本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！
第一章图形与证明复习题（1）
一、基础练习
1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线 A 、互相垂直 B 、相等 C 、互相平分 D 、互相垂直且相等 ( )
2、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．．
的是( ) A 、BF=
2
1
DF B 、S △FAD =2S △FBE C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC ， 3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ）
A
． B
． C ．3 D
4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝，MN=8㎝，则AB 的长等于 。
5、如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。 二、例题精讲
例１、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点
B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处，
(1)求证：B ′E=BF ；
(2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何数量关系，并给予证明.
21
L
D
C B
A 第5题图
N
M F E D
C B A
第4题图 A E
P B C A
B
C
D
E
F
A ′
B ′
例2、如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝10 3 ，AD 、BC 的长是x 2
-20x+75=0方程的两根，判断以点D 为圆心、AD 长为半径的圆与以C 圆心BC 为半径的圆的位置关系 。
例３、问题探究
（1）请在图①的正方形ABCD 内，画出使∠APB ＝90°的一个．．点P ，并说明理由． （2）请在图②的正方形ABCD 内（含边），画出使∠APB ＝60°的所有．．的点P ，并说明理由． 问题解决
如图③，现有一块矩形钢板ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的△APB 和△CP ’D 钢板，且∠APB ＝∠CP ’D ＝60°，请你在图③中画出符合要求的点P 和P ’，并求出△APB 的面积（结果保留根号）．
A
C
第一章图形与证明复习题（2）
1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，AE 、EF 为折痕，∠BAE ＝30°，AB ＝3，折叠后，点C 落在AD 边上的C 1处，并且点B 落在EC 1边上的B 1处．则BC 的长为（ ）．
A 、3
B 、2
C 、3
D 、32
2、正方形ABCD 的边长为1，M 是AB 的中点，N 是BC 中点，AN 和CM
相交于点O ，则四边形AOCD 的面积是（ ）（A ）16 （B ）34 （C ）23 （D ） 3
4
3、在△ABC 中，BC =10，B 1、C 1分别是图①中AB 、AC 的中点，在图②中，2121、C 、C 、B B 分别是AB ,AC 的三等分点，在图③中92192
1;C 、C C B 、、B
B 分别是AB 、A
C 的
10等分点，则992211C B C B C B +++ 的值是（ ） A . 30 B . 45 C .55 D .60
① ② ③
4、如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别是(0,0)，(5,0)，(2,3)，则顶点C 的坐标是 。
5、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，BC =4AD
=B ∠=45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若ABE △为等腰三角形，则CF 的长等于 ．
6、在平行四边形ABCD 中，10AB =，AD m =，60D ∠=°， 以AB 为直径作O ⊙， （1）求圆心O 到CD 的距离（用含m 的代数式来表示）；
（2）当m 取何值时，CD 与O ⊙相切．
7、四个顶点都在正方形边上的四边形叫做正方形的内接四边形.如图1，正方形EFGH 就是
正方形ABCD 的内接正方形.已知正方形ABCD 的边长为a (1)请在图1中画出面积最小的正方形ABCD 的内接正方形
E ’
F ’
G ’
H ’(要求用文字标明取点方法)； (2)如图2，2222E F G H 是正方形ABCD 的内接平行四边形，
2AE x =，2AH y =.请探讨
①当x 、y 满足什么条件时，2222E F G H 是矩形； ②用x 的代数式表示矩形2222E F G H 的面积S ，并写出
S 的取值范围.
8、如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t 秒．
(1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)；
(2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； (4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？
H 2G 2
F 2E 2D
C
B A
初中数学几何证明题技巧 几何证明题入门难，证明题难做，是许多初中生在学习中的共识，这里面有很多因素，有主观的、也有客观的，学习不得法，没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。掌握证明题的一般思路、探讨证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。在这里结合自己的教学经验，谈谈自己的一些方法与大家一起分享。 一要审题。很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取。我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置。 二要记。这里的记有两层意思。第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来。如给出对边相等，就用边相等的符号来表示。第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来。 三要引申。难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论（就像电脑一下，你一点击开始立刻弹出对应的菜单），然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习。 四要分析综合法。分析综合法也就是要逆向推理，从题目要你证明的结论出发往回推理。看看结论是要证明角相等，还是边相等，等等，如证明角相等的方法有（1.对顶角相等2.平行线里同位角相等、内错角相等3.余角、补角定理4.角平分线定义5.等腰三角形6.全等三角形的对应角等等方法。然后结合题意选出其中的一种方法，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，把题目转换
D C B A D 九年级数学 作业（06-09-15） 姓名 1、如图，设M ，N 分别是直角梯形ABCD 两腰AD ，CB 的中点，DE 上AB 于点E ，将△ADE 沿DE 翻折，M 与N 恰好重合，则AE ：BE 等于（ ） A ．2:1 B ．1:2 C ．3:2 D ．2:3 2、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图1的方式进 行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是（ ） A ．0.5cm B ．1cm C ． 1.5cm D ．2cm 3、如图，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使其面积为矩形面积的 一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 。 4、矩形ABCD 中，22 =AB ，将角D 与角C 分别沿过A 和B 的直线 AE 、BF 向内折叠，使点D 、C 重合于点G ，且AGB EGF ∠=∠，则 =AD ． 5、已知平行四边形A B C D ，AD a AB b ABC α===，，∠．点F 为线段B C 上一点（端点 B C ，除外），连结A F A C ，，连结D F ，并延长D F 交A B 的延长线于点E ，连结C E ． （1）当F 为B C 的中点时，求证E F C △与A B F △的面积相等； （2）当F 为B C 上任意一点时，E F C △与A B F △的面积还相等吗？说明理由． 左 右 左 右 第二次折叠 第一次折叠 图1 图2
6、在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等； （1） 根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组； （2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； （3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？ 7、如图：把一个矩形如图折叠，使顶点B 和D 重合，折痕为EF 。（1）找出全等三角形；（2）△DEF 是什么三角形,并证明；（3）连接BE ，判断四边形BEDF 是什么特殊四边形，BD 与EF 有什么关系？并证明。 8、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式；（2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由． A B C D A B C D D C B A P C Q B
【模拟试题】（答题时间：45分钟） 一、选择题 1、如图所示，正方形ABCD 的边长为2，点E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，则△AFC 的面积为S ，则（ ） A 、S=2 B 、S=2.4 C 、S=4 D 、S 与B E 长度有关 2、下列四边形①等腰梯形，②正方形，③矩形，④菱形的对角线一定相等的是（ ） A 、①②③ B 、①②③④ C 、①② D 、②③ 3、如图直角梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、不能确定 4、如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB//DC ，AC ⊥BC ，点E 是AB 的中点，EC//AD ，则∠ABC 等于（ ） A 、75° B 、70° C 、60° D 、30° 5、如图所示，是一个正方形与一个直角三角形所拼成的图形，则该图形的面积为（ ） A 、mn 21 m 2 + B 、2m mn 2- C 、2 mn m 2+ D 、2 n m 22+ 二、填空题
1、如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC+BD=_________。 2、已知任意直线l把平行四边形ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在位置需满足的条件是__________（只需填上一个你认为合适的条件）。 2，3、已知菱形ABCD的边长为6，∠A=60°，如果点P是菱形内一点，且PB=PD=3 那么AP的长为____________。 4、如图，将一张等腰直角三角形纸片沿中位线剪开，可以拼出不同形状的四边形，请写出其中两个不同的四边形的名称： 5、如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于_________cm，四边形EFGH的面积等于cm。 _________2 三、解答题 1、已知：如图所示，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF。 （1）求证：AF=CE； （2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论。
初中几何基本图形及证明 说明：本资料中所有虚线为证明用的辅助线一：与角平分线有关的基本图形基本图形1 结论：如图，若P点是B和C 的平分线的交点，则P和A的数量关系 1为： P 90 A 2 基本图形2 结论：如图，若P点是FBC的平分线和ECB 的平分线的交点，则P与 A 的数量关系为：P 1 90 A 2 基本图形3 如图，若P是ABC 的角平分线和ACB的外角平分线的交点，则P与A 的数量关系为：P 1 A 2
二：等腰直角三角形与其共斜边的直角三角形 基本图形 4 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，D 点与C 点分别在 AB 两侧，且 AD BD ， 基本图形 5 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，点 D 与C 在 AB 同侧，且 AD BD ，形 三：线段和最短与轴对称 基本图形 6 两定点一动点 如图，A ，B 为直线l 同侧两定点， P 为直线l 上一动点， A 和A 1关于l 成轴对 形成共斜边的两个直角三角形。结论： AD BD 2CD 延长 DA 使 EA BD ) AD BD 2CD B （截取 AE BD ） E B 成共斜边的两个直角三角形。结 论：
称，连接A1B交直线l于P点。结论：PA PB最短 A1 基本图形7 一定点两动点 如图P为AOB内一点，点P1与P关于OB成轴对称，P2与P关于OA成轴 对称，连接P1P2交OB于E点，交OA于F 点。结论：△ PEF 的周长最短 P2 基本图形8 两定点两动点 如图，A ，B为直角坐标系中的两定点，A1与A关于y轴对称，B1与B关于x 轴对称，连接A1B1分别交x轴、y轴于C、D两点，连A，B，C，D 结论：
【本讲教育信息】 一. 教案内容： 图形的认识、图形与证明（一） 几何初步、三角形 二. 教案目标： 通过对几何初步、三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题。 三. 重点、难点： 熟练地解决与几何初步、三角形相关的问题 四. 课堂教案： 中考导航一 ???????? ? ???? ? ?????? ????????????质互余、互补的意义、性角的比较与度量角的和、差及角平分线射线平行线 相交线 直线公理直线线段的比较与度量线段公理与中点线段的和、差、倍、分 线段几何初步知识 中考课程标准要求一
中考导航 ???? ?? ? ????? ? ??? ???????????????????????作图 性质判定 概念全等直角三角形钝角三角形锐角三角形按角等腰三角形 不等边三角形按边分类三角形 中考课程标准要求 【典型例题】 例1. 如图能折叠成的长方体是（ ） （2006年大连市） 答案：D 例2. 如图，AC ＝BC ，AE 平分∠CAD ，且∠C ＝40°，则∠DAE ＝_________。（2005年邵阳市）
答案：55° 例3. 如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD//BC ，则有以下结论：①AB//CD ②AB ＝BC ③AB ⊥BC ④AO ＝CO 那么其中正确的结论序号是________________。 （2006年烟台市） 答案：①②④ 例4. 如图1所示，△ABC 为等边三角形，面积为S 。D 1、E 1、F 1分别是△ABC 三边上的 点，且AB 2 1 CF BE AD 111= ==，连结11E D 、11F E 、11D F ，可得△111F E D 是等边三角形，此时△11F AD 的面积S 4 1S 1=，S 41S F E D ' 1111=?的面积。 图1 （1）当D 2、E 2、F 2分别是等边△ABC 三边上的点，且AB 3 1 CF BE AD 222===时（如图2所示）
辅助线的添加 一、添辅助线有二种情况： 1.按定义添辅助线： 如：证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2.按基本图形添辅助线： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质，但基本图形不完整时。因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线 也有规律可循。 （1）平行线是个基本图形： 当几何中出现平行线时，添辅助线的关键是：添与二条平行线都相交的第三条直线 （2）等腰三角形是个基本图形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时，往往要补全完整的等腰三角形； （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出现等腰三角形底边上的中点，添底边上的中线； （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出现直角三角形斜边上的中点，往往添斜边上的中线。 （5）三角形中位线基本图形 几何问题中出现多个中点时，往往添加三角形中位线基本图形 （6）相似三角形： 相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时，（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。 （8）特殊角直角三角形 当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为 1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3 （9）半圆上的圆周角 出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦---直径； 二、基本图形的辅助线的画法 1.三角形问题添加辅助线方法 方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段2.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理 （1）连对角线或平移对角线 （2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形 （3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线
本文为本人珍藏，有较高的使用、参考、借鉴价值！！ 第一章 图形与证明（二） 【知识回顾】 【基础训练】 1.（08，盐城）梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 。 2．（08，南京）若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 度。 3.（08，乌鲁木齐）某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为 A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm 4.已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，则此梯形下底长为__________cm ． 5.（08，梅州）如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB =30°，则 ∠AOB =_____度． 2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线 梯形的中位线 注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定 3.平行四边形 平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定：3个判定定理 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理 注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。 （2）菱形的面积公式：ab S 21= （b a ,是两条对角线的长） 注意： （1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 即需要掌握常作的辅助线。 （2）梯形的面积公式： ()lh h b a S =+=21（l -中位线长）
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两
的角平分线AD、CE相交于O。 （补
AE＝BD，连结CE、DE。
求证：BC＝AC＋AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证：MP＝MQ
知识点2：相似三角形判定和性质 （1）（2008年山东潍方）如图,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC边上一点,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,设BP=x,则PD+PE=（ C ） A. B. C. D. （2）(2008年乐山市)如图（2），小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（C） A、B、1 C、D、 （3）（2008湖南常德市）如图3，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）AB边上的高为，（3）△CDE∽△CAB，（4）△CDE的面积与△CAB 面积之比为1：4.其中正确的有（D） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （4）(2008山东济宁)如图，丁轩同学在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，
发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，当他向前再步行20m到达点时，发 现身前他影子的顶部刚好接触到路灯的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（D ） A．24m B．25m C．28m D．30m （5）（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ B ） （6）(2008 重庆)若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF 为（B ） A、2∶3 B、4∶9 C、∶ D、3∶2 （7）(2008 湖南长沙)在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ C ） A、4.8米 B、6.4米 C、9.6米 D、10米 （8）（2008江苏南京）小刚身高1.7m，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么小刚举起手臂超出头顶（ A） A.0.5m B.0.55m C.0.6m D.2.2m （9）（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ B ）
八年级数学（上）几何证明练习题 令狐采学 1、已知：在⊿ABC中，∠A=90度，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。 2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证： ∠ADB=∠FDC。 3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB，求证：MA⊥NA。 4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠A BC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC． 5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论。 6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE 7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平
分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。 例1（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论。 （2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。 （3）求证：AD＝AB+CD 练2（6分题）：如图，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：AD=AB+CD 例3（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AD＝AB+CD
13、（05年）如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌ △DCB ，则还需增加一个条件是__。 （13） （15） 15、（05年）如图，口ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在 CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为__。 18、（05年）（8分）大楼AD 的高为10米，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得踏顶B 处的仰角为60o， 爬到楼顶D 点测得塔顶B 点的仰角为30o，求塔BC 的高度。 22、（05年）（9分）AB 是⊙O 的直径，点E 是半圆上一动点（点E 与点A 、B 都不重合），点C 是BE 延 长线上的一点，且CD ⊥AB ，垂足为D ，CD 与AE 交于点H ，点H 与点A 不重合。 （1）（5分）求证：△AHD ∽△CBD （2）（4分）连HB ，若CD=AB=2，求HD+HO 的值。 D B A O D B H E C D
图10－1 M G O D B E A C x y F 图10－2 p B G C E M O D A x y ９．（06年）如图4，王华晚上由路灯A 下的B 处走到Ｃ处时，测得 影子CD 的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测 得影子EF 的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么 路灯A 的高度AB 等于 Ａ．4.5米 Ｂ．6米 Ｃ．7.2米 Ｄ．8米 图4 10．（06年）如图5，在□ABCD 中，AB : AD = 3:2，∠ADB=60°， 那么cos Ａ的值等于 Ａ．36- Ｂ．322+ Ｃ．36± Ｄ．322± 图5 13．（06年）如图6所示，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA ， 对角线AC 与BD 相交于点O ．若不增加任何字母与辅 助线，要使得四边形ABCD 是正方形，则还需增加的 一个条件是______________． 图6 15．（06年）在△ABC 中，AB 边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC 的面积为__________________． 18．（06年）（７分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC , AD DC AB ==， 120ADC ∠=．（1）（３分）求证：DC BD ⊥ 证明： （2）（４分）若4AB =，求梯形ABCD 的面积． 解：得分 22．（06年）(10分)如图10-1，在平面直角坐标系xoy 中，点M 在x 轴的正半轴上， ⊙M 交x 轴于 A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，且C 为AE 的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（－2，0），AE 8= (1)(3分)求点C 的坐标. 解： (2)(3分)连结MG BC 、，求证：MG ∥BC 证明： (3)(４分) 如图10-2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P .动点F 在⊙M 的 圆周上运动时， PF OF 的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化， 说明变化规律. 解： A D B C A B C D A B C D E F A B C D O
图形与证明 一、选择题 1．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【】 A．32B ．26C．25D．23 2．如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于【】 A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm 3．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【】 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 4．如图，ABCD是正方形，G是BC上（除端点外）的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，交AG于点F．下列结论不一定成立的是【】 A．△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE ﹣BG=FG 5．如图,已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O.下列结论：①∠DOC=90° , ②OC=OE，③tan∠OCD =4 3 ，④ ODC BEOF S S ? = 四边形 中，正确的有【】 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作接正方形A1B1C1D1；在等腰直角三角形OA1B1中，作接正方形A2B2C2D2；在等腰直角三角形OA2B2中，作接正方形A3B3C3D3；……；依次作下去，则第n个正方形A n B n C n D n的边长是【】 （A） n1 1 3- （B） n 1 3 （C） n1 1 3+ （D） n2 1 3+ 7．已知⊙O的直径等于12cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为【】 A．0 B．1 C．2 D．无法确定 8．一个圆锥的三视图如图所示，则此圆锥的底面积为【】 A．30πcm2 B．25πcm2 C．50πcm2 D．100πcm2 9．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=【】 A．20° B．40° C．50° D．80° 10．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种侧面展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美”相对的面上的汉字是【】 A．我 B．爱 C．枣D．庄 11．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是【】 A、 B、 C、 D、 12．如图，小明要测量河小岛B到河边公路l的距离，在A点测得30 BAD ∠=°，在C点测得60 BCD ∠=°，又测得50 AC=米，则小岛B 到公路l的距离为【】米．
第一章 图形与证明（二）复习教学案 【知识回顾】 2.直角三角形全等的判定：HL 4.等腰梯形的性质和判定 5.中位线 三角形的中位线 梯形的中位线 注意：若等边三角形的边长为a ，则：其高为： ，面积为： 。 1.等腰三角形 等边三角形的性质和判定 等腰三角形的性质和判定 线段的垂直平分线的性质和判定 角的平分线的性质和判定 3 .平行四边形 平行四边形的性质和判定：4个判定定理 矩形的性质和判定：3个判定定理 菱形的性质和判定：3个判定定理 正方形的性质和判定：2个判定定理 注注意：（1）中点四边形 ①顺次连接任意四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ②顺次连接对角线相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ③顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的新四边形是 ； ④顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点，所得的新四边形是 。 （2）菱形的面积公式：ab S 2 1= （b a ,是两条对角线的长） 注意： （1）解决梯形问题的基本思路:通过分割和拼接转化成三角形和平行四边形进行解决。 即需要掌握常作的辅助线。 （2）梯形的面积公式：()lh h b a S =+=2 1（l -中位线长）
【基础训练】 1.梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 。 2．若等腰三角形的一个外角为70°，则它的底角为 度。 3.某等腰三角形的两条边长分别为3cm 和6cm ，则它的周长为 A ．9cm B ．12cm C ．15cm D ．12cm 或15cm 4.已知梯形的上底长为3cm ，中位线长为5cm ，则此梯形下底长为 __________cm ． 5.如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB =30°，则 ∠AOB =_____度． 6.如图，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ， OB 的中点D ，测得CD =30米，则AB =______米． 7．平行四边形ABCD 中，AC ，BD 是两条对角线，如果添加一个 条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ） A ．AB=BC B ．AC=BD C ．AC⊥B D D．AB⊥BD 8．(08，扬州)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A 、当AB=BC 时，它是菱形 B 、当A C ⊥B D 时，它是菱形 C 、当∠ABC=900时，它是矩形 D 、当AC=BD 时，它是正方形 9.下列条件中不能确定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ） A.AB=CD ，AD ∥BC B.AB=CD ，AB ∥CD C.AB ∥CD ，AD ∥BC D.AB=CD ，AD=BC 10.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①②③ A B C D 第10题 D C 第11题 A D B O 第12题 第13题
学科教师辅导讲义 年级：科目：数学课时数： 课题几何证明 教学目的能够结合基本图形及常见图形解决问题 教学内容 【例题讲解】 题型一：基本图形 【例1】证明：三角形的内角和180°. 【证明】略 基本图形一： （在初三学习三角形一边平行线定理时用于构造“X”型，此处让学生知道有“过顶点作对边的平行线”这一添加辅助线的方法即可.） 题型二：基本图形 【说明】此处设计的题目主要是让学生熟悉基本图形及其变形.在之后学完四边形和中位线后，经常会运用此基本图形进行证明.
【例2】已知：如图，AC、BD相交于点O，AC BD =∠DBC=∠ACB.求证：OA OD =. 【答案】略 【提示】证明△ABC≌△DCB 题型三： A B C E D A B C D E F G 【例3】已知：等边△ABC和等边△CDE，联接AE、BD.求证AE=BD A B C E D 【答案】略 A B C D D
题型四： “角平分线+平行”图中通常会出现等腰三角形 【例6】已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，GE∥AD.求证：△AFG是等腰三角形. 【提示】图中标出的四个角相等. 【借题发挥】 .求证：△AEF是1．已知：如图，E是正方形ABCD的边CD上的一点，F是CB延长线上的一点，DE BF 等腰直角三角形. 【提示】证明全等即可. 2．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是AB边上的一点，AE=AC，EF∥BC交AC于点F.求证：∠DEC=∠FEC.
【提示】AD 是等腰△AEC 的“三线”，通过全等证得△DEC 是等腰三角形，根据平行证得∠DEC =∠DCE =∠FEC 3.已知：如图，AB AD =，CB CD =.求证：∠ABC =∠ADC . 【答案】略 【提示】联接AC 证全等. 4．已知：如图，在△ABC 中，,AB AC BD =⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E ,BD 、CE 相交于点O . 求证：OA 平分∠BAC
图形与证明二复习教学案 教案 Updated by Jack on December 25,2020 at 10:00 am
第一章图形与证明（二）复习教学案 一、知识回顾： [1]等腰三角形的性质和判定（1） 1、等腰三角形的性质定理。 定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，（简称：＿＿＿＿＿＿）2 文学语言图形符号语言 等边对等角在∵＿＿＿＿＿＿＿＿； ∴＿＿＿＿＿＿＿＿。 三线合一（（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD ＿∴＿＿＿，＿＿＿＿＿。 （2）∵＿＿＿，＿＿＿＿＿ ∴＿＿＿＿，＿＿＿＿＿。（（3）∵＿＿＿，＿＿＿＿ ∴∴＿＿＿＿＿，＿＿＿＿。 3 ∵_________________________ ∴_________________________ 4、三角形中位线： 图形：几何语言：∵__________________________________ ∴__________________________________ 三角形中位线性质：__________________________________________ [2] 直角三角形的全等判定 1、全等三角形判定定理： （1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） （3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） （4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。简写（） 2、角平分线性质：＿＿＿＿＿＿＿＿角平分线判定：＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿ ∵_________________________ ∵ _________________________ ∴_________________________ ∴_________________________ [3] 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定 1、平行四边形的三条性质：__________________________________________
几何图形三要素——欧拉公式的证明 摘要：平面几何图形不计长短曲直，数字“1”统帅全局；简单多面体无关体大面小，数字“2”展示共性。著名的欧拉公式深刻揭示了几何图形的本质属性。 关键词：平面几何图形（连通图①）、简单多面体②、欧拉公式 ①连通图是指从图中任何一点出发，沿着边可到达任何顶点的图形。 ②没有空洞的多面体称为简单多面体，或者用拓扑学解释，对于一个多面体的表面能够连续地变形为一个球面，这样的多面体就叫做简单多面体。 正文： 当我们踏进平面几何学大门时，就学到了一个简单的定理：三角形三个内角和等于180°，我们称它为180°定理。由180°定理，可进一步得知，凸n变形的内角和为（n-2）180°（弧度制中为(n-2)π），顺着一个方向的外角和为360°。外角和为360°，是平面上凸多边形的共性，与其边数无关，这是180°定理所揭示的平面图形的基本属性.但在中学数学中只注重180°定理在各种图形研究中的应用，而忽略了它所反映的平面图形比长短曲直更本质的属性，即欧拉公式。今天，我们用简单的180°定理来推演几何图形的三要素：点、线、面之间的特定关系，领悟数学之美妙，感慨前人之杰作，激发心中之追求，萌发研究之创意。 一、平面几何图形（连通图）欧拉公式:V-E+F=1的证明 情形1.平面多边形（附图1：⑴、⑵、⑶）： 设其顶点数V=n，边数E=n，区域（面）数F=1，则V-E+F=1. 情形2.将多边形用不交的对角线剖分成多个三角形所构成的平面图形（附图1：⑷）： 设其顶点数V=n，面数(不交的三角形)F=n-2，不交的对角线条数为n-3，得边数E=2n-3，则V-E+F=n-(2n-3)+(n-2)=1，即证. 情形3. 平面上一般的封闭图形（附图1：⑸）： 方法一：设F个面(不交区域)分别为n1、n2、…、nF边形，则所有内部面角总和: A =（n1-2)π+(n2-2)π+…+(nF-2)π=(n1+n2+…+nF)π-2Fπ=(2E-n)π-2Fπ…(1). 方法二：由内部V-n个顶点的周角加上外层n边形的内角和(n-2)π得: A=(V-n)2π+(n-2)π…(2). 联立(1)、(2)得V-E+F=1. 情形4.平面连通图（附图:⑹、⑺）： 在情形1、2、3的外层任何地方增加一条边，增加的顶点数和边数相同，面数不变.故V-E+F=1对连通图也成立. 情形5.平面连通图特殊情况（附图1：⑻）：
第一章图形与证明复习题（1） 一、基础练习 1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是正方形，那么这个四边形的对角线 A 、互相垂直 B 、相等 C 、互相平分 D 、互相垂直且相等 ( ) 2、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，下列结论不正确．．． 的是( ) A 、BF= 2 1DF B 、S △FAD =2S △FBE C 、四边形AECD 是等腰梯形 D 、∠AEB=∠ADC ， 3、如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内， 在对角线AC 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D 4、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，中位线EF 与对角线AC 、BD 交于M 、N 两点，若EF=18㎝，MN=8㎝，则AB 的长等于 。 5、如图，直线L 过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线L 的距离分别是1和2，则正方形的边长是 。 二、例题精讲 例１、如图，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点 B 落在边AD 上的点B ′处，点A 落在点A ′处， (1)求证：B ′E=BF ； (2)设AE=a ，AB=b, BF=c,试猜想a 、b 、c 之间有何数量关系，并给予证明. 例2、如图在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝10 3 ，AD 、BC 的长是x 2 -20x+75=0方程的两根，判断以点D 为圆心、AD 长为半径的圆与以C 圆心BC 为半径的圆的位置关系 。 21L D C B A 第5题图 N M F E D C B A 第4题图 A E P B C A C A B C D E F A ′ B ′
关于几何级数的图形证明 某日夜里我突发奇想，想到用分形图形来表示各种几何级数，于是写下了上一篇日志。日志发出后我收到了相当多的回复，很多网友告诉我说，这篇日志还留下了很多空白，大有扩展的潜力和推广的空间，非常具有启发性。网友morrowind在原日志第29楼评论说，大图形里面放置若干个相似的小图形时，并不一定要对应边与对应边相拼。考虑一个边长分别为1和根号5的矩形，它能够轻易地分成五个相同的小矩形，并且每一个都和原来的相似。这样的话，我们便又能递归地表示(1/5)^n了。只要能够递归地表示出(1/5)^n，从图形上我们总可以得出Σ(1/5)^n=1/4的结论，因为在每一个尺度下总有四个未被继续分割的区域，其中染色的区域始终占据了1/4。 12楼的est用一个极其简单的式子给出了Σ(1/5)^n=1/4的证明：在五进制中，0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001 + ... = 0.11111...，这恰好就说明了 1/5 + 1/25 + 1/125 + .. = 1/4。上述两套证明方案对所有大于2的正整数n 都成立，并且仔细思考你会看出它们的本质是相同的：0.11111...就是 0.44444...的1/4，因为在每一个小数位上前者都是后者的1/4。 网友陈熙发来邮件说，我们不见得非要把原图形分割为n个互相全等的小区域，只要它们面积相等就可以了。为了用图形说明1/5 + 1/25 + 1/125 + .. = 1/4，只需要在大正方形正中间画一个边长为1/sqrt(5)的小正方形即可，然后将“外框”的其中1/4染色，并递归地处理小正方形。这样，我们就非常直观地得到了想要的结论。这个方法同样对所有大于2的正整数n都成立——把正方形改成正n-1边形即可。或者更简单地，我们可以直接用圆来代替正多边形。
1.1等腰三角形的性质和判定（2） 九年级数学备课组 【学习目标】 在掌握了等腰三角形的性质定理和判定定理的基础上，探索等边三角形和其它相关知识的证明方法。 【重点、难点】 1、等边三角形的性质及其证明。 2、应用性质解题。 【预习指导】 上节课中，我们对等腰三角形的性质定理和判定定理进行了证明，请你写出这些定理。 等腰三角形性质定理：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿； （2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 等腰三角形判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 【思考与交流】 1、证明：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（简写为“AAS”） 2、证明：（1）等边三角形的每个内角都等于60°。 （2）3个内角都相等的三角形是等边三角形。 3、证明：（1）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 （2）到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【典题选讲】 例1.如图，在△ABC中，点O在AC上，过点O作M N∥BC，CE、CF分别是△ABC的内外角平分线，与MN分别交于E、F，求证：OE=OF. 例2、在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BC=BD=AD,则∠A的度数是多少？ 变式; .如下图，在△ABC中, AB=AC，点D、E分别在AC、AB上，且BC=BD=DE=EA，求∠A的度数。
【课堂练习】 1、如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ＝36°，∠ADE ＝∠AED ＝2∠B ，由这些条件你能得到哪些结论？请证明你的结论。 2、已知：如图，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。 求证：△ADE 是等边三角形。 【总结】本节课，我们又证明了哪些定理？你掌握了吗？ A B C A B C D E