2019-2020山东潍坊市高二上学期期末考试数学试卷及答案

2019-2020学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．C．D．a3＞b32．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 3．（5分）如图，空间四边形OABC中，，，，点M为OA的中点，点N 在线段BC上，且CN＝2NB，则＝（）A．B．C．D．4．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（）A．75斤B．70斤C．65斤D．60斤5．（5分）已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，，则这个二面角的度数为（）A．30°B．45°C．90°D．150°6．（5分）为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（）A．4mg/L B．6mg/L C．8mg/L D．12mg/L7．（5分）已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于（）A．2B．3C．4D．68．（5分）已知数列{a n}满足a n a n+1＝3n，且a1＝1，则数列{a n}的前9项和S9＝（）A．160B．241C．243D．484二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2＜﹣1”B．命题“∃x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“∀x∈（﹣3，+∞），x2＞9”C．“x2＞y2”是“x＞y”的必要而不充分条件D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件10．（5分）设数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则（）A．d＞0B．a8＝0C．S7或S8为S n的最大值D．S5＞S611．（5分）已知P是椭圆上一点，F1，F2为其左右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是（）A．P点纵坐标为3B．C．△F1PF2的周长为D．△F1PF2的内切圆半径为12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，则（）A．直线AD1与BD的夹角为60°B．平面AED⊥平面A1FD1C．点C1到平面AB1D1的距离为D．若正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量（x，y，2）与向量（1，2，4）共线，则x+y＝．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，a2，a3是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则S4＝．15．（5分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系分别为：s甲＝v，s＝v．根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主乙要责任的可能是车，理由是．16．（5分）已知F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E 的离心率是．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知p：“实数x满足不等式”；q：“实数x满足不等式x2﹣3kx+2k2≤0，其中实数k＞0”．若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝AB＝AA1，∠CAB＝90°，M是B1C1的中点，N是AC的中点．（1）求证：MN∥平面ABB1A1；（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成的角的大小．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n，且数列是首项为1，公差为的等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．20．（12分）给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝﹣2．（1）对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；（2）过点（4，0）的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B不同两点，试探究是否总有？请说明理由．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥PD，AD∥BC，AD＝CD＝1，BC＝2，二面角P﹣CD﹣A为45°，E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：四边形ABCD为直角梯形；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值．22．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且a，b，1依次成等比数列，其离心率为．过点M （0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）当|AB|＝时，求直线l的方程；（3）在平面直角坐标系xOy中，若存在与点M不同的点G，使得|GA|•|MB|＝|MA|•|GB|成立，求点G的坐标．2019-2020学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若a＞b＞0，则下列不等式中正确的是（）A．ac＞bc B．C．D．a3＞b3【解答】解：a＞b＞0，则c≤0时A不成立；＜，因此B不成立；＞1，因此C不成立；由y＝x3在R上单调递增，因此D成立．故选：D．2．（5分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x【解答】解：∵双曲线标准方程为﹣＝1，其渐近线方程是﹣＝0，整理得．故选：A．3．（5分）如图，空间四边形OABC中，，，，点M为OA的中点，点N 在线段BC上，且CN＝2NB，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：空间四边形OABC中，，，，所以＝++＝++＝﹣++（﹣）＝﹣++＝﹣++．故选：D．4．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（）A．75斤B．70斤C．65斤D．60斤【解答】解：设第1个孩子分到的棉花为a，根据题意可知，第1个孩子开始，以后每人分到的棉花是以a为首项，以17为公差的等差数列，S8＝＝996，解可得，a＝65．故选：C．5．（5分）已知在一个二面角的棱上有两个点A、B，线段AC、BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，，则这个二面角的度数为（）A．30°B．45°C．90°D．150°【解答】解：设这个二面角的度数为α，由题意得＝，∴＝+2•cos（π﹣α），∴（5）2＝25+9+16﹣2×3×4×cosα，解得cosα＝0，∴α＝90°．∴这个二面角的度数为90°．故选：C．6．（5分）为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（）A．4mg/L B．6mg/L C．8mg/L D．12mg/L【解答】解：t＞0，则＝≤＝4，当且仅当t＝3时取等号．则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为4mg/L．故选：A．7．（5分）已知抛物线y2＝4x，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足|AF|+|BF|＝8，则线段AB的中点到y轴的距离等于（）A．2B．3C．4D．6【解答】解：∵F是抛物线y2＝4x的焦点，∴F（1，0），准线方程x＝﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），∴|AF|+|BF|＝x1+1+x2+1＝8，∴x1+x2＝6，∴线段AB的中点横坐标为3，∴线段AB的中点到y轴的距离为3．故选：B．8．（5分）已知数列{a n}满足a n a n+1＝3n，且a1＝1，则数列{a n}的前9项和S9＝（）A．160B．241C．243D．484【解答】解：a n a n+1＝3n，且a1＝1，可得a2＝3，n≥2时，a n﹣1a n＝3n﹣1，相除可得＝3，则数列{a n}的奇数项和偶数项均为公差为3的等比数列，可得S9＝（1+3+9+27+81）+（3+9+27+81）＝+120＝241，故选：B．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9．（5分）下列说法正确的是（）A．命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2＜﹣1”B．命题“∃x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“∀x∈（﹣3，+∞），x2＞9”C．“x2＞y2”是“x＞y”的必要而不充分条件D．“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件【解答】解：对于选项A：命题“∀x∈R，x2＞﹣1”的否定是“∃x∈R，x2≤﹣1”故A错误．对于选项B：命题“∃x∈（﹣3，+∞），x2≤9”的否定是“∀x∈（﹣3，+∞），x2＞9”故B 正确．对于选项C：“x2＞y2”是“x＞y”的既不必要又不充分条件，故C错误．对于选项D：关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件是：，整理得m＜0，故D正确．故选：BD．10．（5分）设数列{a n}是等差数列，S n是其前n项和，a1＞0且S6＝S9，则（）A．d＞0B．a8＝0C．S7或S8为S n的最大值D．S5＞S6【解答】解：a1＞0且S6＝S9，∴6a1+d＝9a1+d，化为：a1+7d＝0，可得a8＝0，d＜0．S7或S8为S n的最大值，S5＜S6．故选：BC．11．（5分）已知P是椭圆上一点，F1，F2为其左右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是（）A．P点纵坐标为3B．C．△F1PF2的周长为D．△F1PF2的内切圆半径为【解答】解：∵椭圆，∴a＝2，b＝2，c＝2．又∵P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，设∠F1PF2＝θ，∴|F1P|+|PF2|＝2a＝4，|F1F2|＝4，∴|F1F2|2＝（|PF1|+|PF2|）2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|•|PF2|θ＝32﹣3|F1P|•|PF2|cosθ＝16，得|F1P|•|PF2|cosθ＝．又|F1P|•|PF2|sinθ＝3，∴tan．对于A，由等面积法，得，则，故A错误；对于B，由tan＜，得∠F1PF2＜，故B错误；对于C，△F1PF2的周长为2a+2c＝，故C正确；对于D，设△F1PF2的内切圆半径为r，则，得r＝，故D正确．故选：CD．12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，则（）A．直线AD1与BD的夹角为60°B．平面AED⊥平面A1FD1C．点C1到平面AB1D1的距离为D．若正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形【解答】解：在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CD的中点，根据所求的结论，建立空间直角坐标系：如图所示：对于选项A：连接B1D1和AB1，所以△AB1D1为等边三角形，所以直线AD1与BD的夹角即为直线AD1与B1D1的夹角为60°，故正确．对于选项B：根据建立的空间直角坐标系：D（0，0，0），E（1，1，），A（1，0，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），F（0，，0），在平面AED中，设该平面的法向量为，，所以，解得：，同理在平面A1FD1中，设该平面的法向量为，则：，．所以：，解得：，由于，所以平面AED⊥平面A1FD1，故正确．对于选项C：设点C 1到平面AB1D1的距离为h，利用，整理得，解得h＝．故错误．对于选项D：正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是位于8个顶点的8个等边三角形和三角形和加粗线部分的正六边形（如图所示），故正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知向量（x，y，2）与向量（1，2，4）共线，则x+y＝．【解答】解：∵向量＝（x，y，2），向量＝（1，2，4）共线，∴＝m，m∈R；则（1，2，4）＝m（x，y，2）＝（mx，my，2m），即，解得m＝2，x＝，y＝1；∴x+y＝1+＝．故答案为：．14．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和，a2，a3是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，则S4＝．【解答】解：由题意可知a2+a3＝4，a2•a3＝3又a2＜a3，所以a2＝1，a3＝3，故q＝3，a1＝，S4＝＝．故答案为：15．（5分）汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要依据．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故．事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m．已知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速vkm/h之间的关系分别为：s甲＝v．根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主＝v，s乙要责任的可能是乙车，理由是乙车超过了限定速度．＝v＞6，解得，30＜v＜5+5＜40．【解答】解：7＞s甲s乙＝v＞10．解得：v＞50．根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是乙车，理由是乙车超过了限定速度．故答案为：乙，乙车超过了限定速度．16．（5分）已知F为双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A，且交另一条渐近线于点B，若|OF|＝|FB|，则双曲线E的离心率是．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，若|OF|＝|FB|，可得在直角三角形AOB中，由∠AOF＝∠BOF＝∠ABO＝30°，可得＝tan30°＝，a2＝3b2＝3（c2﹣a2），3c2＝4a2，e＝．故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知p：“实数x满足不等式”；q：“实数x满足不等式x2﹣3kx+2k2≤0，其中实数k＞0”．若p是q的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【解答】解：因为，所以（x﹣6）（x﹣9）＜0，解得6＜x＜9x2﹣3kx+2k2≤0可化为（x﹣k）（x﹣2k）≤0因为k＞0，所以k≤x≤2k，设A＝|x|6＜x＜9}，B＝|x|k≤x≤2k}因为p是q的充分不必要条件，所以A⫋B，此时有，所以．故实数k的取值范围是18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝AB＝AA1，∠CAB＝90°，M是B1C1的中点，N是AC的中点．（1）求证：MN∥平面ABB1A1；（2）求直线A1B与平面BCC1B1所成的角的大小．【解答】（1）证明：取AB的中点H，连结HN、B1H，因为HN是△ABC的中位线，所以HN∥BC，且，又因为B1M∥BC，且，所以HN∥B1M且HN＝B1M所以四边形HNMB1是平行四边形，所以MN∥B1H，又因为MN⊄面ABB1A1，B1H⊂面ABB1A1，所以MN∥面ABB1A1，（2）解：连结A1M，BM，因为A1B1＝A1C1，M是B1C1中点，所以A1M⊥B1C1，又因为面A1B1C1⊥面BCC1B1，A1M⊂面A1B1C1，面A1B1C1∩面BCC1B1＝B1C1所以A1M⊥面BCC1B1，所以直线BM为A1B在面BCC1B1内的射影，所以∠A1BM为直线BA1与平面BCC1B1所成的角，设AB＝2，则在△A1MB中，∠A1MB＝90°，，，所以，所以∠A1BM＝30°，所以直线BA1与平面BCC1B1所成的角为30°．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n，且数列是首项为1，公差为的等差数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，求证：．【解答】解：（1）由题意，所以，当n＝1时，；当n≥2时，；又因为a1＝1适合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝3n﹣2（n∈N*）；（2）证明：由（1）得a n＝3n﹣2，可得，所以＝，因为，所以．20．（12分）给出下列条件：①焦点在x轴上；②焦点在y轴上；③抛物线上横坐标为1的点A到其焦点F的距离等于2；④抛物线的准线方程是x＝﹣2．（1）对于顶点在原点O的抛物线C：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C的方程是y2＝4x，并说明理由；（2）过点（4，0）的任意一条直线l与C：y2＝4x交于A，B不同两点，试探究是否总有？请说明理由．【解答】解：（1）因为抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0）在x轴上，所以条件①适合，条件②不适合．又因为抛物线C：y2＝4x的准线方程为：x＝﹣1所以条件④不适合题意．当选择条件③时，|AF|＝x A+1＝1+1＝2，此时适合题意．故选择条件①③时，可得抛物线C的方程是y2＝4x．（2）假设总有，由题意得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝ty+4，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立方程组，消去x，整理得y2﹣4ty﹣16＝0，所以△＞0恒成立，y1+y2＝4t，y1y2＝﹣16，则x1x2＝（ty1+4）（ty2+4）＝t2y1y2+4t（y1+y2）+16＝﹣16t2+16t2+16＝16所以所以综上所述，无论l如何变化，总有．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，CD⊥PD，AD∥BC，AD＝CD＝1，BC＝2，二面角P﹣CD﹣A为45°，E为PD的中点，点F在PC上，且．（1）求证：四边形ABCD为直角梯形；（2）求二面角F﹣AE﹣D的余弦值．【解答】解：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊥PD，所以CD⊥AD，因为AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD为直角梯形．（2）解：过点A作AD的垂线交BC于点M，则PA⊥AM，PA⊥AD，以A为坐标原点，分别以AM，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），B（1，﹣1，0），C（1，1，0），D（0，1，0），由（1）知CD⊥AD，又CD⊥PD，则∠PDA为二面角P﹣CD﹣A的平面角，则∠PDA ＝45°，PA＝1，所以P（0，0，1），，所以，，，所以，，设平面AEF的法向量，则，即，令：z＝1，则y＝﹣1，x＝﹣1，所以．又平面PAD的法向量，所以，由题意知二面角F﹣AE﹣D为钝角，所以二面角F﹣AE﹣D的余弦值为．22．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0），O为坐标原点，P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且a，b，1依次成等比数列，其离心率为．过点M （0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）当|AB|＝时，求直线l的方程；（3）在平面直角坐标系xOy中，若存在与点M不同的点G，使得|GA|•|MB|＝|MA|•|GB|成立，求点G的坐标．【解答】解（1）由题意知，，解得a2＝4，b2＝2，所以椭圆的标准方程为．（2）当直线l的斜率不存在时，，不符合题意，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx+1，联立，得（2k2+1）x2+4kx﹣2＝0，其判别式△＝（4k）2+8（2k2+1）＝8（4k2+1）＞0，设A、B坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则，（*），所以，整理得4k4﹣5k2+1＝0，解得k2＝1或，所以k＝±1或，综上，直线l的方程为y＝±x+1或．（3）因为存在点G，使|GA|•|MB|＝|MA|•|GB|即①当直线l与x轴平行时，此时所以点G在y轴上，可设G点坐标为（0，y0）．当直线l与x轴垂直时，则A，B的坐标分别为，，由，得，解得y0＝1或y0＝2，因为G不同于点M，则G点坐标只能为（0，2）②下面证明，对任意直线l，均有G（0，2）点，使|GA|•|MB|＝|MA|•|GB|成立．当直线l斜率不存在时，由上知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx+1，由（2）中（*）式得，，所以．易知，点B关于y轴对称的点B'的坐标为（﹣x2，y2），又因为，所以k GA＝k GB'，即G，A，B'三点共线，所以，即|GA|•|MB|＝|MA|•|GB|成立，综上所述：G点坐标为（0，2）．第21页（共21页）。

2019-2020年高二上学期期末考试 数学理 含答案本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

） 1．下列命题正确的是A ．若a 2＞b 2，则a ＞b B ．若1a ＞1b，则a ＜bC ．若ac ＞bc ，则a ＞bD ．若a ＜b ， 则a ＜b2．抛物线28y x =-的焦点坐标是A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0）3. 设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =A. 2eB. eC.ln 22D. ln 24．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词， 然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是 A ．不拥有的人们不一定幸福 B ．不拥有的人们可能幸福 C ．拥有的人们不一定幸福 D ．不拥有的人们不幸福 5．不等式21≥-xx 的解集为A ．)0,1[-B ．),1[∞+-C ．]1,(--∞D ．),0(]1,(∞+--∞6．下列有关选项正确的．．．是 A ．若q p ∨为真命题，则p q ∧为真命题. B ．“5x =”是“2450x x --=”的充要条件.C ．命题“若1x <-，则2230x x -->”的否命题为：“若1x <-，则2320x x -+≤”. D ．已知命题p ：R x ∈∃，使得210x x +-<，则p ⌝：R x ∈∀，使得210x x +-≥7．设0,0.a b >>1133aba b+与的等比中项，则的最小值为 A ． 8 B ． 4 C ． 1D ． 148. 如图，共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为1234e e e e 、、、，其大小 关系为A.1243e e e e <<<B.1234e e e e <<<C.2134e e e e <<<D.2143e e e e <<<9．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且ka ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是A ．1 B.15 C. 75 D. 3510 在等差数列{}n a 中，若4,184==S S ，则20191817a a a a +++的值为A 9B 12C 16D 1711．在正方体111111ABCD A B C D BB ACD -中，与平面的余弦值为A32B33 C 32D3612．已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足PA xPB yPC ++=0．设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为A ．32 B.12C. 1D. 2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_14．当x y 、满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时，目标函数2t x y =+的最小值是 .15. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．16 对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和的公式是 三、解答题求函数44313+-=x x y 在区间03⎡⎤⎣⎦，上的最大值与最小值以及增区间和减区间。

山东省2019-2020学年高二上学期期末检测考试数学（文科）试卷本试卷分第I 卷和第□卷两部分，共 4页，满分为150分，考试用时120分钟。

注意事项：1 .答卷前，考生务必用 0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写 在规定的位置上。

2 .第I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3 .第n 卷必须用 0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不得使用涂改液，胶 带纸、修正带和其他笔。

第I 卷（主观题 共60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的.21 .命题"三x w Z ,使x 2—mx W0 ”的否定是（4 .已知△ ABC 的三个内角A, B,C 成等差数列，且 AB =2-2, BC = J2,则该三角形面积A.三 x^Z ,使 x 2 -mx >02C. V x =Z ,使 x -mx <02. “ a A 1” 是“ a >0” 的（）A .充分不必要条件 C.充要条件2 23,双曲线L-A =1的渐近线方程是（33B. m x 更 Z ,使 x 2 — mx > 02D. Vx=Z,使 x -mx> 0B .必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件）C. y = ±V 3x. y = ±x已知等差数列 以}的前n 项和为S n ,若a 3+2a 4+a 5=16，则&的值为（）3 2 .函数 f (x )=x —3x -9x +2,(-2 < x <2( )C.极大值7,无极小值D.极小值-25,无极大值x - y 1 _ 08.设x, y 满足约束条件 」x + y —1之0,则z = 2x —3y 的最小值是（）x <3A. —7B . —6C. —5D. —32A b9.在 &ABC 中，2cos — =一+1（a,b,c 分别为角 A, B,C 的对边），则 AABC 为（）2 cA.等边三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形10 .设f （x ） = Yln x +x 2—2x-5 ,则f （x ）的单调递增区间为 （）11 .若不等式2x2+ax+2之0对一切x w]。

2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--„，{|21B x x =-<„且}x Z ∈，则(A B =I ) A ．{2-，1}-B ．{1-，0}C ．{2-，0}D ．{1-，1}2．（5分）设(1)1(i a bi i +=+是虚数单位），其中a ，b 是实数，则||(a bi += ) A ．1B ．2C ．3D ．23．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(21)(P ξ-<<= )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.64．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227B ．258C ．15750D ．3551135．（5分）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =g 的部分图象可能是()A ．B ．C ．D ．6．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种7．（5分）已知3sin()45πα-=，且α为锐角，则cos (α= )A ．B ．C D8．（5分）已知点P 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b -=>>g 右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若11||4||PF HF =，则该双曲线的离心率为( )A B C ．53D ．73二、多项选择题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )AB ．(1π+C ．D ．(2)10．（5分）已知2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有( ) A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=要是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心11．（5分）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有( ) A ．9100a a <g B ．910a a >C ．100b >D ．910b b >12．（5分）把方程||||1169x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有( )A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()4()3g x f x x =+不存在零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ，若a r 与b r 共线，则实数x = ． 14．（5分）已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为 ．15．（5分）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为(2,3)，则||||PA PM +的最小值是 ．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动，过A ，C ，K 三点作正方体的截面，若K 为棱11A B 的中点，则截面面积为 ，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A KKB = ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前3项． （1）求n a ，n b ； （2）设(){}1,1n n n n n c b c a a =++求的前n 项和n S ．18．（12分）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E ，F 分别为棱PC 和AB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为52，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小．19．（12分）在①3sin 4cos a C c A =，②2sin 5sin 2B Cb a B +=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 ，32a =． （1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点MC MB =．2ABM π∠=，求ABC ∆的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．20．（12分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图．将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． （1）求n ，p 的值；（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星 读书之星总计男 女 10 55 总计（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X ． 附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中．20()P K k … 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（12分）在平面直角坐标系中，( 1.0)A -，(1,0)B ，设ABC ∆的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知||1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过(2,0)G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若6SMG SHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 22．（12分）已知函数2()1()()x f x ae x a R g x x =--∈= （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若曲线1:()1C y f x x =++与曲线2:()C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值；（3）当1a =，0x …时，不等式()(1)f x kxln x +…恒成立，求实数k 的取值范围．2019-2020学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--„，{|21B x x =-<„且}x Z ∈，则(A B =I ) A ．{2-，1}-B ．{1-，0}C ．{2-，0}D ．{1-，1}【解答】解：{|13}A x x =-Q 剟，{2B =-，1-，0}， {1A B ∴=-I ，0}．故选：B ．2．（5分）设(1)1(i a bi i +=+是虚数单位），其中a ，b 是实数，则||(a bi += )A ．1B C D ．2【解答】解：由(1)1i a bi +=+，得1a ai bi +=+，∴1a ab =⎧⎨=⎩，则1a b ==．|||1|a bi i ∴+=+=故选：B ．3．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(21)(P ξ-<<= )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6【解答】解：Q 随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，∴正态分布曲线的对称轴方程为1x =，由(4)0.9P ξ<=，得(4)(2)0.1P P ξξ>=<-=， 则11(21)(24)0.80.422P P ξξ-<<=-<<=⨯=． 故选：C ．4．（5分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227B ．258C ．15750D ．355113【解答】解：设圆锥底面圆的半径为r ，高为h ，则2L r π=，∴2212(2)375r h r h ππ=， 258π∴=． 故选：B ．5．（5分）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =g 的部分图象可能是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：由图可知，当(,)2x π∈-∞-时，0y <；当(,0)2x π∈-时，0y >；当(0,)2x π∈时，0y <；当(,)2x π∈+∞时，0y >；符合要求的只有选项A ． 故选：A ．6．（5分）已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡．若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( ) A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种【解答】解：根据题意，依次分析四人的结账方式：对于甲，只会用现金结账，有1种方式， 对于乙，只会用现金和银联卡结账，有2种方式，对于丙，与甲、乙结账方式不同，若乙用现金，则丙有3种方式，若乙用银行卡，则丙有2种方式，对于丁，用哪种结账方式都可以，有4种方式， 则他们结账方式的组合有342420⨯+⨯=种， 故选：D ．7．（5分）已知3sin()45πα-=，且α为锐角，则cos (α= )A ．10-B ．10C ．10D ．10【解答】解：由于3sin()45πα-=，且α为锐角，则444πππα-<-<，即4cos()45πα-==，则cos cos[()]44ππαα=-+cos()cos sin()sin 4444ππππαα=---43()55=-=． 故选：C ．8．（5分）已知点P 为双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>g 右支上一点，1F ，2F 分别为C 的左，右焦点，直线1PF 与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若11||4||PF HF =，则该双曲线的离心率为( )A B C ．53D ．73【解答】解：如图：取1PF 的中点M ． 11||4||PF HF =Q ，2//OH MF ∴．Q 直线1PF 垂直OH ，垂足为H ，21MF PF ∴⊥，故△12PF F 为等腰三角形． 2122PF F F c ∴==，可得122PF a c =+．121tan tan bF F M FOH a∠=∠=Q ， 112112sin sin 2MF a c bF F M FOH F F c c+∴∠===∠=． 2a c b ∴+=，2222()4()3250a c c a e e ⇒+=-⇒--=，解得53e =，故选：C ．二、多项选择题：本大题共4个小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分．选对但不全的得3分，有选错的得0分． 9．（5分）等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( ) A 2πB ．(12)π+C ．22πD ．(22)π【解答】解：若绕一条直角边旋转一周时，则圆锥的底面半径为1，高为1，所以母线长2l 这时表面积为21211(12)2l πππ+=g gg g ；若绕斜边一周时旋转体为L 2，一个圆锥的母线长为1，所以表面积1222S =g 212ππ=g ，2π， 故选：AB ．10．（5分）已知2()2cos 321(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有( ) A ．2ω=B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=要是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心【解答】解：Q 2()2cos 21(0)cos222cos(2)3f x x x x x x πωωωωωω=->==-的最小正周期为22ππω=， 1ω∴=，()2cos(2)3f x x π∴=-，故A 错误．在[0,]6π上，2[33x ππ-∈-，0]，故()2cos(2)3f x x π=- 单调递增，故B 正确；当3x π=时，()1f x =，不是最值，故直线3x π=不是函数()y f x =图象的一条对称轴，故C错误； 当512x π=时，()0f x =，故点5(,0)12π是函数()y f x =图象的一个对称中心，故D 正确， 故选：BD ．11．（5分）已知等比数列{}n a 的公比23q =-，等差数列{}n b 的首项112b =，若99a b >且1010a b >，则以下结论正确的有( ) A ．9100a a <gB ．910a a >C ．100b >D ．910b b >【解答】解：数列{}n a 是公比q 为23-的等比数列，{}n b 是首项为12，公差设为d 的等差数列，则8912()3a a =-，91012()3a a =-，21791012()03a a a ∴=-<g ，故A 正确；1a Q 正负不确定，故B 错误；10a Q 正负不确定，∴由1010a b >，不能求得10b 的符号，故C 错误；由99a b >且1010a b >，则812()1283a d ->+，912()1293a d ->+，可得等差数列{}n b 一定是递减数列，即0d <， 即有9910a b b >>，故D 正确．故选：AD．12．（5分）把方程||||1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x=的图象，则下列结论正确的有()A．()y f x=的图象不经过第一象限B．()f x在R上单调递增C．()y f x=的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3 D．函数()4()3g x f x x=+不存在零点【解答】解：根据题意画出方程||||1169x x y y+=-曲线即为函数()y f x=的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数()y f x=的有下列说法：A图象不过第一象限，正确；B，()f x在R上单调递减，故B错误．C，由图象可知，()y f x=的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3，C正确；D，由于4()30f x x+=即3 ()4xf x=-，从而图形上看，函数()f x的图象与直线34xy=-没有交点，故函数()4()3F x f x x=+不存在零点，故D正确．故选：ACD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ，若a r 与b r 共线，则实数x = 2± ． 【解答】解：向量(,4)a x =-r，(1,)b x =-r ， 若a r与b r 共线，则2(4)10x ---⨯=，解得2x =±． 故答案为：2±．14．（5分）已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为 9 ．【解答】解：圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，21a b ∴+=，则21212222()(2)5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=+++=g …， 当且仅当22b a a b =即13a b =时取等号，此时取得最小值9． 故答案为：915．（5分）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为(2,3)，则||||PA PM +的最小值是101 ．【解答】解：当2x =时，2428y =⨯=，所以22y =±||22y =32>，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线1x=-，由抛物线的定义可知||||1||PN PM PF=+=，当三点A，P，F共线时，||||PA PF+最小，此时为||||||PA PF AF+=，又焦点坐标为(1,0)F，所以22||(21)310 AF=-+=，即||1||PM PA++的最小值为10，所以||||PM PA+的最小值为101-，故答案为：101-．16．（5分）正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，点K在棱11A B上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱11A B的中点，则截面面积为98，若截面把正方体分成体积之比为2:1的两部分，则11A KKB=．【解答】解：如图，过K作//KM AC，交11B C于M，连结MC，则平面ACMK 是过A ，C ，K 三点的正方体的截面，K Q 为棱11A B 的中点，M ∴是11B C 的中点，221121122KM AC ∴==+=，∴截面ACMK 的面积为221229(2)1()248S =⨯+⨯+=． 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点K 在棱11A B 上运动， 截面ACMK 把正方体分成体积之比为2:1的两部分， 设1B K x =，则1B M x =，11A K x =-，∴22222111111(11)11322223x x ++=g g g g g g ， 整理，得210x x +-=， 由01x <<，解得51x -=， ∴11511151251A K xKB x----===-．故答案为：98，51-．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为10，且1a ，2a ，4a 是等比数列{}n b 的前3项． （1）求n a ，n b ； （2）设(){}1,1n n n n n c b c a a =++求的前n 项和n S ．【解答】解：（1）设数列{}n a 的公差为(0)d d ≠， 由题意，4114(41)446102S a d a d ⨯-=+=+=，① 又1a Q ，2a ，4a 成等比数列，∴2214a a a =， 即2111()(3)a d a a d +=+，得1a d =，② 联立①②可得，11a d ==． n a n ∴=，12n n b -=；（2）Q 1112(1)(1)n n n n n c b a a n n -=+=+++， ∴01111111(222)(1)2231n n S n n -=++⋯++-+-+⋯+-+ 1211121211n n n n -=+-=--++． ∴数列{}n c 的前n 项和为121n n S n =-+． 18．（12分）在底面为正方形的四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD =，E ，F 分别为棱PC 和AB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为5，求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小．【解答】解：（1）证明：取CD 的中点M ，连结EM ，FM ，E Q ，F 分别为PC 和AB 的中点，四边形ABCD 是正方形， //EM PD ∴，//FM AD ，EM FM M =Q I ，PD AD D =I ，∴平面//EFM 平面PAD ，EF ⊂Q 平面EFM ，//EF ∴平面PAD ．（2）解：Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD ， CD ∴⊥平面PAD ，CD PD ∴⊥，//AB CD Q ，PCD ∴∠是直线PC 与AB 所成角，5tan PD PCD DC ∴∠==，设5PD =，2CD =， 分别取AD 和BC 的中点O ，N ，连结PO ，ON ，PA PD =Q ，PO AD ∴⊥，Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(0P ，0，2)，(1C -，2，0)，(1B ，2，0)， ∴(2CB =u u u r ，0，0)，(1CP =u u u r，2-，2)， 设(m x =r，y ，)z 是平面BPC 的一个法向量，则20220m CB x m CP x y z ⎧==⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，取1y =，得(0m =r ，1，1)， 平面PAD 的一个法向量(0n =r，1，0)，2cos ,||||21m n m n m n ∴<>===⨯r r g r r r r g ，,4m n π<>=r r，∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面的大小为4π．19．（12分）在①3sin 4cos a C c A =，②2sin 5sin 2B Cb a B +这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 ①② ，32a =．（1）求sin A ；（2）如图，M 为边AC 上一点MC MB =．2ABM π∠=，求ABC ∆的面积．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：若选择条件①，则：（1）在ABC ∆中，由正弦定理可得3sin sin 4sin cos A C C A =， 因为sin 0C ≠，所以3sin 4cos A A =，可得229sin 16cos A A =， 所以225sin 16A =， 因为sin 0A >， 所以4sin 5A =． （2）设BM MC m ==，易知4cos cos sin 5BMC BMA A ∠=-∠=-=-，在BMC ∆中，由余弦定理可得2241822()5m m =--g ，解得5m =，所以21133sin 52252BMC S m BMC ∆=∠=⨯⨯=，在Rt ABM ∆中，4sin 5A =，5BM =，2ABM π∠=，所以35AB =，所以158ABM S ∆=， 所以31527288ABCBMC ABM S S S ∆∆∆=+=+=． 若选择②，则： （1）因为2sin 5sin 2B Cb a B +=， 所以2sin5sin 2Ab a B π-，由正弦定理可得2sin cos 5sin 2AB A B ， 因为sin 0B ≠， 所以2cos52A A ，2cos 52sin cos 222A A A ⨯，因为cos 02A≠， 可得sin 25A =，则cos 25A =，所以4sin 2sincos 225A A A ==． （2）同选择①．20．（12分）读书可以使人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．书籍是文化的重要载体，读书是承继文化的重要方式．某地区为了解学生课余时间的读书情况，随机抽取了n 名学生进行调查，根据调查得到的学生日均课余读书时间绘制成如图所示的频率分布直方图．将日均课余读书时间不低于40分钟的学生称为“读书之星”，日均课余读书时间低于40分钟的学生称为“非读书之星”．已知抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． （1）求n ，p 的值；（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关？非读书之星 读书之星总计 男 女 10 55 总计（3）将上述调查所得到的频率视为概率，现从该地区大量学生中，随机抽取3名学生，每次抽取1名，已知每个人是否被抽到互不影响，记被抽取的“读书之星”人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望()E X ． 附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中．20()P K k …0.100.0500.025 0.010 0.005 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【解答】解：（1）由频率分布直方图可知0.01p =， 抽取的样本中日均课余读书时间低于10分钟的有10人． 101000.1n ∴==． （2）100n =Q ，∴ “读书之星”有1000.2525⨯=， 从而22⨯列联表如下图所示：非读书之星 读书之星总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计7525100将22⨯列联表中的数据代入公式计算得：22100(30101545)100 3.030 3.8414555752525K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯．∴没有95%以上的把握认为“读书之星”与性别有关．（3）将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名学生是“读书之星”的概率为14， 由题意得1~(3,)4X B ，033327(0)()464P X C ∴===， 1231327(1)()()4464P X C ===， 223139(2)()()4449P X C ==⨯=， 33311(3)()464P X C ===，X ∴的分布列为：13()344E X =⨯=． 21．（12分）在平面直角坐标系中，( 1.0)A -，(1,0)B ，设ABC ∆的内切圆分别与边AC ，BC ，AB 相切于点P ，Q ，R ，已知||1CP =，记动点C 的轨迹为曲线E ．（1）求曲线E 的方程；（2）过(2,0)G 的直线与y 轴正半轴交于点S ，与曲线E 交于点H ，HA x ⊥轴，过S 的另一直线与曲线E 交于M 、N 两点，若6SMG SHN S S ∆∆=，求直线MN 的方程．【解答】解：（1）由题意知，||||||||||||2||||4||CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB +=+++=+=>，∴曲线E 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x 轴的交点），设曲线2222:1(0,0)x y E a b y a b++>>≠，则1c =，24a =，即2a =，2223b a c =-=，∴曲线E 的方程为221(0)43x y y +=≠；（2）因为HA x ⊥轴，所以3(1,)2H -，设0(0,)S y ，∴03223y --=-，解得01y =，则(0,1)S ， 因为2a c =，所以||2||SG SH =，∴1||||sin 2||261||||||sin 2SMG SHN SM SG MSGS SM S SN SN SH NSH ∆∆∠===∠，∴||3||SM SN =，则3SM SN =-u u u r uu u r ， 设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则1122(,1),(,1)SM x y SN x y =-=-u u u r u u u r，则123x x =-， ①当直线MN 斜率不存在时，MN 的方程为0x =， 此时||2||SM SN ==，不符合条件，舍去； ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为1y kx =+，联立221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)880k x kx ++-=，∴122122834834k x x k x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，将123x x =-代入得，2222282348334k x k x k -⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴222483()3434k k k =++， ∴232k =，解得k =，∴直线MN的方程为1y =+或1y =+． 22．（12分）已知函数2()1()()x f x ae x a R g x x =--∈= （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，若曲线1:()1C y f x x =++与曲线2:()C y g x =存在唯一的公切线，求实数a 的值；（3）当1a =，0x …时，不等式()(1)f x kxln x +…恒成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）()1x f x ae x =--，()1x f x ae '=-， 当0a „时，f ‘()0x „，在R 上单调递减； 当0a >时，()0f x '=时，x lna =-，当(,)x lna ∈-∞-，()0f x '<，()f x 递减；当(,)x lna ∈-+∞，f ‘()0x >，()f x 递增； （2）曲线1:()1x C y f x x ae =++=，22:()C y g x x ==，设公切线与1C ，2C 的切点为11(,)x x ae ，222(,)x x ，易知12x x ≠， 由11222122x x ae x k ae x x x -===-，1222122222222x x x x ae x x x -=-=-，所以2122222x x x x -=，由0a >，故20x >，所以21220x x =->，故11x >， 所以1121124(1)(1)x x x x a x e e -==>， 构造函数4(1)()xx F x e -=，(1)x >问题等价于直线y a =与曲线()y F x =在1x >时有且只有一个交点，4(2)()xx F x e-'=，当(1,2)x ∈时，()F x 递增；当(2,)x ∈+∞时，()F x 递减； ()F x 的最大值为F （2）24e =，F （1）0=，当x →+∞时，()0F x →， 故24a e =； （3）当1a =时，()1x f x e x =--，设()1(1)(0)x h x e x kxln x x =---+…，(0)0h =， ()1[(1)]1x xh x e k ln x x '=--+++，(0)0h '= 211()[]1(1)x h x e k x x ''=-+++，(0)12h k ''=-， ①当120k -…，即12k „时，由0x …，1x e …，2211111[][]11(1)21(1)k x x x x ++++++剟， 则()0h x ''…，()h x '在[0，)+∞递增，故()(0)0h x h ''=…， 所以()h x 在[0，)+∞递增，由(0)0h =， 所以()0h x …成立；②当12k >时，(0)0h ''<，由()h x ''在[0，)+∞单调递增， 令20x ln k =>，则211(2)2[]22012(12)h ln k k k k k ln k ln k ''=-+>-=++， 故在(0,2)ln k 存在唯一的零点m ，使得()0h m ''=， 当(0,)x m ∈时，()h x '递减，又(0)0h '=，所以()0h x '<； 即()h x 在(0,)m 递减，由(0)0h =， 所以()0h x <，(0,)x m ∈， 所以12k >不成立， 综上，(k ∈-∞，1]2．。

高二数学本试卷共4页，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ）A. ac bc >B. 11a b >C. 1b a >D. 33a b >2.已知双曲线22194x y -=，则其渐近线方程是（ ）A. 23y x =±B. 59y x =±C. y x =D. y = 3.如图，空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =uuu r r ，OC c =u u u r r ，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，且2CN NB =，则MN =u u u u r（ ）A. 121233a b c --r r r B. 112323a b c -++r r r C. 211323a b c -+r r r D. 121233a b c -++r r r4.我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（ ）A. 75斤B. 70斤C. 65斤D. 60斤5.已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，5AB =，3AC =，4BD =，CD = ）A 30° B. 45︒ C. 90︒ D. 150︒6.为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：/mg L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2249t C t =+，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（ ） A. 4/mg LB. 6/mg LC. 8/mg LD. 12/mg L 7.已知抛物线24y x =，F 为其焦点，抛物线上两点A 、B 满足||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 6 8.已知数列{}n a 满足13n n n a a +=，且11a =，则数列{}n a 的前9项和9S =（ ）A. 160B. 241C. 243D. 484二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（ ）A. 命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B. 命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C. “22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D. “0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件10.设数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ）.A. 0d >B. 80a =C. 7S 或8S 为n S 的最大值D. 56S S >11.已知P 是椭圆22:184x y E +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且12F PF ∆的面积为3，则下列说法正确的是（ ）A. P 点纵坐标为3B. 122F PF π∠>C. 12F PF ∆的周长为)41 D. 12F PF ∆的内切圆半径为)312- 12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1BB ，CD 的中点，则（ ）A. 直线1AD 与BD 的夹角为60︒B. 平面AED ⊥平面11A FDC. 点1C 到平面11AB DD. 若正方体每条棱所在直线与平面α所成角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(,,2)x y 与向量(1,2,4)共线，则x y +=_______________.14.已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，2a ，3a 是方程2430x x -+=的两个根，则4S =__________.15.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40/km h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲、乙两种车型的刹车距离sm 与车速/vkm h 之间的关系分别为：21110010s v v =-甲，21120020s v v =-乙.根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是_______________车，理由是__________________________.16.已知F 为双曲线2222:1x y E a b-=(0,0)a b >>的右焦点，过点F 向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，且交另一条渐近线于点B ，若||||OF FB =，则双曲线E 的离心率是_____________.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.已知p ：“实数x 满足不等式906x x -<-”；q ：“实数x 满足不等式22320x kx k -+≤，其中实数0k >”.若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围.18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC AB AA ==，90CAB ∠=︒，M 是11B C 的中点，N 是AC 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求直线1A B 与平面11BCC B 所成的角的大小.19.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为32的等差数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 前n 项和为n T ，求证：13n T <. 20.给出下列条件：①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；④抛物线的准线方程是2x =-.（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是24y x =，并说明理由；（2）过点()4,0的任意一条直线l 与2:4C y x =交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA OB ⊥u u u r u u u r？请说明理由.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，//AD BC ， 1AD CD ==，2BC =，二面角P CD A --为45︒，E 为PD 中点，点F 在PC 上，且3PC PF =u u u r u u u r（1）求证：四边形ABCD 为直角梯形；（2）求二面角F AE D --的余弦值.22.已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>，O 为坐标原点，P 为椭圆上任意一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，且a ，b ，1过点(0,1)M 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）当||3AB =时，求直线l 的方程； （3）在平面直角坐标系xOy 中，若存在与点M 不同的点G ，使得||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，求点G 的坐标.。

2019-2020学年山东省潍坊市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．已知复数z满足，则z＝（）A．+i B．﹣i C．i D．i2．下列求导运算正确的是（）A．（cos x）′＝sin x B．（）′＝﹣C．（xlnx）′＝1+lnx D．（e x+）′＝e x+3．已知平面α，β，则α∥β的一个充分条件是（）A．平面α内有无数条直线与β平行B．平面α内有两条相交的直线与β平行C．平面α，β平行于同一条直线D．平面α，β垂直于同一平面4．已知x＝m时，函数f（x）＝x3﹣12x取得极大值，则m＝（）A．﹣4B．﹣2C．4D．25．老师想要了解全班50位同学的成绩状况，为此随机抽查了10位学生某次考试的数学与物理成绩，结果列表如下：学生甲乙丙丁戊已庚辛壬癸平均标准差数学8862x1x2x3x4x5x6x7x8＝60σ（X）＝94物理7563y1y2y3y4y5y6y7y8＝65σ（Y）＝23若这10位同学的成绩能反映全班的成绩状况，且全班成绩服从正态分布，用实线表示全班数学成绩分布曲线，虚线表示全班物理成绩分布曲线，则下列正确的是（）A．B．C．D．6．欧拉是一位杰出的数学家，为数学发展作出了巨大贡献．著名的欧拉公式：e iθ＝cosθ+i sinθ，将三角函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．结合欧拉公式，复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二条限C．第三象限D．第四象限7．已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱长为4，底面为矩形且面积为4，一小虫从C点出发沿直棱柱侧面绕行一周后到达C1点，则小虫爬行的最短路程为（）A．8B．4C．2D．48．在桌面上有一个正四面体D﹣ABC，任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作．如图，现底面为ABC，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面ABC再度与桌面接触的概率为（）A．B．C．D．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．已知复数z的共轭复数为，且zi＝1+i，则下列结论正确的是（）A．B．z虚部为﹣IC．z2020＝﹣21010D．z2+＝z10．掷一个不均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为，恰好出现k次正面的概率记为P k，则下列说法正确的是（）A．P1＝P5B．P1＜P5C．P k＝1D．P0，P1，P2，…P6中最大值为P411．给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f′（x）存在，且导函数f′（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″（x）＝（f（x））′，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是（）A．f（x）＝sin x+cos x B．f（x）＝lnx﹣2xC．f（x）＝﹣x3+2x﹣1D．f（x）＝xe x12．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1，D是AC的中点，O为A1C 的中点．点P是BC1上的动点，则下列说法正确的是（）A．当点P运动到BC1中点时，直线A1P与平面A1B1C1所成的角的正切值为B．无论点P在BC1上怎么运动，都有A1P⊥OB1C．当点P运动到BC1中点时，才有A1P与OB1相交于一点，记为Q，且D．无论点P在BC1上怎么运动，直线A1P与AB所成角都不可能是30°三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．二项式（x﹣）6的展开式中的常数项是．14．若函数f（x）＝ax﹣lnx在区间（0，1）上是减函数，则实数a的取值范围是．15．一个家庭中有三个小孩，假定生男、生女是等可能的．已知这个家庭中有一个是男孩，则至少有一个女孩的概率是．16．在棱长为6的正方体空盒内，有四个半径为r的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径r的最大值为；大球半径R的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①z为实数，②z为虚数，③z为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．已知复数：z＝（m2﹣m﹣2）+（m2﹣1）i．（1）若____，求实数m的值；（2）当z在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为AD，PB的中点．（1）求证：EF∥平面PCD；（2）若平面PAD⊥平面ABCD，∠APD＝90°，PA＝PD＝AB＝BD＝1，求四棱锥P﹣ABCD的体积．19．已知函数f（x）＝（x2+ax﹣2a2+3a）e x（x∈R），其中a＜．（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间与极值．20．根据国家质量监督检验检疫局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》（GB19522﹣醉酒驾车的测试2004）中规定，饮酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或着等者20mg/100mL，小于80mg/100mL的驾驶行为；醉酒驾车是指车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或者等于80mg/100mL的驾驶行为，两者都属于酒驾行为．为将酒驾危害降至最低，某市交警支队决定采用不定时查车的办法来减少酒驾的发生，如表是该交警支队5个月内检查到酒驾的人数统计表．月份12345酒驾人数1151001009585（1）请利用所给数据求酒驾人数y与月份x之间的回归直线方程；（2）预测该市7月份的酒驾人数．参考公式：b＝＝，＝﹣b．21．已知三棱台A1B1C1﹣ABC，AB＝AC＝2AA1＝2A1B1＝4，∠A1AB＝60°，∠CAB＝90°，BB1⊥AC，E为线段AB的中点．（1）证明：AC⊥B1E；（2）求直线CE与平面A1C1E所成角的正弦值；（3）试判断在线段BC上是否存在一点F（点F不与B、C重合），使二面角F﹣A1C1﹣E为30°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．22．受新冠肺炎疫情影响，本学期同学们在家上网课时间达三个多月，电脑屏幕代替了黑板，对同学们的视力造成了很大的损伤．某学校为了了解同学们现阶段的视力情况，对全校高三1000名学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了100名学生的体检表，绘制了频率分布直方图如图：（1）求a的值，并估计这1000名学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）为了进一步了解视力与学生成绩是否有关，对本年级名次在前50名与后50名的学生进行了调查，得到如下数据：前50名后50名近视4232不近视818根据表中数据，能否有95%把握认为视力与学习成绩有关？（3）若报考某高校某专业的资格为：视力不低于5.0．以该样本数据来估计全市高三学生的视力，现从全市视力在4.8以上的同学中随机抽取4名同学，这4名同学中有资格报该校该专业的人数为X，求X的分布列及数学期望．P（Х2≥k）0.100.050.0250.010|0.005 k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A；2．C；3．B；4．B；5．A；6．D；7．B；8．C；二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．ACD；10．BD；11．ABC；12．ABD；三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．240；14．（﹣∞，1]；15．；16．；；一、选择题17．；18．；19．；20．；21．；22．；。

2019-2020学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题及答案解析版一、单选题1．若0a b >>，则下列不等式中正确的是（ ） A ．ac bc > B ．11a b > C ．1b a >D ．33a b >【答案】D【解析】利用不等式的基本性质即可得出. 【详解】 解：A.当0c 时，ac bc =，故错误；B. 0a b >>，不等式两边同时除以ab ，得11b a>，故错误； C. 0a b >>，不等式两边同时除以a ，得1ba<，故错误； D.0a b >>，不等式两边同时取3次幂，得33a b >，故正确，故选：D. 【点睛】熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键.2．已知双曲线22194x y -=，则其渐近线方程是（）A ．23y x =±B ．59y x =± C ．3y x =±D ．2y x =±【答案】A【解析】根据双曲线渐近线的公式求解. 【详解】解：由已知3,2a b ==，双曲线22194x y -=，则其渐近线方程是23b y x x a =±=±，故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的渐近线的求解，是基础题.3．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 为OA 的中点，点N 在线段BC 上，且2CN NB =，则MN =（ ）A ．121233a b c --B ．112323a b c -++C ．211323a b c -+D ．121233a b c -++【答案】D【解析】运用向量的减法和向量的数乘运算可得结果. 【详解】 解：由已知12211()23232MN ON OM OC CN OA OC CB OA OC OB OC OA=-=+-=+-=+--112123321332OA OB OC a b c =-++=-++， 故选：D. 【点睛】本题考查向量的减法运算，及共线向量的知识.4．我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传，说的是，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止.在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（ ） A ．75斤 B ．70斤 C ．65斤 D ．60斤【答案】C【解析】设第一个孩子分配到1a 斤棉花，利用等差数列前n 项和公式得：81878179962S a ⨯=+⨯=，解方程从而得到1a . 【详解】解：设第一个孩子分配到1a 斤棉花， 则由题意得：81878179962S a ⨯=+⨯=， 解得1a ＝65， 故选：C. 【点睛】本题考查等差数列首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的公式的合理运用.5．已知在一个二面角的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，5AB =，3AC =，4BD =，CD =（ ） A ．30 B ．45︒ C ．90︒ D ．150︒【答案】C【解析】设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，从而得到cos α，由此能求出结果.【详解】解：设这个二面角的度数为α，由题意得CD CA AB BD =++，22222||||cos()CD CA AB BD CA BD πα∴=+++⋅-， 2(592516234cos 2α∴=++-⨯⨯⨯，解得cos 0α=， ∴90α=︒，∴这个二面角的度数为90︒， 故选：C. 【点睛】本题考查利用向量的几何运算以及数量积研究面面角，属于中档题.6．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度C （单位：/mg L ）随时间t （单位：h ）的变化关系为2249tC t =+，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（ ） A ．4/mg L B ．6/mg L C ．8/mg L D ．12/mg L【答案】A【解析】利用基本不等式的性质即可得出. 【详解】解：22424499t C t t t ==≤=++，当且仅当3t =时取等号， 因此经过2h 后池水中药品的浓度达到最大4/mg L . 故选：A. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质及应用，属于基础题. 7．已知抛物线24y x =，F 为其焦点，抛物线上两点A 、B 满足||||8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】B【解析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出,A B 的中点纵坐标，求出线段AB 的中点到y 轴的距离. 【详解】解：抛物线24y x =的焦点()1,0F ,准线方程1x =-， 设()()1122,,,A x y B x y ，12||||118AF BF x x ∴+=+++=，解得126x x +=，∴线段AB 的中点横坐标为3， ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为3， 故选：B.【点睛】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，是基础题.8．已知数列{}n a 满足13n n n a a +=，且11a =，则数列{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．160 B ．241 C ．243 D ．484【答案】B【解析】由13n n n a a +=可得113n n a a +-=，利用11a =，可推出239,,a a a ，直接求和即可. 【详解】 解：13n n n a a +=，113n n n a a --∴=，两式相除得113n n a a +-=， 因为11a =，所以35793,9,27,81a a a a ====，由13n n n a a +=，得123a a =，23a ∴=，4689,27,81a a a ===， 所以912(392781)241S =+⨯+++=， 故选：B. 【点睛】本题考查数列求和问题，关键是求出113n n a a +-=，该数列隔项为等比数列，由于只求前9项和，每个都求出来更方便，是中档题.二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x <-”B ．命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“22x y >”是“x y >”的必要而不充分条件D ．“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件 【答案】BD【解析】A.根据全称命题的否定的书写规则来判断；B. 根据特称命题的否定的书写规则来判断；C.根据充分性和必要性的概念判断；D. 根据充分性和必要性的概念判断. 【详解】解：A.命题“x ∀∈R ，21x >-”的否定是“x ∃∈R ，21x ≤-”，故错误；B.命题“(3,)x ∃∈-+∞，29x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”，正确；C.22x y x y >⇔>，x y >不能推出x y >，x y >也不能推出x y>，所以“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，故错误；D.关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根44000m m m ->⎧⇔⇔<⎨<⎩，所以“0m <”是“关于x 的方程2x 2x m 0-+=有一正一负根”的充要条件，正确， 故选：BD. 【点睛】本题考查全称命题，特称命题否定的写法，以及充分性，必要性的判断，是基础题.10．设数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d >B ．80a =C ．7S 或8S 为n S 的最大值D ．56S S >【答案】BC 【解析】将2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭看成关于(),0n n N n ∈≠的一个二次函数，利用二次函数的性质研究其最值，进而可得答案. 【详解】 解： 因为1(1)2n n n S na d -=+， 所以2122n d d S n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则n S 是关于(),0n n N n ∈≠的一个二次函数， 又10a >且69S S =，对称轴691522n +==，开口向下，则0d <，故A 错误，又n 为整数，所以n S 在[]1,7上单调递增，在[)8,+∞上单调递减， 所以56S S <，故D 错误，所以最靠近152的整数7n =或8n =时，n S 最大，故C 正确，所以788,0S S a =∴=，故B 正确，故选：BC. 【点睛】本题考查数列的函数特性，关键是利用n S 的二次函数特性来解决问题，是中档题.11．已知P 是椭圆22:184x y E +=上一点，1F ，2F 为其左右焦点，且12F PF ∆的面积为3，则下列说法正确的是（ ） A ．P 点纵坐标为3 B ．122F PF π∠>C ．12F PF ∆的周长为)41D ．12F PF ∆的内切圆半径为)312【答案】CD【解析】设(,)P m n ，利用12122F PF Sc n =⨯⨯以及椭圆方程可求出P 点坐标，即可判断A ；求出1PF ，2PF ，利用韦达定理可判断B ；根据椭圆的定义可判断C ；根据内切圆半径和面积的关系，可判断D. 【详解】解：由已知2,2a b c ===，不妨设(,),0,0P m n m n >>，则121232F PFS c n =⨯⨯= 32n ∴=，故A 错；2232184m ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴+=，得m =322P ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，2219392244PF ⎛⎫∴=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭2229392244PF ⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭22212397(2)216042PF PF c ∴+-=⨯-=>，2221212(2)cos 20L PF PF c FPF PF PF +-∴∠=⋅>，122F PF π∴∠<，故B 错；由椭圆定义，12F PF ∆的周长224a c =+=，故C 正确；设12F PF ∆的内切圆半径为r ，1(424)32r ⋅+=，3(21)2r ∴=-，故D 正确；故选：CD. 【点睛】本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题.12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1BB ，CD 的中点，则（ ）A ．直线1AD 与BD 的夹角为60︒B ．平面AED ⊥平面11A FDC ．点1C 到平面11ABD 的距离为32D ．若正方体每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面只能是三角形和六边形 【答案】ABD【解析】对A ：通过平移使直线1AD 与BD 共面来求解；对B ：通过证明线面垂直来得到面面垂直；对C ：利用体积法求点到面的距离；对D ：作出截面可判断. 【详解】解：对A ，连结111,D B AB ，则11AD B ∠为直线1AD 与BD ，明显11AD B为等边三角形，故A 正确；对B ，易得11,D F AD D F AE ⊥⊥，所以1D F ⊥面AED ，所以平面AED ⊥平面11A FD ，故B 正确；对C ，1111111111313111322C ABCD A B C D B ABC AB D V V V ---=-=-⨯⨯⨯⨯⨯=，又1113322222AB D S=⨯⨯⨯=， 所以点1C 到平面11AB D 的距离为1111332332AB D AB D C V S-==，故C 错误；对D ，，D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查线面角，点面距离，截面问题，面面垂直，考查空间想象能力和计算能力，是中档题.三、填空题13．已知向量(,,2)x y 与向量(1,2,4)共线，则x y +=_______________.【答案】32【解析】设λ，有(,,2)(1,2,4)x y λ=，列方程组求出,x y 即可. 【详解】解：因为向量(,,2)x y 与向量(1,2,4)共线， 则存在λ，使(,,2)(1,2,4)x y λ=，224x y λλλ=⎧⎪∴=⎨⎪=⎩，解得1,12x y ==，32x y ∴+=， 故答案为：32. 【点睛】本题考查空间向量共线问题，是基础题.14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，2a ，3a 是方程2430x x -+=的两个根，则4S =__________.【答案】403【解析】解方程求出2a ，3a ，进而可求出公比，根据公比求出1a ，4a ，则4S 就可以求出来了. 【详解】解：由已知解方程得2313a a =,=，3q ∴=，141,93a a ∴==， 414013933S ∴=+++=， 故答案为：403.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，是基础题.15．汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为40/km h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，突然发现有危险情况，同时紧急刹车，但还是发生了交通事故.事后现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过6m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲、乙两种车型的刹车距离sm 与车速/vkm h 之间的关系分别为：21110010s v v =-甲，21120020s v v =-乙.根据以上信息判断：在这起交通事故中，应负主要责任的可能是_______________车，理由是__________________________.【答案】乙 乙车超过了限定速度【解析】根据所给函数，算出两车的车速即可得到答案. 【详解】解：对甲车：令211610010v v -=，解得30v =（负值舍去），甲车车速在限速以内；对乙车：令2111020020v v -=，解得50v =（负值舍去），乙车车速超过限速，故答案为：乙；乙车超过了限定速度. 【点睛】本题考查函数模型的应用，是基础题.16．已知F 为双曲线2222:1x y E a b -=(0,0)a b >>的右焦点，过点F向双曲线E 的一条渐近线引垂线，垂足为A ，且交另一条渐近线于点B ，若||||OF FB =，则双曲线E 的离心率是_____________.【答案】3【解析】求得双曲线的渐近线方程，结合直角三角形的性质和渐近线的对称性，可得,a b 关系，进而可得离心率. 【详解】解：双曲线2222:1x y E a b -=的渐近线方程为b y x a =±，若||||OF FB =，可得在直角三角形OAB 中， 由30AOF BOF ABO ︒∠=∠=∠=，可得tan 30b a ︒== 2222222141133c a b b a a a +∴==+=+=，e ∴=23. 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题.四、解答题17．已知p ：“实数x 满足不等式906x x -<-”；q ：“实数x 满足不等式22320x kx k -+≤，其中实数0k >”.若p 是q 的充分不必要条件，求实数k 的取值范围.【答案】9|62k k ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】求出p ，q 的等价命题，然后利用p 是q 的充分不必要条件，列不等式组求解实数k 的取值范围. 【详解】解：因为906x x -<-，所以(6)(9)0x x --<， 解得69<<x ，22320x kx k -+≤可化为()(2)0x k x k --≤，因为0k >，所以2k x k ≤≤，设||69}A x x =<<，||2}B x k x k =≤≤， 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以A B ，此时有629k k ≤⎧⎨≥⎩所以962k ≤≤.故实数k 的取值范围是9|62k k ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题考查考查对充分性和必要性的理解，考查计算能力，是基础题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC AB AA ==，90CAB ∠=︒，M 是11B C 的中点，N 是AC 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求直线1A B 与平面11BCC B 所成的角的大小. 【答案】（1）证明见解析（2）30【解析】（1）取AB 的中点H ，连结HN 、1B H ，先证明四边形1HNMB 是平行四边形，得到1//MN B H ，利用线面平行的判定理可得结果；（2）连结1A M ，BM ，得到1A BM ∠为直线1BA 与平面11BCC B 所成的角，在1A MB ∆中求出1A BM ∠. 【详解】（1）证明：取AB 的中点H ，连结HN 、1B H ， 因为HN 是ABC ∆的中位线，所以//HN BC ，且12HN BC =， 又因为1//B M BC ，且112B M BC =， 分所以1//HN B M 且1HN B M = 所以四边形1HNMB 是平行四边形， 所以1//MN B H ，又因为MN ⊄面11ABB A ，1B H ⊂面11ABB A ， 所以//MN 面11ABB A ，（2）解：连结1A M ，BM ，因为1111A B AC =，M 是11B C 中点，所以111A M B C ⊥，又因为面111A B C ⊥面11BCC B ，1A M ⊂面111A B C ， 面111A B C 面1111BCC B B C = 所以1A M ⊥面11BCC B ，所以直线BM 为1A B 在面11BCC B 内的射影， 所以1A BM ∠为直线1BA 与平面11BCC B 所成的角， 设2AB =，则在1A MB ∆中，190A MB ∠=︒，1A M =1A B =所以1111sin 2A M A BM AB ∠===，所以130A BM ∠=︒， 所以直线1BA 与平面11BCC B 所成的角为30.【点睛】本题考查线面平行的判定，线面角的求解，考查计算能力和空间想象能力，是中档题.19．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为32的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <. 【答案】（1）32n a n =-()*n ∈N （2）证明见解析【解析】（1）先利用等差数列的通项公式，求出nS n，即可得n S ，再根据1n n n a S S -=-，求出{}n a 的通项公式； （2）利用裂项相消法求nT ，然后观察可得结果.【详解】 解：（1）由题意3311(1)222n S n n n =+-=-，所以23122n S n n =-， 当1n =时，1131122a S ==-=； 当2n ≥时，2213131(1)(1)322222n n n a S S n n n n n -⎛⎫⎡⎤=-=-----=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为11a =适合上式，所以数列{}n a 的通项公式为32n a n =-()*n ∈N ；（2）由（1）得32n a n =-，可得111111(32)(31)33231+⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n n n b a a n n n n ，所以12111111134473231n n T b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 因为1031n >+，所以13n T <.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，n S 法求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，是基础题.20．给出下列条件：①焦点在x 轴上；②焦点在y 轴上；③抛物线上横坐标为1的点A 到其焦点F 的距离等于2；④抛物线的准线方程是2x =-.（1）对于顶点在原点O 的抛物线C ：从以上四个条件中选出两个适当的条件，使得抛物线C 的方程是24y x =，并说明理由；（2）过点()4,0的任意一条直线l 与2:4C y x =交于A ，B 不同两点，试探究是否总有OA OB ⊥？请说明理由.【答案】（1）选择条件①③;详见解析（2）总有OA OB ⊥，证明见解析【解析】（1）通过焦点位置可判断条件①适合，条件②不适合，通过准线方程，可判断条件④不适合，利用焦半径公式可判断条件③适合；（2）假设总有OA OB ⊥，设直线l 的方程为4x ty =+，联立244y x x ty ⎧=⎨=+⎩，利用韦达定理计算OA OB ⋅可得结果. 【详解】解：（1）因为抛物线2:4C y x =的焦点()1,0F 在x 轴上，所以条件①适合，条件②不适合.又因为抛物线2:4C y x =的准线方程为：1x =-， 所以条件④不适合题意， 当选择条件③时，1112A AF x =+=+=，此时适合题意，故选择条件①③时，可得抛物线C 的方程是24y x =； （2）假设总有OA OB ⊥， 由题意得直线l 的斜率不为0， 设直线l 的方程为4x ty =+，由244y xx ty ⎧=⎨=+⎩得24160y ty --= 设()11,A x y ，()22,B x y所以>0∆恒成立，124y y t +=，1216y y =-， 则()()121244x x ty ty =++()21212416ty y t y y =+++2216161616t t =-++=，所以121216160OA OB x x y y ⋅=+=-=， 所以OA OB ⊥，综上所述，无论l 如何变化，总有OA OB ⊥. 【点睛】本题考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，属于中档题.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥，//AD BC ， 1AD CD ==，2BC =，二面角P CD A --为45︒，E 为PD的中点，点F 在PC 上，且3PC PF =（1）求证：四边形ABCD 为直角梯形； （2）求二面角F AE D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）33-【解析】（1）通过证明//AD BC ，且AD BC ≠可得四边形ABCD 为直角梯形；（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA AM ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，求出面AEF 和面PAD 的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角F AE D--的余弦值. 【详解】（1）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，CD PD ⊥， 所以CD AD ⊥因为//AD BC ，且AD BC ≠， 所以四边形ABCD 为直角梯形；（2）过点A 作AD 的垂线交BC 于点M ，则PA AM ⊥，PA AD ⊥，以A 为坐标原点，分别以AM ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,1,0B -，()1,1,0C ，()0,1,0D ，由（1）知CD AD ⊥，又CD PD ⊥，则PDA ∠为二面角P CD A --的平面角，则45PDA ∠=︒，1PA =，所以()0,0,1P ，110,,22E ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1,1,1)PC =-，(0,0,1)AP =， 所以1111,,3333PF PC ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 112,,333AF AP PF ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，设平面AEF 的法向量1(,,)n x y z =，则110n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020y z x y z +=⎧⎨++=⎩令：1z =，则1y =-，1x =-，所以()11,1,1n =--， 又平面PAD 的法向量()21,0,0n =， 所以12121213cos ,33n n n n n n ⋅-<>===-⋅， 由题意知二面角F AE D --为钝角， 所以二面角F AE D --的余弦值为33-【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直的性质，以及空间向量法求二面角，考查计算能力与空间想象能力，是基础题.22．已知椭圆2222:1x y E a b+=(0)a b >>，O 为坐标原点，P 为椭圆上任意一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，且a ，b ，1.过点(0,1)M 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）当||AB =时，求直线l 的方程；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若存在与点M 不同的点G ，使得||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，求点G 的坐标.【答案】（1）22142x y +=（2）直线l 的方程为1y x =±+或112y x =±+（3）G 点坐标为()0,2【解析】（1）根据条件列关于,,a b c 的方程组，解方程组即可得结果；（2）验证当直线l 的斜率不存在时的情况，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，先利用弦长公式求出||AB ，列方程求出k ，进而可得直线l 的方程；（3）验证当直线l 与x 轴平行和垂直时的情况，直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，利用（2）中所求，利用韦达定理得到G ，A ，B '三点共线，进而可得||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，G 点坐标也可求出.【详解】解（1）由题意知，22222b a ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，所以椭圆的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l的斜率不存在时，||AB =，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2221420k x kx ++-=，其判别式()()222(4)8218410k k k ∆=++=+>，设A 、B 坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则122421kx x k +=-+，122221x x k =-+()*， 所以||AB ===，整理得424510k k -+=，解得21k =或214k =， 所以1k =±或12k =±，综上，直线l 的方程为1y x =±+或112y x =±+； （3）因为存在点G ，使||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅，即||||||||GA MA GB MB =，①当直线l 与x 轴平行时，此时||||1||||MA GA MB GB ==，所以点G 在y 轴上，可设G 点坐标为()00,y ；当直线l 与x 轴垂直时，则A ，B的坐标分别为(，(0,，由||||||||GA MA GB MB ==，解得01y =或02y =， 因为G 不同于点M ，则G 点坐标只能为()0,2； ②下面证明，对任意直线l ，均有()0,2G 点，使||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立，当直线l 斜率不存在时，由上知，结论成立； 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+， 由（2）中()*式得，122421k x x k +=-+，122221x x k ⋅=-+， 所以121212112x x k x x x x ++==⋅，易知，点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为()22,x y -， 又因为11111211GA y kx k k x x x --===-， 2222212111GB y kx k k k x x x x '--===-+=---，所以GA GB k k '=，即G ，A ，B '三点共线，所以12||||||||||x GA GA MA GB GB x MB ==='，即||||||||GA MB MA GB ⋅=⋅成立， 所以G 点坐标为()0,2.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查韦达定理的应用，考查计算能力，难度较大.。

高二数学第I 卷(选择题 共60分)一、单项选择题：本大题共10个小题，每小题6分，共60分.1.已知0a b <<，则下列不等式中成立的是（ ） A.11a b< B. a b <C. 0ab <D. 2ab b >【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析四个不等式关系是否恒成立，可得答案． 【详解】解：0a b <<， 0ab ∴>，故C 错误； 两边同除ab 得：11a b>，故A 错误； a b ∴>，故B 错误；两边同乘b 得：2ab b >，故D 正确； 故选D ．【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质等知识点，难度中档．2.设命题:p n +∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ） A. n +∀∈N ，22n n > B. n +∃∈N ，22n n ≤ C. n +∀∈N ，22n n ≤ D. n +∃∈N ，22n n =【答案】C 【解析】 【分析】运用特称命题的否定为全称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定． 【详解】解：解：由特称命题的否定为全称命题，可得 命题:p n +∃∈N ，22n n >，则:p n N +⌝∀∈，22n n ≤， 故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，考查转化能力，属于基础题．3.在等差数列{}n a 中，5799a a a ++=，212a a +=（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 9【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的下标和性质解答，即在等差数列中，若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+ 【详解】解：由等差数列下标和公式知，5799a a a ++=，5972a a a +=73a ∴=212726a a a ∴+==故选B【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，若m n p q +=+则m n p q a a a a +=+，属于基础题。