图形与证明5

“图形与证明”教学中的五条基本策略作者：陈锁华来源：《科学大众·教师版》2013年第07期摘要：面对现行教材中“先探索后证明”的“两阶段”的教材设计方式，如何务实完成“图形与证明”的教学任务？本文提出了五条务实的基本策略，即文字语言符号化、已知条件图形化、分析过程综合化、复杂图形基本化、解题方法多样化。

关键词：图形与证明；务实；基本策略中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1006-3315（2013）07-056-002“图形与证明”的教学是初中几何课程四大模块（图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明）之一，新课标准中已明确指出：“在…图形与几何‟的教学中，应帮助学生建立空间观念，注重培养学生的几何直观与推理能力。

”笔者对“图形与证明”教学进行了深入的思考与探索，并结合自己的教学实践，总结、提炼、概括出“图形与证明”教学的五条务实的基本策略。

基本策略一：文字语言符号化——命题讲解的务实之本所谓文字语言符号化就是文字语言向符号语言转化。

几何教学有三种不同形式的语言，即图形语言、文字语言及符号语言。

三种几何语言的各有特点、各有作用。

在三种语言中符号语言是几何初学者最难掌握的一种，是逻辑推理必备的能力基础，也是命题（定义、公理、定理等）讲解的务实之本。

目前，初中阶段对于推理能力的培养要求是循序渐进的，由开始的“说点儿理”到“说理”、“简单推理”，到最后的“符号表示推理”，为了让学生更好地掌握“符号表示推理”，因此教师在教学过程中应不失时机地训练、培养学生将文字语言转化为符号语言的意识和能力，比如角的平分线的定义是文字语言，教师应及时引导学生将角的平分线的定义符号化，由于定义具有可逆性，既可以正用也可以反用，所以将角的平分线的定义符号化也对应有两种表达形式（如图1）：这种文字语言符号化的意识应贯穿几何教学的始终，只有这样才能为“图形与证明”的学习建立良好的基础，成为学生学习命题证明的根本。

第五单元 空间图形与证明第十八章 几何初步一、知识回顾1.如图18-1已知AB ∥CD ，若∠A=20°，∠E=35°，则∠C 等于（ ）A ．20°B ．35°C ．45°D ．55°2.如图18-2，AB ∥CD ，直线EF 与AB 、CD 分别相交于G 、H ，∠AGE=60°，则∠EHD 的度数是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°3.已知∠1=30°，则∠1的余角度数是（ ）A ．160°B ．150°C ．70°D ．60° 4.计算33°52′+21°54′=_________5.如图18-3，AB ∥CD ，CE 平分∠ACD ，若∠1=25°，那么∠2的度数是____________二、典型例题例1 已知线段AB=8cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长。

例2 已知：如图18-4，直线AB ∥CD ，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平分线相交于点P ，求证：∠P=90°三、课堂练习1.如图18-5，直线AB 、CD 相交于点E ，DF ∥AB ，若∠AEC=100°，则∠D 等于（ ）A ．70°B ．80°C ．90°D ．100°2.如图18-6，直线m ∥n ，则∠1为（ ）A ．150°B ．140°C ．130°D ．120°3.如图18-7，直线m ∥n ，∠1=55°，∠2=45°，则∠3的度数为____________4.135°角的补角是__________度5.如图18-8，在锐角∠AOB 内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同的射线，可得6个锐角；画3条不同的射线，可得10个锐角，……照此规律，画10条不同的射线，可得锐角___________个。

初一数学图形与证明试题1.（9分）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设的度数为x，∠的度数为，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．【答案】（1）△ADE≌△A‘DE ，则∠A=∠A’，∠AED=∠A‘ED，∠ADE=∠A‘DE（2）∠1=180°；∠2=180°（3）∠∠1+∠2）【解析】①△ADE≌△A‘DE ，则∠A=∠A’，∠AED=∠A‘ED，∠ADE=∠A‘DE （3分）②∠1=180°；∠2=180°（6分）③∠∠1+∠2）（9分）2.如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC向左平移2格，再向上平移4格．（10分）（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′。

（2）再在图中画出△A′B′C′的高C′D′，并求出△ABC的面积．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，8．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）根据三角形的高线的定义作出即可；根据扇形的面积公式列式计算即可得解．试题解析：（1）△A′B′C′如图所示；（2）△A′B′C′的高C′D′如图所示；△ABC的面积=×4×4=8．．【考点】作图-平移变换．3.如图，AB∥CD，直线EF分别与AB、CD交于点G，H，GM⊥EF，HN⊥EF，交AB于点N，∠1=50°．（1）求∠2的度数；（2）试说明HN∥GM；（3）∠HNG= ．【答案】（1）50°；（2）见解析（3）40°．【解析】（1）先由AB∥CD得到∠EHD=∠1=50°，然后再根据对顶角相等可得到∠2的度数；（2）由GM⊥EF，HN⊥EF得到∠MGH=90°，∠NHF=90°，然后可证HN∥GM；（3）先由HN⊥EF得到∠NHG=90°，然后可得∠NGH=∠1=50°，然后根据互余可计算出∠HNG=40°．试题解析：（1）∵AB∥CD，∴∠EHD=∠1=50°，∴∠2=∠EHD=50°；（2）∵GM⊥EF，HN⊥EF，∴∠MGH=90°，∠NHF=90°，∴∠MGH=∠NHF，∴HN∥GM；（3）∵HN⊥EF，∴∠NHG=90°∵∠NGH=∠1=50°，∴∠HNG=90°﹣50°=40°．故答案为40°．【考点】平行线的判定与性质．4.如图给出的分别有射线、直线、线段，其中能相交的图形有（）A．①②③④B．①C．②③④D．①③【答案】D【解析】因为直线是向两方无限延伸的，射线是向一方无限延伸的，线段不能向任何一方无限延伸，所以能相交的图形有①③．故选：D．【考点】直线、射线、线段．5.下列命题中是假命题的是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．邻补角互补D．平行于同一条直线的两条直线平行【答案】B．【解析】根据正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题可知：选项A，对顶角相等是真命题；选项B，同位角相等是假命题，只有两直线平行，同位角才相等；选项C，邻补角互补是真命题；选项D，平行于同一条直线的两条直线平行是真命题；故答案选B．【考点】真假命题．6.如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A．75°B．55°C．40°D．35°【答案】C【解析】如图，根据平行线的性质可得∠1=∠4=75°，然后根据三角形的外角等于不相邻两内角的和，可知∠4=∠2+∠3，因此可求得∠3=75°-35°=40°．故选C【考点】平行线的性质，三角形的外角性质7.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为．【答案】20．【解析】分两种情况：第1种情况，腰长为8，底边长为4，等腰三角形的周长为20；第2种情况，腰长为4，底边长为8，这种情况不存在，故答案为20．【考点】分类讨论；等腰三角形的性质．8.（8分）如图，若AD∥BC，∠A=∠D．（1）猜想∠C与∠ABC的数量关系，并说明理由；（2）若CD∥BE，∠D=50°，求∠EBC的度数．【答案】（1）详见解析；（2）∠EBC=50°．【解析】（1）已知AD∥BC，根据平行线的性质可得∠D+∠C=180°，∠A+∠ABC=180°，又因∠A=∠D，根据同角的补角相等即可得∠C=∠ABC；（2）已知CD∥BE，根据平行线的性质可得∠D=∠AEB=50°，又因AD∥BC，所以∠AEB=∠EBC=50°，即可得∠D=∠EBC=50°．试题解析：解：（1）∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°，∠A+∠ABC=180°，∵∠A=∠D，∴∠C=∠ABC；（2）∵CD∥BE，∴∠D=∠AEB．∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠D=∠EBC=50°．【考点】平行线的性质．9.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（）A．30°B．25°C．20°D．15°【答案】B．【解析】如图，根据平行线的性质可得∠1=∠3=20°，由题意知∠3+∠2=45°，所以∠2=25°．故答案选B．【考点】平行线的性质．10.如图，已知，∠AOE=∠COD，且射线OC平分∠AOE的补角∠EOB．∠EOD=30°，求∠AOD的度数．【答案】50°．【解析】根据已知和射线OC平分∠AOE的邻补角和图形，得出∠AOD=∠COE=∠BOC．已知∠DOE=30°，由图形得：∠AOB=∠AOD+∠DOE+∠COE+∠BOC=180°，从而∠AOD的度数．试题解析：∵∠AOB=180°∠EOD=30°∴∠AOD+∠EOC+∠COB=150°∵∠AOE=∠COD∴∠AOD=∠EOC∵OC平分∠EOB∴∠EOC=∠COB∴∠EOC=∠COB=∠AOD= 50°【考点】余角和补角．11.如图，在三角形纸片ABC中，AC＝BC．把△ABC沿着AC翻折，点B落在点D处，连接BD，如果∠BAD＝80°，则∠CBD的度数为．【答案】10°【解析】因为BAD＝80°，由翻折的性质可得∠BAC=∠DAC=40°，AB=AD，所以∠ABD=∠ADB=50°，又因为AC=BC，所以∠CBA=∠CAB=40°，所以∠CBD=10°．【考点】折叠的性质等腰三角形的性质12.已知如图所示，正方形ABCD的边长为1，以AB为直径作半圆，以点A为圆心，AD为半径画弧．那么图中阴影部分的面积为．【答案】．【解析】S阴影=π×12-π×（）2=π-π=π；【考点】1．扇形的面积；2．整式加减法．13.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是．【答案】三角形的稳定性【解析】用窗钩固定窗户采用的三角形的稳定性原理．【考点】三角形的稳定性14.如图，平面内有A，B，C，D四点，按下列语句画图．（1）画射线AB，直线BC，线段AC；（2）连接AD与BC相交于点E．【答案】作图见解析．【解析】（1）画射线AB，以A为端点向AB方向延长；画直线BC，连接BC并向两方无限延长；画线段AC，连接AB即可；（2）连接各点，其交点即为点E．试题解析：画射线AB；画直线BC；画线段AC；连接AD与BC相交于点E．【考点】作图—基本作图．15.（2014秋•市中区期末）如图，这是一个由小立方块塔成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数．请你画出它的主视图与左视图．【解析】主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，4；左视图有3列，每列小正方形数目分别为2，3，4．依此画出图形即可求解．解：如图所示：【考点】作图-三视图；由三视图判断几何体．16.（2014秋•东台市期末）（1）由大小相同的小立方块搭成的几何体如下图，请在下图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图．（2）用小立方体搭一几何体，使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致，则这样的几何体最少要个小立方块，最多要个小立方块．【答案】（1）见解析；（2）5；7．【解析】（1）从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，依此画出图形即可；从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，依此画出图形即可；（2）由俯视图易得最底层小立方块的个数，由左视图找到其余层数里最少个数和最多个数相加即可．解：（1）作图如下：；（2）解：由俯视图易得最底层有4个小立方块，第二层最少有1个小立方块，所以最少有5个小立方块；第二层最多有3个小立方块，所以最多有7个小立方块．故答案是：5；7．【考点】作图-三视图．17.将下列图形绕直线l旋转一周，可以得到下图所示的立体图形的是（）【答案】D【解析】根据面动成体以及圆台的特点进行逐一分析：A、可以得到一个不规则的立体图形，故本选项不符合；B、绕直线l旋转一周，可以得到一个倒立的圆台，故本选项不符合；C、绕直线l旋转一周，可以得到一个球，故本选项不符合；D、绕直线l旋转一周，可以得到右图所示的圆台，故本选项符合．故选D．【考点】面动成体18.A、B、C三点在同一条直线上，M、N分别为AB、BC的中点，且AB=60，BC=40，则MN 的长为【答案】50或10．【解析】试题解析：（1）当C在线段AB延长线上时，∵M、N分别为AB、BC的中点，∴BM=AB=30，BN=BC=20；∴MN=50．（2）当C在AB上时，同理可知BM=30，BN=20，∴MN=10；所以MN=50或10．【考点】比较线段的长短．19.（2015秋•平定县期末）如图已知点C为AB上一点，AC=12cm，CB=AC，D、E分别为AC、AB的中点，求DE的长．【答案】4cm．【解析】求DE的长度，即求出AD和AE的长度．因为D、E分别为AC、AB的中点，故DE=，又AC=12cm，CB=AC，可求出CB，即可求出CB，代入上述代数式，即可求出DE的长度．解：根据题意，AC=12cm，CB=AC，所以CB=8cm，所以AB=AC+CB=20cm，又D、E分别为AC、AB的中点，所以DE=AE﹣AD=（AB﹣AC）=4cm．即DE=4cm．故答案为4cm．【考点】比较线段的长短．20.（2015秋•平顶山校级期中）用一个平面去截长方体、三棱柱、圆柱和圆锥，其中截面不能截成三角形的是，不能截出圆形的几何体是．【答案】圆柱；长方体、三棱柱．【解析】首先当截面的角度和方向不同时，圆柱体的截面不相同，无论什么方向截取圆柱都不会截得三角形，再利用长方体、圆柱、三棱柱、圆锥的形状判断即可，可用排除法．解：长方体沿体面对角线截几何体可以截出三角形，三棱柱沿顶点截几何体可以截得三角形，圆柱不能截出三角形，圆锥沿顶点可以截出三角形，故不能截出三角形的几何体是圆柱．故截面不能截成三角形的是圆柱；长方体截面形状不可能是圆，符合题意；圆柱截面形状可能是圆，不符合题意；三棱柱截面形状不可能是圆，符合题意；圆锥截面形状可能是圆，不符合题意．故不能截出圆形的几何体是：长方体、三棱柱；故答案为：圆柱；长方体、三棱柱．【考点】截一个几何体．21.（2015秋•端州区期末）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“建”字所在的面相对的面上标的字是（）A．美B．丽C．肇D．庆【答案】D【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“设”与“丽”是相对面，“建”与“庆”是相对面，“美”与“肇”是相对面．故选D．【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．22.（2011秋•镇江期末）如图，线段AB=12cm，C是线段AB上任意一点，M，N分别是AC，BC的中点，MN的长为 cm，如果AM=4cm，BN的长为 cm．【答案】6、2．【解析】理解线段的中点的概念，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系．解：由题意知，MN=AB=×12=6cm，AM=4cm，则BM=AC﹣AM=12﹣4=8cm，BN=MB﹣MN=8﹣6=2cm．故答案为6、2．23.一个角的余角是这个角的4倍，则这个角的度数是．【答案】18°【解析】首先设这个角的度数为x°，则根据题意可得：4x=90－x，解得：x=18°．【考点】余角的性质24.已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（）A．5B．6C．11D．16【答案】C【解析】三角形第三边的长度大于两边之差小于两边之和，根据题意得：6＜第三边＜14，∴选择C．【考点】三角形三边的关系．25.如图，直线AB与CD相交于点O，．（1）如图1，若OC平分，求的度数；（2）如图2，若，且OM平分，求的度数．【答案】（1）∠AOD=135°；（2）∠MON=54°．【解析】（1）根据角平分线的性质求出∠AOC的度数，然后根据∠AOC+∠AOD=180°求出∠AOD的度数；（2）首先设∠NOB=x°，则∠BOC=4x°，∠CON=3x°，根据角平分线的性质可得∠MON=x°，根据∠MON+∠NOB=90°求出x的值，然后计算．试题解析：（1）∵∠AOM=90°，OC平分∠AOM∴∠AOC=∠AOM=45°∵∠AOC+∠AOD=180°∴∠AOD=180°－∠AOC=180°－45°=135°．（2）∵∠BOC=4∠NOB∴设∠NOB=x°，∠BOC=4x°∴∠CON=∠COB-∠BON=4x°-x°=3x°∵OM平分∠CON∴∠COM=∠MON=∠CON=x°∵解得：x=36∴∠MON=x°=×36°=54°即∠MON的度数为54°【考点】角度的计算．26.（2015秋•新泰市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=30°，AD=2BC，则∠A=（）A．15°B．20°C．16°D．18°【答案】A【解析】根据在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=30°，AD=2BC，可以求得DB与BC的关系，从而可以求得∠A与∠DBA的关系，进而可以求得∠A的度数．解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=30°，∴BD=2BC，又∵AD=2BC，∴AD=DB，∴∠A=∠DBA，∵∠BDC=∠A+∠DBA，∠BDC=30°，∴∠A=15°．故选A．【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质．27.（2004•青海）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=15°30′，则下列结论中不正确的是（）A．∠2=45°B．∠1=∠3C．∠AOD与∠1互为补角D．∠1的余角等于75°30′【答案】D【解析】根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义，逐一判断．解：A、由OE⊥AB，可知∠AOE=90°，OF平分∠AOE，则∠2=45°，正确；B、∠1与∠3互为对顶角，因而相等，正确；C、∠AOD与∠1互为邻补角，正确；D、∵∠1+75°30′=15°30′+75°30′=91°，∴∠1的余角等于75°30′，不成立．故选D．【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．28.（2015秋•禹州市期末）某测绘装置上一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转90°，则结果指针的指向是．（指向用方位角表示）【答案】南偏东40°．【解析】根据南偏西50°逆时针转90°，可得指针的指向．解：一枚指针原来指向南偏西50°，把这枚指针按逆时针方向旋转90°，则结果指针的指向是南偏东40°，故答案为：南偏东40°．【考点】方向角．29.（2015秋•满城县期末）如图是一个正方体的表面展开图，则原正方体中与“中”字所在的面相对的面上标的字是（）A．我B．的C．梦D．国【答案】C【解析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“国”与面“我”相对，面“梦”与面“的”相对，“中”与面“梦”相对．故选C．【考点】正方体相对两个面上的文字．30.（2015秋•满城县期末）如图，点O是直线AB上一点，OC是∠AOD的平分线，已知∠AOC的补角是150°20′，则∠AOD的度数是．【答案】59°20′【解析】先根据补角的定义求得∠AOC的度数，然后由角平分线的定义可知∠AOD=2∠AOC，从而可求得∠AOD的度数．解：∵∠AOC的补角是150°20′，∴∠AOC=180°﹣150°20′=29°40′．∵OC是∠AOD的平分线，∴∠AOD=2∠AOC=2×29°40′=59°20′．故答案为：59°20′．【考点】余角和补角；度分秒的换算；角平分线的定义．31.（2015秋•吴中区期末）下列说法中，正确的个数是（）（1）同角的余角相等（2）相等的角是对顶角（3）在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线（4）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】根据余角定义，对顶角定义，垂线段最短，平行线定义逐个判断即可．解：同角的余角相等，故（1）正确；如图：∠ACD=∠BCD=90°，但两角不是对顶角，故（2）错误；在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故（3）正确；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，故（4）正确；即正确的个数是3，故选C．【考点】余角和补角；对顶角、邻补角；垂线段最短；平行线．32.（2015秋•岳池县期末）如图，C、D是线段AB上两点，巳知AC：CD：DB=1：2：3，M、N分别为AC、DB的中点，且AB=24cm，求线段MN的长．【答案】16cm【解析】根据题意分别求出AC、CD、DB的长，根据中点的性质计算即可．解：∵AC：CD：DB=1：2：3，AB=24cm，∴AC=4cm，CD=8cm，DB=12cm，∵M、N分别为AC、DB的中点，∴MC=AC=2cm，DN=BD=6cm，∴MN=MC+CD+DN=16cm．【考点】两点间的距离．33.比较：28°15′ 28.15°（填“＞”、“＜”或“=”）．【答案】＞【解析】首先利用度分秒换算法则进行转化，再比较大小．解：∵28°15′=28°+（15÷60）°=28.25°，∴28°15′＞28.15°．故答案为：＞．【考点】角的大小比较；度分秒的换算．34.（2015秋•莒县期末）如图所示，线段AB=10，M为线段AB的中点，C为线段MB的中点，N为线段AM的一点，且MN=1，线段NC的长（）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】D【解析】根据线段中点的定义分别求出MB、MC的长，结合图形计算即可．解：∵线段AB=10，M为线段AB的中点，∴MB=AB=5，∵C为线段MB的中点，∴MC=BM=2.5，∴NC=NM+MC=3.5．故选：D．【考点】两点间的距离．35.（2015秋•利川市期末）如图，图中小于平角的角共有（）A．7个B．6个C．5个D．4个【答案】B【解析】按一定的规律数平角的个数：先数出以一条射线为一边的角，再数出以其余三条射线为一边的角，然后把他们加起来；或者根据公式来计算．解：先数出以OA为一边的角，再数出以OB、OC、OD为一边的角，把他们加起来．也可根据公式：来计算，其中，n指从点O发出的射线的条数．∵图中共有四条射线，∴图中小于平角的角共有=6（个）；故选B．【考点】角的概念．36.（2015秋•利川市期末）如图，O点是学校所在位置，A村位于学校南偏东42°方向，B村位于学校北偏东25°方向，C村位于学校北偏西65°方向，在B村和C村间的公路OE（射线）平分∠BOC．（1）求∠AOE的度数；（2）公路OE上的车站D相对于学校O的方位是什么？（以正北、正南方向为基准）【答案】（1）158°；（2）北偏西20°．【解析】（1）利用方向角分别求出∠1=42°，则∠2=48°，以及∠COM=65°，∠4=25°，再结合角平分线的性质得出∠COE=45°，即可得出答案；（2）利用（1）中所求得出：∠EOM=20°，即可得出答案．解：（1）如图所示：∵A村位于学校南偏东42°方向，∴∠1=42°，则∠2=48°，∵C村位于学校北偏西65°方向，∴∠COM=65°，∵B村位于学校北偏东25°方向，∴∠4=25°，∴∠BOC=90°，∵OE（射线）平分∠BOC，∴∠COE=45°，∴∠EOM=65°﹣45°=20°，∴∠AOE=20°+90°+48°=158°；（2）由（1）可得：∠EOM=20°，则车站D相对于学校O的方位是：北偏西20°．【考点】方向角．37.如图，从A到B有①，②，③三条路线，最短的路线是①的理由是：A．因为它最直B．两点确定一条直线C．两点的距离的概念D．两点之间，线段最短【答案】D．【解析】两点之间，线段最短．故选D．【考点】线段的性质．38.若∠A=64°，则它的余角等于（）A．116°B．26°C．64°D．50°【答案】B【解析】根据两个角的和为90°，则这两个角互余计算即可．解：∵∠A=64°，∴90°﹣∠A=26°，∴∠A的余角等于26°，故选：B．【考点】余角和补角．39.一个正方体其平面展开图如图所示，那么在该正方体中和“义”相对的字是（）A．礼B．智C．信D．孝【答案】D【解析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．解：对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形，由图形可知，与“义”字相对的字是“孝”．故选：D．【考点】正方体相对两个面上的文字．40.如图，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是度．【答案】18【解析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义可求得∠BAE的度数，由三角形内角和定理可求得∠BAD的度数，从而不难求得∠DAE的度数．解：∵△ABC中，∠B=70°，∠C=34°．∴∠BAC=180°﹣（70°+34°）=76°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=38°．∵Rt△ABD中，∠B=70°，∴∠BAD=20°．∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=38°﹣20°=18°41.如图，AB∥DE，∠1=∠2，则AE与DC的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．不能确定【答案】B．【解析】根据平行线的性质得出∠1=∠AED，推出∠AED=∠2，根据平行线的判定推出即可．解：AE∥DC，理由是：∵AB∥DE，∴∠1=∠AED，∵∠1=∠2，∴∠AED=∠2，∴AE∥DC，故选B．【考点】平行线的判定与性质．42.如图B、C两点把线段AD分成2：3：4三部分，M是AD的中点，CD=8，求MC的长．【答案】1．【解析】设AB为2x，则CD=4x=8，得出x=2，再利用MC=MD﹣CD求解．解：设AB=2x，BC=3x，CD=4x，∴AD=9x，MD=x，则CD=4x=8，x=2，MC=MD﹣CD=﹣4x==×2=1．【考点】比较线段的长短．43.一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是．【答案】四棱锥．【解析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．解：如图所示：这个几何体是四棱锥；故答案为：四棱锥．【考点】几何体的展开图．44.把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式．【答案】如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【解析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．【考点】命题与定理．45.如图，在所标识的角中，同位角是（）A．∠1和∠2B．∠1和∠3C．∠1和∠4D．∠2和∠3【答案】C【解析】同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角．解：根据同位角、邻补角、对顶角的定义进行判断，A、∠1和∠2是邻补角，故A错误；B、∠1和∠3是邻补角，故B错误；C、∠1和∠4是同位角，故C正确；D、∠2和∠3是对顶角，故D错误．故选：C．【考点】同位角、内错角、同旁内角．46.如图所示，直线a∥b，则∠A= 度．【答案】22【解析】依题意由平行线的性质，结合三角形外角及外角性质，可以得到∠A=∠C﹣∠B，易求∠A的度数．解：∵a∥b，∴∠ADE=50°，∵∠ABE=28°，根据三角形外角及外角性质，∴∠A+∠ABE=∠ADE，∴∠A=∠C﹣∠B=22°．∴∠A=22°．【考点】三角形的外角性质；平行线的性质；三角形内角和定理．47.如图，不能推出a∥b的条件是（）A．∠1=∠3B．∠2=∠4C．∠2=∠3D．∠2+∠3=180°【答案】C【解析】在复杂的图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．解：A、∵∠1和∠3为同位角，∠1=∠3，∴a∥b；故本选项正确，不符合题意；B、∵∠2和∠4为内错角，∠2=∠4，∴a∥b；故本选项正确，不符合题意；C、∵∠2与∠3是同旁内角，∴∠2=∠3，不能证明两直线平行；故本选项错误，符合题意；D、∵∠2和∠3为同位角，∠2+∠3=180°，∴a∥b．故本选项正确，不符合题意；故选C．【考点】平行线的判定．48.若一个多边形每一个内角都是135º，则这个多边形的边数是（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】设多边形的边数为n，则=135，解得：n=8【考点】多边形的内角.49.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°．（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数．（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B=30°，∠C=60°则∠EAD= °；当∠B=50°，∠C=60°时，则∠EAD= °；当∠B=60°，∠C=60°时，则∠EAD= °；当∠B=70°，∠C=60°时，则∠EAD= °．（3）若∠B和∠C的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．【答案】（1）、∠CAD=30°，∠AEC=70°，∠EAD=20°；（2）、15°，5°，0°，5°；（3）、当α＜β时，∠EAD=（β﹣α）°；当α＞β时，∠EAD=（α﹣β）°【解析】（1）、根据∠B和∠C的度数得出∠BAC的度数，根据角平分线的性质得出∠EAC的度数，根据高线的性质得出∠CAD的度数，根据∠EAD=∠EAC﹣∠DAC、∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠C得出角度；（2）、根据∠EAD=∠EAC﹣∠DAC或者∠EAD=∠DAC﹣∠EAC求出角度；（3）、当α＜β时，根据∠EAD=∠EAC﹣∠DAC得出角度；当α＞β时，根据∠EAD=∠DAC﹣∠EAC得出角度.试题解析：（1）、∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣20°﹣60°=100°，∵AE是角平分线，∴∠EAC=50°，∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=30°，∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=50°﹣30°=20°，∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠C=180°﹣50°﹣60°=70°；（2）、①∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=45°﹣30°=15°；②∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=35°﹣30°=5°；③∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=30°﹣30°=0°；④∠EAD=∠DAC﹣∠EAC=30°﹣25°=5°；（3）当α＜β时，∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=[（90﹣）°﹣（90°﹣β°）]=（β﹣α）°当α＞β时，∴∠EAD=∠DAC﹣∠EAC=[（90°﹣β°）﹣（90﹣）°]=（α﹣β）°【考点】（1）、角度的计算；（2）、分类讨论思想.50.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．（1）求∠F的度数；（2）若CD=2，求DF的长．【答案】（1）、30°；（2）、4.【解析】（1）、根据等边三角形的性质得出∠B=60°，根据DE∥AB得出∠EDC=60°，根据垂直得出∠DEF=90°，根据三角形内角和定理可得∠F的度数；（2）、根据∠ACB=∠EDC=60°得出△EDC为等边三角形，则ED=DC=2，根据∠DEF=90°，∠F=30°得出DF=2DE=4.试题解析：（1）、∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°﹣∠EDC=30°（2）、∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2，∵∠DEF=90°，∠F=30°∴DF=2DE=4．【考点】等边三角形的性质51.探究：如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，直线l3有一点P，（1）若点P在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化，并说明理由．（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？并说明理由．【答案】（1）∠APB=∠PAC+∠PBD，理由见解析；（2）当点P在C、D两点的外侧运动,且在l1上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB；当点P在C、D两点的外侧运动,且在l2下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB.理由见解析.【解析】（1）过点P作PE∥l1根据l1∥l2得出PE∥l2∥l1,从而得出∠PAC=∠1,∠PBD=∠2，然后得出答案；（2）分点P在C、D两点的外侧运动，在l1上方和在l2下方时两种情况，分别根据（1）的方法得出答案.试题解析：（1）当点P在C、D之间运动时,∠APB=∠PAC+∠PBD．理由如下：过点P作PE∥l1,∵l1∥l2,∴PE∥l2∥l1,∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；（2）ⅰ）当点P在C、D两点的外侧运动,且在l1上方时,∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下：∵l1∥l2,∴∠PEC=∠PBD,∵∠PEC=∠PAC+∠APB, ∴∠PBD=∠PAC+∠APB．ⅱ）当点P在C、D两点的外侧运动,且在l2下方时,∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下：∵l1∥l2,∴∠PED=∠PAC,∵∠PED=∠PBD+∠APB,∴∠PAC=∠PBD+∠APB．【考点】平行线的性质52.一个六边形ABCDEF纸片上剪去一个角∠BGD后，得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°则∠BGD= ．【答案】80°【解析】由多边形的内角和公式，即可求得六边形ABCDEF的内角和，又由∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°，即可求得∠GBC+∠C+∠CDG的度数，继而求得答案．解：∵六边形ABCDEF的内角和为：180°×（6﹣2）=720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=440°，∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°﹣440°=280°，∴∠BGD=360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）=80°．故答案为：80°．53.如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．（适当添加辅助线，其实并不难）【答案】见解析【解析】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．解：如图：（1）∠APC=∠PAB+∠PCD；证明：过点P作PF∥AB，则AB∥CD∥PF，∴∠APC=∠PAB+∠PCD（两直线平行，内错角相等）．（2）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（3）∠APC=∠PAB﹣∠PCD；（4）∵AB∥CD，∴∠POB=∠PCD，∵∠POB是△AOP的外角，∴∠APC+∠PAB=∠POB，∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．54.在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（）A．1枚B．2枚C．3枚D．任意枚【答案】B【解析】解：∵两点确定一条直线，∴至少需要2枚钉子．故选B．55.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】利用平行线的判定方法判断即可．解：如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B56.如图，已知∠BOC=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=20°，求∠AOB的度数．【答案】120°【解析】设∠AOC=x，则∠BOC=2x，∠AOB=3x．先由角平分线的定义得出∠AOD=，再根据∠AOD﹣∠AOC=∠COD=20°，列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到∠AOB的度数．解：设∠AOC=x，则∠BOC=2∠AOC=2x，∠AOB=∠BOC+∠AOC=3x．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠AOB=．又∵∠AOD﹣∠AOC=∠COD=20°，∴﹣x=20°，解得x=40°，∴∠AOB=3x=120°．57.以点A为顶点作两个等腰直角三角形（△ABC，△ADE），如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD，CE．（1）说明BD=CE；（2）延长BD，交CE于点F，求∠BFC的度数；（3）若如图2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．【答案】（1）见解析；（2）90°；（3）成立，见解析【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC，则BD=CE；（2）由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°﹣∠ACE﹣∠CDF=180°﹣∠DBA﹣∠BDA=∠DAB=90°；（3）与（1）一样可证明△ADB≌△AEC，得到BD=CE，∠ACE=∠DBA，利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠CAB=90°．解：（1）∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAD=∠EAC=90°，AD=AE，∵在△ADB和△AEC中，，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∴BD=CE ；（2）∵△ADB ≌△AEC ，∴∠ACE=∠ABD ，而在△CDF 中，∠BFC=180°﹣∠ACE ﹣∠CDF又∵∠CDF=∠BDA∴∠BFC=180°﹣∠DBA ﹣∠BDA=∠DAB=90°；（3）BD=CE 成立，且两线段所在直线互相垂直，即∠BFC=90°．理由如下：∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形 ∴AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠EAD=90°， ∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ∴∠BAD=∠CAE ，∵在△ADB 和△AEC 中，，∴△ADB ≌△AEC （SAS ） ∴BD=CE ，∠ACE=∠DBA ，∴∠BFC=∠CAB=90°．58. 如图，已知直线l 1∥l 2，且l 3和l 1、l 2分别交于A 、B 两点，点P 在AB上．（1）试找出∠1、∠2、∠3之间的关系并说出理由；（2）如果点P 在A 、B 两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化？（3）如果点P 在A 、B 两点外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P 和A 、B 不重合）【答案】见解析【解析】（1）过点P 作l 1的平行线，根据平行线的性质进行解题．（2）（3）都是同样的道理．解：（1）∠1+∠2=∠3；理由：过点P 作l 1的平行线， ∵l 1∥l 2， ∴l 1∥l 2∥PQ ， ∴∠1=∠4，∠2=∠5，（两直线平行，内错角相等） ∵∠4+∠5=∠3， ∴∠1+∠2=∠3；（2）同（1）可证：∠1+∠2=∠3；（3）∠1﹣∠2=∠3或∠2﹣∠1=∠3理由：当点P 在下侧时，过点P 作l 1的平行线PQ ， ∵l 1∥l 2， ∴l 1∥l 2∥PQ ， ∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，（两直线平行，内错角相等） ∴∠1﹣∠2=∠3；当点P在上侧时，同理可得：∠2﹣∠1=∠3．59.如图：AB、CD相交于点O，OB平分∠DOE，若∠DOE=64°，则∠AOC的度数是．【答案】32°【解析】首先根据角平分线的定义求得∠BOD，然后根据对顶角相等即可求解．解：∵OB平分∠DOE，∴∠BOD=∠DOE=32°，∴∠AOC=∠BOD=32°．故答案是：32°．60.完成下列证明：如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2．求证：DG∥BA．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠EFB=∠ADB=90°（）∴EF∥AD（）∴∠1=∠BAD（）又∵∠1=∠2（已知）∴（等量代换）∴DG∥BA．（）【答案】见解析【解析】由垂直得直角，这是利用了垂直的定义，再由平行线的判定填第2和第5空，由平行线的性质填第3空，第4空有等量代换可得∠BAD=∠2．证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）∴∠EFB=∠ADB=90°（垂直定义）∴EF∥AD（同位角相等，两直线平行）∴∠1=∠BAD（两直线平行，同为角相等）又∵∠1=∠2（内错角相等，两直线平行）∴∠BAD=∠2（等量代换）∴DG∥BA．（内错角相等，两直线平行）。

初一数学图形与证明试题答案及解析1.用圆规、直尺作出下图：（保留痕迹，不写作法）【答案】方法正确7分，结论1分【解析】分析：首先作AB的垂直平分线NM，交AB于点O，以AO的长为半径，分别以A，B，C，D为圆心作弧即可得出图形．解答：解：如图所示：点评：此题主要考查了作图与应用作图中，解决问题的关键是作出正方形，进而作出一边垂直平分线，题目应用较广同学们应学会这种图形作法．2.下列图形中不可以折叠成正方体的是（）A． B C D【答案】C【解析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．A，B，D都可以折叠成正方体，只有C有两个面重合，不能围成正方体．故选C．【考点】正方体及其表面展开图3.（9分）如图，已知∠AOB是直角，∠BOC＝600， OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．（1）求∠EOF的度数；（2）若将条件“∠AOB是直角，∠BOC＝600”改为：∠AOB＝ x0，∠EOF＝y0，条件不变．①则请用x的代数式来表示y．②如果∠AOB+∠EOF＝1560．则∠EOF是多少度？【答案】（1）45°;m（2）①y=x，②52°．【解析】（1）根据角平分线的定义和角的和差倍分的关系即可求得∠EOF的度数；（2）①把（1）中的数字换成字母即可解得x与y的关系；②根据x+y=156°，y=x即可解得x、y的值．试题解析：（1）∵∠AOB=90°，∠BOC=60°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC= （∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB=×=90°=45°．（2）①∵∠AOB=x°，∠EOF=y°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．∴∠EOF=∠EOC-∠FOC=∠AOC-∠BOC= （∠AOB+∠BOC）-∠BOC=∠AOB．即y=x．②∵∠AOB+∠EOF=156°．则x+y=156°，又∵y=x．代入解得x=104°，y=52°．即∠EOF=52°．【考点】角平分线的性质；角的计算．4.如图，△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=35°，则∠B的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．65°【答案】C【解析】∵DE∥BC，∴∠C=∠1=35°，∵∠A=90°，∴∠B=90°－∠C=90°－35°=55°．故选C．【考点】1．平行线的性质；2．直角三角形的性质．5.（本题8分）如图，若AE是△ABC边上的高，∠EAC的角平分线AD交BC于D，∠ACB=40°，求∠ADE．【答案】65°．【解析】应用三角形内角和定理求出∠EAC的度数，再应用角平分线的定义求得∠DAE的度数，应用三角形内角和定理求得∠ADE的度数．试题解析：解：因为AE是△ABC的高，所以∠AEC=90°，由三角形内角和定理得∠EAC=90°-40°=50°，因为AD平分∠EAC，所以∠EAD=25°，所以∠ADE=90°-25°=65°．【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．6.下面各图中，∠1、∠2互为邻补角的是：【答案】D．【解析】有公共顶点，相邻且互补的两个角互为邻补角，A没有公共顶点，B不互补，C不相邻，故选D．【考点】邻补角定义．7.（本题满分10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F．（1）CD与EF平行吗？并说明理由；（2）若∠A=70°，求∠FEC的度数．【解析】（1）根据垂线的定义得∠CDB=∠FEB=90°，后根据同位角相等，两直线平行，可以得到EF∥CD；（2）先根据角平分线的定义得∠ACE=45°，再利用互余计算出∠ACD=90°-∠A=20°，则∠ECD=∠ACE-∠ACD=25°，然后根据平行线的性质求解．试题解析：（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠CDB=∠FEB=90°，∴EF∥CD；（2）解：∵∠ACB=90°，CE平分∠ACB交AB于E，∴∠ACE=45°，∵∠A=70°，∴∠ACD=90°﹣70°=20°，∴∠ECD=∠ACE﹣∠ACD=25°，∵EF∥CD，∴∠FEC=∠ECD=25°．【考点】垂直的意义，角平分线，平行线判定8.（本题满分12分）如图（1），四边形ABCD中，AD∥BC，点E是线段CD上一点，（1）说明：∠AEB=∠DAE+∠CBE；（2）如图（2），当AE平分∠DAC，∠ABC=∠BAC．①说明：∠ABE+∠AEB=900；②如图（3）若∠ACD的平分线与BA的延长线交于点F，且∠F=600，求∠BCD．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BCD=600【解析】（1）如图（1），过点E作EF∥BC，交AB于F．根据平行线的性质可证得结论；（2）①如图（2），根据平行线的性质和互为补角，角平分线的性质可证；②根据平行线的性质和角平分线的性质，可求结果．试题解析：解：（1）如图（1），过点E作EF∥BC，交AB于F．∵EF∥BC，AD∥BC∴EF∥AD∥BC∴∠DAE=∠AEF，∠CBE=∠BEF∴∠AEF+∠BEF=∠DAE+∠CBE∵∠AEB=∠AEF+∠BEF∴∠AEB=∠DAE+∠CBE．（2）如图（2）∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°∵∠ABC=∠BAC，∠ACB=2∠DAE∴2∠ABC+2∠DAE=180°即∠ABC+∠DAE=90°∠ABC=∠ABE+∠CBE由（1）得∠AEB=∠DAE+∠CBE∴∠ABE+∠AEB=90°．（3）∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-2∠BAC∵∠BAC=∠F+∠ACF∴∠ACB=180°-2（∠F+∠ACF）=180°-2×60°-2∠ACF∵CF平分∠ACD∴∠ACD=2∠ACF即∠ACB=180°-2×60°-∠ACD得∠ACB+∠ACD=60°即∠BCD=60°．【考点】平行线的性质，角平分线的性质，互为补角9.小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后展开得到（）【答案】B．【解析】观察图形可得，剪去一个小正方形，得到四个小正方形，每两个小正方形构成一个矩形，并且这个矩形关于正方形纸片的一条对角线对称，只有选项B符合要求，故答案选B．【考点】翻折变换．10.如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是（）A．20B．30C．40D．10【答案】A【解析】根据图形可得：阴影部分的面积====×（100－60）=20．【考点】代数的计算．11.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是 .【答案】25°．【解析】如图，根据平行线的性质可得∠1=∠3=20°，由题意知∠3+∠2=45°，所以∠2=25°．【考点】平行线的性质.12.如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是．【答案】三角形的稳定性【解析】注意能够运用数学知识解释生活中的现象，考查三角形的稳定性．一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．【考点】三角形的稳定性13.（3分）下面是一个正方体纸盒的展开图，请把－10，7，10，－2，－7，2分别填入六个正方形，使得按虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数。