中考数学专题6：图形与证明

专题六勾股定理模型26 “勾股树”模型故事“勾股树”毕达哥拉斯树(如图), 也叫“勾股树”. 是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形. 又因为重复数次后的形状好似一棵树, 所以被称为毕达哥拉斯树. 重复的次数越多, 毕达哥拉斯树的“枝千”就越茂密.模型展现基础模型勾股定理: 222a b c+=.勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a,,b c满足222a b c+=或222a c b+=或222b c a+=,那么这个三角形是直角三角形在直角三角形外，分别以三边作同样图形，可得下面结论作等边三角形作半圆作等腰直角三角形作正方形（毕达哥拉斯树的起始图形）怎么用?1. 找模型分别以直角三角形三边为边作相同图形2. 用模型根据勾股定理的关系及等式性质求解, 常用来解决面积问题结论分析：结论: 123S S S +=以作等边三角形为例.证明: 如解图, 过点 D 作 DM AC ⊥ 于点 M ,ACD 是等边三角形, 12AM MC b ∴==, 在 Rt ADM 中, 3tan tan602DM AM DAC AM b ∠=⋅=⋅=, 2111332224S DM AC b b b ∴=⋅⋅=⋅⋅=, 同理可得, 222333,44S a S c ==, ()222212333444S S a b a b ∴+=+=+, Rt ABC 满足 222a b c +=,()222123344S S a b c ∴+=+=.123.S S S ∴+=拓展延伸其余图形的证明, 均是用面积的计算, 然后求和即可, 同学们可以参考给出的证明过程, 自行完成.满分技法以三边分别为边作相同的图形, 解题的基本思想是勾股定理, 但所作图形的性质也是解题的关键.勾股数中常见图形面积公式:1 ;2S =⨯⨯三角形底高2 S =等边三角形边长； 21;2360n r S π=⨯半圆 2 S =正方形边长典例小试例 1 如图,和 AC 为直径的半圆的面积（与模型的作图方法一致）, 则123,S S S 和满足的关系式（求面积，可使用结论）为（ ）A . 123S S S +=B . 123S S S =+C . 123S S S >+D . 123S S S =⋅考什么？圆的面积计算，勾股定理思路点拨满足模型，选填项目中，可直接使用结论，高效解题。

数学九年级（上）第一章知识点归纳总结1.1 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

等腰三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。

1.2 直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简称“HL”）。

角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半。

1.3 平行四边形的性质与判定：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

定理1：平行四边形的对边相等。

定理2：平行四边形的对角相等。

定理3：平行四边形的对角线互相平分。

判定——从边：1两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

3两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

从角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

矩形的性质与判定：定义：有一个角的直角的平行四边形是矩形。

定理1：矩形的4个角都是直角。

定理2：矩形的对角线相等。

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：1有三个角是直角的四边形是矩形。

2对角线相等的平行四边形是矩形。

菱形的性质与判定：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

定理1：菱形的4边都相等。

定理2：菱形的对角线相互垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

判定：1四条边都相等的四边形是菱形。

2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形的性质与判定：正方形的4个角都是直角，4条边都相等，对角线相等且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

正方形即是特殊的矩形，又是特殊的菱形，它具有矩形和菱形的所有性质。

判定：1有一个角是直角的菱形是正方形。

常见尺规作图及证明课程名称授课教师年级日期学科时段数学1.掌握常见的尺规作图方法；教学目标2.能够对所作的图形进行作图原理的简单的探究和完成相关的计算及证明知识导图课首小测1. [单选题] 如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）A. B. D.C.2. [单选题] 如图，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B为圆心，大于线段AB 长度一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知，四边形ADBC一定是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形3.已知⊙O为△ABC的外接圆，圆心O在AB上．（1）在图1中，用尺规作图作∠BAC的平分线AD交⊙O于D（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设∠BAC的平分线AD交BC于E，⊙O半径为5，AC=4，连接OD交BC于F．①求证：OD⊥BC；②求EF的长．导学一知识点讲解1：角平分线尺规作图类型例题1.如图，AC 是⊙O 的直径，点B 在⊙O 上，∠ACB=30°．（1）利用尺规作∠ABC 的平分线BD ，交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，连接CD （保留作图痕迹，不写作 法）；（2）在（1）所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比．我爱展示我爱展示题1. Rt ABCACB=90° AC 1AAC E AB F E F1/2EF Rt ABCM AE BCAD D 2 BAC知识点讲解2：垂直平分线作图类型例题1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连结MN，与AC、BC分别交于点D、E，连结AE，则：（1）∠ADE= （2）AE；EC；（填“=”“＞”或“＜”）（3）当AB=3，AC=5时，△ABE的周长=2.如图，AC是平行四边形ABCD的对角线.利用尺规作出AC的垂直平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；设AC的垂直平分线分别与AB、AC、CD交于点E、O、F，求证：OE=OF.我爱展示我爱展示题1.如图，BC与CD重合，∠ABC＝∠CDE＝90°，△ABC≌△CDE，并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是．2. [单选题] 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（）A.勾股定理B.直径所对的圆心角是直角C.勾股定理的逆定理D.90°的圆周角所对的弦是直径导学二知识点讲解1：与圆有关的尺规作图例题1.如图，在△ABC中，先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，再以AC边上的一点O为圆心，过A，D两点作⊙O（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）2.已知△ABC中，∠C=90°，请利用尺规作出△ABC的内切圆O（不写作法，请保留作图痕迹）．3.图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于______ ．我爱展示我爱展示题1. [单选题] 数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l于点Q．”分别作出了下列四个图形．其中作法错误的是（）B. C.A. D.2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠BCA的角平分线，交AB于点O；（2）以O为圆心，OB为半径作圆．（3）AC与⊙O的位置关系是____ （直接写出答案）（4）若BC=6，AB=8，求⊙O的半径．3.某公园管理人员在巡视公园时，发现有一条圆柱形的输水管道破裂，通知维修人员到场检测，维修员画出水平放置的破裂管道有水部分的截面图（如图9）.（1）请你帮忙补全这个输水管道的圆形截面（不写作法，但应保留作图痕迹）；（2）维修员量得这个输水管道有水部分的水面宽AB= 水面最深地方的高度为6cm，请你求出这个圆形截面的半径及破裂管道有水部分的截面图的面积S。

专题六四边形与三角形的综合毕节中考备考攻略纵观近4年毕节中考数学试卷,四边形与三角形的综合是每年的必考考点,其中2015年第24题综合考查平行四边形和直角三角形；2016年第25题综合考查菱形和三角形全等；2017年第24题综合考查平行四边形与三角形相似、解直角三角形；2018年第24题综合考查平行四边形、三角形和菱形.预计2019年将继续综合考查四边形与三角形.熟练掌握特殊四边形的性质与判定、特殊三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质,掌握三角形中位线和梯形中位线性质的推导和应用,会画出四边形全等变换后的图形.解决问题时必须充分利用几何图形的性质及在题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用各种数学方法.中考重难点突破四边形与特殊三角形例1 如图,在四边形ABCD 中,AB ∥DC,AB ＝AD,对角线AC,BD 交于点O,AC 平分∠BAD ,过点C 作CE⊥AB 交AB 的延长线于点E,连接OE.(1)求证：四边形ABCD 是菱形； (2)若AB ＝5,BD ＝2,求OE 的长.【解析】(1)先判断出∠OAB＝∠DCA,进而判断出∠DAC＝∠DCA ,得出CD ＝AD ＝AB,即可得出结论； (2)先判断出OE ＝OA ＝OC,再求出OB ＝1,利用勾股定理求出OA,即可得出结果. 【答案】(1)证明：∵AB∥CD ,∴∠CAB ＝∠ACD. ∵AC 平分∠BAD ,∴∠CAB ＝∠CAD , ∴∠CAD ＝∠ACD ,∴AD ＝CD. 又∵AD＝AB,∴AB ＝CD.又∵AB∥CD ,∴四边形ABCD 是平行四边形. 又∵AB＝AD,∴四边形ABCD 是菱形； (2)解：∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD,OA ＝OC ＝12AC,OB ＝OD ＝12BD ＝1.在Rt △AOB 中,∠AOB ＝90°,∴OA ＝AB 2－OB 2＝2. ∵CE ⊥AB,∴∠AEC ＝90°. 在Rt △AEC 中,O 为AC 中点, ∴OE ＝12AC ＝OA ＝2.四边形与三角形全等例2 (2018·张家界中考)在矩形ABCD 中,点E 在BC 上,AE ＝AD,DF ⊥AE,垂足为点F. (1)求证：DF ＝AB ；(2)若∠FDC＝30°,且AB ＝4,求AD.【解析】(1)利用“AAS ”证△ADF≌△EAB 即可得证；(2)由∠ADF＋∠FDC＝90°,∠DAF ＋∠ADF＝90°得∠FDC＝∠DAF＝30°,据此知AD ＝2DF,根据DF ＝AB 可得答案.【答案】(1)证明：在矩形ABCD 中,AD ∥BC, ∴∠AEB ＝∠DAF.又∵DF⊥AE ,∴∠DFA ＝90°,∴∠DFA ＝∠B. 又∵AD＝EA,∴△ADF ≌△EAB,∴DF ＝AB ；(2)解：∵∠ADF＋∠FDC ＝90°,∠DAF ＋∠ADF＝90°,∴∠FDC ＝∠DAF＝30°,∴AD ＝2DF.∵DF ＝AB ＝4,∴AD ＝2AB ＝8.四边形与三角形相似例3 (2018·资阳中考)已知：如图,在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,点M 是斜边AB 的中点,MD ∥BC,且MD ＝CM,DE ⊥AB 于点E,连接AD,CD.(1)求证：△MED∽△BCA； (2)求证：△AMD≌△CMD；(3)设△MDE 的面积为S 1,四边形BCMD 的面积为S 2,当S 2＝175S 1时,求cos ∠ABC 的值.【解析】(1)易证∠DME＝∠CBA ,∠ACB ＝∠DE M ＝90°,从而可证明△MED∽△BCA；(2)由∠ACB＝90°,点M 是斜边AB 的中点,可知BM ＝CM ＝AM,又由MD∥BC 可证明∠AMD＝∠CMD ,从而可利用全等三角形的判定方法证明△AMD≌△CMD；(3)易证DM ＝12AB,由(1)可知△MED∽△BCA ,所以S 1S △ACB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DM AB 2＝14,所以S △MCB ＝12S △ACB ＝2S 1,从而可求出S △EBD ＝S 2－S △MCB －S 1＝25S 1,由于S 1S △EBD ＝ME EB ,从而可知ME BE ＝52,设ME ＝5x,EB ＝2x,从而用x 表示出AB,BC,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.【答案】(1)证明：∵MD∥BC ,∴∠DME ＝∠CBA. ∵∠ACB ＝∠DEM＝90°,∴△MED ∽△BCA ； (2)证明：∵∠ACB＝90°,点M 是斜边AB 的中点, ∴BM＝CM ＝AM,∴∠MCB ＝∠MBC. ∵∠DMB ＝∠MBC , ∴∠MCB ＝∠DMB＝∠MBC. ∵MD ∥BC,∴∠CMD ＝180°－∠MCB. 又∵∠AMD＝180°－∠DMB , ∴∠AMD ＝∠CMD. 在△AMD 与△CMD 中, ⎩⎪⎨⎪⎧MD ＝MD ，∠AMD ＝∠CMD，AM ＝CM ，∴△AMD ≌△CMD(SAS )；(3)解：∵DM＝CM,∴AM ＝CM ＝DM ＝BM, ∴DM ＝12AB.由(1)可知△MED∽△BCA ,∴S 1S △ACB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DM AB 2＝14,∴S △ACB ＝4S 1. ∵CM 是△ACB 的中线,∴S △MCB ＝12S △ACB ＝2S 1,∴S △EBD ＝S 2－S △MCB －S 1＝25S 1,∴S 1S △EBD ＝ME EB ,∴S 125S 1＝ME EB ,∴ME EB ＝52. 设ME ＝5x,EB ＝2x,则BM ＝7x, ∴AB ＝2BM ＝14x. ∵MD AB ＝ME BC ＝12,∴BC ＝10x, ∴cos ∠ABC＝BC AB ＝10x 14x ＝57.1.(2018·贺州中考)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°,O,D 分别是边AC,AB 的中点,过点C 作CE ∥AB 交DO 的延长线于点E,连接AE.(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若四边形AECD 的面积为24,tan ∠BAC ＝34,求BC 的长.(1)证明：∵点O 是AC 的中点,∴OA ＝OC.∵CE ∥AB,∴∠DAO ＝∠ECO. 又∵∠AOD＝∠COE ,∴△AOD ≌△COE(ASA ),∴AD ＝CE, ∴四边形AECD 是平行四边形. 又∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线, ∴CD ＝AD ＝12AB,∴四边形AECD 是菱形；(2)由(1)知,四边形AECD 是菱形,∴AC ⊥ED.在Rt △AOD 中,tan ∠DAO ＝OD OA ＝tan ∠BAC ＝34,可设OD ＝3x,OA ＝4x, 则ED ＝2OD ＝6x,AC ＝2OA ＝8x.由题意可得12·6x·8x＝24,∴x ＝1,∴OD ＝3.∵O,D 分别是AC,AB 的中点, ∴OD 是△ABC 的中位线, ∴BC ＝2OD ＝6.2.(2018·盐城中考)在正方形ABCD 中,对角线BD 所在的直线上有两点E,F 满足BE ＝DF,连接AE,AF,CE,CF,如图.(1)求证：△AB E≌△ADF；(2)试判断四边形AECF 的形状,并说明理由. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形,∴AB ＝AD, ∴∠ABD ＝∠ADB ,∴∠ABE ＝∠ADF. 在△ABE 与△ADF 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS )； (2)解：四边形AECF 是菱形. 理由：连接AC,交BD 于点O. ∵四边形ABCD 是正方形, ∴OA ＝OC,OB ＝OD,AC ⊥EF, ∴OB ＋BE ＝OD ＋DF,即OE ＝OF. ∵OA ＝OC,OE ＝OF,∴四边形AECF 是平行四边形, 又∵AC⊥EF ,∴四边形AECF 是菱形.3.(2018·湖州中考) 已知在Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AB ≥AC,D,E 分别为AC,BC 边上的点(不包括端点),且DC BE ＝ACBC＝m,连接AE,过点D 作DM ⊥AE,垂足为点M,延长DM 交AB 于点F. (1)如图1,过点E 作EH⊥AB 于点H,连接DH.①求证：四边形DHEC 是平行四边形； ②若m ＝22,求证：AE ＝DF ； (2)如图2,若m ＝35,求DFAE的值.(1)证明：①∵EH⊥AB ,∠BAC ＝90°, ∴EH ∥CA,∴△BHE ∽△BAC,∴BE BC ＝HEAC .∵DC BE ＝AC BC ,∴BE BC ＝DC AC ,∴HE AC ＝DC AC, ∴HE ＝DC.∵EH ∥DC,∴四边形DHEC 是平行四边形； ②∵AC BC ＝22,∠BAC ＝90°,∴AC ＝AB.∵DC BE ＝22,HE ＝DC,∴HE BE ＝22. 又∵∠BHE＝90°,∴BH ＝HE. ∵HE ＝DC,∴BH ＝CD,∴AH ＝AD. ∵DM ⊥AE,EH ⊥AB, ∴∠EHA ＝∠AMF＝90°,∴∠HAE ＋∠HEA＝∠HAE＋∠AFM＝90°, ∴∠HEA ＝∠AFD.∵∠EHA ＝∠FAD＝90°,∴△HEA ≌△AFD,∴AE ＝DF ； (2)解：过点E 作EG⊥AB 于点G.∵CA ⊥AB,∴EG ∥CA,∴△EGB ∽△CAB, ∴EG CA ＝BE BC ,∴EG BE ＝CA BC ＝35. ∵CD BE ＝35,∴EG ＝CD. 设EG ＝CD ＝3x,AC ＝3y,则BE ＝5x,BC ＝5y, ∴BG ＝4x,AB ＝4y. ∵∠EGA ＝∠AMF＝90°, ∴∠GEA ＋∠EAG＝∠EAG＋∠AFM ,∴∠AFM＝∠AEG.∵∠FAD＝∠EGA＝90°,∴△FAD∽△EGA,∴DFAE＝ADAG＝3y－3x4y－4x＝34.毕节中考专题过关 1.(2018·乌鲁木齐中考)如图,在四边形ABCD 中,∠BAC ＝90°,E 是BC 的中点,AD ∥BC,AE ∥DC,EF ⊥CD 于点F.(1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若AB ＝6,BC ＝10,求EF 的长.(1)证明：∵AD∥BC ,AE ∥DC,∴四边形AECD 是平行四边形.∵∠BAC ＝90°,E 是BC 的中点,∴AE ＝CE ＝12BC,∴四边形AECD 是菱形；(2)解：过A 作AH⊥BC 于点H.∵∠BAC ＝90°,AB ＝6,BC ＝10,∴AC ＝102－62＝8.∵S △ABC ＝12BC·AH＝12AB·AC ,∴AH ＝6×810＝245.∵点E 是BC 的中点,BC ＝10,四边形AECD 是菱形,∴CD ＝CE ＝5.∵S ▱AECD ＝CE·A H ＝CD·EF ,∴EF ＝AH ＝245.2.(2018·青岛中考)已知：如图,▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点E,点G 为AD 的中点,连接CG,CG 的延长线交BA 的延长线于点F,连接FD.(1)求证：AB ＝AF ；(2)若AG ＝AB,∠BCD ＝120°,判断四边形ACDF 的形状,并证明你的结论.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB ∥CD,AB ＝CD,∴∠AFG ＝∠DCG.又∵GA＝GD,∠AGF ＝∠CGD ,∴△AGF ≌△DGC,∴AF ＝CD.∴AB ＝AF ；(2)解：四边形ACDF 是矩形.证明：∵AF＝CD,AF ∥CD,∴四边形ACDF 是平行四边形.∵四边形ABCD 是平行四边形,∴∠BAD ＝∠BCD＝120°.∴∠FAG ＝60°.∵AB ＝AG ＝AF,∴△AFG 是等边三角形,∴AG ＝GF.∵四边形ACDF 是平行四边形,∴FG ＝CG,AG ＝DG.∴AD＝CF.∴四边形ACDF 是矩形.3.已知：如图,四边形ABCD 中,AD ∥BC,AD ＝CD,E 是对角线BD 上一点,且EA ＝EC.(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC,且∠CBE∶∠BCE＝2∶3,求证：四边形ABCD 是正方形.证明：(1)在△ADE 与△CDE 中,⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE,∴∠ADE ＝∠CDE.∵AD ∥BC,∴∠ADE ＝∠CBD ,∴∠CDE ＝∠CBD ,∴BC ＝CD.∵AD ＝CD,∴BC ＝AD,∴四边形ABCD 为平行四边形.∵AD ＝CD,∴四边形ABCD 是菱形；(2)∵BE＝BC,∴∠BCE ＝∠BEC.∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3,∴∠CBE ＝180×22＋3＋3＝45°. ∵四边形ABCD 是菱形,∴∠ABE ＝∠CBE＝45°,∴∠ABC ＝90°,∴四边形ABCD 是正方形.4.(2018·眉山中考)如图①,在四边形ABCD 中,AC ⊥BD 于点E,AB ＝AC ＝BD,点M 为BC 的中点,N 为线段AM 上的点,且MB ＝MN.(1)求证：BN 平分∠ABE；(2)若BD ＝1,连接DN,当四边形DNBC 为平行四边形时,求线段BC 的长；(3)如图②,若点F 为AB 的中点,连接FN,FM,求证：△MFN∽△BDC.(1)证明：∵AB＝AC,∴∠ABC ＝∠ACB.∵M 为BC 的中点,∴AM ⊥BC.在Rt △ABM 中,∠MAB ＋∠ABC＝90°.在Rt △CBE 中,∠EBC ＋∠ACB＝90°,∴∠MAB ＝∠EBC.又∵MB ＝MN,∴△MBN 为等腰直角三角形,∴∠MNB ＝∠MBN＝45°,∴∠EBC ＋∠NBE＝45°,∠MAB ＋∠ABN＝∠MNB＝45°,∴∠NBE ＝∠ABN ,即BN 平分∠ABE；(2)解：设BM ＝CM ＝MN ＝a.当四边形DNBC 是平行四边形时,DN ＝BC ＝2a.在△ABN 和△DBN 中,⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DB ，∠NBD ＝∠NBA，BN ＝BN ，∴△ABN ≌△DBN(SAS ),∴AN ＝DN ＝2a.在Rt △ABM 中,由AM 2＋BM 2＝AB 2,得(2a ＋a)2＋a 2＝1,解得a ＝±1010(负值舍去),∴BC ＝2a ＝105；(3)证明：在Rt △MAB 中,F 是AB 的中点,∴MF ＝AF ＝BF,∴∠MAB ＝∠FMN.又∵∠MAB＝∠CBD ,∴∠FMN ＝∠DBC. ∵MFAB ＝MNBC ＝12,∴MF BD ＝MN BC ＝12,∴△MFN ∽△BDC.5.(2018·枣庄中考)如图,将矩形ABCD 沿AF 折叠,使点D 落在BC 边的点E 处,过点E 作EG∥CD 交AF 于点G,连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形；(2)探究线段EG,GF,AF 之间的数量关系,并说明理由；(3)若AG ＝6,EG ＝25,求BE 的长.(1)证明：∵GE∥DF ,∴∠EGF ＝∠DFG.由翻折的性质可知DG ＝EG,DF ＝EF,∠DGF ＝∠EGF ,∴∠DGF ＝∠DFG ,∴DG ＝DF,∴DG ＝EG ＝DF ＝EF,∴四边形EFDG 是菱形；(2)解：EG 2＝12GF·AF.理由：连接DE,交AF 于点O.∵四边形EFDG 是菱形,∴GF ⊥DE,OG ＝OF ＝12GF.∵∠DOF ＝∠ADF＝90°,∠OFD ＝∠DFA , ∴△DOF ∽△ADF,∴DF AF ＝OF DF ,即DF 2＝OF·AF.∵OF ＝12GF,DF ＝EG,∴EG 2＝12GF·AF；(3)解：过点G 作GH⊥DC ,垂足为点H. ∵EG 2＝12GF·AF ,AG ＝6,EG ＝25,即GF 2＋6GF －40＝0,解得GF ＝4,GF ＝－10(舍去).∵DF ＝EG ＝25,AF ＝AG ＋GF ＝10, ∴AD ＝AF 2－DF 2＝4 5.∵GH ⊥DC,AD ⊥DC,∴GH ∥AD, ∴△FGH ∽△FAD,∴GH AD ＝GF AF ,即GH 45＝410,∴GH ＝855.∴BE ＝AD －GH ＝45－855＝1255.。

南昌市中考数学专题题型复习06：四边形有关的计算与证明姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、解答题 (共12题；共71分)1. （10分）如图，已知AB=AC，AD=AE，BE与CD相交于O，求证：△ABE≌△ACD．2. （5分）(2017·绿园模拟) 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC 的延长线于点E．若点F是AE的中点，求证：BF⊥AF．3. （5分）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为AB的中点，DE⊥AB．（1）求∠ABC的度数；（2）如果AC=4，求DE的长．4. （6分） (2018八下·瑶海期中) 如图，将矩形ABCD（纸片）折叠，使点B与AD边上的点K重合，EG为折痕；点C与AD边上的点K重合，FH为折痕．已知∠1=67.5°，∠2=75°，EF= +1，求BC的长．5. （5分）如图，已知△ABC和直线m ，画出与△ABC关于直线m对称的图形（不要求写出画法，但应保留作图痕迹）6. （5分） (2020九上·岐山期末) 如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，延长AB至点F，使BF=AE，连接BE、CF求证：BE=CF。

7. （5分）在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证：CH=EH．8. （5分）(2017·吴忠模拟) 如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AF，AE，CE，CF，请你判断四边形AECF的形状，并证明你的结论．9. （10分） (2015八下·嵊州期中) 如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB=24cm，DC=10cm，点P和Q同时从D、B出发，P由D向C运动，速度为每秒1cm，点Q由B向A运动，速度为每秒3cm，试求几秒后，P、Q和梯形ABCD 的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？10. （5分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．11. （5分）(2016·鄞州模拟) 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD并于点O，经过点O的直线交AB于E，交CD于F．（1）求证：OE=OF．（2）连接DE，BF，则EF与BD满足什么条件时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．12. （5分） (2016九上·长春期中) 如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，P为上一点，连接AP，CP，求∠P的度数．二、综合题 (共27题；共278分)13. （10分）(2018·沧州模拟) 如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：（1）求证：△BEF∽△DCB；（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．14. （10分）(2015·宁波模拟) 【试题背景】已知:l ∥m∥n∥k，平行线l与m、m与n、n与k之间的距离分别为d1、d2、d3 ，且d1 =d3 = 1，d2 = 2 ．我们把四个顶点分别在l、m、n、k这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”．（1）【探究1】如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，BE L于点E,BE的反向延长线交直线k于点F．求正方形ABCD的边长．（2）【探究2】矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽 = 2 ：1 ，求矩形ABCD的宽（3）【探究3】如图2，菱形ABCD为“格线四边形”且∠ADC=60°，△AEF是等边三角形，于点E，∠AFD=90°，直线DF分别交直线l、k于点G、M．求证：EC=DF．（4）【拓展】如图3，l ∥k，等边三角形ABC的顶点A、B分别落在直线l、k上，于点B，且AB=4 ，∠ACD=90°，直线CD分别交直线l、k于点G、M，点D、E分别是线段GM、BM上的动点，且始终保持AD=AE，于点H．猜想：DH在什么范围内，BC∥DE？直接写出结论。

专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的母子模型与A （X ）字模型．模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。

“ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理） “母子型”的变形斜射影结论：△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .双垂直结论：①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA . 1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）A ．B ．1:2C ．1:3D ．1:42．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF =DN 的长．3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF 与ABC 互为母子三角形，则DE AB的值可能为（ ） A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC 中，AD 是BAC ∠的角平分线，2,AB AD ADE B =∠=∠．求证：ABD △与ADE 互为母子三角形．（3）如图2，ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE 与ADC 互为母子三角形．求AG GF 的值．4．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，CD∠AB ．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB ＝5，AC ＝4，请你求出CD 的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，使以点B、P、Q为顶点的三角形与∠ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．模型2. “A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，∠ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已知四边形BFED是平行四边形，DE1BC4=．(1)若8AB=，求线段AD的长．(2)若ADE的面积为1，求平行四边形BFED的面积．3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC的值． (3)如图3，在ABCD 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC 中，4AB AC BC ===，D ，E ，F 分别为,,AC AB BC 的中点，连接,DE DF ．(1)如图1，求证：DF =；(2)如图2，将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB ⊥时，求DN 的长．模型3. “X”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“X”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN∠MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若EFBF＝2，求ANND的值；(3)若MN∠BE，求ANND的值．3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC =，AD 与BC 相交于点O ．(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AO AD的值为______； (2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE ．①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32AC =，求OE 的长； ②如图3，当60ACB ∠=︒时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB ⊥．4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA=．下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ， 则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∠1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG••=••=． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB⋅⋅=． (2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．课后专项训练：1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），∠CDE∠∠CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此∠CDE和∠CAB 互为顺相似；如图（2），∠CDE∠∠CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此∠CDE和∠CBA互为逆相似．（1）根据以上材料填空：①如图（3），AB∠CD，则∠AOB∠∠COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；②如图（4），Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB于点D，则∠ABC∠，它们互为相似；③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD∠CE于点F，则∠ABD∠，它们互为相似；（2）如图（6），若∠AOB∠∠COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；（3）如图（7），在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在∠ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画直线截∠ABC ，使截得的一个三角形与∠ABC 相似，则满足的截线共有 条．2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅，12DBC S BC h =⋅△．∠ABC DBC S S =．【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='△△．证明：∠ABC S(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM=△△．证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒， ∠AE ∥ ．∠AEM △∽ ．∠AE AM DF DM=． 由【探究】（1）可知ABC DBC S S =△△ ，∠ABC DBC S AM S DM =△△． (3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBCS S △△的值为 ．3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ． （1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF的值．4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND△△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D 、E 分别在∠ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，DB ＝b ，AE ＝c ，EC ＝d ，则S ∠ADE ，S ∠ABC 和a ，b ，c ，d 之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∠BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以∠ADE ∠∠ABC ，可得比例式：a ca b c d=++而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得()22ADE ABCS a Sa b =+．根据上述这两个式子，可以推出：()()()22ADE ABCS a a a a c ac Sa b a b a b c d a b c d a b ==⋅=⋅=+++++++． （2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由． 探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：()()ADE ABCSacSa b c d =++？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在∠ABC 的边上，做AH ∠BC 于H ，可得：1212ABD ADCBD AHS BD SDC DC AH ⋅==⋅．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在∠ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABCSS= ．（2）如图6，E 在∠ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABCSS= ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，∠ABCD 的面积为30，则∠AEF 的面积是 ．7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12⋅=⋅S OC ODS OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若56=OE OA ，求12S S 值．8．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D ，E ，F 依次是∠ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=． 这个定理的证明步骤如下：情况①：如图1，直线DE 交∠ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ． 过点C 作CM ∠DE 交AB 于点M ，则BE BD EC DM =，AD AFDM FC=（依据）， ∠BE AD EC DM ⋅＝BD AFDM FC⋅， ∠BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=．情况②：如图2，直线DE 分别交∠ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ． …（1）情况①中的依据指： ； （2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；（3）如图3，D ，F 分别是∠ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :F A ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．9.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中,5,8AB AC BC ===, 点 E 是射线 CA 上的动点, 点 O 是边 BC 上的动点，且 OC OE =, 射线 OE 交射线 BA 于点 D ．（1）如图 1, 如果 2OC =, 求 S △ADES△ODB的值；（2）联结AO , 如果 AEO △ 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长； （3）当点E 在边AC 上时, 联结,BE CD DBE CDO ∠∠=、, 求线段OC 的长．10.（2022松江中考模拟）如图，已知在△ABC 中，BC ＞AB ，BD 平分△ABC ，交边AC 于点D ，E 是BC 边上一点，且BE ＝BA ，过点A 作AG △DE ，分别交BD 、BC 于点F 、G ，联结FE ．（1）求证：四边形AFED 是菱形；（2）求证：AB 2＝BG •BC ；（3）若AB ＝AC ，BG ＝CE ，联结AE ，求ADEABCS S ∆∆的值．11．（2022•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，△BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE ＝6，AE2＝AB•AD，且DC△AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．12．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证∠ACD∠∠ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．13．（2021·广西百色·中考真题）如图，∠ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．14．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC 与A B C '''中，点D 、D 分别在边BC 、B C ''上，且ACD A C D '''∽△△，若___________，则ABD A B D '''△∽△．请从①BD B D CD C D ''=''；②AB A B CD C D ''=''；③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．。