图形的认识、图形与证明

三角形和四边形的认识与证明第五单元平面图形及其位置关系三角形和四边形的认识与证明Ⅰ.考点透视一.平面图形及其位置关系1.直线.射线与线段的区别与联系2.角(角的两种定义.角的分类.角的度量以及余角.补角的概念和性质)3.相交线与平行线(1)相交线(对顶角的概念及其性质.垂线的概念及其性质)(2)平行线(平行线的性质与判定)例1.如图,在正方形网格中,∠α.∠β.∠γ的大小关系是( )A.α_gt;β_gt;γB.α=β_gt;γC.α_lt;β=γD.α=β=γ二.三角形的认识与证明1.三角形(三角形的有关概念.三角形的分类.三角形中的重要线段以及三角形的有关性质)2.全等三角形(全等三角形的性质与判定)3.角平分线与线段的垂直平分线(定义.性质与判定)例2.下列说法:①等边三角形有三条对称轴;②在△ABC中,若a2+b2≠c2,则△ABC 不是直角三角形;③等腰三角形的一边长为4,另一边长9,则它的周长为17或22;④一个三角形中至少有两个锐角.其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个三.四边形的认识与证明1.平行四边形(平行四边形的定义.性质与判定)2.特殊的平行四边形(1)矩形(定义.性质与判定)(2)菱形(定义.性质与判定)(3)正方形(定义.性质与判定)3.梯形(等腰梯形的定义.性质与判定)4.多边形(多边形的性质及其正多边形的特征)例3.(1)正方形具有而菱形不一定具有的性质( )A.四边都相等B.对角线互相垂直且平分C.对角线相等D.对角线平分一组对角(2)下列命题中假命题的是( )A.对角线互相平分的四边形是平行四边形.B.两条对角线相等的四边形是矩形.C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形D.两条对角线相等的菱形是正方形(3)检查一个门框是矩形的方法是( )A.测量两条对角线是否相等B.测量有三个角是直角C.测量两条对角线是否互相平分D.测量两条对角线是否互相垂直(4)顺次连接矩形各边中点所得的四边形是( )A.矩形B.菱形C.梯形D.正方形(5)菱形的周长等于高的8倍,则其最大内角等于()A.60°B.90°C.120°D.150°(6)矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E.F是AC的三等分点,则△BEF的面积是( )A.8B.12C.16D.24Ⅱ.中考演练一.选择题(每小题4分,共40分)1.如图,已知直线AB.CD相交于点O,OA平分∠EOC,∠EOC=70°,则∠BOD的度数等于( )A.30°B.35°C.20°D.40°(第1题图) (第3题图)(第5题图)2.以长为13cm.10cm.5cm.7cm的四条线段中的三条线段为边,可以画出三角形的个数是( )A.1B.2个C.3个D.4个3.如图,在△ABC中,M为BC的中点,AN平分∠A,且AN⊥BN于点N,AB=10,AC=16,则MN等于( )A.2B.2.5C.3D.3.54.以下不能构成三角形三边长的数组是()A.(1,,2)B.(,,)C.(3,4,5)D.(32,42,52)5.如图,在RtΔABC中,AF是斜边上的高线,且BD=DC=FC=1,则AC的长为( )A. B. C. D.6.顺次连结等腰梯形四边中点得到一个四边形,再顺次连结所得四边形四边的中点得到的图形是 ()A．等腰梯形B．直角梯形C．菱形D．矩形7.在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形和梯形的是A.B.C.D.8.如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D.C分别落在D′.C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于( )A．50° B．55°C．60° D．65°(第8题图)(第9题图)(第11题图)9.如图,矩形ABCD中,AB=CD=_,AD=BC=y,把它折叠起来,使顶点A与C重合,则折痕PQ的长度为( )A. B. C. D.10.如果要用正三角形和正方形两种图形进行密铺,那么至少需要( )A.三个正三角形,两个正方形B.两个正三角形,三个正方形C.两个正三角形,两个正方形D.三个正三角形,三个正方形二.填空题(每小题4分,共40分)11.如图,点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点,DE⊥BC于E,DF⊥AC于F,若AF=15,BE=10,则四边形DECF的面积是.12.菱形的对角线长为6和8,则菱形的边长,面积是 .13.矩形的对角线长为8,两对角线的夹角为60_ordm;,则矩形的两邻边分别长和 .14.已知:□ABCD中,对角线AC.BD相交于点O,添加适当的条件(1)使它成为菱形.条件:.(2)使它成为矩形.条件:.(3)使它成为正方形.条件: .15.四边形ABCD的两条对角线AC.BD互相垂直,ABCD是四边形ABCD的中点四边形.如果AC=8,BD=10,那么四边形ABCD的周长为,面积等于.三.(每小题8分,共16分)16.一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置,连结CC′,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理:a2+b2=c2.17.等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝CD,DE⊥BC于E,AE＝BE,BF⊥AE于F,线段BF与图中的哪一条线段相等.先写出你的猜想,再加以证明.猜想:BF＝.证明:四.(每小题9分,共18分)18.如图△ABC中,∠B=2∠A, AB=2BC.求证:∠C=90°.19.已知:△ABC中AB=AC=a,M为底边BC上任意一点,过点M分别作AB.AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)探究:当M位于BC的什么位置时,四边形AQMP是菱形?并说明你的理由.(2)当△ABC满足什么条件菱形AQMP是正方形?五.(每小题10分,共20分)20.在矩形ABCD中,AB=16,BC=8.将矩形沿AC折叠,点D落在点E处,且CE交AB于点F,求AF的长.21.如图,AB.CD交于点E,AD=AE,CB=CE,F.G.H分别是DE.BE.AC的中点.求证:(1)AF⊥DE;(2)FH=GH.六.(本题满分12分)22.我们知道,一个平行四边形总可以剪开儿拼成一个矩形(如图1所示),一个梯形可以剪开拼成一个矩形(如图2所示),一个矩形可以剪开拼成一个三角形(如图3所示).图1图2图3那么任意一个四边形呢?你也可以将它剪开而拼成各种各样的图形. (1)请你仿上用图示的方法把它剪开而拼成平行四边形.矩形.三角形;(2)想想看,在这些剪拼过程中,都用到了图形的什么运动变换?七.(本题满分12分)23.据我国古代《周髀算经》记载,公元前1120年商高对周公说,将一根直尺折成一个直角,两端连结得到一个直角三角形,如果勾是三,股是四,那么弦就等于五.后人概括为〝勾三.股四.弦五〞.(1)观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;……,发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,计算(9-1),(9+1)与(25-1),(25+1),并根据你发现的规律,分别写出能表示7,24,25的股和弦的算式;(4分)(2)根据(1)的规律,用n(n为奇数且n≥3)的代数式来表示所有这些勾股数的勾.股.弦,合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明;(4分,除已发现的相等关系之外,你还有其他新的发现,并能正确证明,将酌情另加1_3分)(3)继续观察4,3,5;6,8,10;,8,15,17;……,可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过.运用类似上述探索的方法,直接用m(m为偶数且m_gt;4)的代数式来表示他们的股和弦.(4分)八.(本题满分12分)24.四边形是大家最熟悉的图形之一,我们已经发现了它的许多性质.只要善于观察.乐于探索,我们还会发现更多的结论.(1)四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线,将四边形分成四个三角形(如图①),其中相对的两对三角形的面积之积相等.你能证明这个结论吗?试试看.已知:在四边形ABCD中,O是对角线BD上任意一点(如图①).求证:S△OBC·S△OAD=S△OAB·S△OCD.(2)在三角形中(如图②),你能否归纳出类似的结论?若能,写出你猜想的结论,并证明:若不能,说明理由.。

初中几何基本图形及证明说明：本资料中所有虚线为证明用的辅助线 一：与角平分线有关的基本图形 基本图形1结论：如图，若P 点是B ∠和C ∠的平分线的交点，则P ∠和A ∠的数量关系为：A P ∠+︒=∠2190B基本图形2结论：如图，若P 点是FBC ∠的平分线和ECB ∠的平分线的交点，则P ∠与A ∠的数量关系为：A P ∠-︒=∠2190基本图形3如图，若P 是ABC ∠的角平分线和ACB ∠的外角平分线的交点，则P ∠与A∠的数量关系为：A P ∠=∠21BE二：等腰直角三角形与其共斜边的直角三角形 基本图形4如图，在等腰直角三角形ABC 中，D 点与C 点分别在AB 两侧，且BD AD ⊥，形成共斜边的两个直角三角形。

结论：CD BDAD 2=+E（延长DA 使BD EA =）基本图形5如图，在等腰直角三角形ABC 中，点D 与C 在AB 同侧，且BD AD ⊥，形成共斜边的两个直角三角形。

结论：CD BDAD 2=-A（截取BD AE=）三：线段和最短与轴对称 基本图形6 两定点一动点如图，A ，B 为直线l 同侧两定点，P 为直线l 上一动点，A 和1A 关于l 成轴对称，连接BA 1交直线l 于P 点。

结论：PB PA +最短基本图形7 一定点两动点如图P 为AOB ∠内一点，点1P 与P 关于OB 成轴对称，2P 与P 关于OA 成轴对称，连接21P P 交OB 于E 点，交OA 于F 点。

结论：△PEF 的周长最短OA基本图形8 两定点两动点如图，A ，B 为直角坐标系中的两定点，1A 与A 关于y 轴对称，1B 与B 关于x 轴对称，连接11B A 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，连A ，B ，C ，D 结论：四边形ABCD 周长最短。

基本图形9 一定点一动长如图，P 为一定点，AB 为直线l 上的定长。

结论：当P 在AB 的垂直平分线上时△PAB 的周长最短基本图形10 两定点一动定长如图，A ，B 为直线l 同侧的两点，DC 为直线l 上的一定长，作∥BE DC 且DC BE =，A 与1A 关于直线l 对称，连接E A 1交直线于D结论：BC AD +最短基本图形11 线段差最大如图，A ，B 分别位于直线l 的两侧，作1A 与A 点关于直线l 对称，连B A 1交直线l 于P 。

1.1等腰三角形的性质和判定（1）九年级数学备课组【学习目标】1、进一步掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、能用“基本事实”和“已经证明的定理”为依据，证明等腰三角形的性质定理和判定定理。

【重点、难点】1、等腰三角形的性质及其证明。

2、应用性质解题。

【预习指导】：在初中数学八（下）的第十一章中，我们学习了证明的相关知识，你还记得吗？不妨回忆一下。

1、用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明。

经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理。

2、证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿;（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3、推理和证明的依据有哪几类？＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4、我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

此外，还有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿也都看作是基本事实。

5、在八（下）的第十一章中，我们依据上述的基本事实，证明了哪些定理？你能一一列出来吗？（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（5）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（6）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（7）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（8）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（9）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（10）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

初中几何空间与图形知识点A、图形的认识1、点，线，面点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。

②面与面相交得线，线与线相交得点。

③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。

②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。

②圆可以分割成假设干个扇形。

2、角线：①线段有两个端点。

②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

射线只有一个端点。

③将线段的两端无限延长就形成了直线。

直线没有端点。

④经过两点有且只有一条直线。

比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。

②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。

②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。

②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。

始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。

③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。

③平面内，过一点有且只有一条直线与直线垂直。

垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。

垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2点后〔关于画法，后面会讲〕一定要把线段穿出2点。

中考复习——图形的认识与证明基础训练试题一、选择题：1、 △ABC 中，∠A ＝50°，∠B ＝60°，则∠C ＝（ ）A 、50°B 、60°C 、70°D 、80°2、（05年中考）如图，⊙O 中弧AB 的度数为60°，AC 是⊙O 的直径，那么∠BOC 等于（ ） A 、150° B 、130° C 、120° D 、60°3、（06年中考）如图，在□ABCD 中，对角线交于点O ，下列式子中一定成立的是 ( ) A 、AC ⊥BD B 、OA=0C C 、AC=BD D 、A0=OD4、（07年中考）到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的 ( ) A 、三条中线的交点 B 、三条高的交点 C 、三条边的垂直平分线的交点 D 、三条角平分线的交点（第2题图） （第3题图） （第6题图）5、（09年中考）如图所示的矩形纸片，先沿虑线按箭头方向向右对折，接着将对折后的）6、（10年中考）如图，已知∠1=70°，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（ ）A 、70°B 、100°C 、110°D 、120° 二、填空题7、（08年中考）如图，在ΔABC 中，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，且∠A +∠B=120°，则∠AN M= °。

8、（08年中考）如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 为弦，∠A BC=30°过圆心O 作OD ⊥BC 交弧BC 于点D ，连接DC ，则∠DCB= °．9、（05年中考）如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠BAC 的外角平分线交BC 的延长线于点D ，若∠ADC ＝21∠CAD ，则∠ABC 等于＿＿＿度。

10、（06年中考）如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠0=65°，∠C=20°，则∠OAD= ． 11、（07年中考）如图，菱形ABCD 的对角线AC =24，BD =10，则菱形的周长L=A MNB CC ．D ． A ． B ．（第9题图） （第10题图） （第11题图）12、（08年中考）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________； 13、（09年中考）如图,已知O ⊙的直径8A B =cm ，C 为O ⊙上的一点，30B A C ∠=°， 则BC =__________cm ．14、（10年中考）如图,已知R t △ABC 中,斜边BC 上的高AD ＝4,cosB ＝54,则AC ＝ . 15 、（11年中考）如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ． 若∠A =40º，则∠C =_____．（第13题图） （第14题图） （第15题图）三、解答题16、（05年中考）如图，AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠AEF ，∠1＝40°，求∠2的度数。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题15 图形的基本认识【知识要点】考点知识一立体图形⏹立体图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。

⏹平面图形概念：有些几何图形的各部分不都在同一个平面内。

常见的平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等【立体图形和平面的区别】1、所含平面数量不同。

平面图形是存在于一个平面上的图形。

立体图形是由一个或者多个平面形成的图形，各部分不在同一平面内，且不同的立体图形所含的平面数量不一定相同。

2、性质不同。

根据“点动成线，线动成面，面动成体”的原理可知，平面图形是由不同的点组成的，而立体图形是由不同的平面图形构成的。

由构成原理可知平面图形是构成立体图形的基础。

3、观察角度不同。

平面图形只能从一个角度观察，而立体图形可从不同的角度观察，如左视图，正视图、俯视图等，且观察结果不同。

4、具有属性不同。

平面图形只有长宽属性，没有高度；而立体图形具有长宽高的属性。

立方体图形平面展开图三视图及展开图三视图：从正面，左面，上面观察立体图形，并画出观察界面。

考察点：（1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。

（2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。

展开图：正方体展开图（难点）。

正方体展开图口诀（共计11种）：“一四一”“一三二”，“一”在同层可任意,“三个二”成阶梯,“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如。

⏹点、线、面、体几何图形的组成：点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体。

考点知识二直线、射线、线段⏹直线、射线、线段的区别与联系：【射线的表示方法】表示射线时端点一定在左边，而且不能度量。

经过若干点画直线数量：1.经过两点有一条直线，并且只有一条直线（直线公理）。

七年级数学第四章：图形的认识一、图形的构成：点→线→平面图形→立体图形二、点：1、最基本的几何图形构成元素2、常见的点：端点、中点、任意分点、交点、特殊位置的点3、探究内容：距离、位置关系（与点、线及其其它图形）三、线：最重要的图形研究对象分类：直类：直线、射线、线段；曲类：圆、圆弧、椭圆、抛物线、波形线、不规则曲线等。

（一）、直线：以任意点为基础，在其两个互逆方向上的所有点与这个点的集合；或者说一个点从某一点出发，在其完全互逆的方向上运动的轨迹。

注意：1、它没有端点，向两方无限延伸，长度无限，无法测量。

2、直线一般用表示直线上任意两点的大写字母表示，或者用一个小写字母表示。

3、两点确定一条直线，4、同一平面内，两直线的位置关系：相交 {有一个公共点} 或者平行（无公共点）（重合所有点都为公共点，可以理解成特殊的相交或者平行）（二）、射线：以某一点为基础，在其一个方向上的所有点与这个点的集合；或者说一个点从某一点出发，在其一个方向上运动的轨迹。

注意：1、它有一个端点，向一方无限延伸，长度无限，无法测量2、射线用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面，在两个字母前加上“射线”；或者用一个小写字母表示。

（三）、线段：直线或者线段上某两点及其之间的所有点的集合；或者说一个点从某一点出发，向着另外一点的方向运动，运动到那个点的轨迹。

注意：1、有两个端点，长度可以测量，线段之间可以进行长短的比较（度量法与叠合法）。

2、我们把两点之间线段的长度称为两点之间的距离。

两点之间线段最短。

3、线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，或者说直线上到两个端点距离相等的点。

4、常见的线段：边、高、中线、角分线、中位线、对角线、半径、直径、弦、弦心距、切线等.5、线段上的点的个数n与这些点所组成的线段条数N之间的关系：N=()12 n n-四、角：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。