2﹣1=0的两个根为﹣1，1，解出a即可．解答：解：f′（x）=3ax2﹣1由题意得3ax2﹣1=0的根为﹣1，1则3a﹣1=0，所以a=．故选A点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，可导函数f'（x）=0的根即为单调区间的端点值，属于简单题型．8．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从小组中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于的是（）A． P（ξ=2）B． P（ξ=3）C． P（ξ≤2）D． P（ξ≤3）考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：先求出从12人选6人共有的种数，若ξ=3求出对应的种数，根据概率公式计算即可．解答：解：从12人选6人共有C126种若ξ=3，则6人中“三好生”的人数3人的种数为C53C73种，则P（ξ=3）=，故选：B．点评：本题主要考查等可能事件的概率，属于基础题．9．若（1+2x）2015=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2015x2015（x∈R），则﹣+﹣+…+﹣的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C． 1 D． 2考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用赋值法先令x=0，得a0=1，然后再令x=﹣，即可得到结论．解答：解：令x=0，得a0=1，令x=﹣，得a0+a1（﹣）+a2（﹣）2+a3（﹣）x3+…+a2015（﹣）x2015=1﹣+﹣+…+﹣=（1﹣2×）2015=0，则﹣+﹣+…+﹣=﹣1，故选：B点评：本题主要考查二项式定理的应用，根据展开式的特点，利用赋值法是解决本题的关键．10．已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（）A．（1，+∞）B．（e，+∞）C．（0，1）D．（0，e）考点：导数的运算；其他不等式的解法．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣1，求函数的导数，判断函数的单调性即可得到结论解答：解：设t=lnx，则不等式f（lnx）＜3lnx+1等价为f（t）＜3t+1，设g（x）=f（x）﹣3x﹣1，则g′（x）=f′（x）﹣3，∵f（x）的导函数f′（x）＜3，∴g′（x）=f′（x）﹣3＜0，此时函数单调递减，∵f（1）=4，∴g（1）=f（1）﹣3﹣1=0，则当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）﹣3x﹣1＜0，即不等式f（x）＜3x+1的解为x＞1，即f（t）＜3t+1的解为t＞1，由lnx＞1，解得x＞e，即不等式f（lnx）＜3lnx+1的解集为（e，+∞），故选：D．点评：本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，δ2），p（ξ≤3）=0.8413，则P（ξ≤1）= 0.1587 ．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题．分析：根据随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴ξ=2，根据正态曲线的特点，得到P（ξ≤1）=P（ξ＞3）=1﹣P（ξ≤3），得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，δ2），所以P（2≤ξ≤3）=P（1≤ξ≤2），P（ξ＞2）=P（ξ＜2），故P（ξ≤1）=P（ξ＞3）=1﹣P（ξ≤3）=1﹣0.8413=0.1587．故答案为：0.1587．点评：本题考查正态分布，正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．若一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布．12．设动点P（x，y）满足，则z=5x+2y的最大值是100 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合求出z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABCO）．由z=5x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点C（20，0）时，直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=5x+2y得z=5×20=100．即目标函数z=5x+2y的最大值为100．故答案为：100．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．13．已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，则a的值为﹣3 ．考点：定积分．专题：计算题．分析：由图可知f（x）=0得到x的解确定出b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可．解答：解：由图知方程f（x）=0有两个相等的实根x1=x2=0，于是b=0，∴f（x）=x2（x+a），有，∴a=±3．又﹣a＞0⇒a＜0，得a=﹣3．故答案为：﹣3．点评：考查学生利用定积分的方法求平面图形面积的能力．14．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论解答：解：设按照顺时针跳的概率为p，则逆时针方向跳的概率为2p，则p+2p=3p=1，解得p=，即按照顺时针跳的概率为，则逆时针方向跳的概率为，若青蛙在A叶上，则跳3次之后停在A叶上，则满足3次逆时针或者3次顺时针，①若先按逆时针开始从A→B，则对应的概率为=，②若先按顺时针开始从A→C，则对应的概率为=××=，则概率为+=．故答案为：点评：本题主要考查概率的计算，利用独立重复试验的概率公式是解决本题的关键．15．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（logπ3）•f（logπ3），c=﹣2f（﹣2），则a，b，c的大小关系为b＜c＜a ．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：构造函数g（x）=xf（x），利用导数研究函数的单调性，即可得到结论．解答：解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，∴此时g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，即此时函数g（x）单调递减，∵f（x）是奇函数，∴g（x）=xf（x）是偶函数，即当x＞0时，函数g（x）单调递增，则a=3f（3）=g（3），b=（logπ3）•f（logπ3）=g（logπ3），c=﹣2f（﹣2）=g（﹣2）=g （2），∵0＜logπ3＜1＜2＜3，∴g（logπ3）＜g（2）＜g（3），即b＜c＜a，故答案为：b＜c＜a．点评：本题主要考查函数值的大小比较，构造函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，命题q：指数函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．考点：命题的真假判断与应用；复合命题的真假；二次函数的性质；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由p∨q为真，p∧q为假，知p为真，q为假，或p为假，q为真．由此利用二元一次不等式和指数函数的性质，能求出实数a的取值范围．解答：解：∵p∨q为真，p∧q为假，∴p为真，q为假，或p为假，q为真．①当p为真，q为假时，，解得1＜a＜．②当p为假，q为真时，，解得a≤﹣2综上，实数a的取值范围是{a|a≤﹣2或1＜a＜}．点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．17．已知复数z=1﹣i（i是虚数单位），函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．（Ⅰ）若，求实数a，b的值；（Ⅱ）解不等式f（x）＞．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．分析：（Ⅰ）求出z2，然后利用，利用复数相等的充要条件列出方程组求解即可．（Ⅱ）转化|2x+1|﹣|x﹣4|＞2，通过令y=|2x+1|﹣|x﹣4|，画出函数的图象，然后求解不等式的解．解答：解：（Ⅰ）复数z=1﹣i，z2=（1﹣i）2=﹣2i，…（1分）由，得﹣2i+a（1+i）+b=3﹣3i，…（2分）即（a+b）+（a﹣2）i=3﹣3i，所以，解得a=﹣1，b=4；…（6分）（Ⅱ）由（1）知，b=4．所以f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|＞2…（7分）令y=|2x+1|﹣|x﹣4|，则…（10分）作出函数y=|2x+1|﹣|x﹣4|的图象，它与直线y=2的交点为（﹣7，2）和．…（1分）所以|2x+1|﹣|x﹣4|＞2的解集为…（12分）注：用零点分区间法相应给分．点评：本题考查绝对值不等式的解法，数形结合的应用，复数的基本运算，考查计算能力以及作图能力．18．观察下列等式照此规律下去（Ⅰ）写出第5个等式；（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．考点：数学归纳法；归纳推理．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（Ⅰ）利用条件直接写出第5个等式．（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）=（2n﹣1）2，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．解答：解：（Ⅰ）第5个等式5+6+7+…+13=81…（3分）（Ⅱ）猜测第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…（3n﹣2）=（2n﹣1）2…（6分）证明：（1）当n=1时显然成立；…（7分）（2）假设n=k（k≥1，k∈N+）时也成立，即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k﹣2）=（2k﹣1）2…（8分）那么当n=k+1时左边=（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（3k﹣1）+（3k）+（3k+1）=k+（k+1）+（k+2）+…+（3k﹣2）+（2k﹣1）+3k+3k+1=（2k﹣1）2+（2k﹣1）+（3k）+（3k+1）=4k2﹣4k+1+8k=（2k+1）2=[2（k+1）﹣1]2…（11分）而右边=[2（k+1）﹣1]2这就是说n=k+1时等式也成立．根据（1）（2）知，等式对任何n∈N+都成立．…（12分）点评：本题考查数学归纳法的证明步骤的应用，归纳推理的方法，考查计算能力．19．如图所示，一根水平放置的长方体枕木的安全负荷与它的厚度d的平方和宽度a的乘积成正比，与它的长度l的平方成反比．（Ⅰ）在a＞d＞0的条件下，将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷会发生变化吗？变大还是变小？（Ⅱ）现有一根横截面为半圆（半圆的半径为R=）的柱形木材，用它截取成横截面为长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度l，问横截面如何截取，可使安全负荷最大？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）设安全负荷为，求出翻转90°后的表达式，然后求解比值的最大值．（Ⅱ）设截取的宽为a（0＜a＜2），高为d，，得到安全负荷为令，利用函数的导数求解最大值即可．解答：解：（Ⅰ）设安全负荷为，…（1分）翻转90°后，…（2分）可得：，…（3分）当a＞d＞0时，＜1此时枕木的安全负荷变大．…（5分）（Ⅱ）设截取的宽为a（0＜a＜2），高为d，，∴a2+d2=12 …（6分）其长度l及k为定值，安全负荷为令，…（8分）此时…（9分）由g′（a）＜0，可得，∴…（11分）所以当宽a=2时，g（a）取得取大值，此时高，所以，当宽a=2，高时，安全负荷最大…（12分）点评：本题可拆式的导数的应用，函数的最值的求法，实际问题的应用，考查转化思想以及计算能力．20．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（Ⅱ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？考点：离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）X可能的取值为10，20，100，﹣200．运用几何概率公式得出求解相应的概率，得出分布列．（Ⅱ）利用对立事件求解得出P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=﹣200）=，求解P（A1A2A3）即可得出1﹣P（A1A2A3）．解答：解：（1）X可能的取值为10，20，100，﹣200．根据题意，有P（X=10）=×（）1×（1﹣）2=，P（X=20）=×（）2×（1﹣）1=，P（X=100）=×（）3×（1﹣）0=，P（X=﹣200）=×（）0×（1﹣）3=．以X的分布列为：X 10 20 100 ﹣200P（Ⅱ）解：设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i（i=1，2，3），则P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=﹣200）=，所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1﹣P（A1A2A3）=1﹣（）3=．因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是．点评：本题考查了离散型的概率分布问题，几何互斥事件，对立事件概率求解即可，属于中档题，准确计算，思路清晰．21．已知函数f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）当时，求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅱ）时，令，求h（x）在[1，e]的最大值和最小值；（Ⅲ）当x∈[1，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在不等式组所表示的区域内，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）通过，函数f（x），求出定义域以及函数的导数并分解因式，①当0＜x＜2时，当x＞2时，分别求解导函数的符号，推出函数得到单调区间．（Ⅱ）求出h（x），求出函数的导数，令h′（x）=0求出极值点，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解最值．（Ⅲ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，构造函数g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），转化为g（x）max≤0，x∈[1，+∞），然后利用导数，通过①当a≤0时，②当时，③当时，分别求解a的范围，即可．解答：解：（Ⅰ）当时，f（x）=（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…（1分）f′（x）===，…（2分）①当0＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）单调递增；当x＞2时，f′（x）＜0，f（x）在（2，+∞）单调递减；所以函数的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．…（4分）（Ⅱ）时，令=（x﹣1）2+lnx=，∴，令h′（x）=0得．…（5分）当时h′（x）＜0，当时h'（x）＞0，故是函数h（x）在[1，e]上唯一的极小值点，…（6分）故，又，，所以h（x）max==…（8分）注：列表也可．（Ⅲ）由题意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1对x∈[1，+∞）恒成立，…（9分）设g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），则g（x）max≤0，x∈[1，+∞）求导得，…（10分）①当a≤0时，若x＞1，则g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）单调递减g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…（11分）②当时，，g（x）在[1，+∞）单调递增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，则不成立；…（12分）③当时，，则f（x）在[1，]上单调递减，单调递增，则存在，有，所以不成立，…（13分）综上得a≤0．…（14分）点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及分类讨论思想，考查计算能力转化思想的应用．。

试卷类型:A高二数学2024.7本试卷共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a =1,2,3 ,b =-4,5,x ,若a ⊥b ,则实数x =A.2B.-2C.3D.-32.已知等差数列a n 中,a 2=4,a 5=-2,则这个数列的前6项和为 A.2B.4C.6D.83.已知数列a n 满足a n +2=-1a n,且a 1=1,a 2=2,则a 2024=A.1B.2C.-1D.-124.一圆锥的轴截面SAB 为等边三角形,S 为圆锥顶点,点C 为AB的中点,则直线SA 与BC 所成角的余弦值为A.14B.24C.34D.645.已知等差数列a n 的公差不为零,S n 为其前n 项和,若S 7=0,则S k k =1,2,⋯,50 中不同数值的个数为A.45B.46C.47D.486.已知两圆台体积之比为1:12,第一个圆台上、下底面半径分别为r 1,r 2,第二个圆台上、下底面半径分别为r 2,r 3,若r 1,r 2,r 3是公比为2的等比数列,则这两个圆台的高之比可以为A.19B.14C.13D.127.如图,已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面ABC 外任意一点,且平面ABC 中的小方格均为边长为1的正方形,‹OA ,AB ›=‹OA,AC ›=60°,OA =2,若AP =2AB +AC ,则OP =A.15B.15C.23D.12ABC O8.已知数列a n满足a1=2024,a n+1=a2n+a n-2n∈N*,若正整数k使得a k+1=a21+a22+⋯+a2k 成立,则k=A.1012B.1013C.2024D.2026二、多项选择题:本大题共3个小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则A.若m⊂β,α⊥β,则m⊥αB.若m⊥α,m⊥β,n⊂α,则n⎳βC.若m⎳α,m⎳β,α∩β=n,则m⎳nD.若m⊥n,m⊥α,n⎳β,则α⊥β10.将一些数排成如图所示的倒三角形,其中第一行各数依次为1,3,5,⋯,2025,从第二行起,每一个数都等于它“肩上”的两个数之和,最后一行只有一个数M,从上往下每一行的第一个数构成的数列记为a n,则13⋯202120232025574812⋯404440481220⋯8092⋯MA.a4=32B.a n+1=a n+2nC.M=1013×21012D.第n行的所有数之和为10131014-n2n-111.在一个棱长为2的正方体内做两个互相垂直的内切圆柱,其相交的部分就是“牟合方盖”,如图1所示,图2是牟合方盖的八分之一,其中OABC为正方形,截面PSRQ与平面OABC平行,设二面角A-DO-B大小为α,二面角A-CO-Q大小为β,∠BOR=γ,∠QOR=δ,则A.该牟合方盖的内切球体积为4π3B.α<δC.sinδ=sinαcosγD.cosαcosγ=cosβcosδ图1ABCDOP QRS图2三、填空题:本大题共3个小题,每小题5分,共15分.12.记S n为等比数列a n的前n项和,若a1=1,S3=34,则a4=.13.一个三棱锥和一个四棱锥恰好可以拼接成一个正三棱台,这个三棱锥的底面为边长是1的等边三角形,这个四棱锥的底面为等腰梯形,该等腰梯形的上、下底面边长分别为1,3,腰长为2,则正三棱台的高为.14.已知函数f x =x-13+2,数列a n 是公差不为0的等差数列f a1 +f a2 +⋯+f a9 = 18,则a1+a2+⋯+a9=.四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记S n为正项数列a n的前n项和,且数列S n是公差为2的等差数列,a1=2.(1)证明:an是等差数列;(2)若bn =a n2n+1,求数列bn的前n项和T n.16.(15分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1上靠近点C的三等分点,平面D1AE∩平面BCC1B1=l,l∩BC=F.(1)求CFFB的值;(2)已知ABCD为边长为2的正方形,AA1=3.①证明:D1E⊥平面ADE;②求四棱锥D-AD1EF的体积.17.(15分)已知S n为数列a n的前n项和,且满足S n=2a n-1.(1)求an的通项公式;(2)设bn =-1n S n,c n=a n+1a n+1-1a n+2-1,若对任意的n∈N*,都有2n-1i=1b i<m<2ni=1c i,求实数m的取值范围.A BCDA1B1C1 D1E18.(17分)如图,圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形,下底面圆O的一条弦EF交CD于点G,DG=1,DE=DF,P是上底面圆周上的动点.(1)证明:平面AEF⊥平面ABCD;(2)求点D到平面AEF的距离;(3)若二面角P-EF-A的正切值为67,且P,F在轴截面ABCD同侧,求圆柱侧面上点P到点F的最短距离.19.(17分)已知集合M=a1,a2,⋯,a nn≥3且n∈N* 的元素均为正整数,对于M的任意两个非空子集A,B,如果A中所有元素之和与B中所有元素之和不相等,就称M具有性质R.(1)判断以下两个集合是否具有性质R,并说明理由;M1={1,2,4,6,9},M2={1,3,5}.(2)已知M具有性质R.证明:①∀k≤n,ki=1a i≥2k-1,k∈N*;②ni=11 a i≤2-12n-1,并指出“=”成立的条件.A BCDEFOPG。

山东省潍坊市第三中学2022年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 椭圆+y2=1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则||=（）A．B．C．D．4参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】先根据椭圆的方程求得椭圆的左准线方程，进而根据椭圆的第二定义求得答案．【解答】解：椭圆的左准线方程为x=﹣=﹣．∵=e=，∴|PF2|=．故选：C．【点评】本题主要考查了椭圆的定义．也可以利用通经与第定义求解，属基础题．2. 设为互不重合的平面，为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若；②若∥∥，则∥；③若；④若.其中正确命题的序号是 ( )A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④参考答案：B 3. 为了考察两个变量x和y之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立做了15次和20次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线为l1和l2，已知在两人的试验中发现对变量x的观测数据的平均值恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t，那么下列说法正确的是()A. 直线l1和直线l2有交点(s，t)B. 直线l1和直线l2相交，但交点未必是点(s，t)C. 直线l1和直线l2必定重合D. 直线l1和直线l2由于斜率相等，所以必定平行参考答案：A【分析】根据回归直线过样本数据中心点，并结合回归直线的斜率来进行判断。

【详解】由于回归直线必过样本的数据中心点，则回归直线和回归直线都过点，做了两次试验，两条回归直线的斜率没有必然的联系，若斜率不相等，则两回归直线必交于点，若斜率相等，则两回归直线重合，所以，A选项正确，B、C、D选项错误，故选：A.【点睛】本题考查回归直线的性质，考查“回归直线过样本数据的中心点”这个结论，同时也要抓住回归直线的斜率来理解，考查分析理解能力，属于基础题。

山东省潍坊市峡山第二中学2022年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定直线l与平面成60°角,点P是平面内的一动点，且点p到直线l的距离为3，则动点P的轨迹是（）A.圆B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.椭圆参考答案：D2. 如图，阴影部分的面积是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】运用定积分的性质可以求出阴影部分的面积.【详解】设阴影部分的面积为，则.选C【点睛】考查了定积分在几何学上的应用，考查了数学运算能力.3. 在某市创建全国文明城市工作验收时，国家文明委有关部门对某校高二年级6名学生进行了问卷调查，6人得分情况如下：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．如果用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本，则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为()参考答案：C略4. 如图是一棱锥的三视图，在该棱锥的侧面中，面积最大的侧面的面积为（）A．4 B．C．2 D．参考答案：B5. 由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面()A．各正三角形内一点B．各正三角形的某高线上的点C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某点参考答案：C四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，所以由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四个面各正三角形的中心。

6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[﹣2，2]，则输出的S属于（）A ．[﹣6，﹣2]B ．[﹣5，﹣1]C ．[﹣4，5]D ．[﹣3，6]参考答案：D【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论． 【解答】解：若0≤t≤2，则不满足条件输出S=t ﹣3∈[﹣3，﹣1]，若﹣2≤t＜0，则满足条件，此时t=2t 2+1∈（1，9]，此时不满足条件，输出S=t ﹣3∈（﹣2，6]， 综上：S=t ﹣3∈[﹣3，6]， 故选：D7. 下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A 、B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A 、B 、C 两两互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1；④若事件A 、B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A 、B 是对立事件．其中错误命题的个数是 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．3参考答案：D 略 8. 在中，已知，，，则的面积等于（ ）(A)(B)(C)(D)参考答案：B略 9. 直线与圆的位置关系是( )A.相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定参考答案：A10. 用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ）A ．B ．C ．D ．参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ……照此规律，第个等式为．参考答案：略12. 函数的单调递增区间是参考答案：略13. 已知复数名（i 为虚数单位），则_________.参考答案：1014. 在四面体中，则二面角的大小为__________.参考答案：60°略15. 下列命题：①；②；③；④；⑤⑥.其中所有真命题的序号是。

2022-2023学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等差数列{a n }中，a 3＝8，a 6＝5，则a 9＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．已知直四棱柱的高为1，其底面四边形ABCD 水平放置的斜二测直观图为平行四边形A ′B ′C ′D ′，∠D ′A ′B ′＝45°，A ′B ′＝2A ′D ′＝2，则该直四棱柱的体积为（ ） A ．43B ．83C ．2D ．43．在空间直角坐标系中，O 为原点，已知点P （1，2，﹣1），A （0，1，2），则（ ） A ．点P 关于点A 的对称点为（2，3，﹣4）B ．点P 关于x 轴的对称点为（1，﹣2，﹣1）C ．点P 关于y 轴的对称点为（﹣1，2，1）D ．点P 关于平面xOy 的对称点为（1，﹣2，1）4．已知{a n }为正项等比数列，若a 2+a 6＝10，a 4a 8＝64，则a 4＝（ ） A ．6B ．4C ．2D ．√25．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ） A ．若m ∥n ，m ∥α，n ∥β，则α∥β B ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ⊥n6．设a 1，a 2，a 3，a 4是各项均不为零的等差数列，且公差d ≠0，若将此数列删去a 2得到的新数列（按原来的顺序）是等比数列，则d a 1的值为（ ）A ．−16B ．−14C ．−12D ．﹣17．若数列{a n }的前n 项积T n =1−215n ，则a n 的最大值与最小值的和为（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．38．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，A 1B 1⊥B 1C 1，四边形是A 1B 1BA 边长为1的正方形，BC ＝2，M 是AC 上的一个动点，过点M 作平面α∥平面B 1CB ，记平面α截四棱锥C ﹣A 1B 1BA 所得图形的面积为y ，平面α与平面B 1CB 之间的距离为x ，则函数y ＝f （x ）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝9，S 3＝21，则（ ） A ．数列的公差为﹣2 B ．a 2＝3C ．a n ＝11﹣2nD ．数列{a n }为递减数列10．已知某圆锥的顶点为P ，其底面半径为√3，侧面积为2√3π，若A ，B 是底面圆周上的两个动点，则（ ）A ．圆锥的母线长为2B ．圆锥的侧面展开图的圆心角为√3π2C ．P A 与圆锥底面所成角的大小为π6D ．△P AB 面积的最大值为√311．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列“．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用a n 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n +2＝a n +1+a n ，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则（ ） A ．a 7＝13B ．a 1+a 3+a 5+⋯+a 2023＝a 2024C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023﹣2D ．S 2023＝a 2025﹣112．如图，四个半径为2的实心小球两两相切，则（ ）A ．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为√6−√2的小球B ．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为6√2−4√33的正方体C ．存在一个侧面积为(20−8√6)π的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内D ．这四个实心小球可以放入一个半径为√6+2的大球内部三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置13．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，与BD 1垂直的面对角线可以是 .（写出一条即可）14．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n+1=1−1a n，则a 9＝ ．15．在四棱锥P ﹣ABCD 中，△PCD 为等边三角形，且平面PCD ⊥平面ABCD ，记直线PC 与平面ABCD 所成的角为α，二面角P ﹣AD ﹣C 的大小为β，则α β（填“＞”“＜”“≥”“≤”）．16．如图，将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的那个数称为某行某列的元素，记作a 〈i ，j〉(i ，j ∈N ∗)，如第2行第4列的数是15，记作a 〈2，4〉＝15，则有序数对（a 〈32，24〉，a 〈15，15〉）是 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，P ，Q 分别为A 1C 1，B 1C 1的中点，点M ，N 分别在棱AC 和BC 上，且CM MA=CN NB=13．（1）证明：四边形PMNQ 为梯形，并求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积； （2）求三棱台PQC 1﹣MNC 的体积．18．（12分）已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝13，a 32=3a 4，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 2﹣1．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若c n ={−a n+1b n ，n 为奇数a nb n ，n 为偶数，请判断c 2n ﹣1+c 2n 与a 2n 的大小关系，并求数列{c n }的前20项和．19．（12分）在如图所示的圆台中，AB 是下底面圆O 的直径，A 1B 1是上底面圆O 1的直径，AB ∥A 1B 1，AB ＝2A 1B 1＝4，OO 1=√3，△ACD 为圆O 的内接正三角形． （1）证明：OO 1∥平面B 1CD ；（2）求直线CD 与平面AB 1D 所成角的正弦值．20．（12分）中小微企业是国民经济的重要组成部分，某小微企业准备投入专项资金进行技术创新，以增强自身的竞争力．根据规划，本年度投入专项资金800万元，可实现销售收入40万元；以后每年投入的专项资金是上一年的一半，销售收入比上一年多80万元．同时，当预计投入的专项资金低于20万元时，就按20万元投入，销售收入则与上一年销售收入相等．（1）设第n 年（本年度为第一年）投入的专项资金为a n 万元，销售收入为b n 万元，请写出a n ，b n 的表达式；（2）至少要经过多少年后，总销售收入就能超过专项资金的总投入？21．（12分）如图（1），已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，点P 在以AD 为直径的半圆弧上，点E 为BC 的中点．现将半圆沿AD 折起，如图（2），使异面直线PD 与BC 所成的角为45°，此时BP =√6．（1）证明：AB ⊥平面P AD ，并求点P 到平面ABCD 的距离；（2）若平面P AB ∩平面PDE ＝1，Q ∈l ，当平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值为√55时，求PQ 的长度．22．（12分）已知正项数列{a n }中，a 2＝8，点(a n+1，a n 2+2a n )在直线y ＝x 上，b n ＝lg （a n +1），其中n ∈N *．（1）证明：数列{b n }为等比数列； （2）设S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n ；（3）记c n =2(a n+1)a n (a n +2)，数列{c n }的前n 项和为T n ，试探究是否存在非零常数λ和μ，使得T n +1λ10S n +μ为定值？若存在，求出λ和μ的值；若不存在，请说明理由．2022-2023学年山东省潍坊市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等差数列{a n }中，a 3＝8，a 6＝5，则a 9＝（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解：由等差中项的性质，知a 3+a 9＝2a 6， 所以8+a 9＝2×5＝10， 所以a 9＝2． 故选：B ．2．已知直四棱柱的高为1，其底面四边形ABCD 水平放置的斜二测直观图为平行四边形A ′B ′C ′D ′，∠D ′A ′B ′＝45°，A ′B ′＝2A ′D ′＝2，则该直四棱柱的体积为（ ） A ．43B ．83C ．2D ．4解：∵四边形ABCD 水平放置的斜二测直观图为平行四边形A ′B ′C ′D ′，∠D ′A ′B ′＝45°，A ′B ′＝2A ′D ′＝2，∴原四边形ABCD 是边长为2的正方形， 又直四棱柱的高为1，∴该直四棱柱的体积为V ＝2×2×1＝4． 故选：D ．3．在空间直角坐标系中，O 为原点，已知点P （1，2，﹣1），A （0，1，2），则（ ） A ．点P 关于点A 的对称点为（2，3，﹣4）B ．点P 关于x 轴的对称点为（1，﹣2，﹣1）C ．点P 关于y 轴的对称点为（﹣1，2，1）D ．点P 关于平面xOy 的对称点为（1，﹣2，1）解：由中点坐标公式可知，点P （1，2，﹣1）关于A （0，1，2）的对称点的坐标是（﹣1，0，5），所以A 不正确；点P 关于x 轴的对称点为（1，﹣2，1），所以B 不正确； 点P 关于y 轴的对称点为（﹣1，2，1），所以C 正确； 点P 关于平面xOy 的对称点为（1，2，1），所以D 不正确． 故选：C ．4．已知{a n}为正项等比数列，若a2+a6＝10，a4a8＝64，则a4＝（）A．6B．4C．2D．√2解：因为{a n}为正项等比数列，所以a6=√a4a8=8，又a2+a6＝10，所以a2＝10﹣8＝2，所以a4=√a2a6=√2×8=4．故选：B．5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m∥n，m∥α，n∥β，则α∥βB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥βD．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n解：若m∥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；对于B，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，m∥n，则n⊥α，又n⊂β，则α⊥β，故C正确；对于D，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：C．6．设a1，a2，a3，a4是各项均不为零的等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去a2得到的新数列（按原来的顺序）是等比数列，则da1的值为（）A．−16B．−14C．−12D．﹣1解：根据题意，a1，a3，a4成等比数列，则a32=a1a4，则（a1+2d）²＝a1（a1+3d），∴a12+4a1d+4d²=a12+3ad，∴4d²＝﹣ad，∵d≠0，∴4d＝﹣a1，则da1=−14．故选：B．7．若数列{a n}的前n项积T n=1−215n，则a n的最大值与最小值的和为（）A．﹣3B．﹣1C．2D．3解：∵T n=1−215n，∴a1＝T1＝1−215=1315，∴T n﹣1＝1−215（n﹣1），∴a n=T nT n−1=1−215n1−215(n−1)=15−2n17−2n=1−217−2n=1+22n−17，当n＝1时，也成立，∴a n＝1+22n−17，∴a n﹣a n﹣1=22n−17−22n−19=−4(2n−17)(2n−19)=−1n2−18n+3234=−1(n−9)2−14，∴a1＞a2＞...＞a8＜a9＞a10＞a11＞...，当n＝1时，a1=1315，当n＝8时，a8＝﹣1，当n＝9时，a9＝3，∴a n的最大值为3，最小值为﹣1，∴a n的最大值与最小值之和为2．故选：C．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥B1C1，四边形是A1B1BA边长为1的正方形，BC＝2，M是AC上的一个动点，过点M作平面α∥平面B1CB，记平面α截四棱锥C﹣A1B1BA所得图形的面积为y，平面α与平面B1CB之间的距离为x，则函数y＝f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．解：如图，截面为MNEF，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥B1C1，四边形是A1B1BA边长为1的正方形，BC＝2，过点M作平面α∥平面B1CB，记平面α截四棱锥C﹣A1B1BA所得图形的面积为y，平面α与平面B1CB 之间的距离为x，可得MN 2=1−x 1，MN ＝2（1﹣x ），NE ＝1，MFAA 1=MC AC=NB AB，MF ＝x ，所以y =1+x2⋅2(1−x)=1﹣x 2，x ∈（0，1），所以函数的图象为A ． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝9，S 3＝21，则（ ） A ．数列的公差为﹣2 B ．a 2＝3C ．a n ＝11﹣2nD ．数列{a n }为递减数列解：设等差数列{a n }的公差为d ， S 3＝21，则3a 2＝21，即a 2＝7，故d ＝a 2﹣a 1＝7﹣9＝﹣2，故A 正确，D 正确． a 2＝a 1+d ＝9﹣2＝7，故B 错误； a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝11﹣2n ，故C 正确． 故选：ACD ．10．已知某圆锥的顶点为P ，其底面半径为√3，侧面积为2√3π，若A ，B 是底面圆周上的两个动点，则（ ）A ．圆锥的母线长为2B ．圆锥的侧面展开图的圆心角为√3π2C ．P A 与圆锥底面所成角的大小为π6D ．△P AB 面积的最大值为√3解：根据题意，依次分析选项：对于A ，设圆锥的母线长为l ，由于其底面半径r =√3，侧面积为2√3π， 则有2√3π=√3πl ，解可得l ＝2，A 正确；对于B ，设圆锥的侧面展开图的圆心角为θ，则有l θ＝2πr ，即2θ＝2√3π， 解可得θ=√3π，B 错误；对于C ，设圆锥的底面圆圆心为OA ，由于P A ＝2，底面圆半径r ＝OA =√3，则∠P AO =π，即P A 与圆锥底面所成角的大小为π6，C 正确；对于D ，由于圆锥轴截面的顶角为2π3，则当P A ⊥PB 时，△P AB 面积的最大值，其最大值为12×2×2＝2，D 错误． 故选：AC ．11．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列“．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用a n 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n +2＝a n +1+a n ，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则（ ） A ．a 7＝13B ．a 1+a 3+a 5+⋯+a 2023＝a 2024C ．a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝a 2023﹣2D ．S 2023＝a 2025﹣1解：由题意，a 1＝a 2＝1， a 3＝a 2+a 1＝1+1＝2， a 4＝a 3+a 2＝2+1＝3， a 5＝a 4+a 3＝3+2＝5， a 6＝a 5+a 4＝5+3＝8，a 7＝a 6+a 5＝8+5＝13，故选项A 正确； 由a n +2＝a n +1+a n ， 可得a n +1＝a n +2﹣a n ， ∴a 1+a 3+a 5+⋯+a 2023＝a 1+（a 4﹣a 2）+（a 6﹣a 4）+…+（a 2024﹣a 2022） ＝a 1+a 4﹣a 2+a 6﹣a 4+…+a 2024﹣a 2022 ＝a 1﹣a 2+a 2024 ＝1﹣1+a 2024＝a 2024，故选项B 正确； ∴a 2+a 4+a 6+⋯+a 2022＝（a 3﹣a 1）+（a 5﹣a 3）+（a 7﹣a 5）+…+（a 2023﹣a 2021） ＝a 3﹣a 1+a 5﹣a 3+a 7﹣a 5+…+a 2023﹣a 2021 ＝﹣a 1+a 2023＝a 2023﹣1，故选项C 错误； 由a n +2＝a n +1+a n ，可得a 3＝a 2+a 1，a 4＝a 3+a 2，…，a 2025＝a 2024+a 2023，各项相加，可得（a 3+a 4+…+a 2025）＝（a 2+a 3+…+a 2024）+（a 1+a 2+…+a 2023）， 则S 2025﹣a 1﹣a 2＝S 2024﹣a 1+S 2023，∴S 2023＝S 2025﹣S 2024﹣a 2＝a 2025﹣1，故选项D 正确． 故选：ABD ．12．如图，四个半径为2的实心小球两两相切，则（ ）A ．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为√6−√2的小球B ．这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为6√2−4√33的正方体C ．存在一个侧面积为(20−8√6)π的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内D ．这四个实心小球可以放入一个半径为√6+2的大球内部解：设A ，B ，C ，D 分别为四个小球的球心，则显然几何体D ﹣ABC 是正四面体，棱长为4，设O 是正四面体D ﹣ABC 的外接球的球心， 可求得正四面体D ﹣ABC 的高为4√63，进而可求得正四面体D ﹣ABC 的外接球的半径为√6，这四个实心小球可以放入一个半径为√6+2的大球内部，D 选项正确；这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为√6−2的小球，√6−√2＞√6−2，A 选项错误； 这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为√6−2的小球，r 2+(l2)2=(√6−2)2≥rl ，S =2πrl ≤2π(√6−2)2=(20−8√6)π，l =2r 时取等号， 存在一个侧面积为(20−8√6)π的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内，C 选项正确； 设正方体的棱长为a ，这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为√6−2的小球，正方体的外接球半径为r=√32a，√3a2≤(√6−2)，解得a≤6√2−4√33，B选项正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与BD1垂直的面对角线可以是AC.（写出一条即可）解：连接AC，BD．在正方形ABCD中，AC⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，可得DD1⊥AC，而BD∩DD1＝D，则AC⊥平面BDD1，所以BD1⊥AC．故答案为：AC（答案不唯一）．14．已知数列{a n}满足a1＝3，a n+1=1−1a n，则a9＝−12．解：在数列{a n}中，由a1＝3，a n+1=1−1an，得a2=1−1a1=1−13=23，a3=1−1a2=1−32=−12，a4=1−1a3=3，…，可得数列{a n}是以3为周期的周期数列，则a9=a2×3+3=a3=−12．故答案为：−1 2．15．在四棱锥P﹣ABCD中，△PCD为等边三角形，且平面PCD⊥平面ABCD，记直线PC与平面ABCD所成的角为α，二面角P﹣AD﹣C的大小为β，则α≤β（填“＞”“＜”“≥”“≤”）．解：取DC中点O，连接PO，∵侧面PCD是边长为2的等边三角形，∴PO=√3，PO⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO⊂平面PCD，∴PO⊥平面ABCD，PC与平面ABCD所成的角为α，tanα=POOC，∵OD＝OC，取OT⊥AD，交AD于点T，连接PT，PO⊥AD，PO∩OT＝O，AD⊥平面PTO，PT⊥AD，∴∠PTO是二面角P﹣AD﹣C的平面角，∴∠PTO＝β，∴tanβ=POTO，∴TO≤OD＝OC，∴tanα≤tanβ，α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α≤β．故答案为：≤．16．如图，将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的那个数称为某行某列的元素，记作a〈i，j〉(i，j∈N∗)，如第2行第4列的数是15，记作a〈2，4〉＝15，则有序数对（a〈32，24〉，a〈15，15〉）是（985，211）．解：3×3（奇数）方块中最后一个数为9，9＝32，3×3方块的每行每列都是3个数，并且9是在第三行第一列．4×4（偶数）方块中最后一个数为16，16＝42，4×4方块的每行每列都是4个数，并且16是在第一行第四列．5×5（奇数）方块中最后一个数为25，25＝52，5×5方块的每行每列都是5个数，并且25是在第五行第一列．由此可得，15×15方块中最后一个数为225＝152，225是在第十五行第一列，所以从225向右依次递减，可得第十五行第十五列的数为211，a 〈15，15〉＝211．32×32方块中的最后一个数为1024＝322，1024是在第一行第三十二列，所以从1024向下依次递减，可得第三十二行第三十二列的数为993，所以第三十二行第二十四列的数为985，a 〈32，24〉＝985． 故答案为：（985，211）．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝2，P ，Q 分别为A 1C 1，B 1C 1的中点，点M ，N 分别在棱AC 和BC 上，且CM MA=CN NB=13．（1）证明：四边形PMNQ 为梯形，并求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积； （2）求三棱台PQC 1﹣MNC 的体积．证明：（1）因为 P ， Q 分别为A 1C 1，B 1C 1的中点， 所以PQ ∥A 1B 1，PQ =12A 1B 1， 又因为CM MA=CN NB=13，则CM CA=CN CB=14，所以MN ∥AB ，MN =14AB ， 所以MN ∥PQ ，MN =12PQ ， 故四边形 PMNQ 为梯形，又因为三角形 ABC 为边长为2的正三角形， 所以△ABC 的面积为S △ABC =2×√32=√3， △A 1B 1C 1的面积为S △A 1B 1C 1=2×√32=√3， 又三棱柱的侧面积S 1＝3×2×2＝12， 所以三棱柱的表面积为12+2√3．解：（2）因为三棱台的高AA 1＝2，由题可得， S △PQC 1=12×√32×1=√34，S △MNC =12×√34×12=√316， 所以三棱台的体积为：V =13(√34+√316+√√34×√316)×2=7√324．18．（12分）已知递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝13，a 32=3a 4，等差数列{b n }满足b 1＝a 1，b 2＝a 2﹣1．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式； （2）若c n ={−a n+1b n ，n 为奇数a nb n ，n 为偶数，请判断c 2n ﹣1+c 2n 与a 2n 的大小关系，并求数列{c n }的前20项和．解：（1）设{a n }的公比为q ，由a 32=3a 4可得a 3＝3q ，又S 3＝13， 即3q +3+3q =13，解得q ＝3或13，由于{a n }是递增数列，所以q ＝3， 所以有a 3＝3q ＝9， 所以a n ＝9×3n ﹣3＝3n ﹣1，所以b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2﹣1＝2， 所以{b n }的公差为1，b n ＝1+n ﹣1＝n ；（2）结合（1）可知c 2n ﹣1＝﹣a 2n b 2n ﹣1＝﹣32n ﹣1•（2n ﹣1），c 2n ＝a 2n b 2n ＝32n ﹣1•2n ，所以c 2n ﹣1+c 2n ＝﹣32n ﹣1•（2n ﹣1）+32n ﹣1•2n ＝32n ﹣1，又a 2n ＝32n ﹣1，所以c 2n ﹣1+c 2n ＝a 2n ，{c n }的前20项和为c 1+c 2+…+c 20＝（c 1+c 2）+（c 3+c 4）+…+（c 19+c 20）＝3+33+…+319=3×(1−910)1−9=18×（321﹣3）．19．（12分）在如图所示的圆台中，AB 是下底面圆O 的直径，A 1B 1是上底面圆O 1的直径，AB ∥A 1B 1，AB ＝2A 1B 1＝4，OO 1=√3，△ACD 为圆O 的内接正三角形． （1）证明：OO 1∥平面B 1CD ；（2）求直线CD 与平面AB 1D 所成角的正弦值．证明：（1）记AB 与CD 交于点F ，连接B 1F ，OC ，因为AB 是下底面圆O 的直径，且△ACD 为圆O 的内接正三角形， 所以AB 垂直平分CD ，OC =2，ACsin60°=4⇒AC =2√3，CF =√3， Rt △OCF 中，OF =√22−(√3)2=1， 因为AB ∥A 1B 1，AB ＝2A 1B 1＝4， 所以OF ∥O 1B 1，OF ＝O 1B 1， 故四边形OFB 1O 1为平行四边形， 故OO 1∥FB 1，又OO 1⊄平面B 1CD ，FB 1⊂平面B 1CD ， 故OO 1∥平面B 1CD ．解：（2）由（1）知，OO 1∥FB 1，则FB 1⊥面ACBD ， 如图建立空间直角坐标系：则A(0，3，0)，B 1(0，0，√3)，C(√3，0，0)，D(−√3，0，0)，CD →=(−2√3，0，0)， 设平面AB 1D 的法向量为m →=(x ，y ，z)，则{AB 1→⋅m →=0AD →⋅m →=0⇒{−3y +√3z =0−√3x −3y =0，令y ＝1，则m →=(−√3，1，√3)，记直线CD 与平面AB 1D 所成角为θ， 则sinθ=|cos ＜CD →，m →＞|=|CD →⋅m →|CD →||m →||=√217，故cosθ=2√77，tanθ=√32， 故直线CD 与平面AB 1D 所成角的正切值为√32×2√77=√217． 20．（12分）中小微企业是国民经济的重要组成部分，某小微企业准备投入专项资金进行技术创新，以增强自身的竞争力．根据规划，本年度投入专项资金800万元，可实现销售收入40万元；以后每年投入的专项资金是上一年的一半，销售收入比上一年多80万元．同时，当预计投入的专项资金低于20万元时，就按20万元投入，销售收入则与上一年销售收入相等．（1）设第n 年（本年度为第一年）投入的专项资金为a n 万元，销售收入为b n 万元，请写出a n ，b n 的表达式；（2）至少要经过多少年后，总销售收入就能超过专项资金的总投入？ 解：（1）由题意得，当投入的专项资金不低于20万元时， 即a n ≥20时，a n a n−1=12，b n ﹣b n ﹣1＝80（n ≥2且n ∈N *），此时数列{a n }是首项为800，公比为12的等比数列， 数列{b n }是首项为40，公差为80的等差数列， 所以a n ＝800×（12）n ﹣1，b n ＝80n ﹣40，令a n ＜20，得2n ﹣1＞40，解得：n ≥7，所以a n ={800×(12)n−1，1≤n ≤6，n ∈N ∗20，n ≥7，n ∈N ∗，b n ={80n −40，1≤n ≤6，n ∈N ∗440，n ≥7，n ∈N ∗．（2）由（1）知，当1≤n ≤6时，总利润S n =n[40+(80n−40)]2−800×[1−(12)n]1−12=1600×（12）n +40n 2﹣1600， 因为S n ﹣S n ﹣1＝﹣1600×（12）n +80n ﹣40，n ≥2，设f （x ）＝﹣1600×（12）x +80x ﹣40，则f （x ）为单调递增函数，f （2）＜0，f （3）＝0，f （4）＞0， 所以S 1＞S 2＝S 3，S 3＜S 4＜S 5＜S 6， 又S 1＜0，S 6＝﹣135＜0，所以当1≤n ≤6时，S n ＜0，即前6年未盈利，当n ≥7时，S n ＝S 6+（b 7﹣a 7）++（b 8﹣a 8）+…+（b n ﹣a n ）＝﹣135+420（n ﹣6）， 令S n ＞0，得n ≥7，故至少要经过7年后，总销售收入才能超过发项资金的总投入．21．（12分）如图（1），已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，点P 在以AD 为直径的半圆弧上，点E 为BC 的中点．现将半圆沿AD 折起，如图（2），使异面直线PD 与BC 所成的角为45°，此时BP =√6．（1）证明：AB ⊥平面P AD ，并求点P 到平面ABCD 的距离；（2）若平面P AB ∩平面PDE ＝1，Q ∈l ，当平面QAB 与平面QCD 所成角的余弦值为√55时，求PQ 的长度．解：（1）证明：∵AD ∥BC ，∴∠PDA 为异面直线PD 与BC 所成角，∴∠PDA ＝45°， ∵∠APD ＝90°，∴AP ＝PD =√22AD =√2，∵AB ＝2，BP =√6，∴AB 2+AP 2＝BP 2，∴AB ⊥AP ，∵AB ⊥AD ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面P AD ，AD ⊂平面P AD ， ∴AB ⊥平面APD ，∵AB ⊂平面ABCD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，取AD 中点为O ，则PO ⊥AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，即PO 就是P 到平面ABCD 的距离， ∵PO =12AD =1，∴点P 到平面ABCD 的距离为1． （2）延长DE ，AB ，设DE ∩AB ＝G ，连接PG ， ∴平面P AB 与平面PDE 的交线l 即为直线PG ， ∵PO ⊥平面ABCD ，∴以O 为坐标原点，OE ，OD ，OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则P （0，0，1），G （4，﹣1，0），A （0，﹣1，0），B （2，﹣1，0），D （0，1，0）， 设PQ →=λPG →=（4λ，﹣λ，﹣λ），则Q （4λ，﹣λ，1﹣λ）， ∵AB ⊥平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，∴AB ⊥PD ， ∵PD ⊥AP ，AB ∩AP ＝A ，∴PD ⊥平面P AB ， ∴平面QAB 的一个法向量为DP →=（0，﹣1，1）， 设平面QCD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），∵DC →=（2，0，0），DQ →=（4λ，﹣λ﹣1，1﹣λ）， ∴{DC →⋅n →=2x =0DQ →⋅n →=4λx −(λ+1)y +(1−λ)z =0，令y ＝1﹣λ，得n →=（0，1﹣λ，λ+1）， ∴|cos ＜DP →，n →＞|=|DP →⋅n →||DP →|⋅|n →|=|λ−1+λ+1|√2⋅√(λ−1)2+(λ+1)2=|2λ|√2⋅√2λ+2=√55，解得λ=±12，∴PQ ＝|PQ →|=√(4λ)2+(−λ)2+(−λ)2=√18λ2=3√22． 22．（12分）已知正项数列{a n }中，a 2＝8，点(a n+1，a n 2+2a n )在直线y ＝x 上，b n ＝lg （a n +1），其中n ∈N *．（1）证明：数列{b n }为等比数列；（2）设S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n ；（3）记c n =2(a n+1)a n (a n +2)，数列{c n }的前n 项和为T n ，试探究是否存在非零常数λ和μ，使得T n +1λ10S n +μ为定值？若存在，求出λ和μ的值；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为点(a n+1，a n 2+2a n )在直线y ＝x 上，所以a n 2+2a n =a n +1，即(a n +1)2=a n +1+1，两边取对数得，lg (a n +1)2=lg （a n +1+1），即2lg （a n +1）＝lg （a n +1+1）， 因为b n ＝lg （a n +1），所以2b n ＝b n +1， 故数列{b n }是公比为2的等比数列．（2）解：因为a 2＝8，a 12+2a 1=a 2，且a n ＞0，所以a 1＝2，所以b 1＝lg （a 1+1）＝lg 3，所以S n =b 1(1−2n)1−2=lg3⋅(1−2n )1−2=（2n ﹣1）lg 3． （3）解：由（1）（2）可知，数列{b n }是首项为lg 3，公比为2的等比数列， 所以b n ＝lg 3•2n ﹣1，又b n ＝lg （a n +1），所以lg 3•2n ﹣1＝lg （a n +1），即a n +1=(10lg3)2n−1=32n−1，所以a n =32n−1−1，因为a n 2+2a n =a n +1，所以a n （a n +2）＝a n +1，所以12（1a n−1a n +2）=1an+1，即1a n +2=1a n−2a n+1，所以c n =2(a n +1)a n (a n +2)=1a n +1a n +2=1a n +（1a n −2a n+1）＝2（1a n −1a n+1），所以T n ＝2[（1a 1−1a 2）+（1a 2−1a 3）+…+（1a n−1a n+1）]＝2（1a 1−1a n+1）＝2（12−132n−1），所以T n +1λ10Sn +μ= 2（12−132n−1）+1λ⋅10(2n−1)lg3+μ= 1−232n −1+1λ⋅32n −1+μ= 1−232n −1+22λ⋅13⋅32n+2μ， 若T n +1λ10Sn +μ为定值，则2λ3=1且2μ＝﹣1，解得λ=32，μ=−12，故当λ=32，μ=−12时，T n +1λ10Sn +μ为定值1．。

山东省潍坊市2022届数学高二(下)期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知定义在R 上的增函数f(x)，满足f(－x)＋f(x)＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0D ．正负都有可能2．设有1n +个不同颜色的球，放入n 个不同的盒子中，要求每个盒子中至少有一个球，则不同的放法有（ ） A ．()1!n +种 B ．()1!n n ⋅+种 C ．()11!2n +种 D ．()11!2n n ⋅+种 3．若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2,5b c ==，△ABC 的面5S cosA =，则a= （） A ．1B ．5C ．13D ．174．设函数()f x 是(,0)-∞上的可导函数其导函数为()f x ',且有2()()0f x xf x '+>,则不等式2(2016)(2016)x f x ++9(3)0f -->的解集为( )A ．(,2013)-∞-B ．(2016,0)-C ．(,2019)-∞-D ．(2019,0)-5．5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．与463-终边相同的角可以表示为()k ∈Z A ．360463k ⋅+ B ．360103k ⋅+ C ．360257k ⋅+D ．360257k ⋅-7．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝8．若函数，且，，的最小值是，则的单调递增区间是（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD ⊥平面ABCD ，且1,2PD AD AB ===，点E 是AB 上一点，当二面角P EC D --为4π时，AE =（ ）A ．23-B ．12C ．22-D ．110．已知||1a =，||2b =，||3a b +=，则下列说法正确是（ ）A ．2a b ⋅=-B ．()()a b a b +⊥-C ．a →与b →的夹角为3π D ．||7a b -=11．将红、黑、蓝、黄个不同的小球放入个不同的盒子，每个盒子至少放一个球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知双曲线22221x y a b-=的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)--，则双曲线的方程为（ ）A ．2212x y -=B ．2214x y -=C ．2221x y -=D ．2241x y -=二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知方程20x x p ++=()p R ∈有两个根α、β，且3αβ-=p 的值为______.14．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2221x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l 与C 交于,A B 两点，则AB =_______.15．有甲、乙二人去看望高中数学张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m 月n 日，张老师把m 告诉了甲，把n 告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择: 2月5日，2月7日，2月9日，3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日．看完日期后，甲说“我不知道，但你一定也不知道”，乙听了甲的话后，说“本来我不知道，但现在我知道了”，甲接着说，“哦，现在我也知道了”．请问张老师的生日是_______．16．已知,x y R ∈，则222()x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭最小值为________.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．在直角坐标系xQy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,42sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1)把1C 的参数方程化为极坐标方程：(2)求1C 与2C 交点的极坐标()0,02ρθπ≥≤<. 18．已知函数2()(2)f x x m x n =+++（,m n 为常数）． （1）当1n =时，讨论函数()()xg x e f x =的单调性； （2）当2n =时，若函数()()x f x h x x e=+在[0,)+∞上单调递增，求m 的取值范围． 19．（6分）求函数1tan 24y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调区间.20．（6分）某种产品的以往各年的宣传费用支出x （万元）与销售量t （万件）之间有如下对应数据(1)试求回归直线方程；(2)设该产品的单件售价与单件生产成本的差为y （元），若y 与销售量t （万件）的函数关系是211103(030)3200080y t t t =-+＜＜，试估计宣传费用支出x 为多少万元时，销售该产品的利润最大？（注：销售利润=销售额-生产成本-宣传费用）（参考数据与公式：521145ii x==∑，51156i i i x t ==∑，1221ni ii nit x y nxyb xnx ==-=-∑∑）21．（6分）如图所示，已知ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，//,2,1,AD BC AD AB BC PA ABCD 平面===⊥．（1）证明：PC CD ⊥；（2）若3PA =，求三棱锥B PCD -的体积．22．（8分）如图（1）.在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，且DE BC ∥，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D CD ⊥，如图（2）.（1）求证：BC ⊥平面1A DC ；（2）当点D 在何处时，三棱锥1A BCD -体积最大，并求出最大值； （3）当三棱锥1A BCD -体积最大时，求BE 与平面1A BC 所成角的大小.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】因为f(x) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-⇒+> 同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f(x 1)＋f(x 2)＋f(x 3)>0,选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行 2．D 【解析】 【分析】要求每个盒子中至少有一个球，可将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列． 【详解】将两个颜色的球捆绑在一起，再全排列得21!(1)!2n nC n n +=+ 选D 【点睛】将两个颜色的球捆绑在一起．再全排列．本题为选择题还可取特值：令n =1,只有一种放法，排除AB ，令n =2有6中放法，选D 3．A 【解析】 【分析】根据三角形面积公式可得12sinA cos A =,利用正余弦平方关系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得. 【详解】因为2b =，c =12S bcsinA ===，所以1 2sinA cos A =.所以2222215cos cos 144sin A cos A A A cos A +=+==.所以cosA = sin A =.所以222245229815a b c bccosA =+-=+-⨯=-=.故选A. 【点睛】本题考查正余弦定理,面积公式,基础题. 4．C 【解析】分析：先求()()()2'x 2[]0f x xf x x f x ⎡⎤=⎣⎦'+<，所以()()2g x x f x =单调递减。

2022年山东省潍坊市昌乐市实验中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图，在正四棱柱中，E、F分别是的中点，则以下结论中不成立的是（）A． B.C. D.参考答案：D2. 若方程表示圆，则m的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D略3. 设，则=（）A．B．C．D．参考答案：B4. 已知f(x)=3x+1, a,b(0,+ ∞), 若|x-1|<b,则 |f(x)-4|<a，则a,b之间的关系为（）A．3b≤a B. 3a≤b C.3b>a D.3a≥b 参考答案：解析：为便于表述，令A={x| |x-1|<b}， B={x| |f(x)-4|<a}则A=（1-b，1+b）,由题设知A B，故有由此得3b≤a，应选A5. 阅读程序框图，若输出的S的值等于16，那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是（）A. i＞5B. i＞6C. i＞7D. i＞8参考答案：A试题分析：第一次循环：S=1+1=2，i=2，不满足条件，执行循环；第二次循环：S=2+2=4，i=3，不满足条件，执行循环；第三次循环：S=4+3=7，i=4，不满足条件，执行循环；第四次循环：S=7+4=11，i=5，不满足条件，执行循环；第五次循环：S=11+5=16，i=6，满足条件，退出循环体，输出S=16，故判定框中应填i＞5或i≥6，故选：A。

考点：程序框图。

点评：本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构。

当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断。

算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的高考中都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题。

6. 不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（）A．（﹣2，5）B．（﹣5，2）C．（3，5）D．（﹣2，0）∪（3，5）参考答案：D【考点】指、对数不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用对数的定义、性质能求出不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集．【解答】解：∵lg（x2﹣3x）＜1，∴，解得﹣2＜x＜0或3＜x＜5，∴不等式lg（x2﹣3x）＜1的解集为（﹣2，0）∪（3，5）．故选：D．【点评】本题考查不等式的解集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．7. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为A．1∶B．1∶3 C．1∶3D．1∶9参考答案：C8. 定积分等于()A．－6 B．6 C．－3 D．3参考答案：A略9. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米两斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=2.5（单位：升），则输入k的值为（）A.8 B.10 C.12 D.14参考答案：B10. 函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）A． B．C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数y＝f(x)在定义域上可导，其图象如图，记y＝f(x)的导函数y＝f′(x)，则不等式xf ′(x )0的解集是________．参考答案：12. .已知函数,,且时,恒成立,则a 的取值范围为___________.参考答案：(1,2]13. 若x ，y 满足约束条件，则z=x ﹣2y的最大值为．参考答案：2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x ﹣2y 为，由图可知，当直线过A （0，﹣1）时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为2． 故答案为：2．14. 若关于的不等式的解集，则的值为_________。

2020-2021学年山东省潍坊市第十一中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知直线：过椭圆的上顶点B和左焦点F，且被圆截得的弦长为，若则椭圆离心率的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：B2. 数列，，，，……的前项和为（）A. B.C. D.参考答案：C3. 双曲线C：的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是，那么直线PA1斜率的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：C4. 已知函数在(1,3)上单调递增，则实数的取值范围是（）A．[－1,+∞) B．(－1,+∞) C.(－∞,－1] D．(－∞,－1)参考答案：A分析：根据在上恒成立求解．详解：∵，∴．又函数在上单调递增，∴在上恒成立，即在上恒成立．∵当时，，∴．所以实数的取值范围是．故选A．5. 已知自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为() A. g B.g C. g D. 2g参考答案：C略6. 命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是（）A．对任意x∈R，都有x2＜1 B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x0∈R，使得x02≥1D．存在x0∈R，使得x02＜1参考答案：D【考点】全称命题；命题的否定．【分析】利用汽车媒体的否定是特称命题写出结果判断即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R都有x2≥1”的否定是：存在x0∈R，使得．故选：D．7. 计算机执行如图的程序，输出的结果是（）A．3，4 B．7，3 C．21，3 D．28，4参考答案：C【考点】顺序结构．【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟计算机执行的程序，按顺序执行，即可得出输出的a与b的值．【解答】解：模拟计算机执行的程序，如图所示；a=3，b=4；a=3+4=7，b=7﹣4=3，a=3×7=21；输出a=21，b=3．故选：C．【点评】本题考查了算法的顺序结构的应用问题，是基础题目．8. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，若|AB|=4，则C的实轴长为（）A．4 B．2 C．4D．8参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，设出双曲线方程，由抛物线的几何性质可得抛物线y2=16x的准线方程，则可以设出A、B的坐标，利用|AB|=4，可得A、B的坐标，将其坐标代入双曲线方程可得λ的值，将其变形可得双曲线的标准方程，由实轴的公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，则可以设其方程为：x2﹣y2=λ，（λ＞0）对于抛物线y2=16x，其准线方程为x=﹣4，设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），若|AB|=4，则有|y﹣（﹣y）|=4，解可得y=2，即A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），代入双曲线方程可得：16﹣4=λ，解可得λ=12，则该双曲线的标准方程为：﹣=1，则a==2，其C的实轴长2a=4；故选：C．9. 设函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N+，且数列{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．，3）D．（1，2）参考答案：B【考点】数列的函数特性．【分析】根据函数的单调性，n∈N*，得出，求解即可．【解答】解：∵函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n），n∈N+，且数列{a n}是递增数列∴，解得：，即：2＜a＜3，故选：B10. 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为（）A ．1B ．C ．D ．参考答案： B 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量与向量平行，则λ＝_______参考答案：12. 在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cosB ＝－，则b＝.参考答案：413. 已知f(x)＝x 2＋2x·f′(1)，则f′(0)＝_______.参考答案：-4 略14. 用反证法证明命题：“如果a ，b∈N，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为 _________ ．参考答案：中没有能被5整除的数；15. 已知对称轴为坐标轴且焦点在轴上的双曲线，两个顶点间的距离为2，焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为 ▲ ． 参考答案：16. 若a 2－ab ＋b 2＝1，a ，b 是实数，则a ＋b 的最大值是_ ____．参考答案：217. 已知直线与平行，则的值为参考答案： 3或5三、 解答题：本大题共5小题，共72分。